1.3一元二次方程的根与系数的关系（同步练习）2025-2026学年苏科版（2012）数学九年级上册

2025-2026学年苏科版数学九年级上册 1.3一元二次方程的根与系数的关系 （同步练习） （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.若，是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C． D． 2.若一元二次方程的两个根为、，则是（   ） A．1 B． C．2 D． 3.下列方程中两根之和为的是（ ） A. B. C. D. 4.已知、是关于x的方程的两根，下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 5.若m、n是关于x的方程的两个根，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 6.已知a、b、c为常数，点在第二象限，则关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 7.已知关于x的一元二次方程有实数根，设此方程得一个实数根为t，令，则（ ） A. B. C. D. 8.关于x的方程有两个不相等的实数根，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9. 已知a、b是方程的两个实数根，则_______． 10.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 11.若一元二次方程有实数根，则的取值范围是____________． 12.已知a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值是______． 13.已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是______． 14.若是方程的两不同的根，则的值为__________． 15.已知，是方程的两个根，则的值为______． 16.对于一元二次方程，下列说法： 若方程有一根，则；若，则；若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，；若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有______个．（填个数） 三、解答题（本题共6小题，共52分） 17.已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根小于0，求k的取值范围． 18.已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22＝8﹣3x1x2，求m的值． 19.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0． （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足，求m的值． 20. 已知关于x的一元二次方程 求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； 若a和b是这个一元二次方程的两个根，求的最小值． 21.阅读下列材料并完成练习题： 已知一元一次方程的两个实数根分别为和 ∵ ∴ 对比系数可得：， 类比上面的证明方法： (1)如果一元三次方程的两个实数根分别为，，，______，______，______． (2)已知方程，求值：______． 22.阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为 ； (2)间接应用： 已知实数，满足：，且，求的值． 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.若，是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 2.若一元二次方程的两个根为、，则是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 3.下列方程中两根之和为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 4.已知、是关于x的方程的两根，下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 5.若m、n是关于x的方程的两个根，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 6.已知a、b、c为常数，点在第二象限，则关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 7.已知关于x的一元二次方程有实数根，设此方程得一个实数根为t，令，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 8.关于x的方程有两个不相等的实数根，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】C 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9. 已知a、b是方程的两个实数根，则_______． 【答案】 10.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 11.若一元二次方程有实数根，则的取值范围是____________． 【答案】 12.已知a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值是______． 【答案】 13.已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是______． 【答案】4049 14.若是方程的两不同的根，则的值为__________． 【答案】-1 15.已知，是方程的两个根，则的值为______． 【答案】1 16.对于一元二次方程，下列说法： 若方程有一根，则；若，则；若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，；若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有______个．（填个数） 【答案】3 三、解答题（本题共6小题，共52分） 17.已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根小于0，求k的取值范围． 【答案】（1）解：证明：， 方程总有两个实数根； 【小问2详解】 ，即， ，． 方程有一个根小于0， ． 18.已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22＝8﹣3x1x2，求m的值． 【答案】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根． ∴Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4m2＝4﹣8m≥0， 解得：． （2）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0的两个根分别为x1、x2， ∴x1+x2＝2m﹣2，x1•x2＝m2， ∵x12+x22＝8﹣3x1x2， ∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝8﹣3x1x2，即5m2﹣8m﹣4＝0， 解得：m1＝，m2＝2（舍去）， ∴实数m的值为． 19.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0． （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足，求m的值． 【答案】（1）∵在方程中， △=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m2）=16+4m2＞0， ∴该方程有两个不等的实根； （2）解：∵该方程的两个实数根分别为、， ∴ ①、②． ∵③， ∴将①②代入③得，， 解得． 20. 已知关于x的一元二次方程 求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； 若a和b是这个一元二次方程的两个根，求的最小值． 【答案】（1）在关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m=0中a=1，b=﹣（m+2），c=m， 所以△=m2+4m+4﹣4m=m2+4， 无论m取何值，m2+4＞0， 所以，无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）因为a和b是这个一元二次方程的两个根， 所以a+b=﹣[﹣（m+2）]=m+2，ab=m， 所以a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（m+2）2﹣2m=m2+2m+4=（m+1）2+3． 无论m为何值，（m+1）2≥0，所以a2+b2的最小值为3． 21.阅读下列材料并完成练习题： 已知一元一次方程的两个实数根分别为和 ∵ ∴ 对比系数可得：， 类比上面的证明方法： (1)如果一元三次方程的两个实数根分别为，，，______，______，______． (2)已知方程，求值：______． 【答案】（1）解：根据材料提示得， ， ∴，，， ∴，，， 故答案为：，，． （2） 解：根据（1）的结论得，一元三次方程中，，，，， ∴，，， 且， ∴， 故答案为：． 22.阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为 ； (2)间接应用： 已知实数，满足：，且，求的值． 【答案】（1）解：， 设，则原方程可化为， 解得，， 当时，，解得，， 当时，，解得，， 所以原方程的解为，，，． 故答案为：，，，； （2）解：实数，满足：，且， 、可看作方程的两不相等的实数根， ，； ∴； 故答案为：． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $