专项突破2 圆中常见多解问题专项训练-2025-2026学年苏科版九年级数学上册【知识点过关+ 知识拓展+探究创新】

专项突破2 圆中常见多解问题 第一部分 典例剖析+变式训练 易错点1 点与圆的位置关系的漏解问题 【典例1】（2022秋•平潭县校级期中）在同一平面内，已知点P到⊙O的最短距离为2，最长距离为8，则⊙O的半径是 　 ． 【变式训练】 2．（2024秋•江阴市校级月考）如图，原点右边7个单位有一点P，数轴上半径为1的⊙O从原点O开始以每秒2个单位的速度向右运动，经过 　 　 秒，点P在⊙O上． 易错点2 直线与圆的位置关系的漏解问题 【典例2】（2024秋•宿豫区期中）如图，∠BAC＝45°，点O在AC上，且AO＝4，以点O为圆心，r为半径画圆，若∠BAC的边AB与⊙O有两个公共点，则r的取值范围为 　 ． 【变式训练】 1．（2023秋•镇江期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，点D从点A出发，沿射线AB以2cm/s的速度移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC（点E、F分别在射线AC、CB上）．以点D为圆心，DE为半径作⊙D，若⊙D上恰好只有两个点到直线BC的距离为3cm，设点D移动的时间为t秒，则t的取值范围是 　 ． 2．已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．直线y＝kx﹣2k（k＜0）分别与x轴，y轴交于A、B两点，且OB＝2OA． （1）点A的坐标：　 　 ；点B的坐标：　 　 ． （2）若以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有且只有一个公共点．直接写出r的数值或取值范围． （3）如图①，点P是线段AB上的一点，以点P为圆心，PB为半径的圆分别与线段BO、AB交于D、E两点．连接DE、DA，若∠EBD＝∠DAO，试判断直线AD与⊙P的位置关系并说明理由． （4）如图②，点N是x轴负半轴上的一点，且ON＝8，线段AN的垂直平分线为直线l，在直线l上是否存在一点M，使∠BAN＝∠BMN？若存在，请画出M点的位置，并直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 易错点3 垂径定理的漏解问题 【典例3】（2024秋•邗江区月考）已知⊙O的直径为10，点P到圆心O的距离为3，则经过点P的弦为整数的有 　 　 条． 【变式训练】 1．（2024秋•南岗区月考）若⊙O的直径为10，弦AB＝8，弦CD＝6，且AB∥CD，则AB与CD之间的距离是 　 　 ． 易错点4 弦所对的圆周角的漏解问题 【典例4】（2024秋•南京月考）若弦长等于半径，则弦所对圆周角的度数是 　 ． 【变式训练】 1．（2024秋•蕲春县校级月考）圆被弦所分成的两条弧长之比为2：7，这条弦所对的圆周角的度数为　 　 ． 易错点5 外心与三角形的位置的漏解问题 【典例5】（2024秋•崇川区期末）若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝8，则S△ABC＝　 ． 【变式训练】 （2023秋•广安区校级期末）若点O是△ABC的外心，且∠BOC＝70°，则∠BAC的度数为　　 ． 第二部分 专题能力提升训练 1．（2023秋•大观区校级期末）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为260cm，下雨前水面宽为100cm，一场大雨过后，水面宽为240cm，则水位上升 　 cm． 2．（2024•襄阳）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和，则∠BAC的度数为　 ． 3．（2022秋•怀宁县期末）如图，AB为⊙O的弦，点P在弦AB上，若⊙O的半径为5，BP＝6，AP＝2，求OP的长度． 4．（2022•牡丹江）⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC的长为 　 ． 5．（2023秋•东台市月考）在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，求此弦所对的弧的中点到这条弦之间的距离是 　 　 ． 6．（2024秋•凉州区校级期末）如图，AB、AC分别与⊙O相切于点B、C，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是 　 　 ． 7．（2023•抚远市三模）已知△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，BC＝2cm，则∠A＝　 　 ． 8．（2024•巴中模拟）已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为　 ． 9．（2024•青海）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是 　 ． 10．（2025•崇明区二模）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 11．（2022春•虹口区期中）已知l1∥l2，l1、l2之间的距离是5cm，圆心O到直线l1的距离是2cm，如果圆O与直线l1、l2有三个公共点，那么圆O的半径为 　 　 cm． 12．如图，已知直线l的表达式是yx﹣4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点．一个半径为1.5的⊙C，圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当⊙C与直线l相切时，该圆运动的时间为 　 　 秒． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破2 圆中常见多解问题 第一部分 典例剖析+变式训练 易错点1 点与圆的位置关系的漏解问题 【典例1】（2022秋•平潭县校级期中）在同一平面内，已知点P到⊙O的最短距离为2，最长距离为8，则⊙O的半径是 　5或3　 ． 【分析】解答此题应进行分类讨论，点P可能位于圆的内部，也可能位于圆的外部． 【详解】解：当点P在圆内时，则直径＝2+8＝10，因而半径是5； 当点P在圆外时，直径＝8﹣2＝6，因而半径是3． 所以⊙O的半径为5或3． 故答案为：5或3． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，在解答此题时要注意进行分类讨论． 【变式训练】 2．（2024秋•江阴市校级月考）如图，原点右边7个单位有一点P，数轴上半径为1的⊙O从原点O开始以每秒2个单位的速度向右运动，经过 　3或4　 秒，点P在⊙O上． 【分析】分两种情况，列式计算即可得解． 【详解】解：∵原点O开始以每秒2个单位的速度向右运动，距原点右边7个单位有一点P， ∴当第一次点P在圆上时，（7﹣1）÷2＝3（秒）， 当第二次点P在圆上时，[7﹣（﹣1）]÷2＝4（秒）， 综上所述，经过3或4秒，点P在⊙O上． 故答案为：3或4． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，数轴，解题的关键是掌握点与圆的位置关系，利用分类讨论． 易错点2 直线与圆的位置关系的漏解问题 【典例2】（2024秋•宿豫区期中）如图，∠BAC＝45°，点O在AC上，且AO＝4，以点O为圆心，r为半径画圆，若∠BAC的边AB与⊙O有两个公共点，则r的取值范围为 　2r≤4　 ． 【分析】此题应分情况讨论：当圆和射线BA相切时，则圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到结论． 【详解】解：根据等腰直角三角形的性质，求得圆心到直线的距离是OD＝2． 若相切时，则此时圆的半径是2； 即∠BAC的边AB与⊙O有两个公共点，则r的取值范围2r＜4． 故答案为：2r≤4． 【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，注意考虑两种情况，不要漏掉相交的情况，因为此题只要保证和射线有一个公共点即可． 【变式训练】 1．（2023秋•镇江期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，点D从点A出发，沿射线AB以2cm/s的速度移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC（点E、F分别在射线AC、CB上）．以点D为圆心，DE为半径作⊙D，若⊙D上恰好只有两个点到直线BC的距离为3cm，设点D移动的时间为t秒，则t的取值范围是 　　 ． 【分析】首先设直线GH和MN到BC的距离为3cm，先找到两种情况，根据直角三角形的性质，勾股定理分别表示出相关线段的长度，列出不等式即可求出． 【详解】解：设直线GH和MN到BC的距离为3cm， ∴GH∥BC∥MN，CG＝CM＝3cm， 设直线DF交GH于K，交MN于L， ∵∠ACB＝90°，∠A＝60°， ∴∠ABC＝30°， ∴ACAB＝5cm， ∵AD＝2tcm， ∴AEAD＝tcm， ∴DEcm， 根据题意得：①当D在边AD上时，⊙D与GH相切， ⊙D恰好有一个点到BC的距离为3cm， ∵AE＝tcm，AC＝5cm， ∴CE＝（5﹣t）cm＝DF， ∴DF﹣DE＜3即5﹣tt＜3， ∴t， ②当⊙D与MN相切时，⊙D与BC有2个交点， ∴DE﹣DF＜3即t﹣5+t＜3， ∴t＜44， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，30°角的直角三角形性质，解不等式，勾股定理，圆周角定理，解题关键是从相切入手找到关系． 2．已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．直线y＝kx﹣2k（k＜0）分别与x轴，y轴交于A、B两点，且OB＝2OA． （1）点A的坐标：　（2，0）　 ；点B的坐标：　（0，4）　 ． （2）若以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有且只有一个公共点．直接写出r的数值或取值范围． （3）如图①，点P是线段AB上的一点，以点P为圆心，PB为半径的圆分别与线段BO、AB交于D、E两点．连接DE、DA，若∠EBD＝∠DAO，试判断直线AD与⊙P的位置关系并说明理由． （4）如图②，点N是x轴负半轴上的一点，且ON＝8，线段AN的垂直平分线为直线l，在直线l上是否存在一点M，使∠BAN＝∠BMN？若存在，请画出M点的位置，并直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用直线AB的解析式求出点A的坐标，可得结论； （2）如图①中，过点O作OH⊥AB于H，利用面积法求出OH的长，可得结论； （3）如图①﹣1中，结论：直线AD是⊙P的切线．连接PD，证明PD⊥AD即可； （4）如图②中，当点M在x轴下方时，连接BN，MN，BM，AM．证明△BNM是等腰直角三角形即可．作点M关于直线AB的对称点T（9，7），连接TN，BT，作△BNT的外接圆⊙J在第二象限交直线l于点M′，连接M′N，M′B，则∠BM′N＝∠BTN＝∠BMN＝∠BAN，判断出点T，J的坐标，可得结论． 【详解】解：（1）对于直线y＝kx﹣2k，令y＝0，可得x＝2， ∴A（2，0）， ∴OA＝2， ∵OB＝2OA， ∴OB＝4， ∴B（0，4）， 故答案为：（2，0），（0，4）； （2）如图①中，过点O作OH⊥AB于H， 在Rt△AOB中，AB2， ∵•AB•OH•OA•OB， ∴OH， ∴当r或2＜r≤4时，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有且只有一个公共点； （3）如图①﹣1中，结论：直线AD是⊙P的切线． 理由：连接PD． ∵PE是⊙P的直径， ∴∠BDE＝∠BOA＝90°， ∴DE∥OA， ∴∠DAO＝∠EDA， ∵PB＝PD， ∴∠PBD＝∠PDB， ∵∠BDP+∠PDE＝90°，∠EBD＝∠DAO， ∴∠PDE+∠EDA＝90°， ∴∠PDA＝90°， ∴PD⊥AD， ∴AD是⊙P的切线； （4）如图②中，当点M在x轴下方时，连接BN，MN，BM，AM． ∵∠BMN＝∠BNA， ∴A，B，M，A四点共圆， ∴∠ABN+∠AMN＝180°， ∵AN＝10，BN＝4．AB＝2， ∴AN2＝BN2+AB2， ∴∠ABN＝90°， ∴∠AMN＝90°， ∵直线l垂直平分线段AN， ∴MN＝MA， ∴△AMN是等腰直角三角形， ∴M（﹣3，﹣5）． 作点M关于直线AB的对称点T（9，7），连接TN，BT，作△BNT的外接圆⊙J在第二象限交直线l于点M′，连接M′N，M′B，则∠BM′N＝∠BTN＝∠BMN＝∠BAN， 由作图可知J（﹣5，4），JB＝JT＝JN＝5， 设M′（﹣3，m），则有，22+（m﹣4）2＝52， 解得m＝4或4（舍弃）， ∴M′（﹣3，4）， 综上所述，满足条件的点M的坐标为（﹣3，﹣5）或（﹣3，4）． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理，三角形的外心，轴对称等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 易错点3 垂径定理的漏解问题 【典例3】（2024秋•邗江区月考）已知⊙O的直径为10，点P到圆心O的距离为3，则经过点P的弦为整数的有 　4　 条． 【分析】作过点P的⊙O的直径CD，设过点P的⊙O的弦为AB，连接AC，DB，利用相似，分解质因数解答即可． 【详解】解：如图，作过点P的⊙O的直径CD， 设过点P的⊙O的弦为AB，连接AC，DB， ∵∠CAP＝∠BDP，∠ACP＝∠DBP， ∴△BDP∽△CAP， ∴， ∴PA•PB＝PC•PD， ∵⊙O的直径为10，点P到圆心O的距离为3， ∴OC＝OD＝5，PC＝OC﹣OP＝2，PD＝OD+OP＝8， ∴PA•PB＝16， ∴PA•PB＝1×16＝2×8＝4×4， ∴AB＝PA+PB＝1+16＝17（舍去），AB＝PA+PB＝2+8＝10，AB＝PA+PB＝4+4＝8， ∴经过点P的弦为整数8，9，10，共4条， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了圆的性质，三角形相似的判定和性质，分解质因数，熟练掌握性质是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024秋•南岗区月考）若⊙O的直径为10，弦AB＝8，弦CD＝6，且AB∥CD，则AB与CD之间的距离是 　1或7　 ． 【分析】过O作OE⊥CD于E，直线OE交AB于F，连接OC，OA，根据垂径定理求出CE＝DE＝3，AF＝BF＝4，根据勾股定理求出OE和OF，再求出EF即可． 【详解】解：过O作OE⊥CD于E，直线OE交AB于F，连接OC，OA， ∵AB∥CD，OE⊥CD， ∴OF⊥AB， ∵AB＝8，CD＝6，OE过圆心O， ∴CE＝DE＝3，AF＝BF＝4， 有两种情况：①如图1， 由勾股定理得：OE， OF， ∴EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1； ②如图2， EF＝OE+OF＝4+3＝7， 所以AB与CD之间的距离是1或7． 故答案为：1或7． 【点睛】本题考查了两点之间的距离，勾股定理和垂径定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦． 易错点4 弦所对的圆周角的漏解问题 【典例4】（2024秋•南京月考）若弦长等于半径，则弦所对圆周角的度数是 　30°或150°　 ． 【分析】根据圆的一条弦长等于它的半径得到这条弦和两条半径组成了等边三角形，所以这条弦所对的圆心角是60°，再根据弦所对的圆周角有两种情况即可求解， 【详解】解：由弦长等于圆的半径得到这条弦和两条半径组成了等边三角形，因此这条弦所对的圆心角是60°， ①当圆周角的顶点在优弧上时，此时圆周角的度数60°＝30°， ②当圆周角的顶点在劣弧上时，根据圆内接四边形的对角互补，得到此时圆周角的度数＝180°﹣30°＝150°， ∴弦所对圆周角的度数是30°或150°． 故答案为：30°或150°． 【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是求出这条弦所对的圆心角的度数，分两种情况讨论． 【变式训练】 1．（2024秋•蕲春县校级月考）圆被弦所分成的两条弧长之比为2：7，这条弦所对的圆周角的度数为　40°或140°　 ． 【分析】先根据弦把圆分成2：7的两部分求出与的度数，进而可得出∠AOB的度数，由圆周角定理可求出∠AMB的度数． 【详解】解：∵弦AB把⊙O分成2：7的两部分， ∴360°280°， ∴∠1＝280°， ∴∠ANB∠1280°＝140°，∠AMB＝180°﹣∠ANB＝180°﹣140°＝40°． 故答案为：40°或140°． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角及圆心角是解答此题的关键． 易错点5 外心与三角形的位置的漏解问题 【典例5】（2024秋•崇川区期末）若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝8，则S△ABC＝　32+16或32﹣16　 ． 【分析】作AD⊥BC于D，如图，利用等腰三角形的性质得BD＝CD＝4，则AD垂直平分BC，根据外心的定义得点O在AD上，再利用∠BOC＝60°得到△OBC为等边三角形，则OB＝BC＝8，OD＝4，讨论：当等腰△ABC为锐角三角形时，AD＝8+4，当等腰△A′BC为钝角三角形时，A′D＝8﹣4，然后根据三角形面积公式分别计算两种情况下的三角形面积． 【详解】解：作AD⊥BC于D，如图， ∵AB＝AC， ∴BD＝CDBC＝4， ∴AD垂直平分BC， ∴点O在AD上， ∵∠BOC＝60°， ∴△OBC为等边三角形， ∴OB＝BC＝8， 在△OBD中，OD4， 当等腰△ABC为锐角三角形时，AD＝8+4，此时△ABC的面积8×（8+4）＝32+16； 当等腰△A′BC为钝角三角形时，A′D＝8﹣4，此时△ABC的面积8×（8﹣4）＝32﹣16． 综上所述，△ABC的面积为32+16或32﹣16． 故答案为32+16或32﹣16． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质和勾股定理，分类讨论是解题的关键． 【变式训练】 （2023秋•广安区校级期末）若点O是△ABC的外心，且∠BOC＝70°，则∠BAC的度数为　　 ． 【分析】根据题意画出图形、运用分情况讨论思想和圆周角定理解得即可． 【详解】解：①当点O在三角形的内部时， 如图所示： 则∠BAC∠BOC＝35°； ②当点O在三角形的外部时， 如图所示； 则∠BAC（360°﹣70°）＝145° 故答案为：35°或145°． 【点睛】本题考查的是圆周角定理以及圆内接四边形的性质，掌握相关的定理、灵活运用分类讨论思想是解题关键． 第二部分 专题能力提升训练 1．（2023秋•大观区校级期末）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为260cm，下雨前水面宽为100cm，一场大雨过后，水面宽为240cm，则水位上升 　170或70　 cm． 【分析】分两种情形分别求解即可解决问题； 【详解】解：作半径OD⊥AB于C，连接OB， 由垂径定理得：BCAB＝50cm， 在Rt△OBC中，OC120cm， 当水位上升到圆心以下，水面宽240cm时， 则OC′50cm， 水面上升的高度为：120﹣50＝70cm； 当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：120+50＝170cm， 综上可得，水面上升的高度为170cm或70cm． 故答案为：170或70． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 2．（2024•襄阳）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和，则∠BAC的度数为　15°或105°　 ． 【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC与AB在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E． ∵OE⊥AC，OD⊥AB， ∴AEAC，ADAB， ∴sin∠AOE，sin∠AOD， ∴∠AOE＝45°，∠AOD＝30°， ∴∠BAO＝60°，∠CAO＝90°﹣45°＝45°， ∴∠BAC＝45°+60°＝105°，或∠BAC′＝60°﹣45°＝15°． ∴∠BAC＝15°或105°． 故答案为：15°或105°． 【点睛】本题考查的是垂径定理及直角三角形的性质，解答此题时进行分类讨论，不要漏解． 3．（2022秋•怀宁县期末）如图，AB为⊙O的弦，点P在弦AB上，若⊙O的半径为5，BP＝6，AP＝2，求OP的长度． 【分析】根据垂径定理求出AC＝BC＝4，根据勾股定理先求出OC，再求出OP即可． 【详解】解：如图，连接OA，OA＝5，BP＝6，AP＝2，过点O作OC⊥AB，垂足为C，则AC＝BCAB（2+6）＝4， 在Rt△AOC中，OA＝5，AC＝4， ∴OC3， 在Rt△COP中，PC＝AC﹣AP＝4﹣2＝2，OC＝3， ∴OP． 答：OP的长度为． 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的关键． 4．（2022•牡丹江）⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC的长为 　4或2　 ． 【分析】连接OA，由AB⊥CD，设OC＝5x，OM＝3x，根据CD＝10可得OC＝5，OM＝3，根据垂径定理得到AM＝4，然后分类讨论：当如图1时，CM＝8；当如图2时，CM＝2，再利用勾股定理分别计算即可． 【详解】解：连接OA， ∵OM：OC＝3：5， 设OC＝5x，OM＝3x， 则OD＝OC＝5x， ∵CD＝10， ∴OM＝3，OA＝OC＝5， ∵AB⊥CD， ∴AM＝BMAB， 在Rt△OAM中，OA＝5， AM， 当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8， 在Rt△ACM中，AC； 当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2， 在Rt△ACM中，AC． 综上所述，AC的长为4或2． 故答案为：4或2． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 5．（2023秋•东台市月考）在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，求此弦所对的弧的中点到这条弦之间的距离是 　2或8　 ． 【分析】点C和D为弦AB所对弧的中点，连接CD交AB于E，连接OA，如图，根据垂径定理的推论得到CD为直径，CD⊥AB，则AE＝BEAB＝4，再利用勾股定理计算出OE＝3，然后分别计算出DE和CE即可． 【详解】解：点C和D为弦AB所对弧的中点，连接CD交AB于E，连接OA，如图， ∵点C和D为弦AB所对弧的中点， ∴CD为直径，CD⊥AB， ∴AE＝BEAB＝4， 在Rt△OAE中，OA＝5，AE＝4， ∴OE3， ∴DE＝OD+OE＝8，CE＝OC﹣OE＝2， 即弦AB和弦AB所对的劣弧的中点的距离为2，弦AB和弦AB所对的优弧的中点的距离为8． 故答案为：2或8． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，关键是根据垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧解答． 6．（2024秋•凉州区校级期末）如图，AB、AC分别与⊙O相切于点B、C，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是 　65°或115°　 ． 【分析】此题分为两种情况，如图p点的位置有两个，所以∠BPC可能是锐角，也有可能是钝角，分别连接O、C；O、B；B、P1；B、P2；C、P1；C、P2各点． （1）当∠BPC为锐角，也就是∠BP1C时，根据AB，AC与⊙O相切，结合已知条件，在△ABC中，即可得出圆心角∠COB的度数，根据同弧所对的圆周角为圆心角的一半，即可得出∠BP1C的度数； （2）如果当∠BPC为钝角，也就是∠BP2C时，根据⊙O的内接四边形的性质，即可得出∠BP2C的度数． 【详解】解：分别连接O、C；O、B；B、P1；B、P2；C、P1；C、P2各点， （1）当∠BPC为锐角，也就是∠BP1C时： ∵AB，AC与⊙O相切于点B，C两点 ∴OC⊥AC，OB⊥AB， ∵∠A＝50°， ∴在△ABC中，∠COB＝130°， ∵在⊙O中，∠BP1C为圆周角， ∴∠BP1C＝65°， （2）如果当∠BPC为钝角，也就是∠BP2C时 ∵四边形BP1CP2为⊙O的内接四边形， ∵∠BP1C＝65°， ∴∠BP2C＝115° 故答案为：65°或115°． 【点睛】本题考查圆的切线性质，在解题过程中还要注意对圆的内接四边形、圆周角、圆心角的有关性质的综合应用． 7．（2023•抚远市三模）已知△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，BC＝2cm，则∠A＝　60°或120°　 ． 【分析】首先利用垂径定理求出弦BC所对的圆心角的度数，分情况讨论点A在优弧BC和劣弧BC上，利用圆周角定理及其推论求解． 【详解】解：如图， ∵BC＝2，OD⊥BC， ∴BD， 在Rt△BOD中， sin∠BOD， ∴∠BOD＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∵∠A1BOC＝60°， ∵四边形A1BA2C为圆内接四边形， ∴∠A2＝180°﹣60°＝120°， 故答案为60°或120°． 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，解题关键是利用垂径定理求出弦BC所对的圆心角的度数，分情况讨论点A在优弧BC和劣弧BC上，利用圆周角定理及其推论求解． 8．（2024•巴中模拟）已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为　8或2　 ． 【分析】分为两种情况：①当圆心在三角形的内部时，②当圆心在三角形的外部时从圆心向BC引垂线，交点为D，则根据垂径定理和勾股定理可求出OD的长，即可求出高AD和AE． 【详解】解：分为两种情况：①如图1，当圆心在三角形的内部时， 连接AO并延长交BC于D点，连接OB， ∵AB＝AC， ∴， 根据垂径定理得AD⊥BC， 则BD＝4， 在Rt△ODB中，由勾股定理得：OB2＝OD2+BD2， ∵OB＝5，BD＝4， ∴OD＝3， ∴高AD＝5+3＝8； ②当圆心在三角形的外部时，如图2， 由①知：OE＝3， 所以三角形底边BC上的高AE＝5﹣3＝2， 所以BC边上的高是8或2， 故答案为：8或2． 【点睛】本题综合考查了垂径定理和勾股定理在圆中的应用，因三角形与圆心的位置不明确，注意分情况讨论． 9．（2024•青海）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是 　6.5cm或2.5cm　 ． 【分析】点P应分在位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点P在圆内时，直径＝最小距离+最大距离；②当点P在圆外时，直径＝最大距离﹣最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， ∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝9cm， ∴直径AB＝4+9＝13（cm）， ∴半径r＝6.5cm； ②当点在圆外时，如图2， ∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝9cm， ∴直径AB＝9﹣4＝5（cm）， ∴半径r＝2.5cm． 综上所述，圆O的半径为6.5cm或2.5cm． 故答案为：6.5cm或2.5cm． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键． 10．（2025•崇明区二模）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】解：∵⊙O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm， 即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径， ∴点A在⊙O外．点B在⊙O上， ∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切， 故选：D． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键． 11．（2022春•虹口区期中）已知l1∥l2，l1、l2之间的距离是5cm，圆心O到直线l1的距离是2cm，如果圆O与直线l1、l2有三个公共点，那么圆O的半径为 　7或3　 cm． 【分析】根据平行线之间的距离处理即可，注意分类讨论． 【详解】解：∵圆O与直线l1、l2有三个公共点， ∴l2是圆的切线， 分两种情况： 当l1、l2在圆心O的同侧时，圆O的半径为5+2＝7（cm）， 当l1、l2在圆心O的异侧时，圆O的半径为5﹣2＝3（cm）， ∴圆O的半径为7cm或3cm． 故答案为：7或3． 【点睛】本题主要考查平行线之间的距离，解题关键是对l1、l2与圆心O的位置进行分类讨论． 12．如图，已知直线l的表达式是yx﹣4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点．一个半径为1.5的⊙C，圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当⊙C与直线l相切时，该圆运动的时间为 　6或16　 秒． 【分析】先求得AB两点的坐标，再分两种情况：圆心C在点B上方和下方，可证出△BDE∽△BOA，△BFG∽△BAO，根据相似三角形的性质，求得BE，BF，再根据圆的移动速度，求出移动的时间． 【详解】解：如图，当点C平移到点E时，设⊙C与直线l相切于点D，当点C平移到点F时，设⊙C与直线l相切于点G， 令x＝0，得y＝﹣4； 令y＝0，解得x＝3； ∴A（3，0），B（0，﹣4）， ∴AB＝5， ∵DE⊥l，GF⊥l， ∴△BDE∽△BOA，△BFG∽△BAO， ∴，， 即，， 解得BE＝2.5，BF＝2.5， ∴圆移动的距离为3或8， ∵圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动， ∴移动的时间为6s或16s， 故答案为：6或16． 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，一次函数的应用，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $