3.1空间直角坐标系课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件围绕空间直角坐标系展开，涵盖坐标系建立、点的坐标表示及空间两点间距离公式。从飞机、潜艇位置等现实问题导入，类比数轴和平面直角坐标系，搭建从一维、二维到三维的认知支架，帮助学生迁移知识。 其亮点在于以数学眼光观察现实世界，从生活实例抽象空间位置问题，通过类比推理（数学思维）构建知识体系，如长方体顶点坐标例题直观呈现点的坐标特征，距离公式推导结合长方体对角线体现逻辑推理。小结系统梳理知识，学生能发展空间观念和推理能力，教师可借助清晰结构和典型例题提升教学效率。

3.1 空间直角坐标系 日常生活中,经常需要确定空间物体的位置,如一架飞机在空中的位置,一艘潜艇在海洋中的位置等.那么如何确定空间中任意一点的位置呢? 我们知道,在数轴上，一个实数就能确定一点的位置; 在平面直角坐标系中,需要一个有序实数对(x, y)才能确定一点的位置. 类似地,为了确定空间中任意一点的位置,可以建立空间直角坐标系,用三元有序实数组(x,y,z)来表示该点的位置. 如图,过空间任意一点o,作三条两两垂直的直线,并以点О为原点,在三条直线上分别建立数轴:x轴、y轴和z轴,这样就建立了一个空间直角坐标系О-xyz.点o叫作坐标原点,x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作坐标轴,通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面. 平面 平面 平面 一般使，； 在轴、轴上的长度都取原来的长度，而在轴上的长度取原长度的一半， 即轴上的单位长度在平面内表现出来时是轴、轴上的单位长度的一半． 一般是将x轴和y轴放置在水平面上,那么z轴就垂直于水平面.它们的方向通常符合右手螺旋法则,即伸出右手,让四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴正方向,然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向,此时大拇指的指向即为z轴正方向.我们也称这样的坐标系为右手系(如图). 这个坐标系中可以把轴指向反方向或者轴指向反方向 如果点P是空间直角坐标系O-xyz中的任意一点,那么如何刻画它的位置呢? 1.1点在空间直角坐标系中的坐标 类比平面上点的坐标的确定方式，可以先作出点在三条坐标轴上的投影，再根据投影在坐标轴上的坐标写出表示点位置的三元有序实数组即可． 如图，当点不在任何坐标平面上时，过点分别作垂直于轴、轴和轴的平面，依次交轴、轴和轴于点、点和点， 则点，，分别是点在轴、轴和轴上的投影． 设点在轴上、点在轴上、点在轴上的坐标依次为，，， A B P C 根据下列特殊情况，讨论点所对应的三元有序实数组： （1）当点为坐标原点时； （2）当点在轴上时； （3）当点在平面上时． （1）当点为坐标原点时；对应的三元有序实数组为：； （2）当点在轴上时；对应在轴和轴上的投影均为， 故此时点对应的三元有序实数组为：； （3）当点在平面上时，对应在轴上的投影， 故此时点对应的三元有序实数组为：． 当点在轴上时，，； 当点在轴上时，，； 当点在轴上时，，； 当点在平面上时，； 当点在平面上时，； 当点在平面上时，． 在空间直角坐标系中,对于空间任意一点P,都可以用唯一的一个三元有序实数组(x, y,z)来表示;反之,对于任意给定的一个三元有序实数组(x,y,z),都可以确定空间中的一个点P.这样,在空间直角坐标系中,任意一点P与三元有序实数组(x , y,z)之间,就建立了一一对应的关系: (x,y,z). 三元有序实数组(z,y,z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标,记作 P(x,y,z),其中x叫作点P的横坐标,y叫作点P的纵坐标,z叫作点P的竖坐标. P 如图，在空间直角坐标系中，已知长方体，，，，写出三点的坐标． 解：点在轴上，且，则它的竖坐标为，又它的横坐标和纵坐标都为，所以点的坐标为． 点在平面内，则它的纵坐标为．点在轴、轴上的投影依次为点、点，又，，所以点的横坐标和竖坐标依次为，，即点的坐标为． 点在轴、轴和轴上的投影依次为点、点和点，所以点的坐标为． 例2在空间直角坐标系O-xyz中,画出下列各点: A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,3,0), D(0,3,0)，A′(0,0,2),B′(2,0,2),C′(2,3,2),D′(0,3,2). 解:点A为原点. 点B为x轴上坐标为2的点. 点C的竖坐标为0,因此点C就是xOy平面内横坐标为2纵坐标为3的点.点D是y轴上坐标为3的点. 点A′是z轴上坐标为2的点. 点B′是zOX平面内横坐标为2、竖坐标也为2的点. 要作出点C′(2,3,2),只需过x轴上坐标为2的点B作垂直于x轴的平面,过y轴上坐标为3的点D作垂直于y轴的平面,根据几何知识可以得出:这两个平面的交线就是经过点C(2,3,0)且与z轴平行的直线L.再过z轴上坐标为2的点A′作垂直于z轴的平面,那么直线l与平面的交点也是三个平面,,的交点,就是点C′. 点D′是yOz平面内纵坐标为3竖坐标为2的点. 在同一空间直角坐标系中,画出以上各点,它们刚好是长方体ABCD-A′B′C′D′的八个顶点(如图). 1.2 空间两点间的距离公式 求点到原点的距离？ ，两点间的距离也就长方体对角线的长度，根据长方体对角线的长与各棱长的关系，得 ， 即，． 如图，过点分别作与三个坐标轴垂直的平面，被各坐标平面所截可得长方体，且长方体的棱长满足：， ，． 空间中两点间的距离可以转化为长方体对角线的长度． 在空间直角坐标系中，如何求两点，间的距离？ 类比上述方法，对于空间任意，两点，过点分别作与三条坐标轴垂直的平面，过点也分别作与三条坐标轴垂直的平面， 当这六个平面均不重合时，它们围成一个长方体，且长方体的各棱所在的直线均与某条坐标轴平行或重合． 易知，，两点的坐标分别为，． 因为平行于轴，所以． 同理有，． 因此，， 即，． 易知，，两点的坐标分别为，， 再根据平面上两点间的距离公式， 有． 仍有． 当这六个平面中至少有两个平面重合时，不妨设垂直于轴的两个平面重合， 作出其余四个平面与平面的交线． 易知：四边形 为矩形或线段与重合，即． 已知空间中，两点，则，两点间的距离为： ．这就是空间两点间的距离公式． 方程表示什么图形？ ⇔ ⇔． 表示由空间中到原点距离为的点组成的图形，是以原点为球心，为半径的球面． 给定空间直角坐标系，在轴上找一点，使它与点的距离为． 解：设点的坐标为，由题意得，，即 ， 所以． 解得：或． 所以点的坐标为或． 已知点，，，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解：由距离公式得： |AB|＝＝， |AC|＝＝， |BC|＝＝， ∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC为直角三角形．故选C. 空间直角坐标系 空间直角坐标系的建立 右手系 空间中的点与有序实数组的一一对应关系 空间点的坐标关于坐标轴、坐标平面对称的规律 空间两点间的距离公式 本课小结 作业：教材第127页练习第1-4题． $