第2章 专题特训四 直线与圆的位置关系中的分类讨论&专题特训五 圆中常见的多解问题-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(苏科版)

54 　 专题特训四　直线与圆的位置关系中的分类讨论 ▶ “答案与解析”见P29 类型一 根据直线与圆的交点个数确定圆的 半径范围 1. 如图,∠AOB=30°,OP=8,若☉P 与射线 OA 只有一个交点,则☉P 的半径r的取值范 围是 . (第1题) (第2题) 2. 如图,∠BAC=45°,点O 在AC 上,且AO= 4,以点O 为圆心、r为半径画圆,若∠BAC 的边AB 与☉O 有两个公共点,则r的取值 范围是 . 类型二 直线与圆的位置的相关运动 3. 如图,直线a⊥b,垂足为 H,点P 在直线b 上,PH=4cm,O 为直线b上一动点,以点O 为圆心、1cm为半径作圆,点O 从点P 出发, 以2cm/s的速度向右运动,经过ts与直线a 相切,则t的值为 ( ) A. 2 B. 3 2 或2 C. 2或52 D. 3 2 或5 2 (第3题) (第4题) 4. 如图,在平面直角坐标系中,半径为2的☉P 的圆心P 的坐标为(-3,0),将☉P 沿x 轴 的正方向平移,使☉P 与y轴相交,则平移的 距离d的取值范围是 . 类型三 直线与圆的位置关系的确定 5. 已知平面内有☉O 和点M、N,若☉O 的半径 为2cm,线段OM=3cm,ON=2cm,则直线 MN 与☉O 的位置关系为 ( ) A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切 类型四 由直线与圆的位置确定数量关系 6. 在平面直角坐标系中,以点A(4,3) 为圆心、R 为半径作☉A 与x 轴相 交,且原点O 在☉A 的外部,则半径 R 的取值范围是 ( ) A. 0<R<5 B. 3<R<4 C. 3<R<5 D. 4<R<5 7. 如图,P 为正比例函数y= 3 2x 图像 上的一个动点,☉P 的半径为3,设点 P的坐标为(x,y). (1) 当☉P 与直线x=2相切时,求点P 的 坐标. (2) 请直接写出☉P 与直线x=2相交、相离 时的x的取值范围. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 55 专题特训五　圆中常见的多解问题 ▶ “答案与解析”见P30 类型一 点与圆的位置不确定的多解问题 1. P 是☉O 外一点,PA、PB 分别切☉O 于点 A、B,∠P=70°,C 是☉O 上的点(不与点 A、B 重合),则∠ACB 的度数为 ( ) A. 70° B. 55° C. 70°或110° D. 55°或125° 类型二 点或弦的位置不确定的多解问题 2. 在☉O 中,AD 是直径,∠DAB=31°,C 是 ☉O 上的一动点(不与点 A、B 重合),则 ∠ACB 的度数为 ( ) A. 31° B. 59° C. 31°或59° D. 59°或121° 3. 已知圆中的一条弦所对的圆心角是30°,则这 条弦所对的圆周角的度数是 . 4. 如图,☉O 的半径为2,AB 是☉O 的弦,P 是 弦AB 上的一动点,且 2≤OP≤2,则弦AB 所对的圆周角的度数为 . (第4题) 5. 在半径为2的圆中,弦AB、AC 的长分别是 2、23,则弦BC 的长是 . 类型三 点的运动位置不确定的多解问题 6. 如图,在▱OABC 中,以点O 为圆心、OC 长 为半径的圆切AB 于点B,F 是圆上一动点, 作射线AF 交☉O 于另一点E.当EF=BC 时,∠BAF 的度数为 . (第6题) (第7题) 7. 如图,在☉O 中,AD 为直径,弦BC⊥AD 于 点H,连接OB.已知OB=2cm,∠OBC= 30°,动点E 在直径AD 上从点D 向点A 以 1cm/s的速度运动,运动时间为ts,连接 BE.当∠OBE=30°时,t的值为 . 类型四 相切位置不确定的多解问题 8. 如图,在平面直角坐标系中,点A、B 的坐标分别是(0,2)、(4,0),P 是直 线y=2x+2上的一动点,当以点P 为圆心、PO 长为半径的圆与△AOB 的一条 边所在的直线相切时,点P 的坐标为 . (第8题) 9. 在△ABC 中,AB=5,BC=3,AC=4,点P 在∠ABC 的平分线上,以点 P 为圆心作 ☉P. (1) 如图,当☉P 经过点C 时,求证:☉P 与 直线AB 相切. (2) 当☉P 同时与直线BC、AC 相切时,☉P 的半径为 . (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆 ∴ PQ=QD+PD=6+r. ∵ PC是☉O 的切线, ∴ OC⊥PC. ∴ ∠OCP=∠PCQ=90°. 在 Rt△PCQ 中,由 勾 股 定 理,得 PQ2=PC2+CQ2,即(6+r)2= (2r)2+62,解得r=4或r=0(不合题 意,舍去). ∴ OA=4,AP=8. ∴ 在Rt△AOP 中,OP= OA2+AP2=45. ∵ OC=PD,OB=OC, ∴ OB=PD. 又∵ PQ∥AB,即OB∥PD, ∴ 四边形OBDP 是平行四边形. ∴ BD=OP=45. (第11题) 12. (1) △PEF 的周长=2PA. ∵ PA、PB 分别切☉O 于点A、B, ∴ PA=PB. ∵ PA、EF 分别切☉O 于点A、C, ∴ EA=EC. 同理,可得FC=FB. ∴ △PEF 的 周 长 =PE+EF+ PF=PE+EC+FC+PF=PE+ EA+FB+PF=PA+PB=2PA. (2) 6. (3) 如图①②,☉O 即为所求作. (4) 如图①,设☉O 分别与射线PM、 射线PN、边EF 相切于点A、B、C, 连接OA、OB、OC. ∴ AE=CE,∠OBF=90°,∠OCF= 90°. ∵ EF⊥PN, ∴ ∠CFB=90°. ∴ 四边形OCFB 为矩形. 又∵ OC=OB, ∴ 四边形OCFB 为正方形. ∴ CF=BF=OC. 设☉O 的半径为r,则CF=BF=r. ∵ 在Rt△PEF 中,EF=3,PF=4, ∴ PE= PF2+EF2 =5,AE= CE=3-r. ∵ PA=PB, ∴ PE+AE=PF+BF,即5+3- r=4+r,解得r=2. ∴ ☉O 的半径为2. 如图②,设☉O 的半径为R. ∵ EF⊥PN, ∴ ∠EFP=90°. ∵ 在Rt△PEF 中,EF=3,PF=4, ∴ PE= PF2+EF2=5. ∵ 易得S△PEF= 1 2 (EF+PF+PE)· R=12EF ·PF, ∴ 1 2× (3+4+5)R=12×3×4 ,解 得R=1. ∴ ☉O 的半径为1. 综上所述,☉O 的半径为2或1. (第12题) 求与多边形各边(或延长线) 相切的圆的半径的一般方法 解决与多边形各边(或延长 线)相切的圆的半径问题时,常常 将这个多边形分割(或补充)成以 圆心到各边的距离为高的几个三 角形的和(或差),运用整体的数学 思想建立方程求得这个圆的半径. 当然,有时也需要根据问题隐含的 条件考虑所有可能出现的情形,分 类讨论进行解答. 专题特训四　直线与圆的 位置关系中的分类讨论 1. r=4或r>8 解析:如图,过点P 作PQ⊥OA 于点Q,则∠OQP=90°. ∵ ∠AOB=30°,∴ 易得PQ=12OP= 4.∴ 当r=4时,☉P 与射线OA 相 切,此时只有一个交点.当r=OP=8 时,☉P 与射线OA 有 两 个 交 点. ∴ 当r>8时,☉P 与射线OA 只有 一个交点.综上所述,r的取值范围是 r=4或r>8. (第1题) 2. 22<r≤4 解析:根据等腰直角 三角形的性质,求得圆心O 到直线 AB 的距离是22.若☉O 与直线AB 相切,则此时圆的半径是2 2,即 ∠BAC 的边AB 与☉O 有一个公共 点.∴ 若∠BAC的边AB 与☉O 有两 个公共点,则r的取值范围是22< r≤4. 3. D 解析:∵ 直线a⊥b,∴ ☉O 与 直线a 相切时,切点为 H.∴ OH= 1cm.如图①,当点O 在点H 的左侧, ☉O 与直线a 相切时,OP=PH- OH=4-1=3(cm).∴ t=32. 如图 ②,当点O 在点H 的右侧,☉O 与直 线a 相切时,OP=PH+OH=4+ 1=5(cm).∴ t=52.∴ 当☉O 与直 线a相切时,t的值为32 或5 2. (第3题) 4. 1<d<5 解析:当☉P 位于y轴 的左侧且与y轴相切时,平移的距离 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 92 为1;当☉P 位于y 轴的右侧且与 y轴相切时,平移的距离为5.故平移 的距离d的取值范围是1<d<5. 5. D 解析:∵ ☉O的半径为2cm,线 段OM=3cm,ON=2cm,即点M 到 圆心O 的距离大于圆的半径,点N 到 圆心O 的距离等于圆的半径,∴ 点 M 在☉O 外,点N 在☉O 上.∴ 直线 MN 与☉O的位置关系为相交或相切. 6. C 7. (1) 如图,过点P 作直线x=2的 垂线,垂足为A. 当点P 在直线x=2的右侧时,AP= x-2=3,得x=5. ∴ P 5,152 . 当点P 在直线x=2的左侧时,PA= 2-x=3,得x=-1. ∴ P -1,-32 . ∴ 当☉P 与直线x=2相切时,点P 的坐标为 5,152 或 -1,-32 . (2) 当-1<x<5时,☉P 与直线x= 2相交; 当x<-1或x>5时,☉P 与直线 x=2相离. (第7题) 专题特训五　圆中常见的 多解问题 1. D 2. D 3. 15°或165° 4. 45°或135° 解析:如图,连接OA、 OB,过点O 作OD⊥AB 于点D,在 ☉O 上AB 的两侧分别取点E、F,连 接AE、BE、AF、BF.∵ P 是弦AB 上的一动点,且2≤OP≤2,∴ OD= 2.∴ AD = OA2-OD2 = 2. ∴ AD=OD.∴ ∠OAB=∠AOD= 45°.∵ OA = OB,OD ⊥ AB, ∴ ∠AOD=∠BOD.∴ ∠AOB= 2∠AOD = 90°. ∴ ∠AEB = 1 2∠AOB=45°.∵ ∠E + ∠F = 180°,∴ ∠F=135°.综上所述,弦AB 所对的圆周角的度数为45°或135°. (第4题) 5. 2或4 6. 75°或15° 解析:如图,当AF 在 OA 的上方时,连接OE、OF、OB,过 点O 作OH⊥EF 于点H.∵ OE= OB,OF=OC,EF=BC,∴ △OEF≌ △OBC.∴ 易 得 ∠C = ∠OBC = ∠E=∠OFE.∵ 以OC 长为半径的 圆切AB 于点B,∴ OB⊥AB.∵ 四 边形OABC 是平行四边形,∴ OA= BC,AB∥OC.∴ OB⊥OC.∴ △OBC 是等腰直角三角形.∴ 易得∠C= ∠OAB= ∠OBC=45°.∴ ∠E= ∠EFO=45°.∴ 易得OH=12EF. ∵ OA=BC=EF,∴ OH=12OA. ∴ 易得∠OAH=30°.∴ ∠BAF= 45°+30°=75°.当AF(即AF')在OA 的下方时,同理,可得∠OAF'=30°. ∴ ∠BAF'=45°-30°=15°.综上所 述,∠BAF 的度数为 75°或15°. (第6题) 7. 1或4 解析:如图,连接AB.当点 E 在点O 的下方时,∵ ∠OBE=30°, ∠OBC=30°,∴ 点E 与点H 重合. ∵ OB=2cm,BC⊥AD,∴ 易得 OE=1cm.∴ DE =OD -OE = 1cm.∴ t=1.当点E'在点O 的上方 时,∵ BC ⊥AD,∠OBC =30°, ∴ ∠BOH =90°- ∠OBC =60°. ∵ OB = OA, ∴ ∠OBA = 1 2∠BOH=30°.∵ ∠OBE'=30°, ∴ 点E'和点A 重合.∴ DE'=4cm. ∴ t=4.综上所述,当∠OBE=30° 时,t的值为1或4. (第7题) 8. -12 ,1 或(-1,0)或(0,2) 解析:记直线y=2x+2与x 轴的交 点为C,则易得点C 的坐标为(-1, 0).∵ 点A、B 的坐标分别是(0,2)、 (4,0),∴ 易得直线AB 对应的函数 表达式为y=- 1 2x+2 ,AC2=5, AB2=20,BC2=25.∴ AC2+AB2= BC2.∴ ∠CAB=90°,即AC⊥AB. ∵ P 是直线y=2x+2上的一动点, ∴ PA⊥AB.① 如图①,当☉P 与边 AB 所在的直线相切时,易知AC 为 ☉P 的直径.∴ PA=PC,即P 为AC 的中点.∴ 点P 的坐标为 -12 ,1 . ② 如图②,当☉P 与边AO 所在的直 线相切时,PO⊥AO,即点P 在x轴 上.∴ 点P 与点C 重合.∴ 点P 的 坐标为(-1,0).③ 如图③,当☉P 与 边BO 所在的直线相切时,PO⊥BO, 即点P 在y轴上.∴ 点P 与点A 重 合.∴ 点P 的坐标为(0,2).综上所 述,点P 的坐标为 -12 ,1 或(-1, 0)或(0,2). (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 03 9. (1) 如图①,过点P 作PD⊥AB 于点D. ∵ AB=5,BC=3,AC=4, ∴ AB2=BC2+AC2. ∴ ∠ACB=90°. ∴ PC⊥BC. ∵ BP 平 分 ∠ABC,PC ⊥BC, PD⊥AB, ∴ PC=PD. ∵ ☉P 经过点C, ∴ PC、PD 为☉O 的半径. 又∵ PD⊥AB, ∴ ☉P 与直线AB 相切. (2) 1或3. 解析:如图②,当☉P 同 时与直线BC、AC 相切时,点P 在 ∠ACB 或∠ACM 的平分线上.分两 种情况讨论:① 当圆心在△ABC 内 部,即☉P1 分别与BC、AC 相切于点 G、F 时,连接P1G、P1F,过点P1 作 P1E⊥AB 于 点 E.∵ 点 P1 在 ∠ABC 的 平 分 线 上,P1E ⊥AB, P1G⊥BC,∴ P1E=P1G.设P1G= P1F=P1E=r.连 接 AP1、CP1. ∵ P1G⊥BC,P1E⊥AB,P1F⊥AC, ∴ S△ABC = S△ABP1 + S△ACP1 + S△BCP1= 1 2AB ·P1E+ 1 2AC · P1F+ 1 2BC ·P1G= 1 2 (AB+ AC + BC ) · r. ∴ r = 2S△ABC AB+AC+BC= 2×12×3×4 5+4+3 =1. ② 当圆心在△ABC 外部,即☉P2 分 别与直线BC、AC相切于点M、N 时, 连接P2M、P2N,过点P2 作P2Q⊥ BA,交BA 的延长线于点Q.∵ 点P2 在∠ABC 的平分线上,P2M⊥BC, P2Q ⊥ AB,∴ P2M = P2Q.设 P2M=P2N=P2Q=R.连接AP2、 CP2.∵ P2M ⊥BC,P2Q ⊥AB, P2N⊥AC,∴ S△ABC =S△ABP2 + S△BCP2-S△ACP2= 1 2AB ·P2Q+ 1 2BC ·P2M - 1 2AC ·P2N = 1 2 (AB+BC-AC)·R.∴ R= 2S△ABC AB+BC-AC= 2×12×3×4 5+3-4 =3. 综上所述,☉P 的半径为1或3. (第9题) 专题特训六　与切线 有关的证明与计算 1. 如图,连接OE,过点O 作OF⊥ CD 于点F. ∵ BC切☉O 于点E, ∴ OE⊥BC,OE=OA. ∵ AC为正方形ABCD 的对角线, ∴ ∠ACB=∠ACD=45°. 又∵ OF⊥CD,OE⊥BC, ∴ OE=OF. ∴ OF 是☉O 的半径. 又∵ OF⊥CD, ∴ CD 是☉O 的切线. (第1题) 2. (1) ∵ 点E 与点D 关于AC对称, ∴ CE=CD. ∴ ∠CDE=∠E. ∵ DF⊥DE, ∴ ∠CDF=90°-∠CDE=90°- ∠E=∠F. ∴ CD=CF. ∴ CE=CF. (2) 如图,连接OC. ∵ OA=OC, ∴ ∠OCA=∠CAB=30°. ∵ CD⊥AB, ∴ ∠DCA=60°. ∵ 点E 与点D 关于AC对称, ∴ ∠ECA=∠DCA=60°. ∴ ∠ECO=∠ECA+∠OCA=60°+ 30°=90°. 又∵ OC为☉O 的半径, ∴ EF 为☉O 的切线. (第2题) 3. 如图,连接OD、OB. ∵ OA=OB, ∴ ∠OAB=∠OBA. ∴ ∠BOC = ∠OAB + ∠OBA = 2∠BAC. ∵ ∠E=2∠BAC, ∴ ∠E=∠BOC. ∴ DE∥OB. ∴ ∠ODE+∠DOB=180°. ∵ ∠DAB=45°, ∴ ∠DOB=2∠DAB=90°. ∴ ∠ODE=90°. ∴ OD⊥DE. ∵ OD 是☉O 的半径, ∴ DE 与☉O 相切. (第3题) 4. (1) 连接OC. ∵ DC是☉O 的切线, ∴ OC⊥DC. ∵ BE⊥DC, ∴ OC∥BE. ∴ ∠OCB=∠CBE. ∵ OC=OB, ∴ ∠OCB=∠OBC. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13