专题01 一元二次方程（期中真题汇编，内蒙古专用）九年级数学上学期人教版

专题01 一元二次方程 5大高频考点概览 考点01 一元二次方程的定义和一元二次方程的解 考点02 解一元二次方程 考点03 一元二次方程根的判别式 考点04 一元二次方程跟与系数的关系 考点05 一元二次方程的应用 地 城 考点01 一元二次方程的定义和一元二次方程的解 一、单选题 1．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)下列方程中，不是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，正确理解一元二次方程的定义是解题的关键．方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2次，这样的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义即可判断答案． 【详解】A、是二元一次方程，所以选项A符合题意； B、可化简为，是一元二次方程，所以选项B不符合题意； C、是一元二次方程，所以选项C不符合题意； D、是一元二次方程，所以选项D不符合题意． 故选：A． 2．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古农业大学附属中学·期中)下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此逐项判断求解即可． 【详解】解：A、方程化为，是一元二次方程，符合题意； B、方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意， C、当时，方程不是一元二次方程，不符合题意； D、方程化为，不是一元二次方程，不符合题意， 故选：A． 3．(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔乌拉特前旗第三中学·期中)关于x的方程（m﹣1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值是（　　） A．任意实数 B．m≠1 C．m≠﹣1 D．m＞1 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足二次项系数不为0，所以m－1≠0，即可求得m的值． 【详解】根据一元二次方程的定义得：m－1≠0，即m≠1， 故答案为B. 4．(23-24九上·福建厦门·期末)关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，把代入方程即可求解，解题的关键是熟记方程的解和解一元二次方程． 【详解】解：把代入一元二次方程得： ， 解得，， ∵， ∴的值为， 故选：． 5．(24-25九上·内蒙古赤峰第三中学·期中)关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（　　） A． B．1 C．1或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解：根据一元二次方程的解及一元二次方程的定义即可求出的值． 【详解】解：当时，， 解得， 因为，， 所以． 故选：A． 6．(24-25九上·内蒙古通辽科左中旗联盟校·期中)已知x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的解，则－4b+2c=（  ） A．8 B．－8 C．4 D．－4 【答案】A 【分析】由x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一个解，将x=2代入原方程，即可求得2b-c的值，从而得解． 【详解】解：∵x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一个根， ∴4+2b-c =0， ∴2b-c =-4． ∴－4b+2c=-2(2b-c)=-2×(-4)=8． 故选：A． 7．(24-25九·内蒙古通辽开鲁县蒙古族中学·期中)若方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此得到，则，，再把变形为，最后代值计算即可． 【详解】解：∵方程的一个根， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：A． 8．(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔扎兰屯·期中)根据下列表格的对应值：判断方程（，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（   ） x 8 9 10 11 12 1.2 3.4 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格可知，当时，的值小于零，当时，的值大于零，可知当，会有一个的值使得的值为零，即可得出结论，解题的关键是理解二次函数图形与一元二次方程解的关系． 【详解】解：由表格可知：当时，的值小于零，当时，的值大于零， ∴的一个解的范围是； 故选：C． 9．(24-25九上·内蒙古呼和浩特土默特左旗台阁牧中心校·期中)方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（    ） A．3，－4 B．3，4 C．3，－2 D．－4，－2 【答案】A 【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可. 【详解】， ， 所以二次项系数和一次项系数分别为3，-4， 故选A. 10．(24-25九上·内蒙古呼和浩特玉泉区·)一元二次方程x2+6x﹣5=0配方后变形正确的是（　　） A．（x﹣3）2=14 B．（x+3）2=4 C．（x+6）2= D．（x+3）2=14 【答案】D 【详解】先移项，得x2+6x=5，配方，得x2+6x+32=5+32，即（x+3）2=14． 故选D． 【点睛】配方的时候，若二次项系数不为1，要化为1，然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方． 11．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中)关于的方程（、为常数）的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义，并会运用整体思想是解题的关键．方程中，设，根据题意可以得出的值，便可求出的值． 【详解】解：方程中，设， ∴， ∵关于的方程（、为常数）的解是，， ∴，， 即，， 解得：，， 故选：D． 12．(24-25九上·内蒙古赤峰第三中学·期中)已知a、b为实数，且满足，则代数式的值为（    ） A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．5 【答案】B 【分析】设，则原方程换元为，可得，，即可求解． 【详解】解：设，则原方程换元为， ， 解得，（不合题意，舍去）， 的值为3． 故选：B． 二、填空题 13．(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔扎兰屯·期中)关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】－1 【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， 解得． 故答案为：－1． 14．(24-25九上·内蒙古呼和浩特实验中学·)一元二次方程的一个根为0，则另一个根为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，一元二次方程的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键．将代入得：，利用直接开平方法求解，但是要注意，得到方程为，再求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为0 ∴将代入得：， 解得：或， 而， ∴舍， ∴， ∴方程为：， 解得：或， ∴另一个根为， 故答案为：． 15．(24-25九上·内蒙古赤峰松山区·期中)若a是方程的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】8 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键．直接把a的值代入得出，进而将原式变形得出答案． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 三、解答题 16．(24-25九上·内蒙古赤峰松山区·期中)阅读理解： 材料一：把形如的二次三项式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例如：我们可以将代数式进行变形，其过程如下： 该式有最小值1 材料二：我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”．如多项式，；，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为9． 根据材料，完成下面问题： (1)已知多项式，，判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”； (2)已知多项式，（，为常数），M是N的“雅常式”，且当为实数时，N的最小值为，求M关于N的“雅常值”． 【详解】（1）解： ， C是D的“雅常式”， C关于D的“雅常值”为； （2）M是N的“雅常式”， ， ， ． ，且当x为实数时，N 的最小值为， ， ， ． 所以M关于N的“雅常值”是3； 地 城 考点02 解一元二次方程 一、单选题 1．(24-25九上·内蒙古赤峰·期中)方程x2=﹣x的解是（　　） A．x=1 B．x=0 C．x1=﹣1或x2=0 D．x1=1或x2=0 【答案】C 【分析】首先进行移项，将方程左边提取x分解因式，然后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，分别求出一次方程的解得到原方程的解． 【详解】解：因为 所以 所以x1=1或x2=0， 故选C． 2．(24-25九上·内蒙古赤峰松山区·期中)一元二次方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 故选：C． 3．(24-25九上·内蒙古赤峰·期中)已知一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底和腰，则△ABC的周长为（　　） A．10 B．10或8 C．9 D．8 【答案】A 【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣6x+8＝0得到x1＝4，x2＝2，再根据三角形三边的关系得到这个等腰三角形的腰为4，底边为2，然后计算这个三角形的周长． 【详解】x2﹣6x+8＝0 （x﹣4）（x﹣2）＝0， x﹣4＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝4，x2＝2， 因为2+2＝4， 所以这个等腰三角形的腰为4，底边为2， 所以这个三角形的周长为4+4+2＝10． 故选：A． 二、填空题 4．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)方程x2+2x＝0的解为 ． 【答案】0，﹣2． 【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题． 【详解】x2+2x＝0, x（x+2）＝0, ∴x＝0或x+2＝0, ∴x＝0或﹣2,故本题的答案是0，﹣2． 5．(23-24九上·江苏宿迁宿城区·期中)三角形两边长分别为2和4，第三边是方程的解，则这个三角形周长是 ． 【答案】10 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是求出利用三角形三边关系求出第三边长．根据一元二次方程的解法即可求出第三边，然后根据三角形的三边关系即可求出周长． 【详解】解：由 解得：或， 当第三边长为4时， 由三角形三边关系可知：， 故能组成三角形， 当第三边为2时， 由三角形三边关系可知：，不能够组成三角形， ∴这个三角形的周长为：， 故答案为：10 三、解答题 6．(24-25九上·内蒙古呼和浩特第三十中学·期中)解方程： (1)（用配方法） (2) 【详解】（1）解：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：，； （2）解：， 移项得：， 分解因式得：， ∴，， 解得：，． 7．(24-25九上·内蒙古呼和浩特玉泉区·)解下列方程   （1）x2﹣5x﹣6=0 （2）2（x﹣3）2=8 （3）4x2﹣6x﹣3=0 （4）（2x﹣3）2=5（2x﹣3） 【详解】解：（1）原方程可化为：（x﹣6）（x+1）=0，   ∴x﹣6=0或x+1=0，   ∴x=6或x=﹣1；   （2）方程两边同除以2，得：（x﹣3）2=4， ∴x﹣3=±2，   ∴x﹣3=2或x﹣3=﹣2；   ∴x1=5，x2=1； （3）∵a=4，b=﹣6，c=﹣3   ∴△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）=84＞0， ∴x1=，x2=； （4）移项，得：（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=0， ∴（2x﹣3）[（2x﹣3）﹣5]=0，   ∴2x﹣3=0或2x﹣8=0，   ∴x=或x=4． 8.． 解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， 或， ； （3）解：， ． ∵， 方程有两个不相等的实数根， ， ． 9．(24-25九上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：， ， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：， ， ， ， ， ∴． 10．(24-25九上·内蒙古呼和浩特实验中学·)解方程 (1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ∴， ， ∴， 解得； （2）解：， ∴， ∴或， 解得； （3）解：， ∴， 整理得， ∴或， 解得． 11．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中)用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ， ∴，. ∴， ∴， ∴或， ∴，． （2）； ∴． ∴， 即， ∴，或． ∴，． 12．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)解方程： (1) (2) (3) 【详解】（1）解： ∴或 ∴， （2） ∴， （3） ∴或 ∴， 13．(24-25九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中)用适当的方法解下列方程 (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：， 移项得， 因式分解得， ∴，， 解得，； （2）解：， 整理得， 开方得， ∴，， 解得，； （3）解：， ∵，，， ， ∴， ∴，． 14．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古农业大学附属中学·期中)解方程 (1) (2) 【详解】（1）解：方程整理为， 配方，得， 即， 开平方，得， ∴，； （2）解：，，， ∵， ∴， ∴，． 15．(24-25九上·内蒙古赤峰第三中学·期中)解方程： (1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴，即或， 解得：，； （2）解： 方程整理得：， ∴， ∴，， 解得：，； （3）解： ∴， ∴， ∴，， 解得：，； （4）解：， 方程整理得：， ∴， ∴，， 解得：，． 16．(24-25九上·内蒙古通辽科左中旗联盟校·期中)阅读理解： 解方程：， 解：（1）当时，原方程化为， 解得：，（舍去）． （2）当时，原方程化为， 解得：（舍去），． 综上所述，原方程的解为，． 请参照上述方法解方程：． 【详解】解：(1)当即时， 原方程化为，即， 解得，， ∵ ， ∴ 或均不符合题意； (2)当即时， 原方程化为，即， 解得， ， 综上所述， 原方程的解为，． 地 城 考点03 一元二次方程根的判别式 一、单选题 1．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程． 【详解】解：A、，该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意； B、，该方程有两个相等的实数根．故本选项符合题意； C、，该方程无实数根．故本选项不符合题意； D、，该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意； 故选：B． 2．(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学·期中)一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式判断一元二次方程根的情况成为解题的关键．先算出，再判断该方程有两个不相等的实数根，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3．(24-25九上·内蒙古乌兰察布化德县第三中学·期中)关于x的一元二次方程x2﹣2x+2+m2=0的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：△=22﹣4（2+m2）=﹣4﹣4m2， ∵﹣m2≤0，∴﹣4﹣4m2＜0，即△＜0． ∴方程没有实数根． 故选C． 4．(24-25九上·内蒙古呼和浩特实验中学·)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A． B．k＜1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．且 【答案】D 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且△， 解得且． 故选：D． 5．(24-25九上·内蒙古赤峰松山区·期中)关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m≥0 B．m＞0 C．m≥0且m≠1 D．m＞0且m≠1 【答案】C 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：m≥0且m≠1． 故选C． 6．(24-25九上·内蒙古乌兰察布化德县第三中学·期中)已知关于x的方程mx2﹣2（3m﹣1）x+9m﹣1＝0有两个实根，那么m的取值范围是（　　） A．m≤ B．m≤且m≠0 C．m≥ D．m＞ 【答案】B 【分析】由关于x的方程mx2﹣2（3m﹣1）x+9m﹣1＝0有两个实根，可知此方程是一元二次方程，即m≠0，且判别式△≥0．即可求得m的取值范围． 【详解】解：因为关于x的方程mx2﹣2（3m﹣1）x+9m﹣1＝0有两个实根， 所以△＝b2﹣4ac＝4（3m﹣1）2﹣4m（9m﹣1）≥0，且m≠0， 解之得m≤且m≠0． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程中二次项系数不为零这一隐含条件． 总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 二、填空题 7．(24-25九上·内蒙古呼和浩特土默特左旗台阁牧中心校·期中)已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】3 【分析】根据有两个相等的实数根，可得，代入各项系数即可得解得的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为3． 8．(24-25九上·内蒙古赤峰·期中)已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 9．(24-25九上·内蒙古呼和浩特第三十中学·期中)若关于x的方程ax2＋2（a＋2）x＋a=0有实数解，那么实数a的取值范围是 ． 【答案】a≥－1． 【详解】解：当a=0时，方程是一元一次方程，有实数根， 当a≠0时，方程是一元二次方程， 若关于x的方程ax2＋2（a＋2）x＋a=0有实数解，则△=[2（a+2）]2－4a•a≥0，解得：a≥－1． ∴若关于x的方程ax2＋2（a＋2）x＋a=0有实数解，那么实数a的取值范围是a≥－1． 故答案为：a≥－1． 10．(24-25九上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根的判别式：当判别式，方程有两个不相等的实数根；当判别式，方程有两个相等的实数根；当判别式，方程没有实数根． 【详解】解：∵， ∴， 整理可得， 又关于的方程有两个实数根， ， 解得：且， 故答案为：且． 三、解答题 11．(24-25九上·内蒙古呼和浩特玉泉区·)已知关于x方程x2+ax+a﹣5＝0． （1）若该方程的一个根为3，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【详解】解：将x=3代入方程x2+ax+a-5=0可得： 9+3a+a5=0， 解得：a=1； ∴方程为，设另一根为x， 则3×x=6，解得x=2， 即方程的另一根为2； （2）证明： ∵△=， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 12．(24-25九上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 整理得， ∵关于x的方程有两个实数根， ∴，且， 解得且． 13．(24-25九上·内蒙古乌兰察布集宁区亿利东方学校四校期中联考·期中)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若且为整数，求方程的根． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，． （2）解：∵且为整数，且， ∴， ∴整数的值为， 当时，原方程可化为：， ∴， 解得，． 一、单选题地 城 考点04 一元二次方程跟与系数的关系 1．(24-25九上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)若关于x的一元二次方程的两根为、，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据，是方程的两根时，，，即，，据此求出和的值，即可求解． 【详解】解：若关于x的一元二次方程的两根为、， 则关于x的一元二次方程的两根之为：，两根之积为：， 即方程的中，， 故两根为、的一元二次方程为． 故选： B． 2．(24-25九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中)已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　） A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：设另一个根为x，则 x+2＝﹣5， 解得x＝﹣7． 故选：A． 3．(24-25九上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)若关于x的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则m 的值为（   ） A． 或 1 B．或0 C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查根与系数的关系，根据两根互为相反数，得到两根之和为0，两根之积为0或负数，进行求解即可． 【详解】解：设方程的两个实数根为，由题意，得： ，， ∴， ∵， ∴； 故选C 4．(24-25九上·内蒙古呼和浩特玉泉区·)已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为，且，则k的值是（    ） A．－2 B．2 C．－1 D．1 【答案】D 【分析】利用根与系数的关系得出，，进而得出关于的一元二次方程求出即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， ， 整理得出：， 解得：， 故选：D． 5．(24-25九上·内蒙古通辽科左中旗联盟校·期中)已知方程的两根分别为，则的值为（    ） A．1 B． C．2021 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程定义，根于系数关系．根据一元二次方程根的定义可得，根据根与系数的关系可得，则，，再代入代数式中计算即可． 【详解】解：∵方程的两根分别为， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 二、填空题 6．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中)设，是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】0 【分析】直接根据根与系数的关系求解． 【详解】解：、是方程的两根， ，， ． 故答案为0． 7．(24-25九上·内蒙古呼和浩特土默特左旗台阁牧中心校·期中)已知方程的两个实数为根 ，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，完全平方公式的变形运算，由一元二次方程根和系数的关系可得，，再根据完全平方公式变形运算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵方程的两个实数为根 ， ∴，， ∴， 故答案为：，． 8．(24-25九上·内蒙古锡林郭勒盟三县联考·期中)若，是一元二次方程的两根，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古农业大学附属中学·期中)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合，求出值是解题的关键． 利用根与系数的关系结合可得出关于的方程，解之可得出的值，由方程的系数结合根的判别式可得出关于的不等式，解之即可得出的取值范围，进而可确定的值，此题得解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根为， ∴， ∴， 解得：， 经检验均为所列方程的解， ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴舍去． 故答案为：4． 10．(24-25九上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴ ∴， ∴ ， 故答案为：2024． 11．(24-25九上·内蒙古呼和浩特实验中学·)已知m，n是方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．根据一元二次方程解的定义得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 12．(24-25九上·内蒙古赤峰第三中学·期中)非零实数满足，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程的解，根与系数的关系由题意可知是方程的两根，由根与系数的关系可得再由完全平方公式可得代入计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ∴是方程的两根， ， 故答案为：． 13．(24-25九上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗·期中)等腰三角形三边长分别为，且是关于的一元二次方程的两根，则的值为 【答案】10 【详解】试题解析：当a=2或b=2时，把x=2代入x2-6x+n-1=0得4-12+n-1=0，解得n=9，此时方程的根为2和4，而2+2=4，故舍去； 当a=b时，△=（-6）2-4×（n-1）=0，解得n=10， 所以n为10． 点睛：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 14．(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔扎兰屯·期中)如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先根据题意得出方程的一个根为1，然后设另一个一元二次方程的两个根为m和n，再根据根的判别式、完全平方公式、三角形三边的关系m−n<1＜m+n即可求得k的取值范围． 【详解】解：由题意得：， ∴ 设的两根分别是、；则，； ∴； 根据三角形三边关系定理，得：，即； ，解得． 故答案为． 三、解答题 15．(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔杭锦后旗·期中)已知关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个实数根x1、x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1+x2=3x1x2﹣6，求k的值． 【详解】（1）∵方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个实数根x1，x2， ∴△≥0，即4（k+1）2﹣4×1×k2≥0， 解得k≥﹣， ∴k的取值范围为k≥﹣． （2）∵方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个实数根x1，x2， ∴x1+x2=2（k+1），x1x2=k2， ∵x1+x2=3x1x2﹣6， ∴2（k+1）=3k2﹣6，即3k2﹣2k﹣8=0， ∴k1=2，k2=﹣， ∵k≥﹣， ∴k=2． 16．(24-25九上·内蒙古赤峰松山区·期中)6．已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论p为何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)若，是方程的两个实数根，且满足，求p的值． 【详解】（1）证明：， ， ， 无论p为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）由根与系数的关系得， ， ， 即， ， ， 解得，． 17．(24-25九上·内蒙古锡林郭勒盟三县联考·期中)已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【详解】（1）， ∵， ∴， 该方程总有两个不相等的实数根； （2）方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴，即． 18．(24-25九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中)已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根 (1)直接写出m的取值范围 (2)若满足，求m的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个不相等的实数根 ∴， 即； （2）解：∵，且， ∴ 整理得， 解得：， ∵由（1）知， ∴ 检验：当时，，即； 19．(24-25九上·内蒙古呼和浩特第三十中学·期中)已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个根和，且，求k的值． 【详解】（1）由题意，分以下两种情况： ①当，即时， 关于x的方程为， 解得， 即此时方程有实数根； ②当，即时， 方程的根的判别式为， 则此时方程有实数根， 综上，无论k为何实数，方程总有实数根； （2）此方程有两个根和， 此方程是关于x的一元二次方程， ，解得， 由一元二次方程根与系数的关系得：， ， ， 解得或， 经检验，和均是所列分式方程的根， 故的值为或． 20．(24-25九上·内蒙古通辽科左中旗联盟校·期中)已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两实数根． （1）求m的取值范围． （2）若(x1-1)(x2-1)=28，求m的值； 【详解】解：（1）由题意得△＝4（m＋1）2−4（m2＋5）≥0， 解得：m≥2； （2）由题意可知：x1＋x2＝2（m＋1），x1x2＝m2＋5， 由（x1−1）（x2−1）＝28得： x1x2−（x1＋x2）＋1＝28，即m2−2m−24＝0， 解得：m＝6或m＝−4， 由（1）知m≥2， ∴m＝6． 21．(24-25九上·内蒙古呼和浩特实验中学·)已知关于的一元方程有两个实数根． (1)求实数根的取值范围； (2)是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【详解】（1）解：∵关于的一元方程有两个实数根， ∴ ， 解得：； （2）解：不存在实数使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等，理由： 设关于的一元方程有两个实数根为，， ∴，， 由题意得：， ∴， ∴，整理得：， 解得：， 由（）得：，则不在此范围，不符合题意， ∴不存在实数使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等． 22．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两实根为、，且，求的值． 【详解】（1）证明：关于的一元二次方程， ， ， ， ， ， 则方程有两个不相等的实数根； （2）由根与系数的关系可得：，， ， ，即， 整理得：，即， 或， 解得：或． 23．(24-25九上·内蒙古赤峰·期中)阅读材料： 【材料1】若一元二次方程的两根为，则 ． 【材料2】已知实数m、n满足，且，求的值． 解：由题知m、n是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得：， ∴． 根据上述材料解决下面问题： (1)关于x的方程的两个根是和1，则的值为 ． (2)已知实数m、n满足，且，求的值． (3)若关于x的方程的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值． 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得， 解得， ∴； 故答案为：； （2）解：由题意得m、n可看作方程的两实数解， ∴ ∴ （3）解：设关于x的方程的两个实数根分别为α、β， 根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，整理得， 解得， 当时，原方程化为，则，此方程没有实数解； 当时，原方程化为，则，此方程有两个不相等的实数解； 综上所述，k的值为． 地 城 考点05 一元二次方程的应用 一、单选题 1．(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔乌拉特前旗第三中学·期中)若两个连续整数的积是56，则它们的和为（ ） A．11 B．15 C．﹣15 D．±15 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用. 设这两个连续整数中较小的一个是为x，则较大的是x+1．根据两个连续整数的积是x（x+1），根据关键描述语“两个连续整数的积是56”，即可列出方程求得x的值，进而求得这两个数的和． 【详解】解：设这两个连续整数为x，x+1． 则x（x+1）=56， 解之得，x=7或x=-8， 则x+1=8或-7， 则它们的和为±15． 故选D． 2．(24-25九上·内蒙古赤峰第三中学·期中)共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（　　） A．1000（1+x）2＝1000+440 B．1000（1+x）2＝440 C．440（1+x）2＝1000 D．1000（1+2x）＝1000+440 【答案】A 【分析】根据第一个月的单车数量×(1+x)2=第三个月的单车数量可以列出相应的一元二次方程，进而可得答案． 【详解】解：由题意可得，1000（1+x）2＝1000+440． 故选：A． 3．(24-25九上·内蒙古呼和浩特玉泉区·)据统计，某专卖店一特产第三季度的总销售量为万件，其中月份的销量为万件，设，月份销量的月平均增长率为，则可列方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设，月份销量的月平均增长率为，根据第三季度的总销售量为万件，列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设，月份销量的月平均增长率为，则可列方程为 故选：B． 4．(24-25九上·内蒙古赤峰·期中)2023年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平均每天票房的增长率为x，则根据题意列出方程求解即可．本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键． 【详解】设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，得， 故选D． 5．(24-25九上·内蒙古呼和浩特土默特左旗台阁牧中心校·期中)一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（    ） A．1＋x＋x（1＋x）＝73 B．1＋x＋x2＝73 C．1＋x2＝73 D．（1＋x）2＝73 【答案】B 【分析】主干的数目为1，枝干的数目为x，小分支的数目为，根据总数是73列出方程． 【详解】解：由题意可得， 1+x+x•x=1+x+x2=73， 故选B． 6．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中)某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（　　） A．7队 B．6队 C．5队 D．4队 【答案】C 【详解】解：设邀请x个球队参加比赛， 依题意得1+2+3+…+x-1=10， 即， ∴x2-x-20=0， ∴x=5或x=-4（不合题意，舍去）． 故选C 7．(21-22九上·四川成都新津为明学校·月考)在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（　　） A．x2+130x﹣1400＝0 B．x2+65x﹣350＝0 C．x2﹣130x﹣1400＝0 D．x2﹣65x﹣350＝0 【答案】B 【分析】先用表示出矩形挂图的长和宽，利用面积公式，即可得到关于的方程． 【详解】解：由题意可知：挂图的长为，宽为， ， 化简得：x2+65x﹣350＝0， 故选：B． 8．(24-25九上·内蒙古赤峰松山区·期中)如图是数学家阿尔·花刺子模在《代数学》中解关于x的一元二次方程的过程，他将看作是由一个正方形和两个完全相同的矩形构成的图形，这个图形的面积为39，在这个图形的基础上添加一个边长为5的正方形后可构成一个大正方形，大正方形的面积为，由此可得方程的一个正根为．阿尔·花刺子模解方程用到的主要数学思想是（   ） A．数形结合思想 B．转化思想 C．分类讨论思想 D．整体思想 【答案】A 【分析】本题考查利用数形结合的思想解一元二次方程，理解题意是关键．根据题意可确定阿尔·花刺子模解方程用到的主要数学思想是数形结合思想． 【详解】解：由题意可知阿尔·花刺子模解方程用到的主要数学思想是数形结合思想． 故选A． 9．(24-25九上·内蒙古赤峰松山区·期中)如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点………，前n行的点数和不能是以下哪个结果（   ） A．55 B．95 C．78 D．120 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，前n行的点数之和为，再分别求出该代数式的值分别为55、95、78、120时n的值即可判断． 【详解】解：前n行的点数之和为， 若前n行的点数之和为55，则，解得或（舍），即前10行的点数之和为55，不符合题意； 若前n行的点数之和为95，则，解得，n不是整数，即不存在前n行的点数之和为95，符合题意； 若前n行的点数之和为78，则，解得或（舍），即前12行的点数之和为78，不符合题意； 若前n行的点数之和为120，则，解得或（舍），即前15行的点数之和为120，不符合题意； 故选：B． 10．(24-25九上·内蒙古通辽科左中旗联盟校·期中)如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，动点的面积问题，根据题意表示出线段长度，由题意列出方程求解即可，熟练表示出对应线段的长度和准确列出方程是解题的关键． 【详解】 解：设t秒后，的面积等于4 由题意得：，，则 整理得： 解得：，（不合题意，舍去）， 即1秒后，的面积等于4， 故选：A． 11．(24-25九上·内蒙古通辽科左中旗联盟校·期中)如图，某广场有一块圆形的花圃，中间有一个正方形的水池，测量出除水池外圆内可种植面积是120m2，从水池边到圆周，每边都相距4m，设正方形的边长为xm，则可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和图形中的数据，用圆的面积减去正方形的面积等于圆内可种植的面积，列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可得，， 故选：C． 二、填空题 12．(24-25九上·内蒙古呼和浩特实验中学·)某厂一月份生产某机器 100 台，计划三月份生产 160 台．设二、三月份每月的平均增长率为 x，根据题意列出的方程是 ． 【答案】100（1+x）2=160 【详解】设二、三月份每月如平均增长率为x， 则二月份生产机器为：100(1+x)， 三月份生产机器为：100(1+x)2， 又知三月份生产160台， 所以，可列方程为． 13．(24-25九上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为21万元，5月份售价为18万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、明确原价、现价、降价百分率的关系是解题的关键． 设平均每次降价的百分率为x，根据“”列一元二次方程即可． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月均下降率是，， 由题意可得：． 故答案为：． 14．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)某县政府2012年投资0.5亿元用于保障性房建设，计划到2014年投资保障性房建设的资金为0.98亿元．如果从2012年到2014年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是 ． 【答案】40%. 【详解】解：设这两年中投入资金的平均年增长率是，由题意得： 解得：（不合题意） 答：这两年中投入资金的平均年增长率约是40%． 故答案为：40% 15．(24-25九上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗·期中)开始有2人患了流感，经过两轮传染后，共有72人患了流感，每轮传染中平均每人传染了 个人． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，以及利用开平方法解一元二次方程，设平均每人传染了x个人，第一轮有人被传染，第二轮有人被传染，然后根据已知条件列出关于x的一元二次方程，解方程，把不合适的解舍去即可． 【详解】解：设平均每人传染了x个人，第一轮有人被传染，总共有人患了流感， 第二轮有人被传染，总共有人患了流感， 根据题意有：， 整理得：， 即， 则， 则或， ∴，（舍去）， ∴平均每人传染了5个人， 故答案为：5． 16．(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔乌拉特前旗第三中学·期中)某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为 ． 【答案】x（x-1）=1640 【详解】试题分析:每人要赠送（x﹣1）张相片,有x个人,所以全班共送:（x﹣1）x=1640． 故答案是（x﹣1）x=1640． 17．(24-25九上·内蒙古赤峰松山区·期中)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株．设每盆多植x株，则可以列出的方程是 ． 【答案】(3＋x)(4－0.5x)＝15 【分析】由每盆多植x株，可得每盆共有(x+3)株；由“每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元”可得：增加x株后平均每株盈利为(4-0.5x)元；接下来根据等量关系：每盆花的株数×平均每株盈利=15元，即可列出方程． 【详解】解：根据题意可得(x+3)(4-0.5x)=15． 故答案为：(x+3)(4-0.5x)=15． 18．(24-25九上·内蒙古呼和浩特土默特左旗台阁牧中心校·期中)如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建一横两竖同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同品种的蔬菜，使种植蔬菜的面积为道路面积的3倍．设道路的宽为m，可列方程是 ． 【答案】 【分析】先将道路平移到两边即可得到长和宽，再根据面积公式即可得到方程． 【详解】解：平移后如图所示，设道路的宽度为 ，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形， 种植蔬菜的面积为道路面积的3倍， 种植蔬菜面积为矩形田地面积的． 根据题意得：． 故答案为：． 19．(24-25九上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽为x米，则可列方程 ． 【答案】 【分析】把道路进行平移，可得长为，宽为的矩形，再利用矩形的面积公式列方程即可． 【详解】解：把道路进行平移，则草坪的面积为一个矩形的面积，长为，宽为， ∴， 故答案为：． 20．(24-25九上·内蒙古锡林郭勒盟三县联考·期中)如图，在一面靠墙（墙长不限）的空地上用长为米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆且面积为平方米的矩形鸡场，若设垂直于墙的一边长为米，则可列方程 ． 【答案】 【分析】设垂直于墙的一边长为x米，根据垂直于墙的一共有4条边，则一共要花去4x米，则平行于墙的长为（40-4x），由此即可求解． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为x米，根据垂直于墙的一共有4条边，则一共要花去4x米，则平行于墙的长为（40-4x）， ∴， 故答案为：． 三、解答题 21．(24-25九·内蒙古通辽开鲁县蒙古族中学·期中)去年某大型商场在“十月黄金周”期间开展促销活动，前6天的营业额合计为7920万元，第七天的营业额是前6天营业额的10%． (1)求该商场去年“十月黄金周”七天的营业总额； (2)该商场去年7月份的营业额为7200万，7至9月份营业额的增长率相同，“十月黄金周”七天的营业额与9月份的营业额相等，求该商场去年7至9月份营业额的月平均增长率． 【详解】（1）解：（元）， 答：该商场去年“十月黄金周”七天的营业总额为8712元； （2）解：设该商场去年7至9月份营业额的月平均增长率为x， ， 解得x1=0.1=10%，x2=-2.1（舍去）， 答：该商场去年7至9月份营业额的月平均增长率为10%． 22．(24-25九上·内蒙古呼和浩特土默特左旗台阁牧中心校·期中)受益于国家支持新能源汽车发展等多重利好因素，某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，年利润为亿元，年利润为亿元． (1)求该企业从年到年利润的年平均增长率； (2)若年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业年的利润能否超过亿元？ 【详解】（1）解：该企业从年到年利润的年平均增长率为， 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该企业从年到年利润的年平均增长率为； （2）解：∵年保持前两年利润的年平均增长率不变， ∴企业年的利润为亿元， ∵， ∴该企业年的利润能超过亿元． 23．(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔扎兰屯·期中)“低碳生活，绿色出行”，自行车已成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆． (1)若该商城前4个月的自行车销售的月平均增长率相同，求2、3月份的月平均增长率？ (2)求商城4月份卖出多少辆自行车？ (3)考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型自行车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型自行车的进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售验，A型自行车不少于B型自行车的2倍，但不超过B型自行车的2.8倍．假设所进自行车全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？ 【详解】（1）解：设2、3月份的月平均增长率为， ， 解得：，（舍去）， 答：2、3月份的月平均增长率为； （2）解：商城4月份卖出自行车数量为：辆， 答：商城4月份卖出辆自行车； （3）解：设购进B型自行车辆，利润为元， 则， 解得：， 又∵为整数， ∴， 又∵， ∵随a的增大而减小， ∴当时，有最大值， 此时，辆， ∴该商城应购进辆A型自行车，辆B型自行车，利润最大． 24．(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔乌拉特前旗第三中学·期中)商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若某天该商品每件降价3元，当天可盈利多少元？ (2)设每件商品降价x元，在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 【详解】（1）解：某天该商品每件降价3元，则每件商品盈利为：元，销售数量件， 当天可盈利（元） 答：当天可盈利1692元； （2）解：根据题意得， 整理，得 解得， 为了尽快减少库存， 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元. 25．(24-25九上·内蒙古赤峰第三中学·期中)解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 26．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中)商场某种商品平均每天可销售60件，每件盈利100元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律，请回答： (1)商场日销售量80件，商场日盈利可达到______元（直接填答案）； (2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到8400元？ (3)若商场日盈利元，求的最大值． 【详解】（1）解：由销量增加了20件，得降价了10元， 日盈利（元， 故答案为：7200； （2）解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到8400元， 由题意得：， 化简得：，解得：，， 该商场为了尽快减少库存，则不合题意，舍去， ， 答：每件商品降价40元，商场日盈利可达8400元； （3）解：由（2）得， 化简得：， 由得，，解得：， 故的最大值为8450， 答：商场日盈利元，的最大值为8450元． 27．(24-25九上·内蒙古通辽科左中旗联盟校·期中)龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得（不合题意，舍去） 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 ，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 28．(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古农业大学附属中学·期中)一个小球，以的速度开始滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． （1）小球的滚动速度平均每秒减少多少？ （2）小球滚动用了多少秒？（结果保留小数点后一位） 【详解】解：（1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即5÷4=1.25（m/s）， 故小球的滚动速度平均每秒减少1.25小m/s； （2）球滚动到5m时约用了xs， 依题意，得：， 整理得：x2-8x+8=0， 解得：， ∵x＜4， ∴． 故小球滚动5m用了1.2秒． 29．(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔杭锦后旗·期中)为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？ 【详解】解：∵100×30=3000＜3150， ∴该班参加研学游活动的学生数超过30人． 设九（1）班共有x人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x﹣30）]元，由题意得： x[100﹣2（x﹣30）]=3150， 整理得x2﹣80x+1575=0， 解得x1=35，x2=45， 当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意． 当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去． 答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动． 30．(24-25九上·内蒙古呼和浩特玉泉区·)如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？ 【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意得 (50-2x)×(38-2x)=1260 解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去) 答：道路的宽应为4m． 31．(24-25九上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润销售利润承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ 【详解】解：（1）根据题意得：； （2）根据题意得： ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∵， ∴路面设置的宽度符合要求； （3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵要让利于顾客， ∴． 答：每平方米草莓平均利润下调40元． 32．(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学·期中)我校在诚正楼南面准备建一个动物家园（养小鸭和小兔），购买了15m的木栅栏，准备用这些木栅栏靠墙（墙长7m）围建一个中间带有木栅栏的矩形动物家园（如图所示）． (1)若要建的动物家园面积为，求动物家园的长和宽； (2)由于动物增加，需要增加动物家园的面积，如不增加木栅栏的长，能否使得动物家园的面积达到吗？请说明理由． 【详解】（1）解：设 ，则， 依题意，得：， 解得：，． 当时，，符合题意， 当时，，，不合题意，舍去． 答：鸡场的长为，宽为． （2）不能，理由如下： 设 ，则， 依题意，得：， 整理，得：． △， 该方程无实数根，即该扶贫单位不能建成一个的矩形养鸡场． 33．(24-25九上·内蒙古通辽科左中旗联盟校·期中)如图，要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完），若设为x米． (1)的长为 米（用含x的代数式表示） (2)若仓库的面积为150平米，求； (3)仓库的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由． 【详解】（1）解：设的长为米， ∵要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完）， ∴米， 故答案为： （2）解：根据题意得，， 解得：，， 当时，， 当时，（不合题意舍去）， ∴米； （3）解：根据题意得，， ∴ ∴ 则 该方程无实数解 ∴仓库的面积不能为． 34．(24-25九上·内蒙古赤峰第三中学·期中)如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动，设移动时间为． (1)当t为何值时，的长为？ (2)是否存在t的值，使得的面积为？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：当点Q移动到点C时，， 当点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动到点B需要的时间是：, ∴， 由题意得： ∴ 在中，由勾股定理得： ，解得： ∵ ∴当时，； （2）解：由题意得， 解得：（不合题意，舍去） ∴当，使得的面积为 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题01一元二次方程 ☆5大高频考点概览 考点01一元二次方程的定义和一元二次方程的解 考点02解一元二次方程 考点03一元二次方程根的判别式 考点04一元二次方程跟与系数的关系 考点05一元二次方程的应用 目目 考点01 元二次方程的定义和一元二次方程的解 一、单选题 1.(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)下列方程中，不是关于x的一元二次方程的是() A.X+y-2=0B.xx-2=0 C.x2+2x+4=0D.x2-x-1=0 2.(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古农业大学附属中学期中)下列方程中，是关于x的一元二次方 程的是() A.3x+12+x+1=0 1+1-2=0 B. C.ax2+bx+c=0 D.x2+2x=x+1x-1 3.(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔乌拉特前旗第三中学·期中)关于x的方程(m-1)x2+2x-3=0是一元二 次方程，则m的取值是() A.任意实数B.m≠1 C.m≠-1 D.m>1 4.(23-24九上·福建厦门·期末)关于x的一元二次方程(a-1)x+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值为( A.1 B.-1 C.1或-1 D.0 5.(24-25九上·内蒙古赤峰第三中学期中)关于x的一元二次方程(m-1)x2+(2m+1)x+m2-1=0的一个 根为0，则m的值为() A.-1 B.1 C.1或-1 6.(24-25九上·内蒙古通辽科左中旗联盟校·期中)已知x2是一元二次方程x2+bx一c-0的解，则一 1/18 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 4b+2c=() A.8 B.-8 C.4 D.-4 7.(24-25九内蒙古通辽开鲁县蒙古族中学·期中)若a方程x2-X-1=0的一个根，则-a3+2a+2022的值 为() A.2021 B.-2023 C.2019 D.-2019 8.(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔扎兰屯·期中)根据下列表格的对应值：判断方程ax2+bx+c=0(a≠0， a,b,c为常数)的一个解x的范围是() x 8 9 10 11 12 ax-+bx+c -4.56-2.01 -0.38 3.4 2 A.8<X<9 B.9<X<10 C.10<x<11 D.11<x<12 9.(24-25九上·内蒙古呼和浩特土默特左旗台阁牧中心校·期中)方程3x2-2=4x化为一元二次方程的一般形 式后，二次项系数和一次项系数分别是() A.3,-4 B.3,4 C.3,-2 D.-4,-2 10.(24-25九上·内蒙古呼和浩特玉泉区)一元二次方程x+6x-5=0配方后变形正确的是（) A.(x-3)2=14B.(x+3)2=4 C.(x+6)2 2 D.(x+3)2=14 11.(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中)关于x的方程ax2+n=0(a、n为常 数)的解是 X=-3'x=3则方程ax-5+n=0的解是() A.X1=-3,X2=3 B.X1=-8,X2=-2 C.X1=3,X2=-3 D.X1=2,X2=8 12.(24-25九上·内蒙古赤峰第三中学·期中)已知a、b为实数，且满足a2+b2+2a+b2-15=0,则代数 式a+b的值为() A.3或-5B.3 C.-3或5 D.5 二、填空题 13.(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔扎兰屯期中)关于x的方程a-1xa+1-3x+2=0是一元二次方程，则 a= 2/18 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 14.24-25九上内蒙古呼和洁特实验中学)一元二次方程a+1X2-0x+0=1的一个根为0，则另-个根 为x=i: 15.(24-25九上·内蒙古赤峰松山区·期中)若a是方程2x2-x-4=0的一个根，则代数式4a2-2a的值是 三、解答题 16.(24-25九上·内蒙古赤峰松山区·期中)阅读理解： 材料一：把形如ax2+bx+c的二次三项式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平 方公式的逆写，即a+2ab+b2=a+b配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用. 例如：我们可以将代数式a2+6a+10进行变形，其过程如下： a2+6a+10=a2+6a+10=a+6a+9+10-9=a+32+1 .a+32≥0 .a+32+1≥1 .该式有最小值1 材料二：我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这 个常数称为A关于B的“雅常值”.如多项式A=x2+2x+1,B=X+4)X-2: A-B=X+2x+1-x+4x-2=X2+2X+1-X+2x-8)=9则A是B的“雅常式”，A关于B的 “雅常值”为9. 根据材料，完成下面问题： (1)已知多项式C=x2-x-1,D=x+2x-3,判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由， 若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”； (2)已知多项式M=x-a2,N=x2-2x+b(a,b为常数)，M是N的“雅常式”，且当x为实数时，N 的最小值为-3，求M关于N的“雅常值”. 目目 考点02 解一元二次方程 一、单选题 3/18 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 1.(24-25九上·内蒙古赤峰·期中)方程x2=-x的解是() A.x=1 B.x=0 C.x=-1或x2=0D.x=1或x2=0 2.(24-25九上·内蒙古赤峰松山区·期中)一元二次方程xx-5=x-5的根是() A.x=1 B.X=-5 C.X1=1,X2=5 D.X1=0,X2=5 3.(24-25九上·内蒙古赤峰·期中)已知一元二次方程x2-6x+8=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底和腰， 则△ABC的周长为() A.10 B.10或8 C.9 D.8 二、填空题 4.(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)方程x2+2x=0的解为 5.(23-24九上·江苏宿迁宿城区期中)三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-6x+8=0的解，则这 个三角形周长是 三、解答题 6.(24-25九上·内蒙古呼和浩特第三十中学期中)解方程： (1)x2-6X+5=0(用配方法) (2)2x-12=3-x2 7.(24-25九上·内蒙古呼和浩特玉泉区)解下列方程 (1)x2-5x-6=0 (2)2(x-3)2=8 （3)4x2-6x-3=0 (4)(2x-3)2=5(2x-3) 8.解下列方程. (1)x2-4x+1=0: (2)x3x+2=63x+2: (3)2x+3x=3. 9.(24-25九上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)用适当的方法解方程： (1)2x+32=16: (2)x2-4x-3=0: (3)x+4=5x+4. 10.(24-25九上·内蒙古呼和浩特实验中学)解方程 4/18 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 02x-32=x2-9 (2)3x2-2x-5=0 (3)2x+12+2x+1-6=0 11.(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中)用适当的方法解下列一元二次方程： (1)x2-2x-15=0: (2)2x-12=3-x2. 12.(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)解方程： (1)x2-7x+6=0 (2(2y+52=9 (3)x+3)2=2x+6 13.(24-25九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中)用适当的方法解下列方程 (1)3xx-2=22-x: (2)2x-12=x2+6x+9: (3)2x2-4x-3=0. 14.(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古农业大学附属中学期中)解方程 02x2-x-1=0 (2)7x2-V6x-5=0 15.(24-25九上·内蒙古赤峰第三中学期中)解方程： (1)x2-2x-1=0 (2)x+8x+1=-12 (3)2x-3=3xx-3 (4)y-12+2y1-y=0 16.(24-25九上，内蒙古通辽科左中旗联盟校·期中)阅读理解： 解方程：x2-x-2=0, 解：(1)当x≥0时，原方程化为x2-X-2=0, 5/18 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 解得：X1=2,X2=-1(舍去)· (2)当x<0时，原方程化为x2+X-2=0, 解得：X1=1（舍去)，x2=-2. 综上所述，原方程的解为X1=2,X2=-2. 请参照上述方法解方程：x2-x-3-3=0. 考点03 元二次方程根的判别式 一、单选题 1.(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是() A.x2-4=0 B.4x2+4x+1=0C.x2+2x+4=0D.x2-X-1=0 2.(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学期中)一元二次方程x2-5x+1=0的 根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 3.(24-25九上·内蒙古乌兰察布化德县第三中学·期中)关于x的一元二次方程x2-2x+2+m2-0的根的情况是 () A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 4.(24-25九上·内蒙古呼和浩特实验中学)若关于x的一元二次方程x2-2x-1=0有两个不相等的实数根， 则实数k的取值范围是( i A.k>-1 B.k<1且0 C.②-1且0 D.k>-1且k≠0 5.(24-25九上内蒙古赤峰松山区·期中)关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x-1=0有两个实数根，则实 数m的取值范围是() A.m20 B.m>0 C.m20且.m≠1 D.m>0且m≠1 6.(24-25九上·内蒙古乌兰察布化德县第三中学，期中)已知关于x的方程mx2-2(3m-1)x+9m-1=0有 两个实根，那么m的取值范围是() A.ms5 1 1 B.m≤年且m≠0 D.m> 5 C.m25 (3)△<0一方程没有实数根. 二、填空题 6/18 函学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 7.(24-25九上·内蒙古呼和浩特土默特左旗台阁牧中心校·期中)已知关于x的一元二次方程x2-6x+3k=0 有两个相等的实数根，则k的值是一· 8.(24-25九上·内蒙古赤峰·期中)已知关于x的方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围 是一 9.(24-25九上·内蒙古呼和浩特第三十中学期中)若关于x的方程ax2+2(a十2)x十a=0有实数解，那么实 数a的取值范围是一 10.(24-25九上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)定义新运算“a*b”：对于任意实数a,b,都有 a*b=ab+1,其中等式右边是通常的加法和乘法运算.例如：3*4=3×4+1=13.若关于x的方程 X*kx+1=0有两个实数根，则实数k的取值范围是一· 三、解答题 11.(24-25九上·内蒙古呼和浩特玉泉区)已知关于x方程x2+ax+a-5=0. (1)若该方程的一个根为3，求α的值及该方程的另一根： (2)求证：不论α取何实数，该方程都有两个不相等的实数根. 12.(24-25九上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)我们规定：对于任意实数a、b、c、d有 [a,b]*[c,d]=ac-bd,其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=13. (1)求[-4,3]*[2，-6]的值： (2)已知关于x的方程[x,2x-1]*[mx+1,m]=0有两个实数根，求m的取值范围. 13.(24-25九上·内蒙古乌兰察布集宁区亿利东方学校四校期中联考·期中)已知关于x的一元二次方程 x2-2kx+k2-k+1=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围： (2)若k<3且k为整数，求方程的根. 考点04 元二次方程跟与系数的关系 一、单选题 1.(24-25九上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)若关于x的一元二次方程的两根为X1=1、X2=2,则这个方程 是() A.x2+6X-2=0 B.x2-3x+2=0 C.x2-2x+3=0 D.X2+3X+2=0 2.(24-25九上·内蒙古呼和浩特第四中学.期中)已知关于x的一元二次方程x2+5x-m=0的一个根是2，则 另一个根是() 7/18 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A.-7 B.7 C.3 D.-3 3.(24-25九上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)若关于x的一元二次方程x2-m2-1x+m=0 的两个实数根互为相反数，则m的值为() A.-1或1B.-1或0 C.-1 D.0 4.(24-25九上·内蒙古呼和浩特玉泉区)已知关于x的一元二次方程x2一十k一3=0的两个实数根分别为 x1,X2,且x1+x=5,则k的值是() A.-2 B.2 C.-1 D.1 5.(24-25九上·内蒙古通辽科左中旗联盟校·期中)已知方程x2-2021x+1=0的两根分别为m、n,则 m2-2021 的值为() A.1 B.-1 C.2021 D.-2021 二、填空题 6.(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古师范大学附属学校·期中)设X1,X2是一元二次方程 x2-X-1=0的两根，则x1+X2+x1X2=(一· 7.(24-25九上·内蒙古呼和浩特土默特左旗台阁牧中心校·期中)已知方程2x2+3x-1=0的两个实数为根 X1,X2,则x1X2=式一，X12+X22=(_ 8.(24-25九上·内蒙古锡林郭勒盟三县联考·期中)若x1,x2是一元二次方程x2+2x-k-1=0的两根，且 X1X2=-3,则k的值为一· 9.(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区内蒙古农业大学附属中学·期中)已知关于x的一元二次方程 x2+2k+8x+k2=0有两个不相等的实数根x1,x2,若 1+1=-1,则k的值为一 X1 X2 10.(24-25九上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)已知m,n是一元二次方程x2+2x-2026=0的两个实数根， 则代数式m+3m+n的值等于-： 【答案】2024 11.(24-25九上·内蒙古呼和浩特实验中学)已知m,n是方程x2+x-3=0的两个实数根，则m2-n+2024 的值是一 12.(24-25九上·内蒙古赤峰第三中学·期中)非零实数a,ba≠b)满足a2-a-2021=0,b2-b-2021=0, 8/18 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 则+ 的值是 a b 13.(24-25九上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗·期中)等腰三角形三边长分别为a、b、2,且a,b是关于x的 一元二次方程x2-6x+n-1=0的两根，则n的值为 14.24-25九上内蒙古呼伦贝尔扎兰屯期中)如果方程(x-1(x2-2x+人)=0的三根可以作为一个三角形 4 的三边之长，那么实数k的取值范围是_· 三、解答题 15.(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔杭锦后旗·期中)已知关于x的方程x2-2(+1)x+k2=0有两个实数根 X1、x2. (1)求k的取值范围： （2)若x+x23xx2-6,求k的值. 16.(24-25九上·内蒙古赤峰松山区·期中)6.己知关于x的一元二次方程x-3x-1-p2=0 (1)求证：无论p为何值，方程总有两个不相等的实数根， (2)若x1,X2是方程的两个实数根，且满足x12x2+X1X2=-24,求p的值. 17.(24-25九上·内蒙古锡林郭勒盟三县联考期中)已知关于x的一元二次方程x2-2x-3m2=0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根： (2)若方程的两个实数根分别为C,B,且a+2B=5,求m的值。 18.(24-25九上·内蒙古呼和浩特第四中学·期中)已知@、B是关于x的一元二次方程x2+2m+3x+m2=0 的两个不相等的实数根 (1)直接写出m的取值范围 1+1=-1,求m的值 (2)若满足 aβ 19.(24-25九上·内蒙古呼和浩特第三十中学·期中)已知关于x的方程(k+2)x2+(k-1)x-3=0. (1)求证：无论k为何实数，方程总有实数根： 9/18 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (2)若此方程有两个根x1和x2,且x12+X22=10,求k的值. 20.(24-25九上·内蒙古通辽科左中旗联盟校·期中)已知x1、x3是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0 的两实数根. (1)求m的取值范围. (2)若(x-1)x2-1)=28,求m的值； 21.(24-25九上·内蒙古呼和浩特实验中学)已知关于x的一元方程x2+2k+1)x+k2-1=0有两个实数根. (1)求实数根k的取值范围： (2)是否存在实数k,使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等？若存在，求出k的值；若不存在， 说明理由、 22.(24-25九上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)已知关于x的一元二次方程x2-m-3x-m=0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根： (2)如果方程的两实根为x1、X2,且x+x号-X1X2=19,求m的值. 23.(24-25九上内蒙古赤峰·期中)阅读材料： 【材料1】若一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，b2-4ac≥0的两根为x1、x2,则 X+x=-b 【材料2】已知实数m、n满足m2-m-1=0、n2-n-1=0,且m≠n,求”+m的值. m n 解：由题知m、n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根， 根据材料1得：m+n=1,mn=-1, :n+m=m+m=m+n2-2mm=1+2=-3. m n mn mn -1 根据上述材料解决下面问题： (1)关于x的方程2x+mx+n=0的两个根是-2和1，则n"的值为-· (2)已知实数m、n满足2m2-2m-1=0、2n2-2n-1=0,且m≠n,求m2n+mn2的值. (3)若关于x的方程x2-k-1x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值. 考点05 元二次方程的应用 10/18