第02章 对称图形——圆 章节测试练习卷-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第02章 对称图形——圆 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．如图，已知圆心角的度数为100°，则圆周角的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 2．扇子与民众的日常生活息息相关，中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴．如图是一把折扇的简易图，已知扇面的宽度（）占骨柄（）的骨柄长为，折扇张开的角度为．则扇面（阴影部分）的面积是（　　） A． B． C． D． 3．如图为的内切圆，点，分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为，边的长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，内接于，为的直径，直线与相切于点，过点作，交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，且OC＝5cm，DC＝2cm，则AB＝（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 6．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠AOC=80°，则∠B的度数为（　　）    A． B． C． D． 7．如图，长方形中，，且，以点为圆心，为半径作圆交的延长线于点，则阴影部分的面积等于　　 A． B． C． D． 8．如图，圆O是的外接圆，，，过点C作圆O的切线，交的延长线于点D，则的度数是（　　） A． B． C． D． 9．数学活动课要求用一张正方形纸片制作圆锥，同学们分别剪出一个扇形和一个小圆作为圆锥的侧面和底面，下列图示中的剪法恰好能构成一个圆锥的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（ ） A．5﹣4 B．﹣1 C．6﹣2 D． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．若扇形的圆心角为，半径为6，则这个扇形的弧长为 （结果保留π）． 12．已知一条圆弧所在圆的半径为9，弧长为π，则这条弧所对的圆心角是 . 13．如图，正三角形与正五边形内接于，则的度数为 ． 14．如图，是的直径，点为上一点，连接，作交于点，连接，，，已知，则 ．    15．如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦 ． 16．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝2m，水面宽AB＝2.4m，某天下雨后，水管水面上升了0.4m，则此时排水管水面宽CD等于 m． 17．如图，是某隧道的入口，它的截面如图所示，是由和直角围成，且点也在所在的圆上，已知，隧道的最高点离路面的距离，则该道路的路面宽 m；在上，离地面相同高度的两点，装有两排照明灯，若是的中点，则这两排照明灯离地面的高度是 m． 18．如图，为等边的外接圆，点为上一动点，连结，．为上位于右边的一条弦，且，连结，则与所在直线的夹角度数为 °．当时，，此时的半径为 ． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．（精确到0.1）    20．如图，三角形ABC的三条边长都是4厘米，分别以线段AB、BC、CA的中点D、E、F为圆心，2厘米为半径画半圆，求阴影部分的周长和面积．（计算结果保留）    21．已知是⊙的直径，为等腰三角形，且为底边，请仅用无刻度的直尺完成下列作图． （1）在图①中，点在圆上，画出正方形； （2）在图②中，画菱形． 22．如图，某地有一座圆弧形拱桥其圆心为O，桥下水面宽度为，拱高为． (1)求拱桥的半径； (2)夏季雨季来临时，当水面离桥顶C距离为时，就要禁止通行，某天暴雨后桥下水面宽度为，请通过计算说明是否要禁止通行． 23．如图，圆环的内外圈用铁丝围成，其中大圆半径比小圆半径的2倍多1米，如果圆环的面积等于平方米，求围成圆环铁丝的总长度.    24．如图，将绕点逆时针旋转得到，的延长线与相交于点，连接，，，． (1)求证：； (2)猜想线段的数量关系，并证明你的猜想； (3)若，点是三角形内的一个动点，直接写出的最小值． 25．古时候人们往往会用八卦罗盘来测量建筑的方位．小明自制了一个类似的玩具：以点O为中心，共有内外两圈，均可以绕着点O旋转，外圈有A，B，C，D，E，F，G，H 8个点将圆八等分，内圈仅有J，K两个点，且点A，K，O，J四点共线，连接． (1)求的度数； (2)固定内圈，顺时针转动外圈一周，恰好经过．求外圈只转一周且当与一边垂直时，经过多少时间？ 26．综合与实践【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．    (1)【问题提出】如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：． (2)【问题解决】如图3，已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大．当最大时，求点的坐标． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02章 对称图形——圆 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．如图，已知圆心角的度数为100°，则圆周角的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】D 【分析】在优弧上选取一点E，连接，得圆内接四边形，根据圆周角定理先求出圆周角的度数，在根据圆内接四边形对角互补的性质即可求解． 【详解】解：设点E是优弧上的一点，连接，， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补的性质是解题关键． 2．扇子与民众的日常生活息息相关，中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴．如图是一把折扇的简易图，已知扇面的宽度（）占骨柄（）的骨柄长为，折扇张开的角度为．则扇面（阴影部分）的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出，得到的长度，再利用扇面（阴影部分）的面积计算可得． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴扇面（阴影部分）的面积， 故选：C． 【点睛】此题考查了扇形面积的计算，熟记扇形面积的计算公式是解题的关键． 3．如图为的内切圆，点，分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为，边的长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内切圆的性质及切线长定理可得，，，，则，所以的周长，代入求出即可． 【详解】解：的周长为，， ， 设与的三边、、的切点为、、，切为， ，，，， ， 的周长 ， 故选B． 【点睛】本题主要考查了切线以及切线长定理，解决本题的关键是充分利用圆的切线的性质，及圆切线长定理． 4．如图，内接于，为的直径，直线与相切于点，过点作，交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互补，连接，根据为的直径，得出，进而可得，再根据等边对等角，得出 ，根据平行线的性质可得，根据切线的性质可得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∵ ∴， 又∵ ∴， ∵， ∴， ∵直线与相切于点C， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，且OC＝5cm，DC＝2cm，则AB＝（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】连接OA，根据垂径定理得到∠ODA=90°，AD=BD，根据勾股定理求出AD，计算即可． 【详解】连接OA， ∵半径OC⊥AB， ∴∠ODA=90°，AD=BD， 由题意得，OD=OC-CD=3， 在Rt△OAD中，AD==4， ∴AB=2AD=8， 故选B． 【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 6．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠AOC=80°，则∠B的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理进行作答. 【详解】AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，∠AOC=80°，由圆周角定理得到，∠B= .所以答案选C. 【点睛】本题考查了圆周角定理即同一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，熟练掌握圆周角定理是本题解题关键. 7．如图，长方形中，，且，以点为圆心，为半径作圆交的延长线于点，则阴影部分的面积等于　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用扇形MAD的面积与矩形ABCD的面积之和减去△CMB的面积等于阴影部分面积计算． 【详解】解：长方形 ABCD 中， AB=3BC ，且 AB=9cm ， 则BC=3 阴影部分的面积扇形的面积矩形的面积的面积 ， 故选：． 【点睛】本题考查圆与矩形、三角形面积的计算，巧妙利用图形的组合关系求面积是解题关键． 8．如图，圆O是的外接圆，，，过点C作圆O的切线，交的延长线于点D，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先连接，由，可求得的度数，由是圆O的切线，可得，继而求得答案． 【详解】解：连接， ∵圆O是的外接圆，， ∴是直径， ∵， ∴， ∵是圆O的切线， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径，所以此类题若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系． 9．数学活动课要求用一张正方形纸片制作圆锥，同学们分别剪出一个扇形和一个小圆作为圆锥的侧面和底面，下列图示中的剪法恰好能构成一个圆锥的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆与圆的位置关系，圆锥的理解，勾股定理的应用，正方形的性质，弧长的计算，选择合适的方法解题是关键，先设正方形的边长为，设小圆的半径为，再分别计算每个选项的小圆的周长与扇形的弧长，再比较即可． 【详解】解：设正方形的边长为， 如图，连接，，则， ，在上， 设， 过作于，连接， ∴四边形为矩形， ∴，，， 而， ∴， 解得：（舍去），， ∴大的半圆的弧长为， 小圆的周长为，故A不符合题意； 如图， 由正方形与圆的性质可得：， ∴大的半圆的弧长为， 小圆的周长为，故B符合题意； 如图，连接，，则， 设， 同理可得：，，， ∴， 解得：， ∴∴大的扇形的弧长为， 小圆的周长为，故C不符合题意； 如图，连接，，    设， 当刚好要围成一个圆锥时，则扇形的弧长等于小圆的周长， ∴， ∴， 而图中裁剪的条件中没有这个条件，故D不一定能够刚好围成圆锥，不符合题意； 故选B 10．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（ ） A．5﹣4 B．﹣1 C．6﹣2 D． 【答案】A 【分析】作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，根据两点之间线段最短得到此时PM+PN最小，再利用对称确定A′的坐标，接着利用两点间的距离公式计算出A′B的长，然后用A′B的长减去两个圆的半径即可得到MN的长，即得到+PN的最小值． 【详解】作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图， 则此时PM+PN最小， ∵点A坐标（2，3）， ∴点A′坐标（2，﹣3）， ∵点B（3，4）， ∴A′B==5， ∴MN=A′B﹣BN﹣A′M=5﹣3﹣1=5﹣4， ∴PM+PN的最小值为5﹣4． 故选A． 【点睛】本题考查了圆的综合题：掌握与圆有关的性质和关于x轴对称的点的坐标特征；会利用两点之间线段最短解决线段和的最小值问题；会运用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形性质． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．若扇形的圆心角为，半径为6，则这个扇形的弧长为 （结果保留π）． 【答案】 【分析】根据弧长的公式进行计算即可． 【详解】解：根据弧长的公式， 得到：． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键． 12．已知一条圆弧所在圆的半径为9，弧长为π，则这条弧所对的圆心角是 . 【答案】50°/50度 【分析】根据弧长公式变形计算即可得到答案． 【详解】∵， ∴ 故答案为：50°． 【点睛】本题考查了弧长的计算，正确掌握弧长公式是解题的关键． 13．如图，正三角形与正五边形内接于，则的度数为 ． 【答案】24 【分析】设外接圆圆心为O，连接，根据正五边形、正三角形和外接圆的性质可知：平分，平分，可得，根据正五边形和正三角形的性质求出，，问题得解． 【详解】解：设外接圆圆心为O，连接， 根据正五边形、正三角形和外接圆的性质可知：平分，平分， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正多边形与外接圆等知识，得出是解题关键． 14．如图，是的直径，点为上一点，连接，作交于点，连接，，，已知，则 ．    【答案】36 【分析】连接，利用半径相等求得，圆周角定理求得，再根据平行线的性质得到，然后利用圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：36． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理及其推论． 15．如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦 ． 【答案】8 【分析】本题考查圆心角定理，等边三角形的判定． 连接，，则，由点A，B分别为半圆O上的三等分点，，从而是等边三角形，根据等边三角形的三边相等即可解答． 【详解】解：连接，， 则， ∵点A，B分别为半圆O上的三等分点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：8 16．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝2m，水面宽AB＝2.4m，某天下雨后，水管水面上升了0.4m，则此时排水管水面宽CD等于 m． 【答案】3.2． 【分析】如图：连结OC，过O作OE⊥AB，交CD于F，垂足为E，由AB=2.4m，OE⊥AB，OA=2m，由垂径定理可得AE=1.2m，根据勾股定理OE=m，由水管水面上升了0.4m，可求OF=1.6﹣0.4=1.2m，根据勾股定理CF=m即可． 【详解】解：如图：连结OC，过O作OE⊥AB，交CD于F，垂足为E， ∵AB=2.4m，OE⊥AB，OA=2m， ∴AE=1.2m， ∴OE=m， ∵水管水面上升了0.4m， ∴OF=1.6﹣0.4=1.2m， ∴CF=m， ∴CD=3.2m． 故答案为：3.2． 【点睛】本题考查圆的有关性质，垂径定理的应用，勾股定理，掌握圆的有关性质，垂径定理的应用，勾股定理是解题关键 17．如图，是某隧道的入口，它的截面如图所示，是由和直角围成，且点也在所在的圆上，已知，隧道的最高点离路面的距离，则该道路的路面宽 m；在上，离地面相同高度的两点，装有两排照明灯，若是的中点，则这两排照明灯离地面的高度是 m． 【答案】 【分析】先求得圆心的位置，根据垂径定理得到，即可求得半径为5，根据勾股定理即可求得，进而求得，根据勾股定理求得，从而以及垂径定理求得，利用勾股定理求得，通过证得求得，进一步即可求得． 【详解】作的垂直平分线，交于，交于，则是圆心，连接， ， ， 圆的半径为， ， ， 连接、交于，作于，于， ，， ， ， ， 是的中点， 垂直平分， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为，． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 18．如图，为等边的外接圆，点为上一动点，连结，．为上位于右边的一条弦，且，连结，则与所在直线的夹角度数为 °．当时，，此时的半径为 ． 【答案】 【分析】延长BD，CE交于点F，连接OB，OC，CD，BE，根据同弧所对圆周角相等证明∠BFC＝90°；设DF＝m，EF＝n，可得BF＝BD＋DF，然后根据含30°角的直角三角形可得和，解得：，，然后根据勾股定理可得BC的长，过点O作OH⊥BC于点H，再根据含30°角的直角三角形即可求出OB． 【详解】解：如图，延长BD，CE交于点F，连接OB，OC，CD，BE， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵∠DBC＝∠DAC，∠ECB＝∠BAE， ∴∠BFC＝180°−∠FBC−∠FCB ＝180°−∠DAC−∠BAE ＝180°−（∠DAC＋∠BAD＋∠DAE） ＝180°−（∠BAC＋∠DAE） ＝180°−（60°＋30°） ＝90°， ∴BD与CE所在直线的夹角度数为90°； ∵∠DAE＝30°， ∴∠DBE＝∠ECD＝30°， 在Rt△BEF中，设DF＝m，EF＝n， ∴BF＝BD＋DF， ∵∠FBE＝30°， ∴tan30°＝， ∴， ∴， 在Rt△CDF中，CE＝4， ∴CF＝CE＋EF＝4＋n， ∵∠FCD＝30°， ∴tan30°＝， ∴， ∴， ， 解得：， ∴， ∴， ， ∴， 如图，过点O作OH⊥BC于点H， ∵OB＝OC， ∴， ∵∠BOC＝2∠BAC＝120°， ∴∠BOH＝60°， ∴sin60°＝， ∴， ∴⊙O的半径为． 故答案为：90；． 【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，解决本题的关键是作出正确的辅助线，得到∠BFC＝90°． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．（精确到0.1）    【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作于点，连接，根据垂径定理可得，再在中，根据勾股定理解得的值，进而获得答案． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，    ∴，， ∵， ∴， ∵直径为， ∴， 在中，根据勾股定理， 可得， ∴， ∴水的最大深度为． 20．如图，三角形ABC的三条边长都是4厘米，分别以线段AB、BC、CA的中点D、E、F为圆心，2厘米为半径画半圆，求阴影部分的周长和面积．（计算结果保留）    【答案】阴影部分的周长为厘米，阴影部分的面积为平方厘米． 【分析】本题考查了扇形弧长及面积的求法，半圆面积的求法是解题关键． 【详解】解：连接，，    阴影部分的周长＝三个以2厘米为半径的半圆的弧长之和＝（厘米） 阴影部分的面积＝一个以2厘米为半径的半圆的面积＝（平方厘米） 答：阴影部分的周长为厘米，阴影部分的面积为平方厘米． 21．已知是⊙的直径，为等腰三角形，且为底边，请仅用无刻度的直尺完成下列作图． （1）在图①中，点在圆上，画出正方形； （2）在图②中，画菱形． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析． 【分析】（1）过点A作圆的直径与圆的交点即为点D； （2）过AB、AC与圆的交点作圆的直径，与圆相交于两点，再以点B、C为端点、过所得两点作射线，交点即为点D． 【详解】（1）如图①，正方形即为所求 （2）如图②，菱形即为所求 【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质及菱形的判定与性质是解题的关键． 22．如图，某地有一座圆弧形拱桥其圆心为O，桥下水面宽度为，拱高为． (1)求拱桥的半径； (2)夏季雨季来临时，当水面离桥顶C距离为时，就要禁止通行，某天暴雨后桥下水面宽度为，请通过计算说明是否要禁止通行． 【答案】(1) (2)禁止通行，理由见解析 【分析】（1）连接，根据垂径定理和勾股定理求解； （2）连接，根据垂径定理可得，在中，根据勾股定理得，则，即可判断出答案． 【详解】（1）如图，连接， ∵， ∴D为中点， ∵， ∴， 又∵， 设，则， 在中，根据勾股定理， 解得， ∴拱桥的半径为； （2）连接， ∵， ∴G为中点， ∵， ∴， ∵， 在中， ， ∴， ∴要禁止通行． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，正确的做出辅助线是解决本题的关键． 23．如图，圆环的内外圈用铁丝围成，其中大圆半径比小圆半径的2倍多1米，如果圆环的面积等于平方米，求围成圆环铁丝的总长度.    【答案】 【分析】设小圆的半径为r，则大圆的半径为，根据，列方程求得大圆和小圆的半径，再计算大圆和小圆的周长之和即可求解． 【详解】解：设小圆的半径为r，则大圆的半径为， 由图可得，，即， 解得， （舍），， ∴， ∴， 答：围成圆环铁丝的总长度为． 24．如图，将绕点逆时针旋转得到，的延长线与相交于点，连接，，，． (1)求证：； (2)猜想线段的数量关系，并证明你的猜想； (3)若，点是三角形内的一个动点，直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)12 【分析】（1）由旋转的性质可知：，，则为等边三角形，，根据，可证； （2）由为等边三角形，可得，则是线段的中垂线，则，，，由，可得； （3）如图1，将绕点逆时针旋转，到，连接，则是等边三角形，，，由，可知当四点共线时，的和最小， ，，则，为等边三角形的内心，，由，可得，由勾股定理得，，则，如图1，作于，则，，，由勾股定理得，解得，，进而可求的和最小值． 【详解】（1）证明：由旋转的性质可知：，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）解：，证明如下： ∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴是线段的中垂线， ∴，， 由旋转的性质可知，， ∵， ∴， 又∵， ∴； （3）解：如图1，将绕点逆时针旋转，到，连接， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴当四点共线时，的和最小， ∴，， ∴， ∴为等边三角形的内心， ∴， 由题意知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 如图1，作于， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 解得，， ∴的和最小值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，三角形内角和定理，平行线的判定，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，内心等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 25．古时候人们往往会用八卦罗盘来测量建筑的方位．小明自制了一个类似的玩具：以点O为中心，共有内外两圈，均可以绕着点O旋转，外圈有A，B，C，D，E，F，G，H 8个点将圆八等分，内圈仅有J，K两个点，且点A，K，O，J四点共线，连接． (1)求的度数； (2)固定内圈，顺时针转动外圈一周，恰好经过．求外圈只转一周且当与一边垂直时，经过多少时间？ 【答案】(1) (2)外圈只转一周且当与一边垂直时，经过或或 或． 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，正确地识别图形是解题的关键． （1）由题意得将圆8等分，占其中的3份，然后列式计算即可； （2）分和两种情况，分别根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：将圆8等分，占其中的3份， ∴． （2）解：由题意得，外圈转动速度为：, ①当时，点A在右侧半圆上，时间， 点A在左侧半圆上，时间； ②当时，点D在右侧半圆上，时间； 点D在左侧半圆上，时间． 综上所述，外圈只转一周且当与一边垂直时，经过或或或． 26．综合与实践【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．    (1)【问题提出】如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：． (2)【问题解决】如图3，已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大．当最大时，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的外角和，同弧或者等弧所对的圆周角相等，即可； （2）当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大，连接，，过点作于点，根据垂径定理，勾股定理，即可求出． 【详解】（1）证明：由图可知：∵，是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大， ∴连接，，过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵点，的坐标分别是，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点．    【点睛】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握同弧或者等弧所对的圆周角和圆心角的关系，垂径定理，圆的切线定理． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$