第十七章　因式分解 全章考点梳理 课件 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了因式分解的核心知识，涵盖提公因式法、平方差公式、完全平方公式及十字相乘法，通过知识框架将概念辨析、方法应用与实际问题解决串联，构建从基础到综合的知识网络。 其亮点在于采用“基础诊断-方法强化-应用拓展”路径，如密码编译情境题培养应用意识，几何面积计算发展几何直观，整除证明题提升推理能力。分层练习覆盖不同难度，助力学生巩固知识，教师可精准把握学情，提高复习针对性。

第十七章 因式分解 全章考点梳理 人教版八年级上册 数学　八年级上册 1. 下列因式分解不正确的是 ( ) A. a2－ab＝a(a－b) B. ab2－a＝a(b＋1)(b－1) C. a2－2a＋4＝(a－2)2 D. (a－b)2＋4ab＝(a＋b)2 C 一、选择题 数学　八年级上册 2. 下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是 ( ) A. a(a＋b)＝a2＋ab B. a2＋ab－3＝a(a＋b)－3 C. 2ab2－8a＝2a(b2－4) D. a2－2a－8＝(a＋2)(a－4) D 数学　八年级上册 3. 下列将多项式3a2－6a＋3因式分解正确的是 ( ) A. 3a(a－2)＋3 B. 3(a2－2a＋1) C. 3(a－1)(a＋1) D. 3(a－1)2 D 数学　八年级上册 4. 下列各式不是多项式a3b－4ab的因式的是 ( ) A. ab B. a＋2 C. a－2 D. a－4 D 数学　八年级上册 5. 如果k为任意整数，那么(k＋3)2－(k－2)2的值总能 ( ) A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 C 数学　八年级上册 6. (2024·兴隆台区期末)若多项式x2＋mx＋n有因式(x－1)和(x＋2)，则m，n的值分别为 ( ) A. 1，－2 B. －1，2 C. －1，－2 D. 1，2 A 数学　八年级上册 7. 小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x－1，a－b，3，x2＋1，a，x＋1分别对应下列六个字：学，爱，我，趣，味，数，现将3a(x2－1)－3b(x2－1)因式分解，结果呈现的密码信息可能是 ( ) A. 我爱学 B. 爱数学 C. 趣味数学 D. 我爱数学 D 数学　八年级上册 8. 多项式12ab3c－8a3b各项的公因式是 ( ) A. 4ab2 B. 4abc C. 2ab2 D. 4ab D 数学　八年级上册 9. 下列各式中，是完全平方式的是 ( ) A. x2－x＋4 B. x2－2x＋4 C. x2－4x＋4 D. x2－4x＋2 C 数学　八年级上册 1. 因式分解： (1)m2－9m＝__________； (2)4x2y－6xy3＝_____________. m(m－9) 2xy(2x－3y2) 二、填空题 数学　八年级上册 2. (1) 分解因式： 2a2－18b2＝________________； (2)( 分解因式：16am2－8am＋a＝____________； (3) 计算：101×1022－101×982＝________； (4) 分解因式：－6ab＋3a2＋3b2＝__________． 2(a＋3b)(a－3b) a(4m－1)2 80 800 3(a－b)2 数学　八年级上册 3. 分解因式： (1)x2－4＝______________； (2)2x2－8＝______________. 4. 因式分解： (1)(x＋2y)2－(x－2y)2＝______； (2)1－y4＝__________________. (x＋2)(x－2) 2(x＋2)(x－2) 8xy (1＋y2)(1＋y)(1－y) 数学　八年级上册 5. 分解因式： x2－2x－24＝______________. 6. 分解因式： 2x2－7x＋6＝______________. (x＋4)(x－6) (x－2)(2x－3) 数学　八年级上册 7. 因式分解： (1)x2－4x＋4＝________； (2)x3－4x2＋4x＝__________； (3)－x2＋x－ ＝________. (x－2)2 x(x－2)2 数学　八年级上册 8. 若4x2－mxy＋9y2是完全平方式，则m的值为______. ±12 10. 若a＋b＝2，ab＝－3，则代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值为______. 11. 已知x－y＝4，xy＝2，则x2y－xy2＝___. －12 8 数学　八年级上册 1 . 分解因式： (1)3a4－3b4； 解：原式＝3(a4－b4) ＝3(a2＋b2)(a2－b2) ＝3(a2＋b2)(a＋b)(a－b). (2)(x－4)(x＋1)＋3x. 解：原式＝x2－3x－4＋3x ＝x2－4 ＝(x＋2)(x－2). 三、解答题 数学　八年级上册 2. (1) 分解因式： ①(2ab＋1)2－a4b4； ②(p＋q)2－6(p2－q2)＋9(p－q)2. 解：(1)①原式＝(2ab＋1＋a2b2)(2ab＋1－a2b2) ＝－(ab＋1)2(a2b2－2ab－1). ②原式＝(p＋q)2－6(p＋q)(p－q)＋9(p－q)2 ＝[(p＋q)－3(p－q)]2 ＝4(2q－p)2. 数学　八年级上册 (2) 因式分解：2a(a－3)2－6a2(3－a)－10a(a－3). 解：(2)原式＝2a(a－3)2＋6a2(a－3)－10a(a－3) ＝2a(a－3)(a－3＋3a－5) ＝2a(a－3)(4a－8) ＝8a(a－3)(a－2). 数学　八年级上册 3. 如图，在一块边长为a cm的正方形纸板四角各剪去一个边长为b cm 的正方形，利用因式分解计算当a＝22. 4，b＝3. 8时，剩余部分的面积. 解：剩余部分的面积为 a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)(cm2). 当a＝22. 4，b＝3. 8时， 剩余部分的面积为 (22. 4＋2×3. 8)×(22. 4－2×3. 8) ＝30×14. 8＝444(cm2). 数学　八年级上册 4. 如图，一个圆环的外圆的半径为R，内圆的半径为r. (1)写出圆环面积的计算公式； (2)当R＝15. 25 cm，r＝5. 25 cm时，求圆环的面积. (结果保留π) 解：(1)S＝πR2－πr2＝π(R2－r2). 解：(2)当R＝15. 25 cm，r＝5. 25 cm时， S＝π(R2－r2)＝π(R＋r)(R－r) ＝π×(15. 25＋5. 25)×(15. 25－5. 25) ＝π×20. 5×10＝205π(cm2). 数学　八年级上册 5. 给出三个多项式：①2x2＋4x－4；②2x2＋12x＋4；③2x2－4x. 请你把其中任意两个多项式进行加法运算，并把结果分解因式. 解：①＋②，得 2x2＋4x－4＋2x2＋12x＋4＝4x2＋16x＝4x(x＋4)； ①＋③，得 2x2＋4x－4＋2x2－4x＝4x2－4＝4(x＋1)(x－1)； ②＋③，得 2x2＋12x＋4＋2x2－4x＝4x2＋8x＋4＝4(x2＋2x＋1) ＝4(x＋1)2. 数学　八年级上册 6. 已知n为正整数，求证：(4n＋3)2－(2n＋3)2能被24整除. 证明：原式＝16n2＋24n＋9－(4n2＋12n＋9) ＝12n2＋12n ＝12n(n＋1). ∵n为正整数， ∴n，n＋1中必有一个偶数. ∴12n(n＋1)能被24整除，即(4n＋3)2－(2n＋3)2能被24整除. 数学　八年级上册 7. (1)已知x＝ ，y＝ ，求代数式4x2＋12xy＋9y2的值； 解：(1)原式＝(2x＋3y)2. 当x＝ ，y＝ 时，原式＝ ＝1. (2)已知a＝ ，b＝ ，求代数式(a＋b)2－(a－b)2的值. 解：(2)原式＝(a＋b＋a－b)(a＋b－a＋b)＝4ab. 当a＝ ，b＝ 时，原式＝4× × ＝2. 数学　八年级上册 8. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a cm的大正方形，2块是边长为b cm的小正方形，5块是长为a cm、宽为b cm的相同的小长方形，且a>b. 数学　八年级上册 解：(1)依题意，得大正方形的面积为a2 cm2，小正方形的面积为b2 cm2，小长方形的面积为ab cm2， ∴大长方形的面积为(2a2＋5ab＋2b2) cm2. ∵大长方形的长为(2a＋b) cm，宽为(2b＋a) cm， ∴大长方形的面积为(2a＋b)(2b＋a) cm2. ∴2a2＋5ab＋2b2＝(2a＋b)(2b＋a). (1)观察图形，把多项式2a2＋5ab＋2b2进行因式分解； 数学　八年级上册 解：(2)∵这张大长方形纸板的周长为78 cm，图中空白部分的面积为120 cm2， ∴5ab＝120，2(2a＋b＋2b＋a)＝78. ∴ab＝24，a＋b＝13. ∴阴影部分的面积为2a2＋2b2＝2(a2＋b2)＝2[(a＋b)2－2ab]＝2×(132－2×24)＝2×(169－48)＝242(cm2). 答：图中阴影部分的面积为242 cm2. (2)若这张大长方形纸板的周长为78 cm，图中空白部分的面积为120 cm2，求图中阴影部分的面积． 数学　八年级上册 9. 阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解，例如：x2＋4x－5＝x2＋4x＋22－22－5＝(x＋2)2－9＝(x＋2＋3)(x＋2－3)＝(x＋5)(x－1). 数学　八年级上册 (1)解决问题：运用配方法将下列式子进行因式分解： x2－2x－15； 解：(1)x2－2x－15＝x2－2x＋1－1－15 ＝(x－1)2－42 ＝(x＋3)(x－5). 数学　八年级上册 (2)深入研究：试说明多项式x2－6x＋11的值总是一个正数； 解：(2)x2－6x＋11＝x2－6x＋9＋2＝(x－3)2＋2. ∵(x－3)2≥0， ∴(x－3)2＋2>0. ∴多项式x2－6x＋11的值总是一个正数． 数学　八年级上册 (3)拓展应用：已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，试判断△ABC的形状，并说明理由． 解：(3)△ABC是等边三角形．理由如下： 依题意，得2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2bc＋2ac， ∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0. ∴a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0. ∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0. ∵(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0， ∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0. ∴a＝b＝c. ∴△ABC是等边三角形． 数学　八年级上册 $