第二十四章圆解答题专项练习2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十四章圆 解答题专项练习 1．如图，是的直径，C是上一点，D是弧的中点，E为延长线上一点，且，与交于点H，与交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求直径的长． 2．如图，为的直径，点，为上两点，且，连接，，过点作交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线． (2)连接，若，，求阴影部分的面积． 3．如图，在中，弦，点在上． (1)如图①，若是的直径，求的度数； (2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数． 4．【问题探究】 （1）如图1，内接于，，点D为劣弧上任意一点（点D不与点A、C重合），连接，点D在运动的过程中始终有，求的度数； 【问题解决】 （2）如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形进行再利用，根据李叔叔的规划要求，点A，B，C，D均为上的点，，，请问该四边形的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形周长的最大值；若不存在，请说明理由． 5．如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 6．如图，平行四边形的顶点A，B，C在上，过点B 作的切线交的延长线于点 D．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．(不写作法，保留作图痕迹) (1)在图(1)中，作出一个以为斜边的直角三角形； (2)在图(2)中，作出一个以为边的菱形． 7．如图，在中，，，点D在边上，经过点A和点B且与边相交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 8．如图，已知中，，以为直径作，交与点，过点作交于点，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 9．如图，为内接三角形，为直径，点在线段延长线上，线段过点，且交于，． (1)若，求的大小； (2)若，求弧、线段、围成的阴影部分的外围周长． 10．如图，小明家有一圆形花园记作，他准备在花园的内部，内接四边形的外部进行绿化图中的阴影部分，并在四边形内部建一个最大的圆形鱼池，且，． (1)求花园绿化部分的面积； (2)请用尺规作图作出圆形鱼池的圆心，并求出其半径． 11．如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，． (1)求证：是的切线； (2)求以为边的圆内接正多边形的周长． 12．如图，已知内接于，，的延长线交于，交于，交于，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：平分． 13．如图，过的顶点，，与交于点，连接，． (1)求证：是的切线 (2)若，，则________．（结果保留和根号） 14．如图，在四边形中，，，，为的外接圆． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，交于点E，过点A作，垂足为F，交于点G．若，求的长． 15．如图，是的直径，点是上的一点，点是的中点，连接并延长至点，交于点，连接，． (1)证明：为的切线； (2)若，． ①求的长； ②求阴影部分的面积． 16．如图，在中，，以边为直径作，交边于点，过点作于点． (1)求证：为的切线； (2)已知：的半径为，，求的长． 17．如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、OC．BC． (1)若，求的度数． (2)若，求长度． 18．如图，是的直径，，是的弦，．延长到，连接． (1)求证：是的切线； (2)求图中阴影部分的面积 (3)以为边的圆内接正多边形的周长等于___________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十四章圆 解答题专项练习2025-2026学年人教版数学九年级上册》参考答案 1．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据垂径定理得到，求得，求得，于是得到结论； （2）证明，可得，，证明，，可得，，结合为的直径，进一步可得答案． 【详解】（1）证明：∵D是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵D是弧的中点， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，含角的直角三角形的性质，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据，求得，根据等腰三角形的性质得到，推出，根据平行线的性质得到，于是得到是的切线； （2）过点O作于点F，连接，，根据，得出，由于，得出是等边三角形，得出，在中，由勾股定理：，根据． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：过点O作于点F，连接，， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中：， ∴． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，等边三角形、垂径定理，扇形的面积的计算，解题的关键是正确地作出辅助线． 3．(1)135° (2) 【分析】（1）根据圆周角的性质和圆内接四边形性质即可求解； （2）连接，根据等弦对等弧，等弧对等角并结合圆内接四边形性质即可得到和的关系． 本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，正确运用相关知识是解答本题的关键． 【详解】（1）∵是的直径， 又 是等腰直角三角形， ∵四边形是的内接四边形， （2）如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， 4．（1） （2）存在，最大值为 【分析】本题考查了圆的基本性质（圆周角定理、直径性质）、全等三角形的判定与性质、勾股定理逆定理及弦长最值的应用．解题的关键是通过构造全等三角形转化线段和，结合的固定角度确定固定线段长度，利用直径是最长弦求动态线段的最大值． （1）在上截取线段构造全等三角形，利用圆内接图形的角度关系和等腰三角形性质，推导出的度数； （2）延长至F使，连接，证明，得，可得，由勾股定理的逆定理可得；由及，得为直径圆周角对直径），四边形周长，利用直径是最长弦，得最大值为4米，进而求周长最大值． 【详解】解：（1）如图3所示，延长至E，使，连接， 四边形为的内接四边形， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． ， 即 （2）该四边形的周长存在最大值，最大值为，理由如下： 如图4所示，延长至F，使，连接， ∵ ∴， 从而， 又， 在中，因，， ∴，故， 从而可得，故为直径，， 即，则， 四边形周长 ， 当最大时即为直径时，四边形周长最大值为 5．(1)见详解 (2)的半径为 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，等腰三角形性质和判定，掌握定理是解决问题的关键． （1）连接，先证明，可推出，根据等腰三角形的性质即可得出答案； （2）连接，设，得出，表示出，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出列方程即可求出r的值． 【详解】（1）证明：如图，连接， 于E，于F， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 又， ； （2）解：如图，连接，设，则， ∴， ∴， 于E，， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍）． 即的半径为． 6．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了复杂作图，涉及到平行四边形的性质、菱形的判定、圆的基本性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的性质是作图的关键． （1）延长交于点，连接，交于，即可得以为斜边的直角三角形； （2）延长交于点，延长交于点，连接、、，即可得菱形． 【详解】（1）解：延长交于点，连接，交于，如图(1)， 即为所求． (答案不唯一) 理由：为的直径， ， 平行四边形中，， ， 是直角三角形； （2）解：延长交于点，延长交于点，连接、、，如图（2），菱形即为所求． 理由：连接， 中，， 是菱形， ， 是等边三角形，同理可证明是等边三角形， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 是菱形． 7．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定定理以及等边三角形的判定和性质． （1）由可得为等腰三角形，再由圆的半径相等可得为等腰三角形，即，由可求解的度数，由切线定理即可证明． （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和可求解，即得为等边三角形，再由边相等即可求解圆的半径． 【详解】（1）证明：连接， 因为在中，， 所以为等腰三角形， 又， 所以， 又因为在中，， 所以为等腰三角形， 所以， 又， 所以， 即， 所以是的切线． （2）解：连接， 由（1）知， 所以， 又因为在中，， 所以为等边三角形， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以为等腰三角形， 所以， 所以， 所以的半径为． 8．(1)与相切，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、全等三角形的判定和性质、圆周角定理、求不规则图形面积、扇形面积的计算等知识，熟练掌握切线的判定定理、不规则图形面积求法是解题的关键． （1）连接，如图所示，根据平行线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据三角形的内角和定理得到，根据圆周角定理得到，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：与相切， 理由如下： 连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 9．(1) (2) 【分析】（1）连接，则，由，，推导出，由交于，得，求得，而，则，求得； （2）由，得，由，得，，则，所以，则，，求得，而，则阴影部分的外围周长为． 【详解】（1）解：如图所示，连接，则， ， ，， ， 交于， ， ， ， ， ， ， 即的大小为； （2）解：， ， ， ，， ， ， 是等边三角形，， ，， ， ， 即弧、线段、 围成的阴影部分的外围周长为． 【点睛】本题考查的是同角的补角相等、三角形内角和定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理、弧长公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 10．(1) (2)半径为 【分析】本题考查作图-应用与设计作图、垂径定理的应用、扇形面积的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由题意可得，为的直径，，可求出的面积为，四边形的面积为，进而可得花园绿化部分的面积为 若在四边形内部建一个最大的圆形鱼池，则圆形鱼池分别与四边形的四条边相切．作的平分线，交AC于点，则点即为所求；设分别与，，，相切于点E，F，G，H，连接，，，，，，设圆形鱼池的半径为r，则，根据，可得，求出r的值即可． 【详解】（1）解∶，，， ， 四边形为的内接四边形， ， ， 为的直径． ， 的面积为 四边形的面积为， 花园绿化部分的面积为； （2）解∶由题意得，圆形鱼池分别与四边形的四条边相切． 如图，作的平分线，交于点， 则点即为所求． 设分别与，，，相切于点E，F，G，H，连接，，，，，， 设圆形鱼池的半径为r，则， ， ， ， 其半径为 11．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，，根据三角形的内角和定理求得，即可证明； （2）根据，推得以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，根据直角三角形中，所对的边是斜边的一半求得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形， ∵，，， ∴， ∴以为边的圆内接正六边形的周长为． 【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理，圆内接正六边形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题的关键． 12．(1)见详解； (2)见详解． 【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，圆周角定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，，求得，根据切线的判定定理得到是的切线； 根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得，求得，根据角平分线的定义得到平分． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）证明：， ， ， ， ， ， 平分． 13．(1)见解析； (2)． 【分析】连接并延长交于点，交于点，连接，根据圆周角定理可证，根据圆周角定理可证，过点作，根据等腰三角形的三线合一定理可证，，等量代换可证，从而可证结论成立； 因为，根据圆周角定理可知，利用勾股定理求出，再根据扇形的弧长公式计算即可． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接并延长交于点，交于点，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如下图所示，过点作， ， ， 在中，， 又， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如下图所示，连接、， ， ， ， 在中，， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、扇形的弧长公式、等腰三角形的性质，解决本题的关键是作辅助线构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质找角的关系． 14．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由可证出，利用全等三角形的性质可得出，即平分，利用三线合一可得出，结合可得出，由此即可证出是的切线； （2）连接，由圆内接四边形对角互补结合可得出，由同角的余角相等可得出，结合可得出，再利用等角对等边可证出，由，可证出，利用全等三角形的性质可求出的长，设，在中，利用勾股定理可求出x的值，此题得解． 【详解】（1）证明：如图1，连接， 在和中， ∴ ∴ ∴平分， ∴ 又∵ ∴ ∴是的切线； （2）如图2，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴，， 设， 在，，， ∴ 由勾股定理，得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理、平行线的性质、圆内接四边形、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识点，解题的关键正确添加辅助线． 15．(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键． （1）根据三角形中位线定理得到，根据垂直的定义得到，于是得到，根据切线的判定得到为的切线； （2）①设的半径为，由，得到，根据，由（1）知，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理得到； ②由①知，，根据直角三角形的性质得到，，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：点是的中点，点是的中点， ， ， ， ，， ， ， 为的切线； （2）解：①设的半径为， ， ， 由（1）知， ， ， ，， ， ； ②由①知，， ，， 阴影部分的面积的面积扇形的面积． 16．(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，中位线定理，等腰三角形性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，，由圆周角定理可得，再通过等腰三角形性质可得，然后由中位线定理可得，又，则，最后通过切线的判定方法即可求证； （）连接，，由圆周角定理可得，再通过等腰三角形性质可得，再由勾股定理得，根据，求出，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴为的切线； （2）解：如图，连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质、圆周角定理，解题的关键是利用垂径定理得出垂直平分，结合等腰三角形等边对等角及圆周角与圆心角的关系推导角度和线段长度． （1）先由（半径相等）得；再根据为直径得，结合得；最后通过角的和差关系及同角的余角相等推导 的度数． （2）先由得半径，结合求出的长度；再在中用勾股定理算的长；最后根据垂径定理得出结果． 【详解】（1）解：∵、均为的半径， ∴， ∴（等边对等角）． ∵为的直径， ∴（直径所对的圆周角为直角），即． 又∵于E， ∴，即． ∴（同角的余角相等）． （2）解：∵为的直径， ∴（半径等于直径的一半）． ∵， ∴． ∵于E， ∴（垂径定理），且为直角三角形． 在中，由勾股定理得： ， 即， ， ∴（线段长度为正）． ∴． 答：的长度为． 18．(1)见解析 (2) (3)18 【分析】本题考查切线的判定，圆内接正六边形的性质，掌握切线的判定方法是正确解答的前提． （1）根据等腰三角形性质以及三角形内角和定理计算出即可； （2）求出，，计算出，根据的面积减去的面积可得阴影部分的面积； （3）得出以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，再求出的长即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 即， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形， ∴， ∴以为边的圆内接正六边形的周长为． 故答案为：18． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $