专题08因式分解复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题08因式分解复习讲义 ☆ 复习目标 1理解因式分解的概念，能区分因式分解与整式乘法，清楚二者是互逆变形。 2掌握提公因式法：会找准各项公因式（系数、相同字母、最低次幂），熟练提取 公因式，注意符号问题。 3,掌握公式法：熟练运用平方差公式、完全平方公式分解因式，能识别公式结构特 征。 4.掌握因式分解的一般步骤：先提公因式，再看能否套用公式；分解到每一个因式 都不能再分解为止。 5.能综合运用提公因式法、公式法进行两步及以上的因式分解，会处理含负号、多 项式整体当作字母的题型。 6会利用因式分解进行简便计算、代数式求值、判断代数式的取值范围或者证明整 除问题。 7熟悉常见易错点：分解不彻底、混淆平方差和完全平方公式、漏掉公因式、符号 出错。 ☆ 题型梳理 中a年编口编●。e象e■ 题型 考察方向 难度 题型一 判断是否是因式分解 ★★ 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 公因式 题型四 提公因式法分解因式 ★ 题型五 判断能否用公式法分解因式 ★★ 题型六 平方差公式分解因式 ★★ 题型七 完全平方公式分解因式 试卷第1页（共3页） ★★ 题型八 综合运用公式法分解因式 ★★★ 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 题型十 ★★ 因式分解在有理数简算中的应用 ★★★ 题型十一 十字相乘法 ★★★ 题型十二 分组分解法 ★★★ 题型十三 因式分解的应用 拔高题 5题 星级说明：★基础：★★中档：★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 ☆ 知识梳理 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式 公因式 如果一个多项式的各项含有公因式，把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个 多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 提公因式法 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积 公式法分解因式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方 因试分解 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法 十字相乘法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处 理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解一 分组分解法即先对题目进行分组，然后再分解因式 分组分解法 首先提取公因式，然后考虑用公式： 两项平方或立方，三项完全或十字： 四项以上想分组，分组分得要合适： 因式分解的解题步骤 几种方法反复试，最后须是连乘式： 因式分解要彻底，一次一次又一次 试卷第2页（共3页） 知识点01：因式分解基础概念 1.定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因 式分解，也叫分解因式。 2.因式分解与整式乘法的关系（互逆变形） 整式乘法：几个整式相乘一多项式（积化和差） 因式分解：多项式→几个整式相乘（和差化积） 示例： 整式乘法：(x+2)(x-3)=x2-x-6 因式分解：x2-x-6=(x+2)(x-3】 3.分解要求（必记四点，阅卷扣分点） (1)结果必须是乘积形式，不能还有加减： (2)每个因式必须是整式，不能出现分式： (3)分解要彻底：分解到每一个因式都不能再分解为止： (4)相同因式要写成幂的形式，如(x-1)(x-1)=(x-12。 知识点02：提公因式法（最基础，优先使用） 1.公因式定义 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式 2.公因式三步确定法 试卷第3页（共3页） 查找维度 规则 示例 系数 取各项系数的最大公约数 6x2-9x,系数6、9，最大公约数为3 字母 选取所有项共有的字母 a2b+ab2,公共字母为ab 指数 公共字母取最低次幂 x2,取x2 3.提公因式步骤 找出多项式各项公因式； 用多项式每一项除以公因式，得到另一个因式： 写成“公因式×剩余多项式”的形式。 4.特殊符号处理 首项为负：提取负号，括号内各项全部变号 例：-2x2+4x=-2x(x-2) 互为相反数的多项式：(a-b)=-(b-a) 例：x(a-b)+y(b-a)=(a-b)x-y)) 5.公式模板 ma+mb+mc=m(a+b+c) 知识点03：公式法 公式类型适用形式 分解公式 结构特征 平方差公 二项式 a2-b2=(a+b)(a-b) 两项、一正一负、两项均为完全平方式 试卷第4页（共3页） 公式类型适用形式 分解公式 结构特征 式 完全平方 首尾项为正的平方项，中间项为两底数 三项式 a2+2ab+b2=(a+b)月 和 乘积的2倍 完全平方 首尾项为正的平方项，中间项为负的两 三项式 a2-2ab+h2=(a-b)2 差 底数乘积的2倍 补充说明：a、b可以是数字、单项式、多项式。 知识点04：因式分解通用四步骤 步骤 操作要求 一提 优先提取公因式（含负号），解题第一步必做 二套 两项套平方差公式，三项套完全平方公式 三查 检查每个因式能否继续分解 四整理化简符号，规范书写结果 知识点05常考易错点汇总表 错误类型 错误写法 正确分解 错误原因 分解不彻底 x416=(x2+4)(x2-4) (x2+4)(x+2)(x-2)x2-4还能平方差分 试卷第5页（共3页） 错误类型 错误写法 正确分解 错误原因 解 混淆平方差与完全 完全平方漏2倍项x2-4x+4=(区-2)(x+2) （x-2)2 平方 第一项提取后剩余 提公因式丢常数1 5x-5xy=5x(-y) 5x(1-y) 提取负号，平方差 首项负号不变号 -x2+4=-(☒2+4) -(x+2)(x-2) 符号改变 (x+3)2=x2+6x+9(分 混淆乘法与分解 x2+6x+9=(x+3)2 搞反互逆变形方向 解题写展开) 出现分式，不是整 分解结果含加减 x(x) (x+3)(x-3) 式积 ☆ 题型精析 题型一、判断是否是因式分解 1.下列由左边到右边的变形，是因式分解的是() A.(x-)=y-y B.r-9=(x+30x-3) c.ab+a=a(b+l） D.2ab+ab2-1=ab(2+b)-1 试卷第6页（共3页） 2.下列从左到右的变形是因式分解的是() A.(x-x-2)=(1-x2-) B.r+y-1=(x-以-1 c.a(x-3)+b(3-x=(x-3(a-b) D.(a-(a+1)=a2-1 3.下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是() A.m-4+m=-(m+2(m-2)+m B.4a+4a+1=(2a+1y C.n(a+b)=na+nb 题型二、已知因式分解的结果求参数 4.若49m-△因式分解的结果为 7m+4n)(7m-4n) ,则“△”是() A.-4n2 B.4n2 C.-16n2 D.16n2 5.已知x+2是多项式x2-7x+m的一个因式，则它的另一个因式是 6.在x+5x2+7x+k中，若有一个因式为x+2),则k的值为(） A.2 B.-2 C.6 D.6 题型三、公因式 7.多项式3ax2-6ax3各项的公因式是（) A.3ax B.3a2x2 C.a'x2 D.3a'x 8.多项式2x2-12y+8xy的公因式是 9.(+y-zx-y+2)与0y+2-2-x-八的公因式是（) A.x+y-z B.x-y+z C.y+z-x D.不存在 题型四、提公因式法分解因式 试卷第7页（共3页） 10.因式分解：a2-4a=() A.a(a-4) B.(a+2a-2) c.aa+2a-2）D.a-2y-4 11.已知a+b=7,ab=12,则a2b+ab2= a b 12.对于任意的有理数a,b,c,d,我们规定cd =ad-bc 12=1x4-2×3= 如341 2.求 (a+c)b-a)2 (a-c)(a-b)的值为() 2c(a-b)2 A B.2a(a-b) C.(a-eYa-b)D.(a-eXa+e) 题型五、判断能否用公式法分解因式 13.下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是() A.x2-2xy-y B.x2-4y2+4x .D. 14.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是() A.a+(-b)2 B.5m2-20m C.-x2-y2 D.-x2+9 点下列多就0-片，②-（听：@d2,641 4;⑤ m2n2+4-4mn 其中能用公式法分解因式的是() A.①③④⑤ B.②④⑤ C.②③④D.②③④⑤ 题型六、平方差公式分解因式 16.因式分解：x2-4=() A.(x+2)(x-2) B.(x+2)(x+2) 试卷第8页（共3页） c.（(x-20x-2) D.(x+4)0x-4) 17.若2m+n=6,4m2-n2=24,则2m-n= 18.下列因式分解正确的是() A.-1+49z2=(0+7z01-7z) B.-a'b-9x--(ab+3x)(ab-3x) c.1-t=(+x)1-x2) D.4a2-1=(2a+1)(2a-1) 题型七、完全平方公式分解因式 19.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是() A.x2+x+1 B.x2+2x-1 C.x2-1D.x2-8x+16 20.下列因式分解正确的是() A.x2-4=(x-2} B.r+2x+1=x(x+2)+1 c.x-5x+6=(x-2)(x-3) D.-y=(x-y) 21.将多项式4x2+1添加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，下列单项式：① 4x4 。4x -4x2 :②；③；④ ,⑤1.其中符合条件的是() A.①③ B.①②③ C.①③⑤D.①②③④⑤ 题型八、综合运用公式法分解因式 22.己知m2=5n+6,n2=-5m+6,m+n≠0，则m2-2mn+n2的值为（) A.36 B.25 C.5D.无法确定 -y2 23.将多项式（ 分解因式的结果是() 试卷第9页（共3页） ^()- B.（y4c4+母 e（+- （-y-+ 24.将-2a+1分解因式，所得结果正确的是() A.a(a-2+1 B.(a-2a2+) c.(a2- D.(a-)'(a+102 题型九、综合提公因式和公式法分解因式 25.多项式x-9x,在有理数范围内分解彻底为() A.x(r2-9列 B.x(x-3)2 c.(x+3x-3) D.(x+3)2 26.分解因式： a2(x-y)+9(y-x)= 27.若k为任意整数，则k-k的值不一定能() A.被2整除 B.被3整除 C.被4整除 D.被6整 除 28.下列分解因式正确的是() A.x'-x=x(x2-) B.x-4=(x+4)(x-4) C.x2+2x-1=(x-1)2 题型十、因式分解在有理数简算中的应用 29.计算198×202的结果是() 试卷第10页（共3页） A.39996 B.39998 C.40002 D.40004 202520262 30.小明在计算202520252+202520272-2时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看 题说根本不用计算器，而且很快说出了答案.你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上 31.设M=20222-2021×2023,N=2022-4044×2023+20232，,则M与N的关系是 () A.M>N B.M=N C.M<N D M=±N 题型十一、十字相乘法 32.下列算式计算结果为x2-x-12的是() A,(x-3)x+4) B.(x+6)(x-2) c.(x+3x-4)D.(x-60x+2) 3x2+5xy-2y2 33.将 分解因式，结果正确的是() A.(3x-yx+2列）B.(3x+x-2y)c.(3x+2yx-D.3x-2y+) 34.把多项式x2+3x-54分解因式，其结果是() A.(x+6)(x-9) B.(x-6)(x+9) C.(x+6)(x+9) D.(x-6)(x-9) 题型十二、分组分解法 35.把1-a2-b2-2ab分解因式，正确的分组为() A.1-(a2+bP+2ab) B.（1-a）-(B-2ab) c.(1-2ab)+(-ad2-b2) D.（1-a2-b）-2ab 试卷第11页（共3页） 36,因式分解：4x-y+2y-1= 2-y2-2x-4y-3 37.把多项式 因式分解之后，正确的是() A.(x+y-3)(x-y-3) B.(x+y-1)(x-y+3) C.(x+y-3)(x-y+) D.(x+y+1)(x-y-3) 题型十三、因式分解的应用 38.若a+b=3x+y=1 a2+2ab+b2-x-y+832 ,则代数式 的值为() A.838 B.839 C.840 D.841 39.已知a=2026x+2023,b=2026x+2024,c=2026x+2025,则 a2+b2+c2-ab-ac-bc的值是 。 40.已知a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,则() A.a+b+c=0 B.a=b=c C.a=b或b=c或c=a D.a,b,c至少一个为0 解答题 41.分解因式： (1)24a'be-8ab 2(a-b)°+3(a-b) 6)a(x-y-3a0-x° 42.因式分解： 2m(a-b-3n(6-a）) (216r2-4 试卷第12页（共3页) 6)r(m-m+y2(n-m） ④0y--6(y2-1)+9 43.阅读下列材料： 将x2+2x-35分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：=xx,-35=(5)x(+7) -5 →7x-5x=2x ②交叉相乘，验中项：x +7 x2+2x-35=(x+7)(x-5) ③横向写出两因式： 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法， 试用上述方法分解因式： 0r+5r+4 22-7x+3 44.如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为x+a,宽为x+b. x+a ←xe a x+b b 甲 乙 (I)根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是_· 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以用上述表达式得到一些二次三项式的因式分 解. (2)因式分解： X+5x+4=(+ax+)其中a<b,则a=,b= 【拓展延伸】 试卷第13页（共3页） 2-6x+ (3)若 可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为+3，请写 出9的值：- (4)若2x2+c-6可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项 都为整数)，直接写出所有正整数k的值. 45.漯河某初中数学小组学完“因式分解”后，对“分组分解法”进行了探讨，请认真阅 读如下表格，完成项目式学习任务 请用分组法将下面多项式因式分解：a2+a-b2-b 解：原式(a-b2）+(a-b) 典例引领 =(a-b)(a+b)+(a-b)x1 =(a-b)(a+b+1) 技巧总结 分组分解的关键是分组，要特别掌握提公因式法和公式法 迁移应用 (1)将多项式4m2+m-4n2-n因式分解： (2)a,b,c是△ABC的三边，且满足ac-bc+2-b=0,请判断△ABC的形状，并说明理 由. 试卷第14页（共3页） 专题08因式分解复习讲义 1.理解因式分解的概念，能区分因式分解与整式乘法，清楚二者是互逆变形。 2.掌握提公因式法：会找准各项公因式（系数、相同字母、最低次幂），熟练提取公因式，注意符号问题。 3.掌握公式法：熟练运用平方差公式、完全平方公式分解因式，能识别公式结构特征。 4.掌握因式分解的一般步骤：先提公因式，再看能否套用公式；分解到每一个因式都不能再分解为止。 5.能综合运用提公因式法、公式法进行两步及以上的因式分解，会处理含负号、多项式整体当作字母的题型。 6.会利用因式分解进行简便计算、代数式求值、判断代数式的取值范围或者证明整除问题。 7.熟悉常见易错点：分解不彻底、混淆平方差和完全平方公式、漏掉公因式、符号出错。 题型 考察方向 难度 题型一 判断是否是因式分解 ★ 题型二 已知因式分解的结果求参数 ★★ 题型三 公因式 ★ 题型四 提公因式法分解因式 ★ 题型五 判断能否用公式法分解因式 ★★ 题型六 平方差公式分解因式 ★★ 题型七 完全平方公式分解因式 ★★ 题型八 综合运用公式法分解因式 ★★ 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 ★★★ 题型十 因式分解在有理数简算中的应用 ★★ 题型十一 十字相乘法 ★★★ 题型十二 分组分解法 ★★★ 题型十三 因式分解的应用 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：因式分解基础概念 1. 定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式。 2. 因式分解与整式乘法的关系（互逆变形） 整式乘法：几个整式相乘 → 多项式（积化和差） 因式分解：多项式 → 几个整式相乘（和差化积） 示例： 整式乘法： 因式分解： 3. 分解要求（必记四点，阅卷扣分点） （1）结果必须是乘积形式，不能还有加减； （2）每个因式必须是整式，不能出现分式； （3）分解要彻底：分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）相同因式要写成幂的形式，如。 知识点02：提公因式法（最基础，优先使用） 1. 公因式定义 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式 2. 公因式三步确定法 查找维度 规则 示例 系数 取各项系数的最大公约数 6x2-9x，系数 6、9，最大公约数为 3 字母 选取所有项共有的字母 a2b+ab2，公共字母为ab 指数 公共字母取最低次幂 x4、x2，取x2 3. 提公因式步骤 找出多项式各项公因式； 用多项式每一项除以公因式，得到另一个因式； 写成 “公因式 × 剩余多项式” 的形式。 4. 特殊符号处理 首项为负：提取负号，括号内各项全部变号 例：-2x2+4x=-2x(x-2) 互为相反数的多项式：(a-b)=-(b-a) 例：x(a-b)+y(b-a)=(a-b)(x-y)\) 5. 公式模板 ma+mb+mc=m(a+b+c) 知识点03：公式法 公式类型 适用形式 分解公式 结构特征 平方差公式 二项式 a2-b2=(a+b)(a-b) 两项、一正一负、两项均为完全平方式 完全平方和 三项式 a2+2ab+b2=(a+b)2 首尾项为正的平方项，中间项为两底数乘积的 2 倍 完全平方差 三项式 a2-2ab+b2=(a-b)2 首尾项为正的平方项，中间项为负的两底数乘积的 2 倍 补充说明：a、b可以是数字、单项式、多项式。 知识点04:因式分解通用四步骤 步骤 操作要求 一提 优先提取公因式（含负号），解题第一步必做 二套 两项套平方差公式，三项套完全平方公式 三查 检查每个因式能否继续分解 四整理 化简符号，规范书写结果 知识点 05 常考易错点汇总表 错误类型 错误写法 正确分解 错误原因 分解不彻底 x4-16=(x2+4)(x2-4) (x2+4)(x+2)(x-2) x2-4还能平方差分解 完全平方漏 2 倍项 x2-4x+4=(x-2)(x+2) (x-2)2 混淆平方差与完全平方 提公因式丢常数 1 5x-5xy=5x(-y) 5x(1-y) 第一项提取后剩余 1 首项负号不变号 -x2+4=-(x2+4) -(x+2)(x-2) 提取负号，平方差符号改变 混淆乘法与分解 (x+3)2=x2+6x+9（分解题写展开） x2+6x+9=(x+3)2 搞反互逆变形方向 分解结果含加减 x2-9=x(x-) (x+3)(x-3) 出现分式，不是整式积 题型一、判断是否是因式分解 1．下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、是单项式乘以多项式运算，不是因式分解，故该选项错误，不符合题意； 、是因式分解，故该选项正确，符合题意； 、左右两边不相等，不是因式分解，故该选项错误，不符合题意； 、不是因式分解，故该选项错误，不符合题意． 2．下列从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、该变形不属于将多项式转化为几个整式的积的形式，等式左边是整式的积，不是多项式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意； B、该变形不是恒等变形，且未把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故此选项不符合题意； C、把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故此选项符合题意； D、该变形不属于将多项式转化为几个整式的积的形式，等式左边是整式的积，不是多项式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意． 3．下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解； B、，是因式分解； C、是整式的乘法，不是因式分解； D、，等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解. 题型二、已知因式分解的结果求参数 4．若因式分解的结果为，则“”是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方差公式计算，对比原式即可求出的值． 【详解】解：， ∵， ∴， 等式两边同时消去，得， ∴． 5．已知是多项式的一个因式，则它的另一个因式是________________． 【答案】/ 【分析】设出另一个因式，利用因式乘积展开后对应系数相等求解． 【详解】解：设多项式的另一个因式为，则， ， ， 解得：， 因此另一个因式为． 6．在中，若有一个因式为，则k的值为（　　　） A．2 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】根据因式分解的意义可设，再利用整式乘法计算后得，即可根据因式分解与整式乘法的关系求解． 【详解】解：设， ∵ ， ∴，， ， 解得，，． 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键． 题型三、公因式 7．多项式各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定系数的最大公约数，再确定各项的相同字母，并取相同字母的最低指数次幂． 【详解】解：各项系数的最大公约数为3，相同字母的最低次幂为，相同字母的最低次幂为， ∴ 公因式为． 8．多项式2x2－12xy2+8xy3的公因式是_____________． 【答案】2x 【分析】按照公因式的提取方法提取公因式即可． 【详解】解： 多项式的公因式为2x． 故答案为：2x． 【点睛】此题考查了多项式的公因式，解题的关键是记住提取公因式方法，方法如下：方法如下：公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 9．与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】解： 第一个多项式为 ∴ 两个多项式都含有的公因式为. 题型四、提公因式法分解因式 10．因式分解：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】提取公因式完成因式分解． 【详解】解：． 11．已知，，则_______． 【答案】 【分析】将提公因式变形后得，再把，代入计算即可得答案． 【详解】解： ， 当，时，原式. 12．对于任意的有理数,我们规定  ,如  ．求的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新规定得出再根据提公因式法分解因式即可得出答案． 【详解】解：   故选A 【点睛】本题考查了新定义运算，涉及到提公因式法分解因式，灵活运用因式分解的方法是解题的关键． 题型五、判断能否用公式法分解因式 13．下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查公式法因式分解，主要利用平方差公式 或完全平方公式 ，检查各选项是否符合公式形式即可． 【详解】解：选项 A∶ ，两个平方项的符号不一致，不符合完全平方公式，也无法直接应用平方差公式，不能用公式法分解． 选项B∶，整理为，两个平方项的符号不一致，不符合完全平方公式，也无法直接应用平方差公式，不能用公式法分解． 选项C∶，仅为两个平方项相加，不符合平方差公式或完全平方公式，不能用公式法分解． 选项D∶，可改写为，符合平方差公式，，能用公式法分解． 故选D． 14．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抓住平方差公式“两项为平方项且符号相反”的适用特征判断各选项． 【详解】解：A.，两平方项符号相同，不能用平方差公式分解； B.，仅能通过提取公因式分解，不符合平方差公式特征； C.，两平方项符号相同，不能用平方差公式分解； D.，符合平方差公式特征，能用平方差公式分解． 15．下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．根据公式法的特点，对题目中的每个多项式逐一分析即可． 【详解】解：①不能用公式法分解； ②，可以用公式法分解； ③不能用公式法分解； ④，可以用公式法分解； ⑤，可以用公式法分解； 综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤． 故选：B． 题型六、平方差公式分解因式 16．因式分解：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接使用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：. 17．若，，则_______． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：， ， ， ． 18．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：平方差公式为 ，逐一判断：对选项 A ，A错误； 对选项B ，括号内为平方和，无法因式分解，B错误； 对选项C ，C未分解彻底，C错误； 对选项D ，分解正确，D正确． 题型七、完全平方公式分解因式 19．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能用完全平方公式分解的多项式需满足：共三项，两项平方项符号相同，第三项是两平方项底数乘积的2倍，符合的形式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、中，x不是两底数积的2倍，不能用完全平方公式因式分解，不符合要求； B、中，常数项为负，两个平方项符号不同，不能用完全平方公式因式分解，不符合要求； C、只有两项，可用平方差公式分解，不能用完全平方公式因式分解，不符合要求； D、，符合完全平方公式的形式，可以因式分解，符合要求． 20．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．错误，应为； B．右边不是积的形式，不是因式分解，错误； C．，正确； D．错误，应为． 21．将多项式添加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，下列单项式：①；②；③；④；⑤．其中符合条件的是（     ） A．①③ B．①②③ C．①③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】结合整式的完全平方的两类形式（二项式平方、单项式平方），逐一验证各单项式． 【详解】解：∵ ， ∴ ①③符合条件； ∵ ， ∴ ②符合条件； ∵ ， ∴ ④符合条件； ∵ ， ∴ ⑤符合条件； 故答案为D． 题型八、综合运用公式法分解因式 22．已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用．能通过对已知条件的变形得出的值是解题的关键．先由已知条件得出的值，再把化成完全平方的形式，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 23．将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法因式分解． 利用完全平方公式和平方差公式进行解答． 【详解】解： ． 故选：C． 24．将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，然后对原式变形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法进行因式分解是解答本题的关键． 题型九、综合提公因式和公式法分解因式 25．多项式，在有理数范围内分解彻底为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先提公因式，再用平方差公式因式分解． 【详解】 解：． 26．分解因式：__________． 【答案】 【分析】先变形得到公因式，提取公因式后利用平方差公式分解到不能再分解． 【详解】解：原式 ． 27．若为任意整数，则的值不一定能（     ） A．被整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除 【答案】C 【分析】把分解因式，结合三个相邻的整数一定有一个数能被3整除，且一定有一个数是偶数可得答案． 【详解】解：， ∵为任意整数， ∴和都是整数，且，，是三个相邻的整数， ∵三个相邻的整数一定有一个数能被3整除，且一定有一个数是偶数 ∴的值总能被3整除，且一定能被2整除， ∴的值总能被6整除， 当时，，此时不能被4整除． 28．下列分解因式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用因式分解的规则与常用公式，需判断每个选项的分解是否正确，因式分解需分解至每个因式无法再分解，且左右两边必须恒等，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、，原式分解不彻底，故A错误； 选项B、，故B错误； 选项C、不符合完全平方公式的条件，则，故C错误； 选项D、，故D正确． 题型十、因式分解在有理数简算中的应用 29．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两个因数凑成整百数与2的和差，利用平方差公式简化计算． 【详解】解：． 30．小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上________． 【答案】/0.5 【详解】解： ． 31．设，，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出M、N的值，然后进行比较即可． 【详解】解： ， ， ． 题型十一、十字相乘法 32．下列算式计算结果为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 33．将分解因式，结果正确的是（   ） A． B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分解因式，可设（其中a、b为整数）则可求出，再根据可确定a、b的值，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴可设（其中a、b为整数） ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：A． 34．把多项式分解因式，其结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为−6×9＝−54，−6＋9＝3，所以利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：x2+3x−54＝（x−6）（x＋9）； 故选：B． 【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程． 题型十二、分组分解法 35．把分解因式，正确的分组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把后三项为一组，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式继续分解因式即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一三分组．本题中后三项正好符合完全平方公式，应考虑后三项为一组． 36．因式分解：________． 【答案】 【分析】根据多项式特点，进行分组，利用完全平方公式及平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 37．把多项式因式分解之后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分组分解法及平方差公式，即可判定． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键． 题型十三、因式分解的应用 38．若，，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式与添括号将代数式变形，然后把，代入即可求解． 【详解】解：， ∵，， ∴原式． 39．已知，，，则的值是________． 【答案】 【分析】观察的结构，先计算两两的差，对所求多项式变形配方，即可求出定值． 【详解】解：∵，，， ∴，， 对所求多项式变形得： 则原式． 40．已知，则（     ） A． B． C．或或 D．，，至少一个为 【答案】B 【分析】等式两边同乘2，拆项分组配成三组完全平方和；多个非负数相加等于0，则每一项均为0，推出a、b、c三者相等． 【详解】解：将已知等式两边同乘，得 ， 拆项分组，得 ， 即， 平方具有非负性， ，，． ． 解答题 41．分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）找出多项式各项公因式，提取公因式完成因式分解； （2）找出多项式各项公因式，提取公因式完成因式分解； （3）先利用统一底数，再提取公因式分解因式． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式， ． 42．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 43．阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式： 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：； （2）解：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 44．如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是 ． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． (2)因式分解：，其中，则 ， ． 【拓展延伸】 (3)若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为，请写出q的值： ． (4)若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数k的值． 【答案】(1) (2)1；4 (3) (4)1，4，11 【分析】（1）分别表示出图甲、图乙中长方形的面积，即可得出结果； （2）由得到，，即可求解； （3）设另一个因式为，则，再分别对应相等即可得出结果； （4）设，即可得出，再结合、均为整数，为正整数，分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由甲图可得，长方形的面积为， 由乙图可得，长方形的面积为， 故得到的等式是． （2）解：∵，且， ∴，， ∴，或，， ∵， ∴，． （3）解：∵可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为， ∴设另一个因式为， ∴， ∴，，， ∴，，． （4）解：∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，且， ∴设， ∴， ∵、均为整数， ∴或或或或或或或， 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，是正整数，符合题意； 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，是正整数，符合题意； 当时，，是正整数，符合题意； 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，是正整数，符合题意； 综上所述，所有正整数的值为1，4，11． 45．漯河某初中数学小组学完“因式分解”后，对“分组分解法”进行了探讨，请认真阅读如下表格，完成项目式学习任务． 典例引领 请用分组法将下面多项式因式分解：． 解：原式 ． 技巧总结 分组分解的关键是分组，要特别掌握提公因式法和公式法 迁移应用 (1)将多项式因式分解； (2)，，是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由如下： ∵， 即 ∵，，是的三边， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形． 【分析】（1）先对多项式分组，再提取公因式，即可求出答案． （2）先对多项式分组，再提取公因式，最后根据三角形三边和大于0的性质可求出有2条边相等，得出答案． 【详解】（1）解： ． （2）略． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $