2.1.2 椭圆的简单几何性质（1）课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

2.1.2 椭圆的简单几何性质（1） 由椭圆C的标准方程和图象来推出椭圆的简单几何性质。 由方程可得椭圆C上的任意一点总满足，即，．这说明椭圆C位于四条直线：，，，所围成的矩形区域内． 1.范围 y · · F1 F2 M 2.对称性 根据椭圆方程的结构特点，可以发现：若是椭圆方程的一组解，即，则， ，也是方程的解． 这说明:若点P在椭圆上,则点P分别关于x轴、y轴和原点О对称的点P1, P2,P3也在椭圆上(如图) 这说明椭圆既是关于x轴和y轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形．这个中心称为椭圆的中心． y · · F1 F2 M P• P1• P2• P3• 3.顶点 如图,在椭圆C的标准方程中,当x=0时,y=b.这说明B1(0,-b),B2(0,b)是椭圆C与y轴的两个交点.同理,当y=0时,x=,即A(-,0),A(,0)是椭圆C与x轴的两个交点. 因为x轴、y轴是椭圆的对称轴,所以椭圆与它的对称轴有四个交点.这四个交点叫作椭圆的顶点. 线段分别叫作椭圆的长轴和短轴，且，． a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长． 椭圆的四个顶点分别为： ，，，． 由于b2=2-c2 ,，b，c就是图中Rt△OB2F2的三边长.它们从另一角度反映了参数，b，c的几何意义. 4.离心率 由参数a,b,c的关系知道: a,c的大小可反映椭圆“扁的程度”.我们规定椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率,用e表示， 即“=e,显然0<e<1. y · · F1 F2 M e越接近于1，椭圆就越扁．反之，e越接近于0，椭圆就越接近于圆． y · · F1 F2 B y · · F1 F2 M 如图所示，在中， 当椭圆C的焦点在y轴上时，通过其标准方程和图象可以获得椭圆的哪些几何性质呢？与椭圆焦点在x轴时进行比较． 取值范围 轴长：长轴长为2a，短轴长为2b 焦点， 对称轴：x轴、y轴．对称中心：坐标原点 离心率： 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图象 标准方程 范围 顶点 ，，， ，，， 轴长 长轴长为2a，短轴长为2b,焦距2c 焦点 ， ， 对称性 对称轴：x轴、y轴．对称中心：坐标原点 离心率 (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上． (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为，最小值为． (4)O为长轴中点、短轴中点、中点． (5)P为短轴端点时，最大． 椭圆焦点在x轴上： 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形． 解：将已知方程化为椭圆的标准方程，则，，． 因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是10，2， 离心率是． 两个焦点分别是，． 椭圆的四个顶点分别是 ，，，． 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形． 做出椭圆图形： 将方程变形为，由，在的范围内计算出一些点的坐标，如下表(y的值精确到)． x 0 1 2 3 4 5 y 3.0 2.9 2.7 2.4 1.8 0 先用描点法画出椭圆在第一象限内的图形，再利用对称性画出整个椭圆(如图): 求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解： 由已知得，因为，所以． 所以椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长 ，短半轴长 ，半焦距， 所以椭圆的长轴长短轴长2．焦点坐标为，， 顶点坐标为，，，， 离心率． 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图象 标准方程 范围 顶点 ，，， ，，， 轴长 长轴长为2a，短轴长为2b,焦距2c 焦点 ， ， 对称性 对称轴：x轴、y轴．对称中心：坐标原点 离心率 本节小结 作业：教材第55页练习第1、2、3、4、5题． $