专题02 二次函数（期中真题汇编，内蒙古专用）九年级数学上学期人教版

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02二次函数 ☆6大高频考点概览 考点01二次函数的概念和图象的性质以及二次函数图象的画法 考点02二次函数的平移 考点03二次函数与一元二次方程及不等式的关系 考点04二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a、b、c及判别试b2-4ac的符号之间的关系 考点05实问题与二次函数 考点06二次函数与几何综合 目目 考点01 次函数的概念和图象的性质以及二次函数图象的画法 一、单选题 1.下列函数中是二次函数的有() ①y=3-V3x2;②y=急；③y=x3-5x;④y=(1+2x(1-2x)+4x2,⑤2x2-3xy+4=0; ⑥x2=0 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔扎兰屯·期中下列函数中，y一定是x的二次函数的是() A.y=x2-是+1 B.y=(m-3)x2+x-1 C.y=2πx2 D.y=ax2+bx+c 3.(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学·期中)已知y=(k+2)xk+-4是二 次函数，且函数图象有最高点，求k的值() A.k=0 B.k=-2 C.k=2 D.k=-3 4.(24-25九上·内蒙古呼和浩特土默特左旗台阁牧中心校·期中)抛物线y=x2开口方向() A.向上 B.向下 C.向左 D.向右 5.(24-25九上·内蒙古赤峰松山区期中)对于二次函数y=-(x-1)2+9的图象，下列说法正确的是() A.当x>1时，y随x的增大而增大B.顶点坐标是（一1,9） C.图象在x轴上截得的线段长度是6D.图象与y轴交点的坐标是(0,9) 6.(24-25九上内蒙古赤峰期中)关于二次函数y=一4(x+1)+3的下列结论：①顶点的坐标为1,3)： ②对称轴为x=一1；③x<一1时，y随x的增大而增大；④函数图象与V轴的交点坐标为(0,3)其中正确 的结论有() 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.(24-25九上内蒙古通辽科左中旗联盟校期中)形状、开口方向与抛物线y=x2相同，但是顶点为 (-2,0)的抛物线解析式为() A.y=(x-2)2 B.y=(x+2)2 C.y=-(x-2)2 D.y=-(x+2)2 8.(24-25九上·内蒙古赤峰松山区·期中)已知抛物线y=ax2+4x+m与抛物线y=一2x2的形状、开口方 向相同，且该抛物线最高点的函数值为1，则抛物线的解析式为() A.y=-2x2+4x-2 B.y=2x2+4x+1 C.y=2x2+4x+2 D.y=-2x2+4x-1 9.(24-25九上·内蒙古乌兰察布集宁区亿利东方学校四校期中联考期中)如图1，某地大桥主桥墩结构为抛 物线形，桥墩的高度和宽度分别为40m和30m,若建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达 式为() 40 30 图1 图2 A.y=最x2-号x B.y=30x2-40xC.y=-是x2+号xD. y=-40x2+30x 10.(24-25九上·内蒙古鄂尔多斯东胜区期中)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c为常数)中，y 与x的部分对应值如表： 3 5 4 4 5 4 4 下列结论中，正确的是() A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是直线x=5 C.当x>5时，y随x的增大而减小 D.抛物线的顶点坐标为（⑤，4） 11.(24-25九上·内蒙古兴安盟科右前旗五中联盟学校期中如果二次函数y=x2一2x十c的最小值为0， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 那么c的值等于() A.-1 B.1 C.2 D.3 12.(2425九上·内蒙古呼和浩特第三十中学.期中)函数y=x2+2x-3(-2≤x<2)的最大值和最小值分别是 () A.4和-3 B.-3和-4 C.5和-4 D.-1和-4 13.(2425九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校期中)抛物线y=2(x一1)2+c过 (-2,y),(0,y2),(号y3)三点，则y1,y2,y3的大小关系是() A.y2>y3>y1B.y1>y2>y3C.y2>y1>y3D.y1>y3>y2 14.(24-25九上内蒙古巴彦淖尔杭锦后旗期中)设点(-1，y1)，(2,y2),(3,y3)是抛物线 y=-2x2+m上的三点，则y1、Y2、V3的大小关系为() A.y3>2>y1B.y1y3>2C.y3>y1>y2D.y1>y2>y3 15.(24-25九上·内蒙古呼和浩特实验中学)关于二次函数y=一x2+2x一3的图像与性质，下列说法正确 的是() A.开口向上 B.对称轴为x=一1 C.最大值为-3 D.当x>1,y随x的增大而减小 16.(24-25九上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几 组对应值如表： -4 -2 0 3 -24 -8 0 -3 -15 则下列关于这个二次函数的结论正确的是() A.图象的开口向上 B.当x>0时，y的值随x的值增大而增大 C.方程ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围是-1<x<1 D.图象的对称轴是直线x=0 17.(24-25九上·内蒙古乌兰察布初中联盟校·期中)若二次函数y=2(x-1)2+5的图象经过点(m,n)和 点(4，n),则m的值为() A.2 B.-2 c.-6 D.6 18.(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区期中)已知二次函数y=ax2+bx+c,当y>n时，x的取值范围 / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 是m-5<x<1-m,且该二次函数图象经过点P(-3,t2+5),Q(d,4t)两点，则d的值不可能是() A.0 B.-2 C.-4 D.-5 19.(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古农业大学附属中学期中)已知 a≥2，m2-2am+2=0,n2-2an+2=0,则(m-1)2+(n-1)的最小值是(). A.6 B.3 C.-3 D.0 20.(2425九上·内蒙古乌兰察布集宁区亿利东方学校四校期中联考·期中)如图，点A、B的坐标分别为 (1,4)和(4,4)，一条抛物线与x轴交于C、D两点(C在D的左侧)，它的顶点可在线段AB上运动，在 运动过程中点C的横坐标最小值为一3，则点D的横坐标最大值为() A(1,4)B(4,4) D A.-3 B.1 C.5 D.11 二、填空题 21.(24-25九上·内蒙古通辽科左中旗联盟校期中)若函数y=(m一2)xm2-m+x一1是关于x的二次函数。 则常数m的值是 22.(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔乌拉特前旗第三中学期中)若二次函数y=x2-mx+m-2的图象经过点 (3,6),则m= 23.(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)知一抛物线与x轴的交点是A(一2,0)、B(1,0),且 经过点C(2,8),求该抛物线的解析式 24.(24-25九上内蒙古呼伦贝尔扎兰屯期中已知抛物线的顶点为（一1，一3，与y轴的交点为(0，一5）， 则此抛物线的解析式是一· 25,(24-25九上·内蒙古通辽科左中旗联盟校期中两位同学分别说出了一条二次函数的图象与性质，小明： 抛物线开口向上：小智：抛物线对称轴是直线x=2;请你写出一个符合，上述条件的二次函数表达式：_ 26.(24-25九内蒙古通辽开鲁县蒙古族中学期中)若二次函数y=(m+1)x2+2x+m2-2m-3图象 经过原点，则m的值为· 27.(24-25九上·内蒙古乌兰察布初中联盟校·期中)己知抛物线y=x2-x一1与x轴的一个交点坐标为 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (m,0),则代数式2024+m2-m的值为 28.(2024黑龙江省哈尔滨市一模)抛物线y=一2(x-3)2+8的顶点坐标是 29.(24-25九上·内蒙古通辽科左中旗联盟校期中)若抛物线y=(x-2)2+(m+1)的顶点在第一象限，则 m的取值范围为。 30.(24-25九上·内蒙古呼和浩特土默特左旗台阁牧中心校期中)将二次函数y=x2-6x+21化成 y=a(x-h)2+k的形式，y=一 31.(24-25九上·内蒙古呼和浩特回民区期中)二次函数y=一(x+2)2+4图象的对称轴是 32.(24-25九上·内蒙古赤峰期中)抛物线y=x2-bx+3的对称轴是直线x=一1，则b的值为. 33.(24-25九上内蒙古呼和浩特第四中学期中)已知点A(x14),B(x24)是函数y=x2-3x图象上两 点，则当x=X1十X时，函数值y= 34.(2425九上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟期中)若抛物线y=x2+(a-2)x+c的顶点在y轴 上，则a的值是 35.(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔杭锦后旗期中已知抛物线y=x2-2kx+9的顶点在x轴上，则 k= 36.(24-25九上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)抛物线y=x2+x十2与直线y=4的交点坐标 是 37.(24-25九上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵 坐标相等，则称点P为和谐点.例如点(1,1)，（号，青）都是和谐点，请写出二次函数y=x2-2的图象 上所有和谐点的坐标是」 38.(24-25九上·内蒙古呼和浩特第四中学期中)将二次函数y=一x2+2x+1的图象，沿x轴翻折后得到 的新抛物线的解析式为」 39.(24-25九上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟期中)将抛物线y=2x2-4x+5绕其顶点旋转180· 则旋转后的抛物线解析式是一· 40.(24-25九上·内蒙古呼和浩特玉泉区)已知y是x的二次函数，下表给出了y与x的几对对应值： 2 面学科网 ww w zxxk .com 让教与学更高效 由此判断，表中a= 41.(24-25九上内蒙古通辽科左中旗联盟校期中)已知关于x的二次函数y=(x+2)2+1,当 -3<x<4时，函数y的取值范围为 42.(24-25九上湖北襄阳第四中学义教部月考)已知二次函数y=-x2-2x+3,当a≤x≤时，函数 值y的最小值为1，则a的值为 43.已知点A(2,y),B(0,y2),C(-3y3)在二次函数y=x2+2x+c的图像上，则y1,y2,Y3的 大小关系为一 44.(2425九上·内蒙古赤峰松山区·期中)若函数y=(a-1)2x2-3x+1的图象与x轴只有一个交点，则 a的值为一 45.(24-25九上：内蒙古呼伦贝尔扎兰屯期中)若二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴有2个交点，则m 的取值范围是 46.(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学.期中)二次函数y=kx2.4x+2的图象与 x轴有公共点，则k取值范围是_ 47.已知抛物线y=ax2-2ax+b(a>0)经过A(2n+3,y1),B(n-1,y2)两点，若AB分别位于抛物 线对称轴的两侧，且y.<Y2,则n的取值范围是 48已知抛物线y=(x一1)2-4如图1所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不 变，得到一个新图象如图2.当直线y=m与新图象有四个交点时，m的取值范围是. 图1 图2 49.(2425九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中)已知二次函数y=(x一)2+1(h 为常数)，在自变量x的值满足2≤x≤4的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为 50.(24-25九上·内蒙古呼和浩特土默特左旗台阁牧中心校·期中)在平面直角坐标系中，点A和点B的坐标 / 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 分别为(-3，-1)和(3，-1)，抛物线y=mx2-2mx+2(m≠0)与线段AB只有一个公共点，则m 的取值范围是 52.(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校期中)已知二次函数y=ax2一2ax+3(a 为常数，a≠0)， (1)若a<0,求证：该函数的图象与x轴有两个公共点. (2)若a=-1,求证：当-1<x<0时，y>0. (3)若该函数的图象与x轴有两个公共点(X10),(X20),且一1<x1<X2<4,则a的取值范围是. 三、解答题 52.(24-25九上·内蒙古赤峰·期中)抛物线y=一x2+2x+3的顶点为P,与y轴的交点为C. (1)抛物线的对称轴是 ；顶点P的坐标是 ；交点C的坐标是 (2)列表、描点画这条抛物线 y=-x2+2x+3 4 2 -5-4-3i-2-10 12i3i45 2 3 X 0 3 y=-x2+2x+3 0 3 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y 5 1 -54-3-2-1 0 1234 -1 --- -4 53.(24-25九上·内蒙古赤峰松山区·期中)聪聪在用描点法画二次函数y=x2一2x一3的图象时，列表格如 下图： -1 0 1 2 3 m -3 n 0 (1)求出表格中m、n的值； (②)在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象： y 6 4- 3- -2 654321912.3.4.56x -3 -1- 4 5 -6卧 (3)根据图象，直接写出y>0时，自变量x的取值范围， 54.(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学期中)己知：二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和y满足如表： 1 0 -1 0 8 函学科网 ww w zxxk .com 让教与学更高效 4 - -3 2 --1 -3-2-10 12345 2 (1)可求得m的值为_： (2)求出这个二次函数的解析式： (3)画出函数图象，并根据图像写出当0<x<2时y的取值范围. 55.(24-25九上·内蒙古呼和浩特土默特左旗台阁牧中心校·期中)二次函数y=ax2+bx+C中的x,y满足 下表. X -1 0 1 2 3 0 -3 m -3 0 (I)观察表中信息，发现c=,抛物线的对称轴为 (2)求该抛物线的解析式： (3)在平面直角坐标系中画出这条抛物线： (4)请直接写出，当x取什么值时，y<5. 56.(24-25九上·内蒙古呼和浩特回民区·期中己知二函数y=-x2+2x+3. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y 5 4 3 -5-4-3-2-1 01 2345x 3 5 ()求函数图象的顶点坐标，并画出这个函数的图象： (2)①已知函数图象上两点A(xy1)和(x2Y2),若1<x1<x2,则y1与2的大小关系为 ②当一1<x<4时，求y的取值范围. … -2 -1 0 2 3 4 y=-x2+2x+3 -5 0 3 4 3 0 -5 57.(24-25九上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟期中)某班数学兴趣小组对函数y=x2一2x一3的 图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整 (1)自变量x的取值范围是全体实数与y的几组对应值如表： 3 5=2 -2 -1 0 2 52 3 0 m 一4 -3 -4 -3 0 其中， m= (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象 的另一部分. 专题02 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念和图象的性质以及二次函数图象的画法 考点02 二次函数的平移 考点03 二次函数与一元二次方程及不等式的关系 考点04 二次函数的图象特征与a、b、c及判别式的符号之间的关系 考点05 实际问题与二次函数 考点06 二次函数与几何综合 地 城 考点01 二次函数的概念和图象的性质以及二次函数图象的画法 1、 单选题 1.下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练的掌握二次函数的定义是解题的关键． 先把关系式整理成二次函数的一般形式，再根据二次函数的定义判定即可． 【详解】解：①是二次函数；②不是二次函数；③是二次函数；④不是二次函数；⑤不是二次函数；⑥不是二次函数． 综上，二次函数有①③，共2个． 故选B． 2．(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔扎兰屯·期中)下列函数中，一定是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数进行分析即可． 【详解】解：A．函数分母中含有未知数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B．当时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意； C．函数是二次函数，故本选项符合题意； D．当时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意． 故选C． 3．(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学·期中)已知是二次函数，且函数图象有最高点，求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义及图象的性质，根据二次函数的定义和开口方向的条件，即可确定k的值． 【详解】解：∵是二次函数，且函数图象有最高点， ∴二次函数图象开口向下， ∴，且， 解得：，且 或 ， ∴， 则的值为． 故选：D． 4．(24-25九上·内蒙古呼和浩特土默特左旗台阁牧中心校·期中)抛物线开口方向（　　） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据当时，抛物线的开口向上；当时，抛物线的开口向下即可判定． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上， 故选：A 5．(24-25九上·内蒙古赤峰松山区·期中)对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．当时，y随x的增大而增大 B．顶点坐标是 C．图象在x轴上截得的线段长度是6 D．图象与y轴交点的坐标是 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质可判断A、B选项，当时，则，解得，则，即可判断C，令，求出值，即可判断D． 【详解】解：A、∵对称轴为直线，， ∴当时，y随x的增大而减小，故不符合题意； B、由可知顶点为，故不符合题意； C、当时，则，解得， ∴，故符合题意； D、当时，，则与y轴交点的坐标是，故不符合题意， 故选：C． 6．(24-25九上·内蒙古赤峰·期中)关于二次函数的下列结论：①顶点的坐标为(1，3)；②对称轴为；③＜－1时，随的增大而增大；④函数图象与轴的交点坐标为(0，3).其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数顶点式的性质逐项进行计算，即可得出答案． 【详解】解：二次函数的顶点的坐标为（-1，3），①错误； 对称轴为x=-1，②正确； 开口向下，当x＜-1时，y随x的增大而增大，③正确； 函数图象与y轴的交点坐标为（0，-1），④错误， 所以，正确的是②③，共2个 故选：B． 7．(24-25九上·内蒙古通辽科左中旗联盟校·期中)形状、开口方向与抛物线相同，但是顶点为的抛物线解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质．设所求抛物线的解析式为，根据抛物线的形状与开口方向状、开口方向与抛物线相同，得到，再根据顶点坐标可得，，即可解答． 【详解】解：设所求的抛物线解析式为， ∵抛物线与抛物线形状相同，开口方向相同， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴，， ∴该抛物线的解析式为． 故选：B． 8．(24-25九上·内蒙古赤峰松山区·期中)已知抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，且该抛物线最高点的函数值为1，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，解题关键在于用待定系数法列方程来求解．根据两抛物线的形状、开口方向相同可知，a相同，求出a，再根据顶点坐标即可求出m． 【详解】解：抛物线与抛物线的形状、开口方向相同， ， ， 该抛物线最高点的函数值为1， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 故选：． 9．(24-25九上·内蒙古乌兰察布集宁区亿利东方学校四校期中联考·期中)如图1，某地大桥主桥墩结构为抛物线形，桥墩的高度和宽度分别为40m和30m，若建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线与x轴的两个交点坐标可得抛物线的对称轴为直线，再根据顶点坐标设解析式为，把代入求出a，即可得到解析式． 【详解】解：由二次函数的图象可得，抛物线与x轴的交点坐标为和， ∴对称轴为， ∵桥墩的高度为， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把代入上式得，， ∴， ∴该抛物线的表达式为， 即， 故选：C． 10．(24-25九上·内蒙古鄂尔多斯东胜区·期中)抛物线（，a，b，c为常数）中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 4 5 7 … y … 4 5 4 … 下列结论中，正确的是（） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是读懂表格掌握二次函数的图象和性质．根据当时和当时的函数值相同，可得对称轴是直线，进而根据表格数据可得顶点坐标为，再由对称轴处的函数值大于其他位置的函数值可知抛物线开口向下，则当时，随的增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：由图表函数值相等可知：对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 该抛物线有最大值，即抛物线开口向下，当时，y随x的增大而减小， 四个选项中，只有C选项说法正确，符合题意； 故选：C． 11．(24-25九上·内蒙古兴安盟科右前旗五中联盟学校·期中)如果二次函数的最小值为0，那么的值等于（      ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值，将原二次函数解析式化为顶点式，可得到二次函数的最小值为，根据已知条件可得，因此即可求出的值． 【详解】 ， 开口向上，当时，， ， ， 故选：B． 12．(24-25九上·内蒙古呼和浩特第三十中学·期中)函数y＝x ²＋2x－3(－2≤x≤2)的最大值和最小值分别是（     ） A．4和－3 B．－3和－4 C．5和－4 D．－1和－4 【答案】C 【详解】解：将二次函数y＝x ²＋2x－3(－2≤x≤2)配方可得： 根据二次函数图像性质：该二次函数开口方向向上， 当时，函数有最小值，最小值是， 再将和分别代入二次函数求函数值进行比较 可以求出当，函数有最大值，最大值是5， 故选：C 13．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中)抛物线过，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 所以该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，，且点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：B． 14．(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔杭锦后旗·期中)设点，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小，由题意可得对称轴为轴，则关于轴的对称点为，根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系． 【详解】解：抛物线解析式为， 对称轴为轴 ∵关于对称轴轴对称点为， ∴是抛物线上点， 又∵， 当时，随的增大而减小， ，点，，是抛物线上的三点， ， 故选：D． 15．(24-25九上·内蒙古呼和浩特实验中学·)关于二次函数的图像与性质，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为 C．最大值为 D．当，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟知二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质即可进行判断． 【详解】解：， 抛物线开口向下， 故选项A错误，不符合题意； ， 抛物线的对称轴为直线， 故选项B错误，不符合题意；； ， 函数有最大值， 故选项C错误，不符合题意； 抛物线开口向下，且对称轴为， 当时，函数值随自变量的增大而减小， 故选项D正确，符合题意； 故选：D． 16．(24-25九上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … 0 3 5 … … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．当时，的值随的值增大而增大 C．方程的一个解的取值范围是 D．图象的对称轴是直线 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，根据表格中所给数据，可求出抛物线的解析式，再对所给选项依次进行判断即可解决问题，能用待定系数法求出二次函数解析式及熟知二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：把带入函数解析式， 可得， 解得， 二次函数的解析式为． ， 抛物线的开口向下． 故A选项不符合题意． ， 当时，随的增大而减小． 故B选项不符合题意． 令得，， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为和． 方程的一个解的取值范围是． 故C选项符合题意． 二次函数解析式为， 抛物线的对称轴为直线． 故D选项不符合题意． 故选：C． 17．(24-25九上·内蒙古乌兰察布初中联盟校·期中)若二次函数的图象经过点和点，则m的值为（   ） A．2 B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵点和点的纵坐标相同， ∴点和点关于直线对称， ∴， 解得， 故选：B． 18．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)已知二次函数，当时，的取值范围是，且该二次函数图象经过点，两点，则的值不可能是（　　） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据时， x的取值范围是，可得抛物线图象开口方向及对称轴直线方程，再由得点P到对称轴距离小于点Q到对称轴距离．即可判断的范围，进而求解． 【详解】解：如下图， ∵二次函数，当时，的取值范围是， ∴，二次函数开口向下 解得，对称轴为， ∵ ∴， ∴， ∴或 d不可能是-2 故选∶B． 19．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古农业大学附属中学·期中)已知，则的最小值是（ ）． A．6 B．3 C．-3 D．0 【答案】A 【分析】由已知得m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，根据根与系数的关系得到m＋n＝2a，mn＝2，再根据完全平方公式展开化简，利用二次函数的性质解决问题． 【详解】解：∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0， ∴m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根， ∴m＋n＝2a，mn＝2， ∴(m－1)2＋(n－1)2 ＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1 ＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2 ＝4a2－4－4a＋2 ＝4(a－)2－3， ∵a≥2， ∴当a＝2时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值， ∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(2－)2－3＝6， 故选A． 20．(24-25九上·内蒙古乌兰察布集宁区亿利东方学校四校期中联考·期中)如图，点A、B的坐标分别为和,一条抛物线与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），它的顶点可在线段上运动，在运动过程中点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为 ( ) A． B．1 C．5 D．11 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的对称性是关键； 点C取横坐标为，抛物线顶点为A时，抛物线顶点为B时，分别求出点D的横坐标，进而即可求解 【详解】当点C取横坐标为时，抛物线顶点为A，对称轴为，此时D点横坐标为5；当点C取横坐标为时，抛物线顶点为B时，抛物线对称轴为，此时D点横坐标为11，故点D的横坐标最大值为11； 故选D． 二、填空题 21．(24-25九上·内蒙古通辽科左中旗联盟校·期中)若函数是关于的二次函数．则常数的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，列出关于的方程和不等式，是解题的关键． 根据二次函数的定义即可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， 解得：． 故答案为： 22．(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔乌拉特前旗第三中学·期中)若二次函数的图象经过点（3,6），则 【答案】. 【详解】试题分析：根据点在抛物线上点的坐标满足方程的关系，由二次函数的图象经过点（3,6）得：． 23．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)已知一抛物线与x轴的交点是A（－2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8），求该抛物线的解析式. 【答案】y＝2x2＋2x－4 【分析】由抛物线与x轴的交点是A（-2，0），B（1，0），且经过点C（2，8），设解析式为一般式或交点式用待定系数法求得二次函数的解析式． 【详解】设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c. 由已知,抛物线过A(−2,0),B(1,0),C(2,8)三点， 得， ①+③得，8a+2c=8，即4a+c=4④， ①+②×2得6a+3c=0⑤， ④×3−⑤得，6a=12，即a=2，把a=2代入④得，c=−4， 把a=6,c=−4代入②得,b=2, 故 ∴所求抛物线的解析式为y=2x2+2x−4. 24．(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔扎兰屯·期中)已知抛物线的顶点为，与轴的交点为，则此抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】根据题意设出抛物线的顶点形式，将代入即可确定出解析式． 【详解】解：根据题意设， 将代入得：， 解得：， 则抛物线解析式为． 故答案为： 25．(24-25九上·内蒙古通辽科左中旗联盟校·期中)两位同学分别说出了一条二次函数的图象与性质，小明：抛物线开口向上：小智：抛物线对称轴是直线；请你写出一个符合，上述条件的二次函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查二次 函数的图象和性质，此题是开放题，解题的关键是熟知二次函数的性质．由开口向上，可知，对称轴是直线，可得， 【详解】解：设二次函数表达式为， 二次函数的图象开口向上， ， 对称轴为直线， ， 符合上述条件的二次函数表达式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 26．(24-25九·内蒙古通辽开鲁县蒙古族中学·期中)若二次函数图象经过原点，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次函数的性质．把代入求解，注意的取值范围． 【详解】解：把代入得， 整理得， 解得或， ， ． 故答案为：3． 27．(24-25九上·内蒙古乌兰察布初中联盟校·期中)已知抛物线与x轴的一个交点坐标为，则代数式的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，根据题意可求出的值，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 28．(2024·黑龙江省哈尔滨市·一模)抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要靠考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 29．(24-25九上·内蒙古通辽科左中旗联盟校·期中)若抛物线y＝（x﹣2）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为 ． 【答案】m＞﹣1 【分析】直接利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点的特点列出不等式解答即可． 【详解】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2+（m+1）， ∴顶点坐标为（2，m+1）， ∵顶点在第一象限， ∴m+1＞0， ∴m的取值范围为m＞﹣1． 故答案为：m＞﹣1． 30．(24-25九上·内蒙古呼和浩特土默特左旗台阁牧中心校·期中)将二次函数化成的形式，y= ． 【答案】 【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【详解】解： ． 故答案为：． 31．(24-25九上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)二次函数图象的对称轴是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴该二次函数图象的对称轴是． 故答案为：． 32．(24-25九上·内蒙古赤峰·期中)抛物线的对称轴是直线，则b的值为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称轴公式即可求解． 【详解】解：的对称轴是直线，， ， 解得． 故答案为：． 33．(24-25九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中)已知点，是函数图象上两点，则当时，函数值 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的性质，解答本题的关键是求解抛物线的对称轴．根据题意可以求得抛物线的对称轴，可得，从而可以求得相应的y的值． 【详解】解：∵点，是函数图象上两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴当时， ∴， 故答案为：． 34．(24-25九上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)若抛物线的顶点在轴上，则的值是 ． 【答案】2 【分析】根据抛物线的顶点在轴上，得到对称轴为0，解方程即得． 【详解】∵抛物线的顶点在轴上， ∴， ∴． 故答案为：2． 35．(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔杭锦后旗·期中)已知抛物线的顶点在轴上，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，化为顶点式可求得抛物线的顶点坐标，可得到关于的方程，可求得的值． 【详解】解：， 抛物线顶点坐标为， 抛物线的顶点在轴上， ，解得， 故答案为：． 36．(24-25九上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)抛物线与直线的交点坐标是 ． 【答案】， 【分析】本题考查的是函数图象交点的求法，联立两函数的解析式，所得方程组的解，即为两个函数图象的交点坐标． 【详解】解：：联立两函数的解析式， 可得：， 解得：，， 故抛物线与直线的交点坐标是，， 故答案为：，． 37．(24-25九上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点…都是和谐点，请写出二次函数的图象上所有和谐点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据和谐点的定义，设点在二次函数的图象上，把代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：由题意，设点在二次函数的图象上， 则：，解得：或， ∴的图象上所有和谐点的坐标是； 故答案为：． 38．(24-25九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中)将二次函数的图象，沿x轴翻折后得到的新抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线的翻折问题．先求出原抛物线的顶点坐标为，可得沿x轴翻折所得抛物线的顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∴沿x轴翻折所得抛物线的顶点坐标为， ∴沿x轴翻折所得抛物线表达式为． 故答案为：. 39．(24-25九上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)将抛物线绕其顶点旋转，则旋转后的抛物线解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的变换，将一般式转化为顶点式，根据题意，得到新的抛物线的顶点与原抛物线的顶点相同，开口方向相反，求出新的解析式即可． 【详解】解：， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∴将抛物线绕其顶点旋转后，新的抛物线的解析式为：； 故答案为： 40．(24-25九上·内蒙古呼和浩特玉泉区·)已知y是x的二次函数，下表给出了y与x的几对对应值： x … -2 -1 0 1 2 3 4 … y … 11 a 3 2 3 6 11 … 由此判断，表中 ． 【答案】6 【分析】根据表格得出二次函数的对称轴为直线，由此即可得． 【详解】解：由表格可知，和时的函数值相等， 则二次函数的对称轴为直线， 因此，和的函数值相等，即， 故答案为：6． 41．(24-25九上·内蒙古通辽科左中旗联盟校·期中)已知关于x的二次函数，当时，函数y的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴，并熟练运用数形结合思想是解题的关键．根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向上，当时，函数有最小值，距离对称轴越远，函数值越大，由此可解． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴在范围内，当时，函数有最小值，最小值为1， 当时，函数有最大值，最大值为：， ∴的取值范围为， 故答案为：． 42．(24-25九上·湖北襄阳第四中学义教部·月考)已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为 . 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．先把函数解析式化为顶点式可得当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若；若，即可求解． 【详解】解：， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 若，当时，y随x的增大而减小， 此时当时，函数值y最小，最小值为，不合题意， 若，当时，函数值y最小，最小值为1， ∴， 解得：或（舍去）； 综上所述，a的值为． 故答案为：． 43.已知点，，在二次函数的图像上，则，，的大小关系为 ． 【答案】/ 【分析】二次函数中二次项的系数是，所以开口向上，对称轴的右边随的增大而增大；，两点在对称轴的右边，点在对称轴的左边，利用二次函数的轴对称性，找到点关于对称轴的对称点，利用抛物线的开口向上，对称轴的右边随的增大而增大，得出答案． 【详解】解：二次函数的对称轴为：， ∴点关于的对称点是， ， ∴抛物线开口向上， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∵， ． 故答案为：． 44．(24-25九上·内蒙古赤峰松山区·期中)若函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值为 ． 【答案】或或1 【分析】本题考查函数图象与x轴的交点问题，利用分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当，即时，此时原函数为一次函数，符合题意；当，即时，该函数为二次函数，根据判别式求解即可． 【详解】解：当，即时，原函数为，为一次函数，与x轴只有一个交点，符合题意； 当，即时，该函数为二次函数， ∵与x轴只有一个交点， ∴， 解得：，； 综上可知a的值为或或1． 故答案为：或或1． 45．(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔扎兰屯·期中)若二次函数的图象与x轴有2个交点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与x轴的交点，由二次函数的图象与x轴有2个交点，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有2个交点， ∴， 解得：， 故答案为：． 46．(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学·期中)二次函数y=kx²-4x+2的图象与x轴有公共点，则k取值范围是 【答案】k≤2且k≠0． 【分析】先根据二次函数的定义得到k≠0，再根据抛物线与x轴的交点问题得到△=（-4）2-4k×2≥0，然后解不等式即可得到k的值． 【详解】解：∵二次函数y=kx2-4x+2的图象与x轴有公共点， ∴△=（-4）2-4k×2≥0，解得k≤2， 又∵y=kx2-4x+2是二次函数， ∴k≠0， ∴k的取值范围是k≤2且k≠0． 故答案为：k≤2且k≠0． 47.已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向上，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∵分别位于抛物线对称轴的两侧， 假设点在对称轴的右侧，则，解得， ∴ ∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧， ∴ 解得： 又∵， ∴ ∴ 解得： ∴， 故答案为：． 48.已知抛物线如图1所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出翻折部分的解析式，再根据图象确定直线与图象恰有四个公共点时m的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 令，则， 解得：，， ∴，， 根据翻折变换，关于x轴的对称点为， ∴曲线所对应的函数解析式为 ， 当直线与图象2恰有四个公共点时，如图所示： ①当直线与x轴重合，即时与图象②有两个公共点， 所以当时与图象②有四个公共点； ②当时，直线与 有三个公共点， 所以当时，直线与新图象有四个交点． 故答案为：． 49．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中)已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为 ． 【答案】0或6/6或0 【分析】分别将（2，5），（4，5）代入解析式求解． 【详解】解：∵y＝（x−h）2＋1， ∴抛物线开口向上，函数最小值为y＝1， ∵2≤x≤4时，函数最小值为y＝5， ∴h＜2或h＞4， 当h＜2时，x＝2时，y＝（2−h）2＋1＝5， 解得h＝0或h＝4（舍）， h＞4时，x＝4，y＝（4−h）2＋1＝5， 解得h＝6或h＝2（舍）， 故答案为：0或6． 50．(24-25九上·内蒙古呼和浩特土默特左旗台阁牧中心校·期中)在平面直角坐标系中，点A和点B的坐标分别为和，抛物线与线段只有一个公共点，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，先求出抛物线与y轴相交于，对称轴为，则抛物线还经过点，再求出顶点坐标为，①当时，该抛物线开口向上，函数有最小值，根据点在点的左侧，得出当且仅当顶点在线段上时，抛物线与线段只有一个公共点，则，即可求解；②当时，该抛物线开口向下，函数有最大值，把，代求出对应的m的值，根据与线段只有一个公共点，即可求出m的取值范围． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与y轴相交于， 该抛物线的对称轴为， ∴抛物线还经过点 当时，， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∵，， ∴直线为， ①当时，该抛物线开口向上，函数有最小值， ∵点在点的左侧， ∴当且仅当顶点在线段上时，抛物线与线段只有一个公共点， ∴， 解得：， ②当时，该抛物线开口向下，函数有最大值， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∵与线段只有一个公共点， ∴， 综上：或， 故答案为：或． 52．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中)已知二次函数（a为常数，． (1)若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点． (2)若，求证：当时，． (3)若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，则的取值范围是． 【详解】（1）证明：因为， 又因为， 所以，， 所以， 所以该函数的图象与轴有两个公共点． （2）证明：将代入函数解析式得， ， 所以抛物线的对称轴为直线，开口向下． 则当时， 随的增大而增大， 又因为当时，， 所以． （3）对称轴为直线，顶点坐标为， ①当时，抛物线开口向上，要保证二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴下方，时，，时，， 即，解得： ②当时，抛物线开口向下，要保证二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴上方，时，，时 即，解得， 综上，当或时，二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点）， 故答案为：或． 三、解答题 52．(24-25九上·内蒙古赤峰·期中)抛物线的顶点为P，与轴的交点为C． （1）抛物线的对称轴是________；顶点P的坐标是________；交点C的坐标是_________． （2）列表、描点画这条抛物线． … … … … 【详解】解：（1）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴该抛物线的对称轴对称轴为直线x=1，顶点P（1，4）， 令x=0，则y=3， ∴抛物线与y轴的交点C为（0，3）， 故答案为直线x=1，（1，4），（0，3）； （2）列表： x … -1 0 1 2 3 … y=-x2+2x+3 … 0 3 4 3 0 … 描点，画出函数的图像如图： ． 53．(24-25九上·内蒙古赤峰松山区·期中)聪聪在用描点法画二次函数的图象时，列表格如下图： x … 0 1 2 3 … y … m n 0 … (1)求出表格中m、n的值； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (3)根据图象，直接写出时，自变量x的取值范围． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； m、n的值为0，； （2）解：描点、连线得到二次函数的图象如下： （3）解：观察图象可知，当时，自变量x的取值范围为：或． 54．(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学·期中)已知：二次函数中的和满足如表： … 0 1 2 3 4 5 … … 3 0 0 8 … (1)可求得的值为 ； (2)求出这个二次函数的解析式； (3)画出函数图象，并根据图像写出当时的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， 抛物线的对称轴为直线， 当和所对应的函数值相等， ； 故答案为：； （2）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ， 即抛物线解析式为； （3）解：如图： 由图象可得，当时，． 55．(24-25九上·内蒙古呼和浩特土默特左旗台阁牧中心校·期中)二次函数中的满足下表． (1)观察表中信息，发现______，抛物线的对称轴为______； (2)求该抛物线的解析式； (3)在平面直角坐标系中画出这条抛物线； (4)请直接写出，当取什么值时，． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∵与的函数值相等， ∴对称轴为直线， 故答案为：，直线； （2）解：∵， ∴， 把和代入得， ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （3）∵， ∴当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， 画函数图象如下： （4）解：当时，， 解得，， 由图象可得，当时，． 56．(24-25九上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)已知二函数． (1)求函数图象的顶点坐标，并画出这个函数的图象； (2)①已知函数图象上两点和，若，则与的大小关系为______； ②当时，求的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴函数图象的顶点坐标； 列表如下： x … 0 1 2 3 4 … … 0 3 4 3 0 … 函数的图象如图： ． （2）解：①∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵函数图象上两点和，若， ∴， 故答案为：； ②∵，图象开口向下， 当时，取得最小值，， ∵顶点坐标为，则y的最大值为4， 当时，函数值y的取值范围． 57．(24-25九上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)某班数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数与y的几组对应值如表： … 0 1 2 3 … … 0 m 0 … 其中，___________ (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有___个交点，所以对应的方程有_____个实数根； ②函数图象与直线有______个交点． ③当关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是________． ④不等式的解集是_____． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 故答案为：． （2）解：根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示： （3）解：①观察函数图象可知：当时，， ∴该函数图象与x轴有2个交点， 即对应的方程有2个实数根． 故答案为：2；2． ②观察函数图象可知：函数的图象与只有3个交点，所以对应的方程有3个实数根； 故答案为：3，3． ③观察图象可知：关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是． 故答案为：． ④由图象可知，当或时，，则，即， ∴不等式的解集是或． 地 城 考点02 二次函数的平移 一、单选题 1.将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 2.将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，再关于顶点对称后得到的新抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移“左加右减、上加下减”，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律可得平移后所得到的抛物线的解析式，由此即可得． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位所得到的抛物线的解析式为，即为，其顶点坐标为， ∵抛物线关于顶点对称后得到的新抛物线的顶点是同一点， ∴关于顶点对称后得到的新抛物线的顶点坐标为， 故选：B． 3.将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（    ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】D 【详解】解：将抛物线y=-3x2平移，先向右平移1个单位得到抛物线y=-3（x-1）2， 再向下平移2个单位得到抛物线y=-3（x-1）2-2． 故选D． 4．(24-25九·内蒙古通辽开鲁县蒙古族中学·期中)要得到抛物线，需将抛物线（   ） A．先向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 B．先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度可得抛物线， 故选；B． 5．(24-25九上·内蒙古乌兰察布集宁区亿利东方学校四校期中联考·期中)将抛物线的顶点平移到，则平移的方式为（    ） A．向左平移7个单位长度 B．向右平移7个单位长度 C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键． 根据左加右减，上加下减求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴平移的方式为向右平移1个单位长度， 故选：D． 地 城 考点03 二次函数与一元二次方程以及不等式的关系 一、单选题 1．(24-25九上·内蒙古兴安盟科右前旗五中联盟学校·期中)如表是一组二次函数的自变量和函数值的关系，那么方程的一个近似根是（  ） 1 2 3 4 3 9 A．1.2 B．2.3 C．3.4 D．4.5 【答案】B 【分析】由表格可得抛物线与轴的一个交点在和之间，进而求解． 【详解】解：由表格时，，时，， ∴的一个解在2与3之间， ∴的一个近似解是． 故选：B． 2．(24-25九上·内蒙古乌兰察布化德县第三中学·期中)已知二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示,可知它的图象与x轴有两个交点,其中一个交点是那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是 . x … -1 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 【答案】 【分析】根据表格中的数据可以得到该函数的对称轴，然后根据二次函数的对称性得出与x轴的另一个交点坐标． 【详解】由表格可知， 二次函数的对称轴为， 二次函数与x轴的一个交点是， 它的图象与x轴的另一个交点坐标是， 故答案为：． 3．(24-25九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中)函数的图象如图所示，那么关于一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】由图可知ax2＋bx＋c－2＝0的根的情况即图中图象和x轴交点的横坐标，为两个不相等的正数． 【详解】∵函数的顶点的纵坐标为3， ∴直线y＝3与函数图象只有一个交点， ∴y＝ax2＋bx＋c−2，相当于函数y＝ax2＋bx＋c的图象向下平移2个单位， ∴方程ax2＋bx＋c−2＝0的根为两个不相等的实数根. 故选A. 4．(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔田家炳外国语学校·期中)已知二次函数，当取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值总相等，则关于的一元二次方程的两根之积为（    ） A． B． C．－1 D．0 【答案】B 【分析】根据题意可得二次函数图象的对称轴为y轴，从而求出a值，再利用根与系数的关系得出结果． 【详解】解：∵二次函数y=（a-2）x2-（a+2）x+1， 当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等， 可知二次函数图象的对称轴为直线x=0，即y轴， 则： 解得：a=-2， 则关于x的一元二次方程（a-2）x2-（a+2）x+1=0为-4x2+1=0， 则两根之积为 故选：B． 5．(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔扎兰屯·期中)如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据抛物线的对称性可求出抛物线与轴的另一个交点为，再根据抛物线的图象性质即可得出时， x的取值范围． 【详解】解：由图可知抛物线与轴的一个交点为，对称轴为， 抛物线与轴的另一个交点为， 抛物线的开口向下， 当时，， 故选：B． 6．(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔临河区五校联考·期中)如图，直线与抛物线交于，两点，那么当时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图象法求不等式的解集，结合函数图象找到一次函数图像在二次函数图象上方自变量的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，， 故选：A． 7．(24-25九上·内蒙古乌兰察布初中联盟校·期中)已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把看做是直线与抛物线交点的横坐标，把看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设直线与抛物线交于A、B两点，直线与抛物线交于C、D两点， ∵，关于x的方程的解为，关于x的方程的解为， ∴分别是A、B、C、D的横坐标， ∴， 故选B．    二、填空题 8．(24-25九上·内蒙古呼和浩特第三十中学·期中)二次函数的部分图像如图所示，由图像可知，方程的解为 ． 【答案】 【分析】：观察图像得：二次函数的图像与x轴的交点为，对称轴为直线，从而得到二次函数的图像与x轴的另一个交点为，即可求解． 【详解】解：观察图像得：二次函数的图像与x轴的交点为，对称轴为直线， ∴二次函数的图像与x轴的另一个交点为， ∴方程的解为． 故答案为： 9．(24-25九·内蒙古通辽开鲁县蒙古族中学·期中)已知抛物线与轴的交点坐标分别是，则关于的一元二次方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴的交点的横坐标即为二次函数对应的一元二次方程的解，据此可得答案． 【详解】解；∵抛物线与轴的交点坐标分别是， ∴关于的一元二次方程的根是， 故答案为：． 10．(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔临河区五校联考·期中)已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图像与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的根是 ． 【答案】或 【分析】将交点解出，之后解关于的一元二次方程即可． 【详解】解：将代入中得，， 解得， ， 或， 或． 故答案为：或． 11．(24-25九上·内蒙古呼和浩特实验中学·)二次函数经过点，两点，则关于的一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，由，则，又二次函数经过点，两点，从而有或，然后求解即可，正确理解二次函数与一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵二次函数经过点，两点， ∴或， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 12.如图，抛物线与直线交于、两点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，解决本题的关键是利用了数形结合的思想，首先根据与的图象关于轴对称，所以点、与点、关于轴对称，根据点、的坐标得到点、的坐标，再根据函数图像的位置关系得到不等式的解集． 【详解】 解：与的图象关于轴对称， 直线与抛物线的交点、与点、也关于轴对称， 如下图所示： ，， ，， 从函数图象上可得：不等式的解集是， 故答案为：． 13．(24-25九上·内蒙古鄂尔多斯东胜区·期中)如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图象求不等式的解，关键在于认准在上方与下方的函数图象所对应的函数解析式，数形结合是数学中的重要思想之一．根据图象，找出二次函数图象在一次函数图象下方的部分的x的取值范围即可． 【详解】解∶由图形可得，当时，二次函数图象在一次函数图象下方，，所以， 使成立的的取值范围是． 故答案为∶． 地 城 考点04 二次函数的图象特征与a、b、c以及判别式的符号之间的关系 一、单选题 1.函数与的图象可能是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据一次函数图象与系数的关系，二次函数图象和系数的关系进行判断； 【详解】解：当时，，二次函数开口向上，当时一次函数过一，二，四象限，当时一次函数过二，三，四象限； 当时，，二次函数开口向下，当时一次函数过一，二，三象限，当时一次函数过一，三，四象限． 所以B正确． 故选：B． 2．(24-25九上·山东德州三校联考·月考)在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象及性质，掌握系数对函数图象的影响是解题的关键． 根据函数图象分别确定系数的正负，同一字母在同一图象中取值不能相异，据此判定即可． 【详解】解：A． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，矛盾，不符合题意； B． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，一致，符合题意； C． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，矛盾，不符合题意； D． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，矛盾，不符合题意； 故选：B． 3．(24-25九上·内蒙古赤峰第三中学·期中)在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（          ）． A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图象与y轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出m的符号，即可确定出正确的选项． 【详解】A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误； C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误； D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确， 故选D． 4．(24-25九上·内蒙古通辽科左中旗联盟校·期中)在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是(    ) A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解： A．由二次函数图像可知，，由一次函数图像可知：，矛盾，故不符合； B．由二次函数图像可知，，由一次函数图像可知：，矛盾，故不符合； C．由二次函数图像可知，，由一次函数图像可知：，矛盾，故不符合； D．由二次函数图像可知，，由一次函数图像可知：，符合题意． 故选∶D． 5．(24-25九上·内蒙古赤峰·期中)在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由二次函数y=ax2+bx图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=ax+b的图象相比较看是否一致． 【详解】解：A、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，正确； B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误； C、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，错误； D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误． 故选：A． 6.在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝﹣bx+a的图象可能是（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题． 【详解】A、对于直线y＝−bx＋a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，对称轴x＝−＞0，在y轴的右侧，符合题意，图形正确． B、对于直线y＝−bx＋a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误． C、对于直线y＝−bx＋a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，对称轴＝−＜0，应位于y轴的左侧，故不合题意，图形错误， D、对于直线y＝−bx＋a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误． 故选：A． 7．(24-25九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中)若一次函数的图像如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出， ，再判断二次函数的图象特征，进而求解． 【详解】解：由一次函数的图象可得：，， 所以二次函数图象的对称轴是直线，与轴的交点在正半轴，符合题意的只有B， 故选：B． 8．(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学·期中)一次函数与二次函数在同一个平面坐标系中图象可能是（   ） A．  B．  C． D．   【答案】B 【分析】根据一次函数、二次函数图象与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：由解析式可得：一次函数与二次函数的图象与y轴的交点都为，即交点重合， 选项B，C，D满足，选项A不满足，排除A； B选项，由一次函数图象可得，此时二次函数的图象应开口向下，有可能； C选项，由一次函数图象可得，此时二次函数的图象应开口向上，不可能； D选项，由一次函数图象可得，此时二次函数的图象应开口向下，不可能； 故选B． 9．(24-25九上·内蒙古乌兰察布集宁区亿利东方学校四校期中联考·期中)若b＜0，则一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（ ） A．B．. C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数和二次函数的性质进行分析即可. 【详解】∵b＜0， ∴一次函数y=ax+b图象与y轴的负半轴相交， 故排除A、C选项， B、D选项中，一次函数图象经过第一三象限， ∴a＞0， 二次函数开口向上， 故D选项不符合题意， ∵a＞0，b＜0时， 对称轴x=-＞0，B选项符合题意． 故选B． 10．(24-25九上·内蒙古呼和浩特实验中学·)已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（ ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】由a＞b＞c，且a+b+c=0，确定a＞0，c＜0，与x轴交点一个是（1，0），采取排除法即可选出所选答案. 【详解】解：A、由图知a＞0，-=1，c＞0，即b＜0， ∵已知a＞b＞c，故本选项错误； B、由图知a＜0，而已知a＞b＞c，且a+b+c=0，必须a＞0，故本选项错误； C、图C中条件满足a＞b＞c，且a+b+c=0，故本选项正确； D、∵a+b+c=0，即当x=1时a+b+c=0，与图中与x轴的交点不符，故本选项错误． 故选C. 11．(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔杭锦后旗·期中)在同一平面直角坐标系中，直线和抛物线，如图所示，，是方程的两个根，且，则函数的坐标系中的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数，二次函数图象与系数的关系，一元二次方程根于系数的关系等知识点，通过图象交点的横坐标确定，的正负是解题的关键．根据方程的两个根和，即转化为与函数图象交点问题，通过图象交点可得，即可确定函数在坐标系中的大致图象． 【详解】解：，是方程的两个根， ，为与函数图象交点的横坐标， 由图象可得：， ∴，， 故函数在坐标系中的图象经过第二、三、四象限， 故选：B． 12．(24-25九上·内蒙古赤峰·期中)如图，抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．关于的方程的另一个根在和之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数间的关系，涉及了抛物线的开口方向，对称轴、与x轴的交点等问题．根据抛物线开口方向、与轴的交点和对称轴可以对A、B进行判断；利用抛物线的对称性求出抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的一个交点在和之间，可对C、D进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴的交点在x轴上方， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴，即 ，故B选项正确，不符合题意； ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间，即关于x的方程的另一个解在和之间，故选项D正确，不符合题意； ∴时，， ∴，故选项C错误，符合题意； 故选：C． 13．(24-25九·内蒙古通辽开鲁县蒙古族中学·期中)已知抛物线的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与其系数的关系，根据开口方向和抛物线与轴的交点在轴的负半轴上得到，，再由对称轴在轴左侧，得到，进而得到，据此可判断①；当时，函数值为，据此可判断②；当时，函数值为，则，据此可求出，根据对称轴在直线右侧，得到，则，据此可判断③④． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线与轴的交点在轴的负半轴上， ， 对称轴在轴左侧， ∴， ，同号，即， ，故①错误； 当时，函数值为， ，故②正确； 当时，函数值为， 即， 由可得： 将代入可得， ∴，故④错误； 对称轴在直线右侧， ∴， 解得：， ， ，故③正确； 故正确的有：②③， 故选：B． 14．(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔临河区五校联考·期中)二次函数y=ax2十bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：①；②；③c-4a=1；④；⑤（m为任意实数）．其中正确的有（　　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】由图象可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2，从而判断出a、b的符号，判断出与y轴的交点即可求出c的符号，从而判断①；由图象可知：当x=-1时，y＜0，代入解析式即可判断②；根据抛物线的顶点坐标即可判断③；根据抛物线与x轴交点个数即可判断④；根据抛物线的开口方向和顶点坐标，即可判断最值，从而判断⑤． 【详解】解：由图象可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2， ∴a＜0，b＞0 ∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间 ∴另一个交点在（0,0）和（1,0）之间 ∴抛物线与y轴交于负半轴 ∴c＜0 ∴abc＞0，故①错误； 由图象可知：当x=-1时，y＜0 ∴，故②错误； ∵抛物线的顶点坐标为（2,1） ∴ 由①，得b=-4a 将b=-4a代入②，得 整理，得c-4a=1，故③正确； ∵抛物线与x轴交于两点 ∴ ∴，故④正确； ∵抛物线的开口向下，顶点坐标为（2,1） ∴（m为任意实数），故⑤正确． 综上：正确的有3个 故选B． 15．(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔杭锦后旗·期中)从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③；④；⑤．你认为其中正确信息的有（    ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 【答案】A 【分析】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵函数图象与轴的交点在轴的负半轴可知， ∴， 故①正确； 函数图象开口向上， ， ∵函数的对称轴为直线， ∴， ∴故， 故②正确； 把代入函数解析式，由函数的图象可知，时，即， 故③正确； ∵， ∴， 故④错误； ∵， ∴， 故⑤正确； 其中正确信息的有①②③⑤． 故选：A． 16．(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔临河区第四中学·期中)二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④无实数根，其中正确的结论有 【答案】①②④ 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对②进行判断；时，，可对③进行判断；根据抛物线与直线无交点，可对④进行判断. 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故②正确； ③∵抛物线的对称轴为直线，根据抛物线与x轴的一个交点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点为. ∴时，，即， ∵， ∴，故③错误； ④∵抛物线开口向下，顶点为， ∴函数有最大值n， ∴抛物线与直线无交点. ∴一元二次方程无实数根. 故④正确， 故答案为：①②④． 17．(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学·期中)已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据图象得出a＜0，，c＞0，结合图象上的点和与x轴交点个数即可逐项判断． 【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下， ∴a＜0， ∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴c＞0， ∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1， ∴， ∴2a+b＝0，b＞0 ∴abc＜0，∴①和②错误； ∵二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴有两交点， ∴故③正确； ∵二次函数y＝ax2+bx+c图象可知，当x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0，故④正确； 故选：B． 18.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝5；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据二次函数图象及其性质，对结论进行判断即可． 【详解】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，且两个交点坐标为（-1，0）、（5，0），故方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝5，①正确， 由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2， ∴﹣＝2， ∴4a+b＝0，故③正确， 由图象知，抛物线开口方向向下， ∴a＜0， ∵4a+b＝0， ∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴c＞0， ∴abc＜0，故②正确， 由图象知，当x＝﹣2时，y＜0， ∴4a﹣2b+c＜0，故④错误， 即正确的结论有3个． 故选：B． 19．(24-25九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中)如图，二次函数的图象与轴交于点，两点，对称轴是直线，下列结论中，正确结论的序号为（    ） ①；②点的坐标是；③；④对于任意实数，都有． A．①② B．②③ C．②③④ D．②④ 【答案】C 【分析】通过抛物线开口方向，对称轴，抛物线与轴交点可判断①、②、③，通过时抛物线取得最大值判断，进而求解．本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是灵活运用二次函数图象和性质． 【详解】解：抛物线开口向下， ，①错误， 、关于对称轴对称， ∴， 则， 故②正确， 二次函数的对称轴为直线， ， ， 把代入， 得， ， 整理得：， 故③正确， 二次函数的对称轴为直线， 当时，抛物线取得最大值为， 当时，， ， 即， 故④正确． 所有正确结论的序号为②③④． 故选：C． 20．(24-25九上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)如图，抛物线的对称轴为直线，与 x 轴的一个交点坐标为，与y轴交点为，其部分图象如图所示．现给以下结论：①；②；③当 时，x的取值范围是；④；⑤ 方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数有（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由抛物线的开口方向，对称轴方程，与坐标轴的交点情况可判断①②③④，由图象可得直线与抛物线有两个交点，可判断⑤，从而可得答案． 【详解】解：由题意及图象得：，， 对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与 x 轴的一个交点坐标为， ∴当时，可得：，故②正确； ∵抛物线的对称性及对称轴可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， ∴当时，x的取值范围是，故③错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， 即，故④正确， ∵由图象可得直线与抛物线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故⑤正确； 所以正确的个数有4个； 故选：C． 21.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】①由开口可知：a＜0， ∴对称轴x=−＞0， ∴b＞0， 由抛物线与y轴的交点可知：c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②∵抛物线与x轴交于点A（-1，0）， 对称轴为x=2， ∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0）， ∴x=3时，y＞0， ∴9a+3b+c＞0，故②正确； ③由于＜2＜， 且（，y2）关于直线x=2的对称点的坐标为（，y2）， ∵＜， ∴y1＜y2，故③正确， ④∵−=2， ∴b=-4a， ∵x=-1，y=0， ∴a-b+c=0， ∴c=-5a， ∵2＜c＜3， ∴2＜-5a＜3， ∴-＜a＜-，故④正确 故选D． 22.如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ①； ②； ③，是抛物线上两点，则； ④若关于x的一元二次方程没有实数根，则； ⑤对于任意实数m，总有． 其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与轴轴的交点，综合判断即可． 【详解】解：抛物线开口向上，则，对称轴，则，，， 所以①正确； 抛物线对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为，于是有，联立，解得， ， 所以②正确； 抛物线的解析式为， ，是抛物线上两点， ， ，即， 所以③错误； 若关于x的一元二次方程没有实数根， ， ， ， ， ， 所以④正确； 抛物线与轴有两个不同交点，因此关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以④正确； 对于任意实数m，总有 故⑤正确． 综上所述，正确的结论有：①②④⑤． 故选：C． 23.如图，已知顶点为的抛物线过，则下列结论：①；②对于任意的，均有；③；④若，则；⑤；其中正确的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向，对称轴，与轴的交点，即可判断的符号，即可判断①，根据顶点坐标求得最值，即可判断②，把代入，得，故③正确，由关于直线对称的点为，进而得若，则或，故④错误；由抛物线的顶点为，，得，再由，得，故⑤正确． 【详解】解：抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； 抛物线的顶点坐标为，即时，函数有最小值， ， ∴对于任意的，均有，故②错误； 抛物线过， ∴，故③正确； ∵抛物线过，关于直线对称的点为， ∴若，则或，故④错误； 抛物线的顶点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，故⑤正确． ∴正确的个数为 故选：． 24．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中)如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中正确的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由图象可知，则可判断①符合题意；由抛物线的对称轴为直线，，可得，，得到点，点，当时，，即，可判断②符合题意；由抛物线的对称轴为直线，即，得到，进一步得到，可得，即可判断③符合题意；当时，函数有最大值，由，可得，则可判断④不符合题意，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：观察图象，可知， ∴，故①符合题意； ∵该抛物线的对称轴为直线，， ∴，， ∴点，点， ∴当时，，即，故②符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，即， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③符合题意； 当时，函数有最大值， 由，可得， 若m为任意实数，则，故④不符合题意， 综上，符合题意的有3个， 故选：C． 25．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)二次函数的图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④其中m是不等于1的实数．则其中结论正确的个数是多少个（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由抛物线开口向下得到，由抛物线的对称轴为直线得到，由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到，则，①错误；观察图象得到当时，，即，代入可得，②正确；当时，，即，③正确；求出时，y有最大值，可得，变形后得到，④正确． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴，故①错误； 当时，，即， ∵， ∴，故②正确； 当时，，即，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y有最大值， ∴， ∴，故④正确． 综上，结论正确的个数是3个， 故选：C． 26．(24-25九上·内蒙古锡林郭勒盟三县联考·期中)如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②4ac＜b2；③方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；④3a+c＞0；⑤当y≥0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3．其中结论正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3 D．4个 【答案】D 【分析】利由抛物线的位置可对①进行判断；用抛物线与x轴的交点个数可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对③进行判断；由对称轴方程得到b=-2a，然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对④进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对⑤进行判断． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴-＞0， ∴b＞0， ∵抛物线交y轴的正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴b2-4ac＞0， ∴b2＞4ac，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， 而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0）， ∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3，故③正确； ∵x=-=1，即b=-2a， 而x=-1时，y=0，即a-b+c=0， ∴a+2a+c=0，即3a+c=0，故④错误； ∵抛物线与x轴的两点坐标为（-1，0），（3，0）， ∴当-1≤x≤3时，y≥0，故⑤正确； 故选D． 二、多选题 27．(24-25九上·内蒙古呼和浩特玉泉区·)如图，抛物线（为常数）关于直线对称，下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D．（为任意实数） 【答案】AB 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征．由抛物线开口方向以及与轴的交点可知，，根据对称轴为直线得出，即可判断A；由对称轴为直线得出，即可判断B；由时，即可判断C；根据函数的最值即可判断D． 【详解】解：∵抛物线（，，为常数）关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故A正确，符合题意； ∵， ∴，故B正确，符合题意； ∵时，， ∴，故C错误，不符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴，即，故D错误，不符合题意； 故选：AB． 三、填空题 28．(24-25九上·内蒙古通辽科左中旗联盟校·期中)若关于x的一元二次方程各项系数满足，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当时，有两个相等的实数根；③当a，c同号时，方程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系．①②通过根的判别式进行判断，③④结合根与系数的关系得结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程各项系数满足， ∴， ∴ ． 当时，，方程有两个相等的实数根，故①错②正确； 当a，c同号时，方程两根的积为，两根的和为． ∴方程有两个正的实数根，故③正确； 当a，b同号时，两根的和为，两根的积为 ∴方程有两个异号实数根，故④正确． ∴正确的结论是②③④， 故答案为：②③④． 29．(24-25九上·内蒙古赤峰松山区·期中)已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，给出下列结论：；；若关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根，则；若点和点在该图象上，则，其中正确的结论是 ．（填序号）． 【答案】 【分析】由抛物线开口向下可得，由抛物线交轴于正半轴可得，由抛物线对称轴及可得，据此即可判断结论；由于与是关于对称轴的对称点，因此由抛物线图象的对称性可知，与时的函数值相等，由于当时，因而当时，，据此即可判断结论；由二次函数的性质可知，抛物线的顶点坐标为，即，于是可得，即，由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根可得，即，于是可得，由于，据此即可判断结论；二次函数的图象开口向下，其对称轴为，而，即在点和点中，点更靠近对称轴，据此即可判断结论；综上，即可得出所有正确的结论． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线交轴于正半轴， ， ， ， ， 故结论错误； 与是关于对称轴的对称点， 由抛物线图象的对称性可知，与时的函数值相等， 当时，， 当时，， ， 故结论正确； 由二次函数的性质可知，抛物线的顶点坐标为， 又其顶点坐标为， ， ， 关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根， 即：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，即：， ， ， ， 故结论正确； 点和点在该图象上， 又二次函数的图象开口向下，其对称轴为， 而， 即：在点和点中，点更靠近对称轴， ， 故结论正确； 综上所述，正确的结论有：， 故答案为：． 30．(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔田家炳外国语学校·期中)如图，二次函数的图象与x轴的正半轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，且．有下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中正确结论为 ． 【答案】③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的负半轴上可得，再根据二次函数的对称轴可得，则，由此即可判断①错误；根据当时，即可判断②错误；根据即可判断③正确；先求出，代入抛物线的解析式可得，再将代入方程等号的左边进行检验即可判断④正确． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的负半轴上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，则结论①错误； 由得：， 由图象可知，当时，， ∴， ∴，则结论②错误； 当时，， ∴， 由函数图象可知，， ∵， ∴，即， ∴，则结论③正确； ∵，， ∴， 将点代入函数得：， ∵， ∴，即， 将代入得： ， ∴关于的方程有一个根为，则结论④正确； 综上，正确的结论为③④， 故答案为：③④． 31．(24-25九上·内蒙古乌兰察布初中联盟校·期中)二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，给出下列结论： ①； ②方程必有一个根大于2且小于3； ③若，是抛物线上的两点，那么； ④； ⑤对于任意实数m，都有， 其中正确结论的序号是 ． 【答案】②④⑤ 【分析】本题以二次函数为背景考查了二次函数图象与系数的关系，运用待定系数法，二次函数图象与轴的交点，利用图象求出的范围即可判断①，根据图象和二次函数的对称轴可以判断②，根据开口方向和离对称轴的距离判断③，利用时的函数值和的取值范围判断④根据抛物线的最值可以判断⑤是解决问题关键． 【详解】①根据图象可知：， ∵对称轴是直线， 即， ， ，故①错误； ②方程，即为二次函数与轴的交点， 根据图象已知一个交点，关于对称， ∴另一个交点，故②正确； ③∵对称轴是直线， ∴点离对称轴更近， ∴，故③错误. ④， ∴， ， 根据图象，令 ， ∴ ， ，故④正确； ⑤∵对称轴是直线， ∴当时，y值最小，即为， ∴当时，， 即， ∴，故⑤正确； 综上②④⑤正确， 故答案为：②④⑤． 32．(24-25九上·内蒙古赤峰第三中学·期中)在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②；③；④（m为实数）；⑤．其中错误结论有 ． 【答案】④ 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①由抛物线可知：，， 对称轴： ∴， ∴，故①不符合题意； ②由对称轴可知： ∴， ∵时，， ∴， ∴，故②不符合题意； ③关于的对称点为， ∴时，，故③不符合题意； ④当时，的最小值为， ∴时， 即，故④符合题意； ⑤抛物线与轴有两个交点， ∴， 即， ∴，故⑤不符合题意； 故答案为：④． 地 城 考点05 实际问题与二次函数 1、 单选题 1．(24-25九上·内蒙古赤峰松山区·期中)最新报道显示，2023年我国新能源汽车累计销量为万辆，销量逐年增加，若2025年的累计销量为y万辆，平均每年增长率为x，则y关于x的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式，学会由实际问题抽象出函数的关系式是解题的关键．利用2025年的累计销量2023年的累计销量平均每年增长率，即可得到函数解析式． 【详解】解：根据题意，y关于x的函数解析式为． 故选：C． 2．(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔临河区第四中学·期中)从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．先将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数性质即可求解． 【详解】解：， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为45， ∴小球运动中的最大高度是． 故选：C． 3．(24-25九上·内蒙古兴安盟科右前旗五中联盟学校·期中)如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，下列说法正确的是（    ） A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B．小球从飞出到落地要用4s C．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 D．小球的飞行高度可以达到25m 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数表达式，可以求出的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间；求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程的意义为时所用的时间，据此解答． 【详解】解：的两根，，即时所用的时间， 小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s，故A错误； ， 对称轴为直线，最大值为20，故D错误； 时，，此时小球继续下降，故C错误； 当时，，， ， 小球从飞出到落地要用4s，故B正确． 故选：B． 4．(24-25九上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)有一拱桥洞呈抛物线状，这个桥洞的最大高度是16 m，跨度为40 m，现把它的示意图(如图)放在平面直角坐标系中，则抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意，得到抛物线的顶点坐标为，经过原点，设出顶点式，将原点坐标代入求解即可． 【详解】解：由题意，抛物线的顶点坐标为，经过原点， ∴设． ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴此抛物线的表达式为，即． 故选B． 5如图是抛物线型的拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，如果水面宽为米，则水面下降（    ）米． A．1米 B．2米 C．3米 D．10米 【答案】A 【分析】把拱桥作为平面直角坐标系的原点，以水平线为横轴，以过原点且垂直垂直于横轴的直线为纵轴建立平面直角坐标系，抛物线的顶点是坐标原点，对称轴为轴，根据二次函数的性质求出水面下降的距离即可． 【详解】如图， 设抛物线解析式为 由已知可得过 ， ， 当 时， ， 水面下降1米， 故选：A 6．(24-25九上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解． 【详解】解：①当时， ∵正方形的边长为， ∴； ②当时， ， 所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合， 故选A． 7．(24-25九上·内蒙古赤峰第三中学·期中)正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x． 则y关于x的函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：依题意，得y=S正方形ABCD-S△AEH-S△BEF-S△CFG-S△DGH=1-4×（1-x）x=2x2-2x+1， 即y=2x2-2x+1（0≤x≤1），抛物线开口向上，对称轴为x=． 故答案选C ． 8．(24-25九上·内蒙古赤峰松山区·期中)如图，点E，F，G，H是边长为2的正方形各边上的点，且设A，E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的综合，正方形的性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．先求得，，再由，可得，得出与、是二次函数关系，从而得出函数的图象． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ， ， ， ， ， ， ， 可知开口向上，顶点坐标为， 与的函数图象是D． 故选：D． 9.如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点P从A点出发，沿A→B→C方向匀速运动，过点P作PQ∥BD交菱形的另一边于点Q，设点P的运动路程为x，△PCQ的面积为y，则y与x之间的函数图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分点在和上两种情况讨论，分别写出对应的函数解析式即可． 【详解】解：如图，连接，与交与点，与交与点， 当在上时， 四边形是菱形， ， 又， ， 是三角形在边上的高， 由菱形的性质得， ， 三角形是等边三角形， ，， ， ， 设， ， ， 该部分是开口向下的二次函数， 当在上时， 设菱形的边长为， 则，则， ， 该部分是开口向上的二次函数， 只有选项符合题意， 故选：C． 二、填空题 10．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)矩形的周长为，设其一边长为，面积为，则与的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ． 【答案】 ． 【分析】本题考查了二次函数、矩形的周长和面积，因为矩形的周长为，一边长为，则另一边可以表示为，根据矩形的面积公式可以得到与的函数关系式；根据矩形的周长公式可以得到自变量的取值范围． 【详解】解：矩形的周长为，设其一边长为， 则矩形的另一边长为， ， 整理得：； 矩形的周长为， 矩形的长与宽的和为， ． 故答案为：； ． 11．(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔临河区五校联考·期中)某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元个）有如下关系：（，且为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为元．则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】此题考查求二次函数解析式，根据销售总利润等于单件利润乘销售量计算解答． 【详解】解：， 故答案为：． 12．(24-25九上·内蒙古呼和浩特第三十中学·期中)汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间t（单位：）的函数解析式是，则汽车刹车后到停下来前进了 ． 【答案】 【来源】内蒙古呼和浩特市第三十中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．利用配方法求二次函数的最值即可． 【详解】解：根据二次函数解析式 当时，取得最大值， 即汽车刹车后到停下来前进的距离是 故答案为：． 13．(24-25九·内蒙古通辽开鲁县蒙古族中学·期中)某涵洞是抛物线形，截面如图所示，现测得水面宽，涵洞顶点O到水面的距离为，在图中所示的平面直角坐标系中，涵洞所在抛物线的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】根据此抛物线经过原点，可设函数关系式为，根据，涵洞顶点O到水面的距离为，那么A点坐标应该是，利用待定系数法即可求解． 【详解】解：设此抛物线所对应的函数表达式为：， ∵，涵洞顶点到水面的距离为， ∴点坐标应该是， 把点代入得：， 解得：， 故涵洞所在抛物线的函数表达式． 故答案为：． 14.小徐在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小徐此次的实心球成绩为 米．    【答案】10 【来源】内蒙古呼和浩特市玉泉区2024-2025学年九年级上学期11月质量检测数学试题 【分析】根据实心球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可． 【详解】解：在函数中，当时，， 解得（舍去），， 即小强此次成绩为10米， 故答案为：10． 15．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古农业大学附属中学·期中)根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点． 【答案】2 【分析】将函数关系式转化为顶点式即可求解． 【详解】根据题意，有， 当时，有最大值． 故答案为：2． 16．(24-25九上·内蒙古赤峰松山区·期中)在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 m时，竖直高度达到最大值．    【答案】8 【分析】把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴当x=8时， y有最大值，最大值为4， ∴当她与跳台边缘的水平距离为8m时，竖直高度达到最大值． 故答案为：8． 17．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古农业大学附属中学·期中)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米． 【答案】/ 【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2）， 通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：； 当水面下降，水面宽为8米时，有 把代入解析式，得； ∴水面下降米； 故答案为：； 18．(24-25九上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗·期中)如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为，两侧距地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞内部顶端离地面的距离为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的简单应用.建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标. 【详解】解：如图，以地面为x轴，门洞中点为O点，画出y轴，建立直角坐标系，    由题意可知各点坐标为，，， 设抛物线解析式为把B、D两点代入解析式， ∴， 解得：， ∴解析式为， 则顶点， 所以这个门洞内部顶端离地面的距离为， 故答案为：. 19．(24-25九上·内蒙古锡林郭勒盟三县联考·期中)“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图像，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P，m，m，水嘴高m，则水柱落地点C到水嘴所在墙的距离是 m． 【答案】5 【分析】以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，易得点D和点P的坐标，设抛物线的解析式为：，代入点D的坐标求得函数的解析式，再求出点C的坐标即可得到的长度． 【详解】解：以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，， ∵点P是最高点， ∴设抛物线的解析式为：， 将点D坐标代入，可得：， 解得：， ∴， 令，解得：，， ∴点， ∴， 故答案为：5． 20．(24-25九上·内蒙古兴安盟科右前旗五中联盟学校·期中)如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面．当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为 ． 【答案】10 【分析】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，可以得到A、B、M的坐标，设出函数关系式，待定系数求解函数式．根据NC的长度，得出函数的y坐标，代入解析式，即可得出E、F的坐标，进而得出答案． 【详解】 如图，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意得，M点坐标为(0，6)，A点坐标为(−10，0)，B点坐标为(10，0)， 设中间大抛物线的函数式为y=−ax2+bx+c， 代入三点的坐标得到， 解得． ∴函数式为y=−x2+6， ∵NC=4.5米， ∴令y=4.5米， 代入解析式得x1=5，x2=−5， ∴可得EF=5−(−5)=10米． 故答案为10． 21．(24-25九上·内蒙古赤峰·期中)如图，在△ABC中，∠ACB 90，AC3，CB5，点D是CB边上的一个动点，将线段AD绕着点D 顺时针旋转90，得到线段DE，连结BE，则线段BE的最小值等于 ． 【答案】 【分析】根据题意过E作EF⊥BC于F，根据余角的性质得到∠DEF=∠ADC，根据全等三角形的性质得到DF=AC=3，EF=CD，设CD=x，根据勾股定理得到BE2=x2+（2-x）2=2（x-1）2+2，即可得到结论． 【详解】解：过E作EF⊥BC于F， ∵∠C=∠ADE=90°， ∴∠EFD=∠C=90°，∠FED+∠EDF=90°，∠EDF+∠ADC=90°， ∴∠DEF=∠ADC， 在△EDF和△DAC中，， ∴△EDF≌△DAC（AAS）， ∴DF=AC=3，EF=CD， 设CD=x，则BE2=x2+（2-x）2=2（x-1）2+2， ∴BE2的最小值是2， ∴BE的最小值是. 故答案为：． 22．(24-25九上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=4,D为边AB上一动点(B点除外)，以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为 . 【答案】8 【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EM⊥AB于M，过点C作CN⊥AB于N，根据等腰三角形的性质以及三角形的面积可求出CN=4，继而根据勾股定理求出AN=3，从而求得BN的长，然后证明△EDM≌△DCN，根据全等三角形的性质可得EM=DN，设BD=x，则DN=8-x，继而根据三角形的面积公式可得S△BDE=，根据二次函数的性质即可求得答案. 【详解】如图，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EM⊥AB于M，过点C作CN⊥AB于N， ∵AB=AC=5，BC=4，AH⊥BC， ∴BH=BC=2， ∴AH==， ∵S△ABC=， 即， ∴CN=4， 在Rt△CAN中，∠ANC=90°，∴AN==3， ∴BN=BA+AN=8， ∵四边形CDEF是正方形， ∴∠EDM+∠CDN=∠EDC=90°，ED=CD， ∵∠CDN+∠NCD=90°， ∴∠EDM=∠DCN， 又∵∠EMD=∠DNC=90°， ∴△EDM≌△DCN， ∴EM=DN， 设BD=x，则DN=8-x， ∴S△BDE===， ∵， ∴S△BDE的最大值为8， 故答案为8. 三、解答题 23．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古农业大学附属中学·期中)某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每星期要少卖出件；每降价元，每星期可多卖出件，已知商品的进价为每件元，如何定价才能使利润最大． 【详解】设涨价元，利润为， 则 因此当时，有最大值． 元 每件定价为元时利润最大． 设每件降价元，总利润为， 则 因此当时，有最大值． 每件定价为元时利润最大． 综上所知每件定价为元时利润最大． 24．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)特产店销售一种水果，其进价每千克40元，按60元出售，平均每天可售100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天可增加20千克销量． （1）若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，每千克水果应降多少元？ （2）若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利最大，每千克水果应降多少元？ 【详解】解：（1）设每千克核桃应降价元． 根据题意，得． 化简，得， 解得．   答：每千克核桃应降价4元或6元． （2）每天总利润与降价元的函数关系式为： ， ，    ， ， 当时，最大， 答：若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利最大，每千克水果应降价5元． 25．(24-25九上·内蒙古呼和浩特玉泉区·)成都第31届世界大学生夏季运动会（以下简称“成都大运会”）已在今年7月28日到8月8日在成都举行．某商家购进一批成都大运会吉祥物“蓉宝”小挂件，进价为20元/件，调查发现，日销售量（单位：件）与售价（单位：元/件，且）之间满足一次函数关系，其部分数据如下表： （元/件） … 30 35 40 … （件） … 60 50 40 … (1)求与的函数关系式； (2)试问当售价为多少时，使得日销售利润为600元． 【详解】（1）解：日销售量（单位：件）与售价（单位：元/件，且）之间满足一次函数关系， 设与的函数关系式为， 代入数值可得， 解之得， 与的函数关系式为； （2）解：设当售价为元时，日销售利润为600元， 由题意可得，， 化简得， 解之得，， 售价为30元/件或50件/元时，使得日销售利润为600元． 26．(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔田家炳外国语学校·期中)某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，每日可售出50千克，销售价每涨价1元，日销售量就减少1千克． (1)请你直接写出日销售利润y(元)与售价x(元/千克)之间的函数关系式． (2)当售价定为多少元时，这种水产品的日销售利润最大？最大利润是多少元 ． 【详解】（1）解：由题意得：， 即：； （2）， 又由可知抛物线的开口向下， ∴当时，最大值为900 ， 故当售价定为每千克70元时，这种水产品的日销售利润最大，最大利润是900元． 27．(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔扎兰屯·期中)某商场经营某种玩具，购进时单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件；销售单价每涨价1元，就会少售出10件玩具． (1)该玩具销售单价为多少元时，商场能获得12000元的销售利润？ (2)该玩具销售单价为多少元时，商场能获得的销售利润最大？并求最大利润是多少？ 【详解】（1）设该玩具销售单价定为x元时，商场能获得12000元的销售利润， 由题意得：， 即， 解得：， 答：销售单价定为60或70元时，商场能获得12000元的销售利润； （2）设销售单价为x元时，获得的利润时w元， 由题意得：， ∵，故w有最大值，当时，w的最大值为：12250， 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是12250元． 28．(24-25九上·内蒙古呼和浩特第三十中学·期中)红灯笼，象征着阖家家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同， 已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元． (1)求甲、乙两种灯笼每对的进价； (2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价元，小明一天通过乙灯笼获得利润元． ①填空：与之间的函数关系式是___________； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大?最大利润是多少元? 【详解】（1）解：设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为元/对，由题意得： ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对； （2）解：①， 答：y与x之间的函数解析式为：； ②∵， ∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：， 物价部门规定其销售单价不高于每对65元， ∴， ∴， ∵时，y随x的增大而增大， ∴当时，． ． 答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元． 29．(24-25九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中)某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果． 该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元，某农户日销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为元． (1)分别求出与，与之间的函数解析式； (2)该农户决定从每天的销售利润中拿出100元设立“救助基金”，以帮助其他邻居共同致富，若捐款后该农户的剩余利润是900 元，求此时水果的售价； (3)若该水果的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为：， 把，代入得， 解得， 与的函数关系式为： 即 （2）解：由题意得，， 整理得， 解得， 答：此时水果的售价为30元/千克； （3）解：， 解得， ， ，对称轴为直线， ∴该图象开口向下， 在时，随的增大而增大， 时，取最大值，此时（元）， 答：售价为35元时，每天获利最大为1350元． 30．(24-25九上·内蒙古赤峰·期中)某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中， （1）求y关于x的函数解析式； （2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【详解】解：（1）设y关于x的函数解析式为，则由图象可得和，代入得： ，解得：， ∴y关于x的函数解析式为； （2）设该电商每天所获利润为w元，由（1）及题意得： ， ∴-2＜0，开口向下，对称轴为， ∵， ∴当时，w有最大值，即为； 答：该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元． 31．(24-25九上·内蒙古呼和浩特实验中学·)中国元素遍布巴黎奥运会的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱，自奥运会开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x（，且x为整数)天与该天销售量y（单位，件）之间满足的函数关系如下表所示，为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（单位：元）与第x（，且x为整数）天之间成一次函数关系且满足．已知该纪念品的成本价为20元/件． 第x天 1 2 3 4 5 6 7 ··· 销售量y/件 220 240 260 280 300 320 340 ··· (1)求y关于x的函数解析式； (2)求这20天中，第几天的销售利润为18000元； (3)这20天中，最大利润能否超过18000元？如果能，求出最大利润；如果不能，说明理由． 【详解】（1）解：由表格信息可知y是x的一次函数，设y关于x的函数表达式为， 把和代入可得：， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：设总利润为w元， 则， 当时，则， 解得：， ∴第5天的销售利润为18000元， 答：第5天的销售利润为18000元； （3）解：不能，理由如下： 由（2）可得， ∵，， ∴当时，w最大，最大值， ∵， ∴最大利润不能超过18000元． 32．(24-25九上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价/元 … 12 13 14 … 每天销售数量/件 … 36 34 32 … (1)求出y与x之间的函数解析式，写出自变量取值范围． (2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ (3)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将、代入得，， 解得，， ∴y与x的函数关系式为 ． （2）解：依题意得，， 解得，，（舍去）， ∴销售单价应为元． （3）解：依题意得，， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，， ∴当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 33．(24-25九上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗·期中)成都市将在2022年举办第31届世界大学生夏季运动会，成都大运会吉祥物是一只名叫“蓉宝”的大熊猫．某工厂生产“蓉宝”大熊猫，以30元的单价对外批发进行销售 (1)商场购进一批“蓉宝”的大熊猫，据市场分析，若每个“蓉宝”售价为60元，则每天可售出40个．商场决定尽快减少库存，商店经过调研发现，如果每个“蓉宝”降价1元，那么平均每天可多售出8个，若商店想平均每天盈利2000元，销售单价应定为多少元？ (2)商城销售总利润为w，当销售单价应定为多少元，销售总利润最大？ 【详解】（1）解：设每个“蓉宝”降价x元， 由题意得，， 整理得：， 解得或， ∵商场决定尽快减少库存， ∴， ∴， 答：销售单价应定为40元； （2）解：设每个“蓉宝”降价x元， 由题意得 ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为2450， ∴， ∴当销售单价应定为元，销售总利润最大． 34．(24-25九上·内蒙古赤峰松山区·期中)随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022年第（为整数）个月每台的销售价格为（单位：元），与的函数关系如图所示（图中为一折线）．    (1)当时，求每台的销售价格与之间的函数关系式； (2)设该产品2022年第个月的销售数量为（单位：万台），m与的关系可以用来描述，求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入每台的销售价格销售数量） 【详解】（1）解：当时，设每台的销售价格与之间的函数关系式为． ∵图象过两点， ，解得 ∴当时，每台的销售价格与之间的函数关系式为． （2）设销售收入为万元， ①当时，， ，当时，（万元）．             ②当时，， ， ∴随的增大而增大， ∴当时，（万元）．                 ，∴第5个月的销售收入最多，最多为3375万元． 35．(24-25九·内蒙古通辽开鲁县蒙古族中学·期中)某产品每件成本28元，在试销阶段产品的日销售量y（件）与每件产品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线所示．为维持市场物价平衡，最高售价不得高出83元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)要使每日的销售利润w最大，每件产品的日销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 【详解】（1）解：当时，设此段的函数解析式为：， 则，解得，， ∴当时，函数的解析式为：； 当时，设此段函数的解析式为：， 则解得， ，， ∴当时，函数的解析式为： ； 当时，； 由上可得，y与x之间的函数关系式是： ； （2）当时， ， ∴当时取得最大值，最大值为元； 当时， = = ∴当时，取得最大值，最大值为元； 当时， ∴当时，取得最大值，最大值为元； 由上可得，当时，每日点的销售利润最大，最大为元， 即要使每日的销售利润w最大，每件产品的日销售价应定为70元，此时每日销售利润是882元． 36．(24-25九上·内蒙古鄂尔多斯东胜区·期中)阅读以下信息，探索完成任务． 凤凰快讯1 “乐学雷锋好榜样，爱心义卖暖人心”凤凰中学举行义卖活动，同学们用自己的手工制作表达爱心，将义卖所获的所有利润全部捐给慈善机构，该手工作品的生产成本为30元/个． 凤凰快讯2 义卖一段时间后发现，当义卖价格为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上义卖价格每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 若该学校要捐出善款8000元，且尽可能让更多的人参与献爱心活动，请问该手工作品应该定价为多少元？ 任务2 请问该手工作品应该定价为多少元时，可使捐出的善款最多？ 【详解】解：（1）设每个定价为元，由题意得： ， 整理得：， 解得：，， 尽可能让更多的人参与献爱心活动， ， 答：该手工作品应该定价为元； （2）设每件定价为元时，可使捐出的善款为元， 由题意得：， ， 当时，有最大值， 答：该手工作品应该定价为60元时，可使捐出的善款最多． 37．(24-25九上·内蒙古呼和浩特土默特左旗台阁牧中心校·期中)某小区在一块一边靠墙(墙长)的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围住．设绿化带的边长为，绿化带的面积为． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)当为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大面积是多少？ (3)若要围成面积是的矩形绿化带，则的长是多少？ 【详解】（1）解：由题意得，， ∵墙长， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴当时，绿化带的面积最大，最大面积是； （3）解：当时，， 解得，， ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴的长是． 38．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中)如图，小亮父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． （1）写出S与x之间的关系式，并指出x的取值范围； （2）当分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？ 【详解】解：（1）∵AB=CD=xm， ∴BC=（80-2x）m， ∴S=x（80-2x）=-2x2+80x， ∴， ∴， ∴， ∴15≤x＜40， ∴S=-2x2+80x，（15≤x＜40）； （2）∵S=-2（x2-40x+400-400）=-2（x-20）2+800， ∵15≤x＜40， ∴当x=20时，S有最大值为800， ∴即当AB=20m，BC=40m时，面积S有最大值为800m2． 39．(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔乌拉特前旗第三中学·期中)有一长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为），围成中间隔着一道篱笆的长方形花圃，花圃的宽为，面积为．    (1)求S关于x的函数解析式； (2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少m？ (3)能围成面积比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 【详解】（1）解：由题可知，花圃的宽为，则为，面积， ∵，墙的最大可用长度a为， ∴， 解得：， ∴， ∴． （2）解：将代入得：， 化简得：， 解得， ∵， 不合题意，舍去， 答：花圃的宽为； （3）解： 对称轴为，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， 当时，S有最大值， 此时， 故能围成面积比45平方米更大的花圃 围法： (米)，即花圃的长为，宽为，这时有最大面积． 40．(24-25九上·内蒙古鄂尔多斯东胜区·期中)如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠墙，墙长为9米，墙的长为6米，中间用平行于的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米． (1)设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃面积为，求y关于x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，所围矩形苗圃的面积为？ 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ， ， ∵墙长为9米，墙的长为6米， ∴ ， ∴ ； （2）解：由题意得，， 解得：（舍去），． 答：当为5时，所围矩形花圃的面积为． 41．(24-25九上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗·期中)如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为． (1)请求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)怎样围才能使矩形场地的面积为？ (3)当x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 【详解】（1）由可知边所用篱笆为， ∴， ∴， 墙的长度不超过， ， ； （2）在中， 令，则， 解得，（不合题意，舍去）， ， 当为，为时，矩形场地的面积为； （3），且， 当时，y取最大值，即矩形场地的面积最大为． 42．(24-25九上·内蒙古呼和浩特土默特左旗台阁牧中心校·期中)如图，在中，，，，动点从点开始沿向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿以的速度移动（不与点重合）．如果分别从同时出发． (1)写出的面积与出发时间的函数解析式及的取值范围． (2)当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 【详解】（1）解：由题意得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的取值范围为， ∴； （2）解：∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为． 43．(24-25九上·内蒙古呼和浩特土默特左旗台阁牧中心校·期中)3．华兴公司某商品进价为每件40元，售价为n元，每周销售额为18000元．由于供不应求，华兴公司决定涨价销售．如图所示的一次函数表示涨价后每周销售量y（件）与涨价x（元）之间的函数关系． (1)直接写出______，______，______； (2)设涨价后每周销售利润为w元，求w与x的函数关系式；并求出涨价多少元时，每周销售利润最大，最大利润为多少元？ (3)若每周销售利润不低于6210元，请直接写出x的取值范围______． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：； （2）解：根据题意可得： ， ∵， ∴当时，w有最大值6250， 即涨价5元时，每周销售利润最大，最大利润为6250元； （3）解：根据题意可得：， 即， 整理得：， 令， 当时，解得：， 画出z的函数图象如图所示： 由图可知，当时，， 故答案为：． 44．(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学·期中)某商店购进一批成本为每件30元的商品，商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售．经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？ （3）若商店要使销售该商品每天获得的利润高于800元，请直接写出每天的销售量y（件）的取值范围． 【详解】（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b， 将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：， 解得： ， 故函数的表达式为：y＝﹣2x+160（30≤x≤50）； （2）由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250， ∵﹣2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50， ∴当x＝50时，w有最大值，此时，w＝1200， 故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元； （3）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＞800， 解得：40＜x＜70， ∵30≤x≤50 解得：40＜x≤50，当x＝40时，y＝﹣2×40+160＝80； 当x＝50时，y＝﹣2×50+160＝60， ∴60≤y＜80． 45．(24-25九上·辽宁铁岭·月考)某商店销售龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”纪念品，已知每件进价为7元，当销售单价定为9元时，每天可以销售200件，市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过进价的2倍，设该纪念品的销售单价为x．（元），1日销量为y（件），日销售利润为w（元）． (1)求y与x的函数关系式： (2)求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 【详解】（1）解：根据题意得，， 故y与x的函数关系式为； （2）解：根据题意得，， ∵，∴当时，w随x的增大而增大， 当时，w最大=1050， 答：当x为14时，日销售利润最大，最大利润1050元． 46．(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学·期中)要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，求水管长应为多少米． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系： 设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，． 水管的长度是． 47．(24-25九上·内蒙古赤峰松山区·期中)东东的爸爸是蔬菜种植能手，他计划在今年建设连栋大棚种植蔬菜，大棚顶端部分可近似看作抛物线，如图，建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为3米，支撑杆米，棚宽米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了加固棚顶，现需在上方至顶端部分加装2根关于y轴对称的立柱，若两根立柱间的距离为6米，则需要的立柱总长度是多少米？ 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点， 米，棚宽米，则米， 可设抛物线的解析式为，且抛物线过点， ， 解得：， ． （2）解：两根立柱间的距离为6米，且关于y轴对称， 立柱到y轴的距离为3米， 当时，， 单根立柱的长度为（米）， 需要的立柱总长度为（米）． 48．(24-25九上·内蒙古赤峰第三中学·期中)小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．小明某次试投时的数据如图所示． (1)根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式； (2)若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离的长度）不小于，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀． 【详解】（1）解：依题意，抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， 设该抛物线的表达式为， 由抛物线过点，有， 解得， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：令，得， 解得，（C在x正半轴，故舍去）， ∴ 点的坐标为（，）， ∴ ， 由，可得， ∴ 小明此次试投的成绩达到优秀． 49．(24-25九上·内蒙古乌兰察布初中联盟校·期中)如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式（不必写出自变量的取值范围）； (2)通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得 ∴抛物线的解析式为：． （2）解：当时，， ∴球不能射进球门． 50．(24-25九上·内蒙古兴安盟科右前旗五中联盟学校·期中)许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图1），可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．    (1)设抛物线的解析式为，求a和k的值； (2)分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求点F的坐标； (3)将抛物线向右平移m（）个单位，得到一条新抛物线，新抛物线与y轴的正半轴相交于点D，且，求m的值． 【详解】（1）解： 关于y轴对称，点A到x轴的距离是分米， ，即，     ， , 将，代入， 得， 解得，； （2）解：设直线的解析式为， 将代入，得， 解得， 直线的解析式为， 由（1）中结论可知，抛物线的解析式为， 联立，得， 解得，， ， 点F的横坐标为， 当时，， ； （3）解：抛物线向右平移m（）个单位， 新抛物线的解析式为， ，， ， 新抛物线与y轴的正半轴相交于点D， ， 将代入， 得， 解得， ， ． 地 城 考点06 二次函数与几何综合 一、单选题 1．(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔杭锦后旗·期中)如图，已知抛物线+P+q的对称轴为直线=－2，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为（－1，－1）．若在轴上存在一点P，使得PM+PN最小，则点P的坐标为 . 【答案】（0，-） 【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得N，根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得M点坐标，根据两点之间线段最短，可得MN′，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标． 【详解】解：如图， 作N点关于y轴的对称点N′， 连接MN′交y轴于P点， 将N点坐标代入抛物线，并联立对称轴，得 ， 解得 ， y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2， M（﹣2，﹣2）． N点关于y轴的对称点N′（1，﹣1）， 设MN′的解析式为y＝kx+b， 将M、N′代入函数解析式，得 ， 解得 ， MN′的解析式为y＝， 当x＝0时，y＝，即P（0，）． 故选：B． 二、填空题 2．(24-25九上·内蒙古呼和浩特实验中学·)如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为 ．    【答案】1 【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值． 【详解】∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，1）， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BD=AC，AC⊥x轴， ∴AC的长等于点A的纵坐标， 当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1， ∴对角线BD的最小值为1． 故答案为：1． 3．(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔乌拉特前旗第三中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值是 ． 【答案】－2． 【分析】设正方形的对角线OA长为2m，根据正方形的性质则可得出B、C坐标，代入二次函数y=ax2+c中，即可求出a和c，从而求积． 【详解】设正方形的对角线OA长为2m，则B（﹣m，m），C（m，m），A（0，2m）； 把A，C的坐标代入解析式可得：c=2m①，am2+c=m②， ①代入②得：am2+2m=m， 解得：a=-， 则ac=- 2m=-2． 4．(24-25九上·内蒙古呼和浩特实验中学·)如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是 . 【答案】－2＜k＜． 【详解】由图可知，∠AOB=45°，∴直线OA的解析式为y=x， 联立，消掉y得，， 由解得，. ∴当时，抛物线与OA有一个交点，此交点的横坐标为1. ∵点B的坐标为（2，0），∴OA=2，∴点A的坐标为（）. ∴交点在线段AO上. 当抛物线经过点B（2，0）时，，解得k=－2. ∴要使抛物线与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是－2＜k＜. 5．(24-25九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中)如图，抛物线交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段轴交抛物线于点，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图像与性质、抛物线与坐标轴交点、图像上对称点坐标、三角形面积等知识，根据，得到，由二次函数图像与性质求出、，计算出的面积即可得到答案，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，轴， ， ，则， ， 抛物线交轴正半轴于点，交轴于点， ，对称轴为直线， 轴， ，则， ， 故答案为：． 6．(24-25九上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗·期中)如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，P为抛物线对称轴上动点，则取最小值时，点P坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，函数图像上点的坐标特征，熟练掌握函数图形是解题的关键．点关于抛物线对称轴的对称点是点，连接交函数对称轴于点P，设的函数表达式为：，求出的函数表达式，即可求出答案． 【详解】解：令，即， 解得， 令，， 故A、B、C的坐标为：， 函数对称轴， 点关于抛物线对称轴的对称点是点，连接交函数对称轴于点P，即为所求， 设的函数表达式为：， 将代入， 得， 解得， 的函数表达式为：， 将代入，， 故点P坐标是． 故答案为：． 7．(24-25九·内蒙古通辽开鲁县蒙古族中学·期中)如图，与轴交于，两点（在左边）与轴交于点，是线段上的一点，连结交轴于点，连结，当和的面积之和与的面积相等时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】先求出，再求出线段AC一次函数为、过的一次函数解析式为，求出，根据面积相等列出等式求出P点坐标． 【详解】∵与x轴交于A，B两点（A在左边）与y轴交于C点， ∴ 设过线段一次函数解析式为， 把坐标代入解析式可得∶ ， ∴， 设，过的一次函数解析式为， 把坐标代入解析式可得∶ ∴， ∴ ∴ ∴． 8．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)如图，我们把抛物线y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3）记为C1，它与x轴交于点O，A1将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于另一点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于另一点A3；…；如此进行下去，直至得C2016．①C1的对称轴方程是 ；②若点P（6047，m）在抛物线C2016上，则m= ． 【答案】 ， -2 【分析】根据对称轴公式即可求得对称轴方程，观察图形可知第偶数号抛物线都在x轴下方，然后求出到抛物线C2016平移的距离，再根据向右平移横坐标加表示出抛物线C2016的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解. 【详解】解：∵，∴对称轴，由图可知，抛物线C2016在x轴下方，相当于抛物线C1向右平移3×2015 ＝ 6045个单位得到，∴抛物线C13的解析式为，∵点P（6047，m）在抛物线C2016上，∴，故答案是①，②－2. 三、解答题 9．(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔扎兰屯·期中) 如图，已知二次函数的图象经过点A(2，0)，B(0，-6)两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积． 【详解】（1）解：（1）将点A（2，0）、B（0，−6）代入得： ， 解得：， 故这个二次函数的解析式为：． （2）∵二次函数的解析式为：， ∴二次函数的对称轴为x＝4， ∴（4，0），B（0，−6） ∴OC＝4，， ∵点A（2，0）， ∴AC＝2， 故． 10．(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔田家炳外国语学校·期中)如图，抛物线与轴相交于A（-1，0），B（3，0）两点，顶点M关于轴的对称点是M’． (1)求抛物线的解析式． (2)若直线AM’与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积． 【详解】（1）将A、B点坐标代入函数解析式，得， 解得， 抛物线的解析式； （2）将抛物线的解析式化为顶点式，得， M点的坐标为（1，-4）， M′点的坐标为（1，4）， 设AM′的解析式为y=kx+b， 将A、M′点的坐标代入，得 ， 解得， ， AM′的解析式为y=2x+2， 联立AM′与抛物线，得 ， 解得， ∴C点坐标为（5，12）． ； 11．(24-25九上·内蒙古通辽科左中旗联盟校·期中)如图所示，抛物线的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B． （1）求直线AC的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）当自变量x满足什么条件时，有? 【详解】解：(1)由知抛物线顶点C(-1，0)， 令x＝0，得， ∴． 将点A、C的坐标代入直线解析式得，， 解得， 所以，直线AC的解析式为； （2）∵顶点坐标为（-1，0）， ∴对称轴为直线x=-1， ∵AB⊥y轴， ∴点A、B关于对称轴对称， ∴点B的坐标为（-2，）， ∴AB=2， ∴△ABC的面积=； （3）由图可知，x＜-1或x＞0时，y1＞y2． 12．(24-25九·内蒙古通辽开鲁县蒙古族中学·期中)如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线的顶点为M，试判断的形状； (3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使的面积为8，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：由抛物线与x轴交于两点， 则函数关系式为：， ∴， 解得， ∴； ∴抛物线的解析式为； （2）是直角三角形，理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）存在，理由如下： ∵， ∴， 设点P的横坐标为t，则， ∴的面积为：， ∴， 解得， ∴点P的坐标为． 13．(24-25九上·内蒙古呼和浩特第三十中学·期中)已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 【详解】（1）解：将、代入中， 得：，解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示． 当时，有， 解得：，， 点的坐标为． 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线． 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， 直线的解析式为． 当时，， 当的值最小时，点的坐标为． （3）解：设点的坐标为， 则，，． 分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：，， 点的坐标为或； ②当时，有，即， 解得：， 点的坐标为； ③当时，有，即， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：当是直角三角形时，点的坐标为、、或． 14．(24-25九上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗·期中)如图，抛物线 的对称轴为，该抛物线与轴交于、两点，且点坐标为，交轴于，设抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式与顶点的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：点关于的对称点，， 设过、的抛物线为， 该抛物线又过，则有：，解得， 即 ，顶点为 （2）解：设， ，， ， ， ， 为等腰三角形， 有、和三种情况， ①当时，则有 ，即 ，解得，此时 ②当时，则有 ，即 ，解得 ，此时 或 ③当时，则有 ，即 ，解得或，此时或 设直线解析式为，代入、， ∴ ∴ ∴直线解析式为， 当时，则在直线上， 综上可知存在满足条件的点，其坐标为或 或 或 15．(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学·期中)如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)由图象写出满足的自变量的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（1）解：将点坐标代入，得， 解得， 二次函数的解析式为， 点坐标为； （2）解：由图象得直线在抛物线上方的部分，是或， 或时，； （3）解： 如图，作的垂直平分线，交于，交轴于，交轴于，连接， 由垂直平分线性质得，，， ，， ，， 设，， 在中，， ，解得， ， 设， ，， ，解得， ， 综上所述：点的坐标或，使得是以为底边的等腰三角形． 16．(24-25九上·内蒙古乌兰察布初中联盟校·期中)如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上求作一点M，使的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值； (3)如图2，点P是x轴上动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点F、G．设点P的横坐标为m，是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图，连接交于点M，此时最小， 又因为是定值，所以此时的周长最小． 令时，则有，即， ∴， ，同理， ∴此时的周长； 是抛物线的对称轴，抛物线与x轴交点和， ，对称轴为， 由，得， ， 又∵点M在第四象限，且在抛物线的对称轴上， ； （3）解：存在这样的点P，使是以为腰的等腰三角形． 设直线的解析式为，把点B、C坐标代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为m， ∴点，点， 则，，， 当时，则，解得（舍去）或4； 当时，则，解得（舍去）或； 综上，或或． 17．(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔乌拉特前旗第三中学·期中)如图，已知抛物线经过点三点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点M是线段上的点（不与B、C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示的长； (3)在（2）的条件下，连接，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值和的面积；若不存在，说明理由． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点三点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得：， ∴， ∴抛物线的解析式：； （2）设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， 又∵轴， ∴， ∴； （3）存在， ， ∴当最大时，的面积最大， ∵， 当时，有最大值为， 所以当时，的面积最大为． 18．(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔临河区第四中学·期中)综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，E是线段上的一个动点，过点E作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F． (1)求抛物线的解析式； (2)设点E的横坐标为m，当m为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； (3)点P是直线上的一个动点，若使三角形是等腰三角形，求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为， ∴， ∵， ∴，则， 把，代入二次函数解析式得， ， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：由（1）可知，二次函数解析式为，且，， ∴设直线所在直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点E的横坐标为m，直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F， ∴点D、F的横坐标为m， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为4； （3）解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且， ∴令时，，则，， ∴，且， 在，，，， 设，分三种情况： 当时，即， ∴， 解得， ∴或； 当时，即， ∴， 解得(舍去)，， ∴， 当时，即， ∴， 解得， ， 综上，点P的坐标为或或或． 19．(24-25九上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)综合与探究 如图，某一次函数与二次函数的图象交点为． (1)求拋物线的解析式； (2)点为抛物线对称轴上一动点，当与的和最小时，点的坐标为______； (3)点为二次函数位于线段下方图象上一动点，过点D作轴，交线段于点，求面积的最大值； 【详解】（1）解：将代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：如图1，设直线的解析式为：， 把点代入得： ，解得：， ∴直线AB的解析式为：， ∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴为， ∵点C为抛物线对称轴上一动点，， ∴当点C在上时，最小， 把代入，得， ∴点C的坐标为， 故答案为：． （3）解：如图2，由（2）知 直线的解析式为， 设，则， ∴， 当，有最大值为， ∴面积的最大值为． 20．(24-25九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中)如图，已知抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，求的取值范围； (3)点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【详解】（1）解：把、分别代入中， 得：，解得：， 抛物线的解析式为． ， 顶点坐标为． （2）解：由图可得当时，． （3）解：、， ． 设，则， ， ． ①当时，，解得：，， 此时点坐标为或； ②当时，，方程无解； 综上所述，点坐标为或． 21．(24-25九上·内蒙古赤峰·期中)如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=-x2+bx+c经过B，C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点．    （1）求此抛物线的函数解析式； （2）在抛物线上是否存在点P，使S△PAB=2S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）∵直线经过B、C两点， ∴当时，；当时，， ∴B点坐标为(3，0)，C点坐标为(0，3)， 又∵抛物线经过B、C两点， ∴， 解得：，， ∴该抛物线解析式为：； （2）当时，， ∴，， ∴A点坐标为(，0)， ∴AB=4， ∴△CAB的面积=， 设P点坐标为(，)， ∵S△PAB=2S△CAB， 则：， ∴， 即或， 当时，，此时方程无解， ∴此时P点不存在，， 当时，，解得：，， ∴此时P点坐标为(，)，(，)， 综上所述，存在这样的P点，且坐标为：(，)，(，). 22．(24-25九上·内蒙古呼和浩特土默特左旗台阁牧中心校·期中)如图，已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D，连接、．点P为抛物线上的一个动点（与点A、B、C不重合），设点P的横坐标为m，的面积为S． (1)求此二次函数的表达式； (2)当点P在第一象限内时，求S关于m的函数表达式； (3)若点P在x轴上方，的面积能否等于的面积？若能，求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由． 【详解】（1）解：把、代入二次函数，得 ， 解得：， ∴； （2）解：如图，过点P作轴于N，作轴于M，连接、， ， 当点P在第一象限时， ∵点的横坐标为， ∴， 对于二次函数，令，则， ∴， ∵， ∴ ； （3）解：当P在第一象限时，若， 则， 解得：， ∴P点坐标为， 当P在第二象限，即时，过O作直线交抛物线于点， 设直线的解析式为，把，代入，得 ，解得：， ∴直线的表达式为， 所以直线l的表达式为， 联立方程组方程组， 解得：（舍去），， ∴点P坐标为 综上，P的坐标为或． 23．(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔临河区五校联考·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，．两点，与y轴交于点C，连接．    (1)求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴； (2)点为抛物线对称轴上一点，连接，若，求点的坐标； (3)已知，若是抛物线上一个动点（其中），连接，求面积的最大值及此时点E的坐标． 【详解】（1）将点，代入， 解得：， ， 对称轴， （2）如图，过点作轴于点，作轴于点， 设点，   ， 在中， ， 在中， ， 在中， ， ， ， ， ， ； （3）如图2，过点作轴于点，过点作直线轴于点,过点作于点，   ， 四边形是矩形， ， 又， ， ， ， ， 当时，面积有最大值是：， 把，代入解析式中，得：， 此时：． 24．(24-25九上·内蒙古呼和浩特实验中学·)如图，抛物线与x轴交于、，与y轴交于C． (1)求抛物线的解析式： (2)若点P是抛物线第四象限内图象上的点，求当点P运动到何处时面积最大，最大面积是多少？ (3)如图，已知线段与线段关于平面内某点成中心对称，其中的两端点刚好一个落在抛物线上，一个落在对称轴上，直接写出落在对称轴上的点的坐标． 【详解】（1）解：把、代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于， 在中，令得， ∴， 设直线解析式为，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∵点P是抛物线第四象限内图象上的点， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴当时，取最大值，此时， ∴当点P运动到时面积最大，最大面积是； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ①若线段与线段关于点K成中心对称，C的对应点D在对称轴上，B的对应点在抛物线上，如图： 设，，而，， ∵K是的中点，也是的中点， ∴， 解得， ∴； ②若线段与线段关于点T成中心对称，B的对应点D在对称轴上，C的对应点在抛物线上，如图： 设，，而，， ∵T是的中点，也是的中点， ∴， 解得， ∴； 同理，当在对称轴上，点在抛物线上时或． 综上所述，落在对称轴上的点的坐标为或． 25．(24-25九上·内蒙古赤峰第三中学·期中)如图，已知抛物线与直线：相交于，两点，抛物线与y轴交于点N，其顶点为D． (1)求抛物线及直线的函数关系式； (2)当时自变量x的取值范围是： ；当或时，_______（填“>”，“=”，“<”）； (3)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值． 【详解】（1）解：由抛物线过点及得， ， 解得， 故抛物线为； 又设直线：过点及得： ，解得 故直线为； （2）当时，， 解得， ∴抛物线与x轴交于点，， 由图象开口向下，可知当时自变量x的取值范围是， 当或时，的图象在直线：的下方， ∴当或时，； 故答案为：， （3）如图，过点作轴交于点，交轴于点；过点作轴于点， 设，则 又， 当时，面积的最大值为． 26．(24-25九上·内蒙古呼和浩特玉泉区·)已知，如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB,    （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值． 【详解】（1）∵B（1，0）， ∴OB＝1； ∵OC＝3BO， ∴C（0，﹣3）； ∵y＝ax2+3ax+c过B（1，0）、C（0，﹣3）， ∴； 解这个方程组，得， ∴抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣3； （2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N 在y＝x2+x﹣3中，令y＝0， 得方程x2+x﹣3＝0解这个方程，得x1＝﹣4，x2＝1 ∴A（﹣4，0） 设直线AC的解析式为y＝kx+b ∴， 解这个方程组，得， ∴AC的解析式为：y＝﹣x﹣3， ∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC ＝+•DM•（AN+ON） ＝+2•DM 设D（x，x2+x﹣3），M（x，﹣x﹣3）， DM＝﹣x﹣3﹣（x2+x﹣3）＝﹣（x+2）2+3， 当x＝﹣2时，DM有最大值3 此时四边形ABCD面积有最大值=+2×3=．    27．(24-25九上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，且与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)若P为直线上方的抛物线上一点，过点P作轴于点M，交直线于点Q，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 设抛物线的解析式为，把代入，得：， 解得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 设点，则：， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∴当时，四边形的面积最大为6，此时：． 28．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)如图所示，二次函数y=－mx2＋4m的顶点坐标为(0，2)，矩形ABCD的顶点B，C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内，且点A在点D的左侧． （1）求二次函数的解析式； （2）设点A的坐标为(x，y)，试求矩形ABCD的周长p关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围； （3）是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？试证明你的结论． 【详解】解：（1）∵二次函数y=﹣mx2+4m的顶点坐标为（0，2）， ∴4m=2， 即m=， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2； （2）∵A点在x轴的负方向上坐标为（x，y），四边形ABCD为矩形，BC在x轴上， ∴AD∥x轴， 又∵抛物线关于y轴对称， ∴D、C点关于y轴分别与A、B对称． ∴AD的长为2x，AB长为y， ∴周长p=2y+4x=2（﹣x2+2）﹣4x=﹣（x+2）2+8． ∵A在抛物线上，且ABCD组成矩形， ∴x＜2， ∵四边形ABCD为矩形， ∴y＞0， 即x＞﹣2． ∴p=﹣（x+2）2+8，其中﹣2＜x＜2． （3）不存在， 证明：假设存在这样的p，即： 9=﹣（x+2）2+8， 此方程无解，所以不存在这样的p． 29．(24-25九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中)如图1，四边形是边长为4的正方形，两对角线交点为O，有两个动点E、F同时从点A出发，点E以每秒1个单位长度的速度沿边从A向点B运动，点F以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒，的面积为，的面积为． (1)请直接写出、关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围． (2)在图2给定的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，并写出函数的一条性质． (3)结合函数图象，求出和面积相等时的t的值． 【详解】（1）解：根据题意可知：当点F在上时，， ∴， ∵四边形是边长为4的正方形，O是正方形的中心， ∴的面积为， ∵， ∴， ∴的面积为， 当点F在上时，， ∴的面积为， ∵， ∴； 综上所述：关于t的函数表达式为，关于t的函数表达式为； （2）解：如图，即为所求函数的图象， 函数的一条性质为：时，y随t的增大而减小，或时，y随t的增大而增大； （3）解：当时，令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， 由函数图象可知：当和面积相等时，或3． 30．(24-25九上·内蒙古锡林郭勒盟三县联考·期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋mx＋n经过点A(3，0)、B(0，－3)，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t． (1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式． (2)若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积． (3)是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】解：(1)把A（3，0）B（0，-3）代入，得 解得 所以抛物线的解析式是. 设直线AB的解析式是,把A（3，0）B（0，）代入,得 解得 所以直线AB的解析式是. (2)设点P的坐标是（）,则M（,）,因为在第四象限，所以PM=，当PM最长时，此时 ==. （3）若存在，则可能是： ①P在第四象限：平行四边形OBMP ,PM=OB=3， PM最长时，所以不可能. ②P在第一象限平行四边形OBPM： PM=OB=3，，解得，（舍去），所以P点的横坐标是. ③P在第三象限平行四边形OBPM：PM=OB=3，，解得（舍去）， ①，所以P点的横坐标是. 所以P点的横坐标是或. 31．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古农业大学附属中学·期中)已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为， 当时，， 解得，， ∴； （2）解：连接， 设直线的表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 过点作轴的垂线，交于点， 则， ∴当取最大值时，的面积最大， 设，则， ∵点位于第三象限， ∴，， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时，点的坐标为； （3）解：∵， ∴， 由得，抛物线的对称轴为直线， ∵以为顶点的四边形是平行四边形， 当为平行四边形的边时，， 设点的横坐标为， ∵轴， ∴， 解得或， ∵点在抛物线上， ∴点的坐标为或； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 32．(24-25九上·内蒙古赤峰松山区·期中)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)直接写出二次函数的解析式_________________________； (2)当点P运动到什么位置时，四边形面积最大？请求出四边形面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：将两点的坐标代入得 解得 所以二次函数的表达式为， 故答案为：； （2）解：如图，过点P作y轴的平行线与交于点Q， 设，直线的解析式为， 则， 解得 直线的解析式为， 则， ， ， ， 当时，四边形的面积最大， 此时，点P的坐标为四边形的面积最大值为； （3）解：存在．理由如下： 如图，设点，交于点E， 若四边形，是菱形，则， 连接，则，， ， 解得，（不合题意，舍去）， 33．(24-25九上·内蒙古鄂尔多斯东胜区·期中)如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D第一象限是抛物线上的一个动点． (1)如图1，当点A的坐标为时， ①求该抛物线的解析式； ②连接，当的面积最大时，求点D的坐标． (2)如图2，当点D的横坐标是1，时，过点D作y轴的平行线，交x轴于点M，过点F作y轴的平行线交抛物线于点E，连接，求证：平分． 【详解】（1）解：①将点A代入得： ， 解得：． 抛物线的解析式为； ②连接，如图， 在二次函数中，令，得， 解得：， ， 在二次函数中，令，得， ， 设点的坐标为， ， ， ， 当时，的面积最大， 此时点的坐标为； （2）解：如图，过点D作， 将代入，得， ， 将代入，得， ， ， ， ， ， 由题意得：， ， ， 平分． 34.如图①，二次函数的图象经过点，并且与直线相交于坐标轴上的、两点，点在抛物线图像上且坐标为． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图①，连接，，设的面积为，求的值； (3)如图②，过点，作直线，求证：是直角三角形； (4)如图②，抛物线上是否存在点，使得？若存在，则求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵交坐标轴于，两点， 当时，，则点， 当时，， 解得，点， ∵， ∴ ，解得， ∴二次函数解析式为：； （2）过点作轴于，交于， ∵ ，在直线：上， ∴ ∴ ∵， ∴ （3）证明：点，点，， ，，， ， 在中，根据勾股定理＝， 在中， ， （）， ，即， ， 是直角三角形； （4）存在点，使．   当点在轴下方的抛物线上时： 在的延长线上取一点，使，连接，若与抛物线有交点，设与抛物线交于点，过点作轴于，轴于 ，，， ， ， 轴， ， ，， ， ，， ， ∴， 设的解析式为：， ， 解得：，， 的解析式为：． ， ， ， ， 方程组有两个不同的解，直线与抛物线有两个不同的交点，存在． 当点在轴上方的抛物线上时： 延长到，使，连接并延长交轴于，若与抛物线有交点，设交抛物线于点， 轴，， ，， 同理可得，的解析式为：． ， ， ， ， 方程组有两个不同的解，直线与抛物线有两个不同的交点，存在． 综上所述：存在抛物线上点，使，直线的解析式为： 和． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $