第二章 有理数的运算 单元测试卷2025-2026学年七年级数学上册同步讲义与测试（人教版2024）

第二章 有理数的运算 单元测试卷 （考试时间：100分钟  试卷满分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）某景区小长假期间共接待游客236000人次，用科学记数法可将236000表示为（ ） A． B． C． D． 2．（本题3分）在一条东西向的跑道上，小明先向西走了10米，记作“米”，又向东走了5米，此时他的位置可记作（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（本题3分）如图为小明的答卷，每小题20分，他的得分应是（  ） ①绝对值最小的数是0 ② ③的相反数是6 ④的底数是 ⑤的倒数是 A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 4．（本题3分）数轴上点表示的数是，如果、两点的距离，那么点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 5．（本题3分）若，，且a，b为正数，则等于（   ） A． B． C．1 D．5 6．（本题3分）在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（本题3分）有理数m，n在数轴上的位置，m在原点右侧，n在原点左侧，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，数轴上的，两点所表示的数分别是，，如果且，那么该数轴的原点的位置应该在（　　） A．点的左边 B．点的右边 C．点与点之间且靠近点 D．点与点之间且靠近点 9．（本题3分）若 ，，且 ，则的值为（    ） A．或 B．7 或 1 C． 或 1 D．7 或 10．（本题3分）下列计算正确的有（　　） （1） （2） （3） （4） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（本题3分）圆周率是数学美的象征，它的无限不循环小数形式引发了人们对数学的好奇和探索．圆周率，用四舍五入法把精确到千分位，得到的近似值是 ． 12．（本题3分）按如图的程序计算，如果输入，则输出的结果为 ． 13．（本题3分）如图，坎儿井是一种很古老的集水建筑物，主要用于农田灌溉，与万里长城、京杭大运河并称为中国古代三大工程．设最高竖井口所在位置的高度为0米（作为基准点），竖井口处高度为米，竖井口处高度为米，则处与处的高度差为 米． 14．（本题3分）绝对值不大于的所有整数的和是 ． 15．（本题3分）有下列说法：①若，则；②两个数相加，若和为负数，则这两个数必定都是负数；③如果，，那么这两个数一定一正一负，且负数的绝对值大；④一个数乘，积为这个数的相反数．则其中正确的序号有 ． 16．（本题3分）定义一种新运算，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，再定义另一种新运算“☆”，对于任意有理数a，b和c，， 比如，请计算 三.解答题（本大题共8题，满分72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售．如果每套儿童服装以55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：．（单位：元） (1)求这8套衣服最高的售价和最低的售价各是多少元？ (2)当他卖完这8套儿童服装后是盈利还是亏损？盈利（或亏损）了多少钱？ 18．（本题8分）如下图，请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 利用乘法运算律有时能进行简便计算． 例1：． 例2：． (1)． (2)． 19．（本题8分）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 20．（本题8分）已知有理数m，n在数轴上的位置如图所示（m在原点右侧，n在原点左侧，且），且，． (1)求m和n的值； (2)比较和的大小； (3)计算的值． 21．（本题10分）阅读下面的材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为， 其值， 原式． (1)上述解法中．你认为解法 是错误的．在正确的解法中，你认为解法 较简便．（填“一”、“二”或“三”） (2)请用你认为简便的方法计算：． 22．（本题10分）某校为提高全校学生的身体素质，倡导全校学生利用课余时间加强体育锻炼．为响应学校号召，小张同学为自己制定了每天跑步3千米的计划，以下是小张同学一周内的跑步记录，其中超过3千米的记为正，不足3千米的记为负． 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 与计划的差值（单位：千米） (1)在这一周内，小张同学跑步路程最长的一天比跑步路程最短的一天多了 千米； (2)小张同学这一周的跑步总路程是否完成了自己的计划？ 请通过计算说明理由； (3)若小张同学每跑步1千米大约消耗90大卡的热量，则在这一周的跑步过程中，小张共计消耗多少大卡的热量？（结果用科学记数法表示） 23．（本题10分）阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） (3)请你进行简便计算：． 24．（本题12分）概念学习 规定：求个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方， 比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的次商”；写作，读作“的次商”，一般地，把（）这样个相除，写作，读作“的次商”． 初步探究 （1）请直接写出计算结果：________，________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（   ）（单选） A．当时， B．当时， C．正数的次商结果是正数，负数的次商结果是负数 D．次商等于它本身的数是 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方（幂）的形式． （3）归纳：请把有理数的次商（，），写成乘方（幂）的形式为：________； （4）比较：________（填“”“”或“”）； （5）计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算 单元测试卷 （考试时间：100分钟  试卷满分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）某景区小长假期间共接待游客236000人次，用科学记数法可将236000表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：用科学记数法可将236000表示为， 故选：B． 2．（本题3分）在一条东西向的跑道上，小明先向西走了10米，记作“米”，又向东走了5米，此时他的位置可记作（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【知识点】相反意义的量、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查用正负数表示具有相反意义的量，有理数的加法．小明向西走了10米，记作“米”，则向东走了5米，则记为“米”，它们之和即为此时的位置． 【详解】解：小明先向西走了10米，记作“米”，则向东走了5米，记为“米”， 此时他的位置为：（米）． 故选：A 3．（本题3分）如图为小明的答卷，每小题20分，他的得分应是（  ） ①绝对值最小的数是0 ② ③的相反数是6 ④的底数是 ⑤的倒数是 A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 【答案】C 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、倒数、有理数幂的概念理解 【分析】本题考查绝对值，化简多重符号，相反数，有理数幂以及倒数，根据相关知识点逐一进行判断，求出正确的数量再乘以20，即可得出结果． 【详解】解：绝对值最小的数为0，故①正确； ，故②正确； 的相反数是6，故③正确； 的底数是，故④错误； 的倒数是，故⑤正确； 故小明的得分为（分）； 故选C． 4．（本题3分）数轴上点表示的数是，如果、两点的距离，那么点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查的是数轴上表示有理数、数轴上两点的距离，根据、两点的距离求解即可． 【详解】解：点表示的数是， 、两点的距离， 点表示的数是或， 故选：C． 5．（本题3分）若，，且a，b为正数，则等于（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】D 【知识点】求一个数的绝对值、有理数加法运算 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数加法运算．根据，，可得、的值，根据a，b为正数，从而可以求得． 【详解】解：，，且a，b为正数， ∴，， ∴． 故选：D． 6．（本题3分）在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】正负数的定义、化简多重符号、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查负数的定义、有理数乘方、去括号、绝对值等知识点，熟记相关概念是解题的关键． 先运用有理数乘方、去括号、绝对值化简相关数据，然后再根据负数的定义解答即可． 【详解】解：，，，，， 所以在，、、、、、0中，负数有、、共3个． 故选B． 7．（本题3分）有理数m，n在数轴上的位置，m在原点右侧，n在原点左侧，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了通过数轴比较有理数的大小，涉及有理数的加减、乘法法则，数轴的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，根据有理数m，n在数轴上的位置，m在原点右侧，n在原点左侧，，再由有理数的运算性质即可得解． 【详解】解：∵有理数m，n在数轴上的位置，m在原点右侧，n在原点左侧， ∴， ∵， ∴，A选项正确，不符合题意； ∴，B选项正确，不符合题意； ∴，C选项正确，不符合题意； ∴，D选项错误，符合题意； 故选：D． 8．（本题3分）如图，数轴上的，两点所表示的数分别是，，如果且，那么该数轴的原点的位置应该在（　　） A．点的左边 B．点的右边 C．点与点之间且靠近点 D．点与点之间且靠近点 【答案】D 【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了数轴、绝对值、有理数的乘法，根据有理数的乘法可知、异号，根据绝对值的定义可知：数轴表示的点离原点的距离大于表示的点离原点的距离，所以可知原点的位置应该在点与点之间且靠近点． 【详解】解：， 、异号， ， 数轴表示的点离原点的距离大于表示的点离原点的距离， 即：表示、的点在原点的两侧，且表示的点到原点的距离远，表示的点到原点的距离近， 原点的位置应该在点与点之间且靠近点． 故选：D． 9．（本题3分）若 ，，且 ，则的值为（    ） A．或 B．7 或 1 C． 或 1 D．7 或 【答案】A 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】此题考查了有理数的加减法，绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题意，利用绝对值的代数意义和有理数加法法则，求出与的值，即可确定出的值． 【详解】解：，， ∴，， ∵， ，或，； 或． 故选：A． 10．（本题3分）下列计算正确的有（　　） （1） （2） （3） （4） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是正确解题的关键． 根据含有乘方的有理数混合运算法则，对每个式子逐一进行计算，判断其正确性，即可解答． 【详解】解：（1），故原式计算错误； （2），故原式计算错误； （3），故原式计算错误； （4） ；故原式计算错误； 综上，正确的有0个； 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（本题3分）圆周率是数学美的象征，它的无限不循环小数形式引发了人们对数学的好奇和探索．圆周率，用四舍五入法把精确到千分位，得到的近似值是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的近似数、求近似数的精确度 【分析】本题考查了近似数和有效数字，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 根据题意，将千分位的数字四舍五入即可得出答案； 【详解】解：用四舍五入法把精确到千分位，得到的近似值是， 故答案为： 12．（本题3分）按如图的程序计算，如果输入，则输出的结果为 ． 【答案】5 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查程序流程图与有理数计算；根据程序流程图的操作方法再结合有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：输入，， ∵，重复， 输入2，， ∵， ∴输出5． 故答案为：5． 13．（本题3分）如图，坎儿井是一种很古老的集水建筑物，主要用于农田灌溉，与万里长城、京杭大运河并称为中国古代三大工程．设最高竖井口所在位置的高度为0米（作为基准点），竖井口处高度为米，竖井口处高度为米，则处与处的高度差为 米． 【答案】25 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了有理数减法的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键． 用处高度减去处高度即可得出答案． 【详解】解：（米）， ∴处与处的高度差为25米． 故答案为：25． 14．（本题3分）绝对值不大于的所有整数的和是 ． 【答案】0 【知识点】绝对值的几何意义、有理数大小比较、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值，有理数的加法运算，先写出绝对值不大于的所有整数，再求和即可． 【详解】解：绝对值不大于的所有整数为，，，，，，0，1，2，3，4，5，6， 则这些数之和为0， 故答案为：0． 15．（本题3分）有下列说法：①若，则；②两个数相加，若和为负数，则这两个数必定都是负数；③如果，，那么这两个数一定一正一负，且负数的绝对值大；④一个数乘，积为这个数的相反数．则其中正确的序号有 ． 【答案】③④ 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】根据绝对值的定义，有理数的加法法则，有理数的乘法法则，相反数的定义依次对各说法进行判断即可． 【详解】解：①若，则或，故①错误； ②两个数相加，若和为负数，则这两个数可能都是负数或者一正一负或者和负数，故②错误； ③如果，，那么这两个数一定一正一负，且负数的绝对值大，故③正确； ④一个数乘，积为这个数的相反数，故④正确． ∴正确的序号有③④． 故答案为：③④． 【点睛】本题考查绝对值的定义，有理数的加法法则，有理数的乘法法则，相反数的定义，解题的关键是明确它们各自的含义． 16．（本题3分）定义一种新运算，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，再定义另一种新运算“☆”，对于任意有理数a，b和c，， 比如，请计算 【答案】14 【知识点】求一个数的绝对值、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，绝对值的求解，根据题目中给出的定义代入数字进行计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：14． 三.解答题（本大题共8题，满分72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售．如果每套儿童服装以55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：．（单位：元） (1)求这8套衣服最高的售价和最低的售价各是多少元？ (2)当他卖完这8套儿童服装后是盈利还是亏损？盈利（或亏损）了多少钱？ 【答案】(1)这8套衣服最高的售价是57元，最低的售价是52元 (2)他卖完这8套儿童服装后是盈利，盈利了37元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，正确的列出算式是解题的关键： （1）用标准价格加上最大数求出最高售价，标准价格加上最小数，求出最低售价； （2）用标准价格乘以8，再加上记录数据的和，然后减去成本，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，最高售价为（元）； 最低售价为（元）； 答：这8套衣服最高的售价是57元，最低的售价是52元； （2）； 答：他卖完这8套儿童服装后是盈利，盈利了37元． 18．（本题8分）如下图，请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 利用乘法运算律有时能进行简便计算． 例1：． 例2：． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法公式，解决本题的关键是熟练并灵活运用乘法公式. （1）利用乘法分配律简便运算. （2）利用乘法分配律简便运算. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． 19．（本题8分）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)1 (3)0 (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用减法法则变形，计算即可得解； （2）利用乘法分配律进行计算即可得解； （3）先计算乘方及绝对值运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得解； （4）整理成含有因数3.14的形式，然后逆运用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．（本题8分）已知有理数m，n在数轴上的位置如图所示（m在原点右侧，n在原点左侧，且），且，． (1)求m和n的值； (2)比较和的大小； (3)计算的值． 【答案】(1)， (2) (3)6 【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值的意义及有理数的加减运算，熟练掌握数轴上有理数的表示、绝对值的意义及有理数的加减运算是解题的关键； （1）根据数轴可知m是正数，n是负数，然后根据绝对值的意义可进行求解； （2）由（1）可分别得出和的值，然后问题可求解； （3）由（2）及有理数的运算可进行求解 【详解】（1）解：因为m在原点右侧，，所以； 因为n在原点左侧，，所以． （2）解：由（1）可知：，， ∴， 因为， 所以． （3）解：由（2）可得：． 21．（本题10分）阅读下面的材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为， 其值， 原式． (1)上述解法中．你认为解法 是错误的．在正确的解法中，你认为解法 较简便．（填“一”、“二”或“三”） (2)请用你认为简便的方法计算：． 【答案】(1)一，三； (2) 【知识点】倒数、有理数乘法运算律、有理数的除法运算 【分析】（1）判断三种解法的正误，依据除法运算性质，除法没有分配律，所以解法一错误；再比较解法二和解法三，解法三通过求倒数，利用乘法分配律计算更简便． （2）借鉴（1）中简便的解法三，先求原式的倒数，再利用乘法分配律计算倒数的值，最后得出原式的值． 本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 【详解】（1）解：上述解法中．我认为解法一是错误的．在正确的解法中，你认为解法三较简便 故答案为：一，三； （2）解：原式的倒数为： ， 故原式． 22．（本题10分）某校为提高全校学生的身体素质，倡导全校学生利用课余时间加强体育锻炼．为响应学校号召，小张同学为自己制定了每天跑步3千米的计划，以下是小张同学一周内的跑步记录，其中超过3千米的记为正，不足3千米的记为负． 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 与计划的差值（单位：千米） (1)在这一周内，小张同学跑步路程最长的一天比跑步路程最短的一天多了 千米； (2)小张同学这一周的跑步总路程是否完成了自己的计划？ 请通过计算说明理由； (3)若小张同学每跑步1千米大约消耗90大卡的热量，则在这一周的跑步过程中，小张共计消耗多少大卡的热量？（结果用科学记数法表示） 【答案】(1)2.2 (2)小张同学这一周的跑步总路程完成了自己的计划，理由见解析 (3)大卡 【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数四则混合运算的实际应用、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意，准确列出算式是解决本题的关键． （1）用最多的一天减去最少的一天即可求解； （2）求出表格中数据的和即可求解； （3）用小明在这一周一共跑的总路程乘以平均每跑1千米消耗的卡路里，即可求解． 【详解】（1）解：千米， 故答案为：2.2； （2）解：∵千米， ∴小张同学这一周的跑步总路程完成了自己的计划； （3）解：大卡． 23．（本题10分）阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） (3)请你进行简便计算：． 【答案】(1)① (2)③ (3) 【知识点】有理数四则混合运算、有理数乘除中的简便运算 【分析】本题考查有理数的计算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则即可判断解法的正确性； （2）运用有理数的除法运算法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，运算是最简便的，只有解法三符合这种运算法则， （3）参照解法③进行简便计算． 【详解】（1）解：解法①是错误的． 故答案为：①； （2）解：在正确的解法中，解法③运用了有理数的除法的运算法则，乘法的分配律，比较简便． 故答案为：③； （3）解：原式的倒数为： ， 故原式． 24．（本题12分）概念学习 规定：求个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方， 比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的次商”；写作，读作“的次商”，一般地，把（）这样个相除，写作，读作“的次商”． 初步探究 （1）请直接写出计算结果：________，________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（   ）（单选） A．当时， B．当时， C．正数的次商结果是正数，负数的次商结果是负数 D．次商等于它本身的数是 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方（幂）的形式． （3）归纳：请把有理数的次商（，），写成乘方（幂）的形式为：________； （4）比较：________（填“”“”或“”）； （5）计算：． 【答案】（1）， （2） （3） （4） （5） 【知识点】有理数的除法运算、有理数的乘方运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的除法运算，有理数的乘方运算，含乘方的有理数混合运算等知识点，读懂题意，深刻理解题中所给除方的定义是解题的关键． （1）根据除方的定义进行计算即可； （2）根据除方的定义逐项分析判断即可； （3）根据题中所给示例进行计算即可得出答案； （4）分别求出和，然后比较即可； （5）根据除方的定义进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知：， ， 故答案为：，； （2）由题知： A．当时，， 该说法正确，故选项不符合题意； B．当时，， 该说法正确，故选项不符合题意； C．当为正数时，的次商表示个相除，结果是正数， 当为负数时，奇数个负数相除结果为负，偶数个负数相除结果为正， 该说法错误，故选项符合题意； D．由除方的定义可知，次商等于它本身的数是， 该说法正确，故选项不符合题意； 故选：； （3）由题知： ， 故答案为：； （4），， ， 故答案为：； （5） ． 学科网（北京）股份有限公司 $