上海市进才中学2025-2026学年高三上学期第一次阶段测试数学试题

2025-2026学年上海市进才中学高三年级上学期第一次阶段测试 2025.9 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1.已知集合A={x|-1<x<2},B={x1(x-1)(x-3)>0},则A∩B= 【答案】（-1，) 【解析】集合A={x1-1<x<2}=(-1,2),B=（-0,1)U(3,+o) 则A∩B=（-1,1) 2.若z(1+)=1-2i,则z=· 【答案】-13： 22 【解析】由题意，z= 1-2i13 1+i22 3.设{an}是等比数列，a=1,aa4=16,则a= 【答案】16 【解析】a,a4=a,a5.a5=16 4.函数f(x)=√3-x+ln(x-)的定义域是 【答案】(1,3] 【解析】中题意得： [3 x≥0 x-1>01 解得：1<x≤3， 故函数的定义域是(1,3]. 5.已知向量a,方满足1a1,i2,后-=2，则a+= 【答案】√6 【解折】~a1,16=2,后-8=2，-2a-万+=4→a-6=月 +=f+2a万+同-+2x+4=6 第1项（共11） 6若函数满足f(+2r日=3x,则f(2)的值为一 【答案】-1 【解折】函数)满足/()+2日=3x。 所以f日+21)-， 所以f()+2[2-2例=3x→f(-是x→f2)=-1, 7.已知多项式(x-1)3+(x+1)=x+ax3+a2x2+ax+a4,则a=_ 【答案】5 【解析】a即为展开式中x的系数，所以a=C(-l)°+C4=5 8.已知点P与点(3,4)的距离不大于1，则点P到直线3x+4y+5=0的距离最小值为 【答案】5 【解析】设P(x,y),则(x-3)2+(y-4)2≤1， .P在圆(x-3)2+(y-4)2=1内或在圆上， 则点P到直线3x+4y+5=0的距离最小值为3×3+4×4+5-1=5. V32+4 9.有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥已知圆柱的底面半径 为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为 【答案】33π 【解析】圆柱的体积为：π×32×5=45π，圆锥的体积为： π×32×4=12r, 、 则木制工艺品的休积为：45π-12π=33π， 10.若h线1：y=x+3与圆C:x2+y2=4相交于A,B两点，且∠A0B=T(其中0为原点)， 则k的值为 【答案】±√瓦 【解析】：y=c+1与圆x2+y2=1相交于点(0，)，设A(0,), 又∠40B=号，A408是等边三角形， .圆心(0,0)到直线的距离d= =√5，解得k=±√2 √1+k2 第2项（共11） II.在Rt△ABC中，AC=BC=4,D为AB的中点，P为线段CD上的一个动点，则 (PA+PB)·PC的最小值为 【答案】-4 【解析】Rt△ABC中，AC=BC=4,D为AB的中点， 所以AB=2CD=4V2,PA+PB=2PD, 设1PDFx,则|PD=2√2-x,x∈[0,2W2], 所以(PA+PB)PC=2PD.PC=-2IPDL·PC1 =-2x(2W2-x)=2x2-4V2x=2(x-√2)2-4≥-4， 即当x=√2时，(PA+PB)PC的最小值为4. 12.已知数列{a,},a=a(0<a<),a=a”给出下列四个结论： ①a2∈(a,l): ②a>ay； ③{am}为递增数列： ④n∈N,使得|a+1-anK1-a. 其中所有正确结论的序号是 【答案】①②① 【解析】根据题意可知a=aA=a°，因为0<a<1,所以d<a°<a°一，e(a,1)即①正确： 出a,<a2<1,可得a>>d,得1>a2>a>a,=a,所以a"<a<a9,即a<a,<a2, 枚③不正确； 根据递推式有a<a,<a,<a2<1,a>a>a，即a4>a>4, 同理可得a4>as>a,45<4,<s,a6>4>a,a,<4,<as,从而可得a>a”>a，即 第3项（共11） a>4。>a,，故②正确： 因为0<a<1,所以a°=a,∈(a,),则aa》,依次可知a,sa,所以 0数 |an+l-anK1-a成立，④正确 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1).上.单湖递增的是（) A.y=2-x B.y=In x C.y=x3 D.y=sinx 【答案】D 【解析】通过奇偶性排除ABC,故选D. 14.在△ABC中，则C=T"是“sin2A+sin2B=1的() 2 A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】若C=,所以sinB=cosA, 2 所以sinA+sin2B=sin2A+cos2A=1,充分性成立； 当sin'A+sin'B=1时，取A=交和B=交+区=A+石 12 122 2 此时满足m4+smB=油晋+6o心晋=1，但C-号产号，即+4，必要性不成立 12 综上，“a2+b2=c2“是“sin2A+sin2B=1“的充分不必要条件. 故选：A. 15若数列a}满足a,=2y-128,其前n项和为S,则() A.S,既无最大值，又无最小值 B.当且仪当n=1时，S,取得最小值 C.当月仅当n=8时，Sn取得最小值 D.VneN',Sn≥S, 【答案】D 【解析】若数列a,}满足a,=N2yr-128,，其前n项和为S, 市数列21，←-128均为递增数列，可得数列a,}为递端数列， 因为4=N2y-128-8N2-128-128-128<0,4=16-128=0, 7 78√27 8 第4项（共11） 故当n≤7时，an<0:当n≥9时，an>0 Sn无最大值，但有最小值，且最小值为S,、Sg,即S,=S。 所以，D对，ABC均错 枚选：D. 16.已知函数f(x)=2加r-2s,则（) Af匠+刘=f经-刘 B.f(x)不是周期函数 C.f)在区问(0，)上存在极值 D.f(x)在区问(0，π)内行且只行一个零点 【答案】D 【解析】对于A:因为函数f(x)=2n-2osr, 所以fx++f-=2学-2学+2w-2m=2m-2+2a:-2=0, 所以f(x)关于点 所以匠+刘=-匠-，故A错误： 对于B:因为fx+2r)=2r2)-2r+2=2mr-2or=f(x), 所以2π为函数f(x)的一个周期，故B错误； 对于C:因为f(x)=2n-2, 所以f'(x)=2 imx COSx·ln2+2 ox sinx-ln2, 当0<x<交时，∫()>0，fx)单调递增， 2 所以∫x)在(0，召)上单调递增，故C错误： 对于D:令f(x)=2imr-2osx=0,即2m=2os,即sinx=cosx, 因为x∈(0，x),则tanx=l, 所以x=子 所以方程在(0，π)上只有个根， 所以函数f(x)在(O,π)内有且贝有一个零点，故D正确 故选：D. 第5项（共11） 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤 17.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 在△MBC中，a=5,A=,6-26 3 -asin B. 3 (1)求sinB: (2)求c以及SBc的值. 【答案】(1) 互.。2+6 2:(2)c= 、3+V5 2 4 【解析】(1)2R=a=2, sin A n8,整理得：b25x5-5, 6-26 3x2 则：226xBsm8,解得snsV3 2 2》出余弦定理3=2+e-2x5xe×解特e=5生6 (负值舍去)， 2 所以s5x-c通4xx5生6.3t9 2 4 18.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底而ABCD是平行四边形，∠BCD=I3S°，侧面PAB⊥底面 ABCD,∠BAP=90°，AB=AC=PA=2,E,F分别为BC,AD的中点，点M在线段PD 上 (1)求证：EF⊥平面PAC; (2)如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求PM的 PD 值 A D B E 【答案】(1)见解析；(2) 3-5 2 【解析】（1)证明：在平行四边形ABCD中，∠BCD=135°，.∠ABC=45°， AB=AC,∴.AB⊥AC. 第6项（共11） E,F分别为BC,AD的中点，.EF/IAB, EF⊥AC ,侧而PAB⊥底而ABCD,且∠BAP=90°， .PA⊥底面ABCD 又EFC底面ABCD, PA⊥EF. 又PA∩AC=A,PAc平血PAC,ACc平血PAC, .EF⊥平面PAC. (2):PA⊥底面ABCD,AB⊥AC,AP,AB,AC两两垂直， 以A为原点，分别以AB,AC,AP为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系如图： 则A(0,0,0)B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),D(-2,2,0),E(1,10). PB=(2,0,-2),PD=(-2,2,-2),BC=(-2,2,0)PE=(11,-2), 设器=0c, 则PM=（-2元，2元，-22)，∴.ME=PE-PM=(1+22,1-22,22-2)； 显然平面ABCD的一个法向量为m=(0,O,1), Z 设平面PBC的法向量为n=（x,y,), 则：c=0 即 [-2.x+2y=0 7.PB=0 2x-2z=0 令x=1,得 n=(1,l,∴cos(n,ME)= n.ME2λ MEV3M园 cos<m,ME>=_ ME 21-2 ME MEI :1线ME与平面PBC所成的角和此线与平面ABCD所成的角相等， 品远H器刚2-2H 解得1=3-V3 2—，或2=3+5 PM_3-3 2 (合) PD 2 第7项（共11） 19.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校 有75人答对，用频率估计概率. (1)从中校随机抽取1人，求这个人做对该题日的概率； (2)从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的 数学期望： (3)若甲校同学掌握这个知识点，则有100%的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识 点，则有85%的概率做对该题日，未学握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一 个，设甲校学生掌握该知识点的概率为p,乙校学生掌握该知识点的概率为p,,试比较P, 与P,的大小.（结论不要求证明） 4 【答案】I)号2)见解折：(3》A<n 【解析】(1)用频率估计概率，从甲校随机抽取1人，做对趣目的概率为80_4 100-51 (2)设A为“从甲校抽取1人做对”，则P(A)=0.8, 则P(A=02，,设B为“从乙校抽取1人做对"， 则P(B)=0.75,则P(B)=0.25,设C为“恰有1人做对”， P(C)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.35, 而X可取0,1,2，P(X=0)=P(AB)=0.05, P(X=1)=0.35,P(X=2)=0.8×0.75=0.6, 故X的分布列如下表： X 0 1 2 0.05 0.35 0.6 故E(X)=1×0.35+2×0.6=1.55; (3)证明：设D为“甲校掌握该知识的学生”， 因为甲校掌握这个知识点则有100%的概率做对该题月，未掌握该知识点的同学都是从四个 选项里而随机选择一个， 枚PD)+4I-PD》=0.8,即n+4x-P)=0.8, 4 5 放卫=15，同理有0.85D+×0-2)=0.75,故2=，故A<2 4 6 第8项（共11） 20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 设常数1>2.在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0),直线1：x=1,曲线 Γ：y2=8x(0≤x≤1，y≥0).1与x轴交于点A、与T交于点B.P、Q分别是曲线「与线段AB上 的动点。 （I)用t表小示点B到点F的此离： (2)设t=3,|FQ=2,线段O2的中点在直线FP.上，求△AQP的面积： (3)设1=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在T上？若存在，求点 P的坐标：若不存在，说明理中 【答案】(1)t+2:2)7 4、/ ：(3)存在， 6 【解析】(1)由题意可知：设B,2V21, 则|BF=V(U-2)2+81=1+2, BF=1+2: (2)F(2,0),1F9=2,1=3,则|FA=1, 小40V5,Q3,5),设00的中点D, 33 22 及 一=-√5，则直线PF方程：y=-√5(x-2), 2 联立少一3(x-2).教理得：3x-20x+12=0, y2=8x 解得：x=名，x=6(舍去)， 3 A40P的面积S=xV5x7=75 2 36 (3)存在， -216'16- 8y 8 1线QF方程为y=16严x-2),6-16上 8y 188-2)-8Y,e8,48=3 4y 4y 第9页（共11项） :48+少=8片+6，解得：y= 4y 51 :存在以FP、FQ为邻边的知形FPEQ,使得点E在「上，且P 55 21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 1 己知函数f(x)=(二+a)e,aeR. (1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)当a=1时，求函数f(x)的单满递减区间： (3)若函数fx)在区问(0，)上只有一个极值点， 求a的取值范围 【答案】(1)y=e;(2) -1-V5-1+5 2 (3)(0,+0) 2 【解析】(1)由题知f=上e,f()=e fe=e,所以f0=0 所以切线方程为：y-e=0(x·),即y=e; (2)由已知得：fx)=(仁+1)e,x∈R, =e1-)=er+- x2 令<0得r+x-1<0,解得1,5<x<-1+5 2 所以f(x)的递减区间为 2’2 (3)由已知得f=e.m+x-1 x? =0在(0，)上有且只有一个变号根， 即g(x)=ax2+x-1在(0,1)上只有一个变号零点，显然g(0)=-1<0,g(1)=a 当≤0时，g(x)在(0,1)上有0个零点，或者两个互异零点，或两个相等的零点，不符合题 第10项（共11项）2025-2026学年上海市进才中学高三年级上学期第一次阶段测试 2025.9 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1.已知集合A={x-1<x<2},B={x(x-1(x-3)>0},则A∩B= 2.若z(1+)=1-2i,则z= 3.设{an}是等比数列，a,=1,a2a4=16,则a= 4.函数f(x)=√3-x+ln(x-)的定义域是 5.已知向量a,方满足1a1,15非2，日-=2，则a+=一 6若函数/满足/()+2/日 =3x,则f(2)的值为 7.已知多项式(x-1)3+(x+)°=x+ax+a2x2+ax+a1,则a= 8.已知点P与点(3,4)的距离不大于1，则点P到直线3x+4y+5=0的距离最小值为 9有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥已知圆柱的底面半径 为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为 10.若线：y=c+3与圆C:r+广=4相交于4，B两点，月∠40B=号（其中0为原点， 则k的值为 IL.在R1△ABC中，AC=BC=4,D为AB的中点，P为线段CD上的一个动点，则 (PA+PB)·PC的最小值为 12.已知数列{a,},a=a(0<a<),a=a给出下列四个结论： ①a,e(a,1): ②ao>ai ③{an}为递增数列： ④n∈N,使得|a1-ankI-a. 其中所有正确结论的序号是 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。 13.下列函数中，既是奇函数又在区间(0，).上单调递增的是（) A.y=2-x B.y=Inx C.y=x3 D.y=sinx 14.在△ABC中，则C=严”是“sin2A+sinB=1"的() A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充要条件 D.既不充分又不必要条件 15.若数列a,}满足a,=W2y-128 其前n项和为S。,则() A.S,既无最大值，又无最小值 B.当且仪当n=1时，S,取得最小值 C.当且仅当n=8时，Sn取得最小值 D.n∈N',Sm≥S, 16.已知函数f(x)=20r-2sr,则( ) Af保+切=f-刘 B.f(x)不是周期函数 C.f)在区间(0，)上存在极值 D.f(x)在区问(0，π)内有且只行一个零点 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤 17.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 在△1BC中，a=5,A=,6=2 3 -asin B. 3 (1)求sinB: (2)求c以及S4e的值. 18.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=I3S°，侧面PAB⊥底面 ABCD,∠BAP=90°，AB=AC=PA=2,E,F分别为BC,AD的中点，点M在线段PD 上 (1)求证：EF⊥平面PAC: (2)如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求PM的 PD 值。 D B 19.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校 有75人答对，用频率估计概率】 (1)从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题日的概率： (2)从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的 数学期望： (3)若甲校同学掌握这个知识点，则有100%的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识 点，则有85%的概率做对该题日，未学握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一 个，设甲校学生掌握该知识点的概率为B,，乙校学生掌握该知识点的概率为P,,试比较P, 与P,的大小.（结论不要求证明） 20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 设常数1>2.在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0),直线：x=1,曲线 「：y2=8x(0≤≤1,20).1与x轴交于点A、与T交于点B.P、Q分别是曲线T与线段AB上 的动点。 (I)用t表示点B到点F的离： (2)设t=3,|F2上2，线段OQ的中点在直线FP.上，米△4QP的而积： (3)设1=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在T上？若存在，求点 P的坐标：若不存在，说明理中 21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 己知函数f)=仁+ae,aeR. (1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(L,f(①)处的切线方程： (2)当a=1时，求函数f(x)的单调递减区间： (3)若函数f(x)在区问(Q,)上只有一个极值点，求a的取值范围