1.4用一元二次方程解决问题 同步练习2025-2026学年苏科版数学九年级上册

2025-2026学年苏科版数学九年级上册 1.4用一元二次方程解决问题 （同步练习） （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.某农机厂一月份生产零件万个，第一季度生产零件万个．设该厂生产零件平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 2. 某机械厂七月份生产零件50万个，九月份生产零件196万个，设该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 3.矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设外镶金色纸边的宽为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 4.如图，张老汉想用长为75米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为720平方米的矩形羊圈，并在边上留一个5米宽的门（门用其他材料）．设的长为x米，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5.两年前生产1组疫苗的成本是5000元，随着生产技术的进步，若疫苗成本的年平均下降率为，则现在生产1组疫苗的成本是（ ） A. B. C. D. 6.某服装原价为300元，连续两次涨价a%后，售价为363元，则a的值为（　　） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 7.《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？” 译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？” 若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 8.日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律．小慧在2025年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数（如图2），发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，则这9个数中，中间的数是（       ） A．17 B．18 C．19 D．20 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛场，求参加比赛的球队数量．设有x个队参赛，根据题意可列方程为__________． 10. 某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米，则绿地的宽为_____米． 11.某公司前年纳税20万元，预计今年纳税为24.2万元，该公司纳税的年平均增长率为_____． 12.根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：m)约为．根据上述规律，物体经过_____秒落回到地面． 13.某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划分出四分之一的区域种花，小明同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽为xm，则可列方程为_____． 14.下表是某公司1月份至5月份收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染，若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为，则可列出方程为______． 月份 1 2 3 4 5 收入/万元 10 12 14 15.如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另三边用篱笆围成，若墙长为，墙对面有一个宽的门，篱笆总长为，围成的长方形养鸡场除门之外四周不能有空隙．要使围成的养鸡场面积为，则的长为____． 16. 如图，在中，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速移动，同时点从点出发沿边以的速度向点匀速移动．当，两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当的面积为时，点，运动的时间为______秒． 三、解答题（本题共6小题，共52分） 17.一条长为40cm的铁丝被截成两段，将两段都折成正方形．若两个正方形的面积的和等于52cm2，求这两个正方形的边长． 18.今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月的月平均增长率． （2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？ 19.戴口罩是阻断病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒元医用口罩进行销售，如果按每盒元销售，每天可卖出盒，通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒． （1）若每盒售价降低x元，则日销售量可表示为 盒，每盒口罩的利润为 元． （2）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为多少元？ 20.如图，用长为的篱笆和一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门． （1）设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为__________． （2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽． （3）在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到．请说明理由．猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？ 21.某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价x元时，每天可销售_______________件，每件盈利____________元；（用x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元． （3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由． 22. 如图，在中，，平分，过点作的平行线交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，的长单位：米）是的两根，求的长以及菱形的面积； （3）在（2）的条件下，若动点从出发，，沿以米秒的速度匀速直线运动到点C，动点从出发，沿以米秒的速度匀速直线运动到点，当运动到点时，运动停止．若、同时出发，问出发几秒钟后，的面积为米2 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.某农机厂一月份生产零件万个，第一季度生产零件万个．设该厂生产零件平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 2. 某机械厂七月份生产零件50万个，九月份生产零件196万个，设该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 3.矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设外镶金色纸边的宽为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 4.如图，张老汉想用长为75米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为720平方米的矩形羊圈，并在边上留一个5米宽的门（门用其他材料）．设的长为x米，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 5.两年前生产1组疫苗的成本是5000元，随着生产技术的进步，若疫苗成本的年平均下降率为，则现在生产1组疫苗的成本是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 6.某服装原价为300元，连续两次涨价a%后，售价为363元，则a的值为（　　） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 7.《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？” 译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？” 若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 8.日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律．小慧在2025年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数（如图2），发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，则这9个数中，中间的数是（       ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛场，求参加比赛的球队数量．设有x个队参赛，根据题意可列方程为__________． 【答案】 11. 某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米，则绿地的宽为_____米． 【答案】20 11.某公司前年纳税20万元，预计今年纳税为24.2万元，该公司纳税的年平均增长率为_____． 【答案】10% 12.根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：m)约为．根据上述规律，物体经过_____秒落回到地面． 【答案】2 13.某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划分出四分之一的区域种花，小明同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽为xm，则可列方程为_____． 【答案】（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30 14.下表是某公司1月份至5月份收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染，若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为，则可列出方程为______． 月份 1 2 3 4 5 收入/万元 10 12 14 【答案】 15.如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另三边用篱笆围成，若墙长为，墙对面有一个宽的门，篱笆总长为，围成的长方形养鸡场除门之外四周不能有空隙．要使围成的养鸡场面积为，则的长为____． 【答案】 16. 如图，在中，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速移动，同时点从点出发沿边以的速度向点匀速移动．当，两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当的面积为时，点，运动的时间为______秒． 【答案】1 三、解答题（本题共6小题，共52分） 17.一条长为40cm的铁丝被截成两段，将两段都折成正方形．若两个正方形的面积的和等于52cm2，求这两个正方形的边长． 【答案】解：设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（40﹣x）cm， 由题意得：（）2+（）2＝52， 解得：x1＝16，x2＝24， 当x1＝16时，40﹣x＝24， 当x2＝24时，40﹣x＝16， 16÷4＝4cm，24÷4＝6cm， 答：这两个正方形的边长分别为4cm和6cm． 18.今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月的月平均增长率． （2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？ 【答案】（1）解：设四月，五月的月平均增长率为x， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：四、五这两个月的月平均增长率； 【小问2详解】 解：设降价m元，商场月获利4250元， 根据题意，得 ， 解得，（舍去）， 答：当商品降价5元时，商场月获利4250元． 19.戴口罩是阻断病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒元医用口罩进行销售，如果按每盒元销售，每天可卖出盒，通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒． （1）若每盒售价降低x元，则日销售量可表示为 盒，每盒口罩的利润为 元． （2）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为多少元？ 【答案】（1）解：由题意可得， ∵每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒， ∴若每盒售价降低x元，则日销售量为， 利润为：（元） 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意可得， ， 解得：，， ∵商家想尽快销售完该款口罩， ∴， 即售价为：（元）， 答：每盒售价应定为元． 20.如图，用长为的篱笆和一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门． （1）设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为__________． （2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽． （3）在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到．请说明理由．猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？ 【答案】（1）解：设花圃的宽为x米， 则米， 故答案为：； 小问2详解】 解：由题意可得：， ∴ 解得：，， 当时，，不符合题意，故舍去； 当时，，符合题意； 答：此时花圃的长为9米，宽为5米； 【小问3详解】 解：当时，则， ∴， ∴此时原方程无解， ∴这个花圃的面积不能达到 ， ∵， ∴， ∴这个花圃面积最大可以做到． 21.某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价x元时，每天可销售_______________件，每件盈利____________元；（用x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元． （3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由． 【答案】（1）解：设每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：，； 【小问2详解】 依题可得：， ∴， ∴， ∴，， 扩大销售量，增加利润， ， 答：每件童装降价20元时，平均每天赢利1200元； 【小问3详解】 根据题意得：， ∴， ∴△= =-4×1×600=-15000， ∴原方程无解. 答：不可能平均每天赢利2000元． 22. 如图，在中，，平分，过点作的平行线交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，的长单位：米）是的两根，求的长以及菱形的面积； （3）在（2）的条件下，若动点从出发，，沿以米秒的速度匀速直线运动到点C，动点从出发，沿以米秒的速度匀速直线运动到点，当运动到点时，运动停止．若、同时出发，问出发几秒钟后，的面积为米2 【答案】（1）平分，， ， 是等腰三角形，， 又， ， 四边形为平行四边形， 又， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：解方程，得，， ，， 利用勾股定理， ， ∴平方米． 【小问3详解】 解：在第(2)问的条件下，设、同时出发秒钟后，的面积， 当点在上时，，， 解得 (大于2，舍去)； 当点在上且点在上时，，， 整理得，，此时，， ∴原方程无解； 当点在上且点在上时，即， ， 整理得， 解得 (小于3，舍去)． 综上所述：，出发秒或秒钟后，△MON的面积为． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $