1.1.1集合的概念与表示课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

1.1集合的概念与表示 在初中数学中,经常按类来研究事物,例如,代数中的自然数、整数、有理数,以及平面几何中的三角形、四边形、五边形.在现实生活中,也经常需要把事物分类来看,例如,在学校中,按照年级分类,全体高一年级学生是一类人群,全体高二年级学生是另一类人群. 一般地,我们把指定的某些对象的全体称为集合, 集合中的每个对象叫作这个集合的元素,通常用小写英文字母a,b,c,…表示. 例如,正整数1,2,3可以组成一个集合,这个集合有3个元素,分别是1,2,3; 全体正奇数也可以组成一个集合,这个集合有无穷多个元素,1,3,5是它的一部分元素. 通常用大写英文字母A,B,C,…表示. 练习1、请指出下列集合中的元素： （1）“young”中的字母构成一个集合，该集合的元素是 （2）“中国的直辖市”构成一个集合，该集合的元素是 （3）“book”中的字母构成一个集合，该集合的元素是 y，o，u，n，g五个字母 北京，上海，天津，重庆 b，o，k三个字母 一个集合确定后,任何一个对象是或不是这个集合的元素就确定了. 如果元素a在集合A中,就说元素a属于集合A, ; 如果元素a不在集合A中,就说元素a不属于集合A, 记作 例如,若集合B是小于10的所有素数组成的集合, 记作a∈A aA 则2∈B,6B. 元素与集合关系 元素与集合的关系关系 语言描述 记法 关系 读法 属于 a是集合A的元素 a不是集合A中的元素 不属于 a∈A a属于集合A a不属于集合A a∉A 规定: 一个集合中的任何两个元素都不相同.也就是说,集合中的元素没有重复。 数集 :自然数的集合,有理数的集合,不等式x-7<3的解的集合… 点集: 圆(到一个定点的距离等于定长的点 的集合) 线段的垂直平分线(到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合), … 集合中元素的特征 思考1：某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？ 不能，集合中的元素必须是确定的 思考2：在一个给定的集合中能否有相同的元素？由此说明什么？ 不能，集合中的元素是不重复出现的 思考3：高一19班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？由此说明什么？ 无变化，集合中的元素是没有顺序的 总结出集合的三大性质： ①确定性； ②互异性； ③无序性。 （1）确定性： 按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。 （2）互异性： 集合中的元素没有重复。 （3）无序性： 集合中的元素没有一定的顺序（通 常用正常的顺序写出） 集合中元素的特征 练习2：下列说法中正确的是（ ） A、2004年雅典奥运会的所有比赛项目组成一个集合 B、某个班年龄较小的学生组成一个集合 C、1、2、3组成的集合与2、1、3组成的集合是不同的 两个集合 D、{1,2,2,3}是含1个1，2个2，1个3的四个元素的集合 练习3、下列给出的对象中，能表示集合的是（ ） A、一切很大的数； B、无限接近0的数； C、聪明的人； D、方程x2=2的实数根。 A D 数的集合简称数集.下面是一些常用的数集及其记法: 全体自然数组成的集合简称自然数集, 全体正整数组成的集合简称正整数集, 全体整数组成的集合简称整数集, 全体有理数组成的集合简称有理数集, 全体实数组成的集合简称实数集, 全体正实数组成的集合简称正实数集, 例如,0∈N, 记作N; 记作N+或N*﹔ 记作Z 记作Q; 记作R 记作R+. ∈R ∈R, 3Q, ∈Q, 0.618∈Q, -3∈Z, 集合的表示方法常用的有列举法,描述法. 列举法是把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{ }”内表示集合的方法, 一般可将集合表示为{a,b,c,…}.（元素之间用逗号隔开） 例如,20以内所有素数组成的集合C用列举法可以表示为 c={2,3,5,7,11,13,17,19}. 用列举法表示集合时,元素排列的顺序可以不同. 例如, {1,2,3}也可以写成{1,3,2}，{2,1,3},{2,3,1}, {3,1,2},{3,2,1}.这些都表示同一个集合. 集合{{a},{b},{c}}中的元素是{a},{b},{c}而不是a,b,c 例1用列举法表示下列集合: (1)由大于3且小于10的所有整数组成的集合; (2)方程x2-9=0的所有实数根组成的集合. 解(1)设由大于3且小于10的所有整数组成的集合为A， 因为大于3且小于10的所有整数有4,5,6,7,8,9, 所以用列举法可以表示为A={4.5,6,7,8,9}. (2)设方程x2-9=0的所有实数根组成的集合为B. 因为方程x2-9=0有两个不相等的实数根-3,3, 所以用列举法可以表示为B={-3,3}. 通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法. 一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件},即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围,再画一条竖线“|”,在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征. 例如,所有偶数组成的集合可以表示为D={x∈R|x=2n,n∈Z},这里的“x∈R”可由“n∈Z”推得,是明确的, 这种情况下“x∈R”通常可简写为“x”,即此集合也可以表示为D={x|x=2n,n∈Z}; 函数y=2x图象上的所有点组成的集合可以表示为 E={(x,y)|y=2x,x∈R}. 例2用描述法表示下列集合x (1)小于10的所有有理数组成的集合A; (2)所有奇数组成的集合B; (3)平面α内,到定点O的距离等于定长r的所有点组成的集合C. 解(1)设x∈A,则x∈Q,且使x<10成立. 因此,用描述法可以表示为A={x∈Q|x<10}. (2)设x∈B,则x是一个奇数.因此,用描述法可以表示为B={x|x=2n-1,n∈Z}. (3)设M∈C,则 M∈α,M到α内的定点O的距离等于定长r. 因此,用描述法可以表示为C={M∈α|O为α内的定点,r为定值,且M到O的距离等于r}. 用描述法表示集合时注意： (1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还 是有序实数对(点)等． (2)元素具有怎样的属性？ 用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用联结词“且”与“或”等联结；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围． 在具体问题中,应根据实际需要选择适当的方法来表示集合. 例如,方程出x2+2x=0的解集F,既可以用列举法表示为F={0，-2}, 也可以用描述法表示为F={x|x2+2x=0}. 若元素个数较多或有无限个且构成集合的元素呈现一定的规律，在不会发生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示． 4、集合的表示方法 （1）字母表示法； （2）自然语言法； （3）列举法； （4）描述法； （5）韦恩(Venn)图；（6）区间法。 1，2，3，5， 4. 利用数轴来表示集合。 （一般表述数集） a b 集合A：数轴上a、b之间的区域。 （在下几节中，数轴表示将会很重要） A 含有有限个元素的集合叫作有限集,如集合{-2,3}; 含有无限个元素的集合叫作无限集,如整数集Z 我们把不含任何元素的集合叫作空集,记作∅． 例如,集合{x∈R|x2+2=0}和集合{x∈Q|x2-2=0}都是空集. 练习1 请表示出由方程x2－1=0所有的实数解构成的集合。 练习2 求不等式2x－3>5的解集。 注意： 1、列举法与描述法是表示集合的两个常用方法，要特别注意 这两种方法的书写格式； 2、无限集合一般不宜采用列举法； 3、有些集合既可用列举法，也可用描述法表示，选择表示方 法要遵循最简原则. ｛1，－1｝ ｛x∈R|x＞4｝ 设a，b是两个实数,且a<b,则集合{x|a≤x≤b} 也可以用符号[a,b]表示, 其他类似情况如表1-1表1-2,两表中表示集合的符号都称为区间. 集合的区间法 定义 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} (a,b] {x|a<x≤b} [a,b] · · a b b · · 。 {x|a≤x<b} 。 (a,b） {x|a<x<b} 。 。 [a,b) 这里的实数a,b称为区间的端点,在数轴上表示区间时,用实心点表示属于区间的端点,用空心点表示不属于区间的端点. 闭区间 半开半闭区间 半开半闭区间 开区间 a a b a b 定义 符号 敷轴表示 {x|x≥a} [a,+) · a {x|x>a} (a,+) 。 a {x|x≤b} (-,b] {x|x<b} (-,b) · b 。 这里的符号“”读作“无穷大”,“-”读作“负无穷大”“+”读作“正无穷大”. 这样,实数集R可以表示为 (-,+), 集合A={x|x<5}可以表示为 A=(-,5)， 集合B=(x|x≥3}可以表示为 B=[3,+). 【例2】若一个集合中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是( ) (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰三角形 【审题指导】欲判断三角形的形状，需判断三边关系或三角关系.由于已知条件涉及三边，故考虑三边之间的关系. 【规范解答】选D.由于集合中元素具有互异性，即a,b,c互不相等，因此△ABC一定不是等腰三角形. 【例3】定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且 ab∈A且 (b≠0)∈A ”的集合A为“闭集”.试问数集N,Z, Q,R是否分别为“闭集”？若是请说明理由；若不是请举反 例说明. 【审题指导】此类问题的解答,应首先理解新定义概念的含 义,在此基础上来求解. 【规范解答】数集N,Z不是“闭集”，数集Q,R是“闭集”. 例如：3∈N，2∈N，而 =1.5∉N；3∈Z，-2∈Z，但- =-1.5∉Z，故N,Z不是“闭集”.由于两个有理数 a与b的和、 差、积、商，即a±b,ab, (b≠0)仍是有理数，故Q是“闭 集”；同理R是“闭集”. 【即时训练】若集合M中含有三个元素-2，3x2+3x-4,x2+x-4,且2∈M, 求x的值. 【解析】由条件分两种情况讨论： (1)当3x2+3x-4=2时， 3x2+3x-6=0,x2+x-2=0, ∴x=-2或x=1, 经检验,x=-2,x=1均不符合题意. (2)当x2+x-4=2时, x2+x-6=0,∴x=-3或x=2, 经检验x=-3,x=2均符合题意. 综上可知x=-3或x=2. 例5 已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，求实数a的值． [提示]　由1∈A，讨论集合A中的元素哪一个等于1，再检验a的值是否满足集合元素的互异性． [解]　∵1∈A，∴a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3都可能等于1. ①若a＋2＝1，则a＝－1，此时A中的元素为1,0,1与集合中元素的互异性矛盾，故舍去； ②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2， 当a＝0时，A＝{2,1,3}适合题意， 当a＝－2时，A中的元素为0,1,1与集合中元素的互异性矛盾，舍去， ③若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2，由①②知都不合题意，舍去． 综上所述，a＝0. 作业1.用描述法表示下列集合． (1){－1,1}； (2)大于3的全体偶数构成的集合； (3)在平面α内，线段AB的垂直平分线上所有的点． [解析]　(1){x||x|＝1}； (2){x|x>3且x＝2n，n∈Z}； (3){P|P在平面α内且PA＝PB}． [2]　集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，C＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}，对任意的a∈A，b∈B，是否一定有a＋b∈C？并证明你的结论． [错解]　由a∈A，有a＝3n＋1(n∈Z)， 由b∈B，有b＝3n＋2(n∈Z)， 则a＋b＝6n＋3(n∈Z)，故a＋b∈C [辨析]　集合A是所有被3除余1的整数所组成的集合．集合B是所有被3除余2的整数所组成的集合，集合C是所有被6除余3的整数所组成的集合， 易知1∈A,5∈B，而1＋5＝6∉C，则a∈A，b∈B，不一定有a＋b∈C.错解的根源在于将A，B中的n看成同一个数，即a，b不是任意的，而是互相制约的，从而破坏了a与b的独立性． [正解]　设a＝3m＋1(m∈Z)，b＝3t＋2(t∈Z)， 则a＋b＝3(m＋t)＋3， 当m＋t是偶数时，设m＋t＝2k(k∈Z)， 有a＋b＝6k＋3(k∈Z)，则a＋b∈C； 当m＋t为奇数时，设m＋t＝2k－1(k∈Z)， 有a＋b＝6k(k∈Z)，则a＋b∉C 综上可知不一定有a＋b∈C. [3]　下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}． (1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义是什么？ [分析]　对于用描述法给出的集合，首先要清楚集合中的代表元素是什么，元素满足什么条件． (1)不是 (2)①{x|x∈R}是实数集， ②{y|y>1}是大于1的实数 ③{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线上的点的集合。 设集合A＝{a|eq \f(x＋a,x2－2)＝1，a∈R}，且eq \f(x＋a,x2－2)＝1有唯一实解，试用列举法表示集合A. [巧思]　依题意解答本题转化为eq \f(x＋a,x2－2)＝1有唯一实数解时a的取值集合． [妙解]　由eq \f(x＋a,x2－2)＝1得x2－x－(a＋2)＝0. ① 对于方程①有唯一实数解讨论如下： (1)方程①有两个相等实根且不是±eq \r(2). 由Δ＝1＋4(a＋2)＝0解得a＝－eq \f(9,4)，此时x＝eq \f(1,2)， 符合题意． (2)方程①有一解为eq \r(2)，另一解不是－eq \r(2)，将x＝eq \r(2)代入①得a＝－eq \r(2)，此时另一解为x＝1－eq \r(2)适合题意． (3)方程①有一解为－eq \r(2)，另一解不是eq \r(2)， 将x＝－eq \r(2)代入①得a＝eq \r(2)，此时另一解为1＋eq \r(2)符合题意． 综上所述，A＝{－eq \f(9,4)，－eq \r(2)，eq \r(2)}． $