专题10 全等三角形图形研究七种最常考模型专项训练 2025-2026学年人教版八年级数学上册

专题10 全等三角形图形研究七种最常考模型 模型一 对角互补四边形 1．（2024秋•南开区校级月考）如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC+∠ABC＝180°，下列结论：①CD＝CB；②AD+AB＝2AE；③AB﹣AD＝2BE．其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【思路引领】在EA上取点EF＝BE，连接CF，根据垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质可证CD＝CB，故①正确；根据线段间的和差关系可得AD+AB＝2AE，AB﹣AD＝2BE，故②③正确． 【解答】解：在EA上取点EF＝BE，连接CF， ∵CE⊥AB， ∴CF＝CB， ∴∠CFB＝∠B， ∵∠AFC+∠CFB＝180°，∠ADC+∠ABC＝180°， ∴∠D＝∠AFC， ∵AC平分∠BAD， 即∠DAC＝∠FAC， 在△ACD和△ACF中， ， ∴△ACD≌△ACF（AAS）， ∴CD＝CF， ∴CD＝CB， 故①正确； ∴AD＝AF， ∴AD+AB＝AF+AE+BE＝AF+EF+AE＝AE+AE＝2AE． 故②正确； 根据已知条件无法证明∠ACD＝∠BCE， 故④错误； AB﹣AD＝AB﹣AF＝BF＝2BE， 故③正确． 其中正确的是①②③． 故选：A． 【总结提升】考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形，同时注意线段间的和差关系的运用． 2．（2023秋•枣强县校级月考）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠ADC＝180°，CE⊥AB于点E． （1）求证：CB＝CD． （2）若AB+AD＝10，求AE长． 【思路引领】（1）证明△BCE≌△DCF（AAS），即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得DF＝BE，再证明△ACE≌△ACF（AAS），得AE＝AF，然后证明AB+AD＝2AE，即可得出结论． 【解答】（1）证明：如图，过点C作CF⊥AD于点F， 则∠CFD＝90°． ∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝∠CEA＝90°， ∴∠CFD＝∠CEB． 又∵AC平分∠BAD， ∴CE＝CF． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠FDC+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠FDC． 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（AAS）， ∴CB＝CD； （2）解：由（1）可知，△BCE≌△DCF， ∴DF＝BE． ∵AC平分∠BAD， ∴∠FAC＝∠EAC． 在△ACE和△ACF中， ， ∴△ACE≌△ACF（AAS）， ∴AE＝AF， ∴AB+AD＝AE+BE+AD＝AE+DF+AD＝AE+AF＝2AE＝10， ∴AE＝5． 【总结提升】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（2022秋•江岸区期中）如图，若∠ABD+∠ACD＝180°（∠ABD＞∠ACD），过点A作CD的垂线，垂足为点E，DE＝3，CD＝5．求BD的长度． 【思路引领】过点A作AH⊥BD于F，由“AAS”可证△ABF≌△ACE，可得AF＝AE，BF＝CE，由“HL”可证Rt△ADF≌Rt△ADE，可得DE＝DF＝3，即可求解． 【解答】证明：如图，过点A作AH⊥BD于F， ∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD+∠ABF＝180°， ∴∠ABF＝∠ACE， 在△ABF和△ACE中， ， ∴△ABF≌△ACE（AAS）， ∴AF＝AE，BF＝CE， 在Rt△ADF和Rt△ADE中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL）， ∴DF＝DE， ∵DE＝DF＝3，CD＝5 ∴CE＝2＝BF， ∴BD＝DF﹣BF＝1． 【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 类型二 外角平分线模型 4．（2023•河曲县一模）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 【思路引领】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案 【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC， 设∠PCD＝x°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN， ∴PF＝PM， ∵∠BPC＝40°， ∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°， ∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°， ∴∠CAF＝100°， 在Rt△PFA和Rt△PMA中， ， ∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL）， ∴∠FAP＝∠PAC＝50°． 故选：C． 【总结提升】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解决问题的关键． 5．（2023秋•重庆期中）如图，△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求证：GA平分∠DGB； （3）若四边形DGBA的面积为18，AF＝4.5，求FG的长． 【思路引领】（1）利用SAS进行证明即可； （2）先过点A作AH⊥BC于H，判定△ADF≌△ABH（AAS），即可得出AF＝AH，进而得证； （3）先判定△AFG≌△AHG（HL），得出S四边形DGBA＝2S△AFG，再根据S四边形DGBA＝18，AF＝4.5面积公式列出式子，进而得到FG的长． 【解答】（1）证明：在△ABC与△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）． （2）作AH⊥BC于H，如图1， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠D＝∠ABC，AD＝AB， ∵AF⊥DE， ∴∠AFD＝∠AHB＝90°， 在△ADF与△ABH中， ， ∴△ADF≌△ABH（AAS）， ∴AF＝AH， ∴GA平分∠DGB； （3）解：∵△ADF≌△ABH， ∴S四边形DGBA＝S△ADF+S四边形AFGB＝S△ABH+S四边形AFGB， 在Rt△AFG 和Rt△AHG中， ， ∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL）， ∴S四边形DGBA＝2S△AFG， ∵S四边形DGBA＝18，AF＝4.5， ∴18＝2FG×4.5， 解得：FG＝4． 【总结提升】此题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等． 类型三 半角模型 6．（2022春•孝南区月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．如图1，将△ABM绕着点A逆时针转90°得到△ACK（△ABM≌△ACK）． 证明：MN＝NK； 【思路引领】根据题意得到∠B＝∠ACB＝45°，∠B＝∠ACK＝45°，∠BAM＝∠CAK，AM＝AK，进而得到∠MAN＝∠KAN，即可利用SAS证明△AMN≌△AKN，根据全等三角形的性质即可得解； 【解答】证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∵△ABM≌△ACK， ∴∠B＝∠ACK＝45°，∠BAM＝∠CAK，AM＝AK， ∴∠MAK＝∠MAC+∠CAK＝∠MAC+BAM＝90°， ∵∠MAN＝45°， ∴∠KAN＝90°﹣45°＝45°， ∴∠MAN＝∠KAN， 在△AMN和△AKN中， ， ∴△AMN≌△AKN（SAS）， ∴MN＝NK； 【总结提升】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 7．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，E为AB上一点，∠DCE＝60°，∠DAE＝120°，求证：DE﹣AD＝BE． 【思路引领】延长EB至点F，使得BF＝AD，连接CF．由“SAS”定理证明△CBF≌△CAD，再证明△CDE≌△CEF，则FE＝DE，可得结论． 【解答】证明：延长EB至点F，使BF＝AD，连接CF． ∵CA＝CB，∠ACB＝120°， ∴∠ABC＝∠CAE＝（180°﹣120°）÷2＝30°， ∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝150°， 在△CBF和△CAD中， ， ∴△CBF≌△CAD（SAS）， ∴CF＝CD，∠BCF＝∠ACD． ∵∠DCE＝60°， ∴∠FCE＝∠ECB+∠BCF＝∠ECB+∠ACD＝∠ACB﹣∠DCE＝120°﹣60°＝60°＝∠DCE． 又∵CE＝CE， 在△CDE和△CEF中， ， ∴△CDE≌△CEF（SAS）， ∴FE＝DE． ∴DE﹣AD＝EF﹣BF＝BE． 【总结提升】本题考查等腰三角形的性质等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想解决问题． 8．如图，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，点E为AB上一点，∠DCE＝∠DAE＝60°，求证：AD+DE＝BE． 【思路引领】在AB上截取BF＝AD，连接CF，通过证明△ADC≌△BFC，可得∠ACD＝∠BCF，CD＝CF，由“SAS”可得△DCE≌△FCE，可得DE＝EF，即可得结论． 【解答】证明：如图，在AB上截取BF＝AD，连接CF， ∵CA＝CB，∠ACB＝120°， ∴∠CAB＝∠CBA＝30°， ∵∠DAE＝60° ∴∠DAC＝∠DAE﹣∠CAB＝30° ∴∠DAC＝∠CBA，且AD＝BF，AC＝BC ∴△ADC≌△BFC（SAS） ∴∠ACD＝∠BCF，CD＝CF， ∵∠ACB＝∠ACE+∠ECF+∠BCF＝∠ACE+∠ECF+∠ACD＝∠DCE+∠ECF＝120° ∴∠ECF＝60°＝∠DCE，且CE＝CE，DC＝CF ∴△DCE≌△FCE（SAS） ∴DE＝EF ∴BE＝BF+EF＝AD+DE 【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． 类型四 一线三垂直模型 9．（2021春•南岗区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，连接BD，若S△BCD，则BC的长为 　3　 ． 【思路引领】过点D作DM⊥BC交BC延长线于点M，证明△ABC≌△CMD（AAS），则BC＝DM，所以S△BCDBC2，即可求BC． 【解答】解：过点D作DM⊥BC交BC延长线于点M， ∵CD⊥AC，∠ABC＝90°， ∴∠ACB+∠MCD＝90°，∠ACB+∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠MCD， ∵CD＝AC， ∴△ABC≌△CMD（AAS）， ∴BC＝DM， ∴S△BCDBC×DMBC2， ∴BC＝3， 故答案为3． 【总结提升】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法、三角形面积公式是解题的关键． 10．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l，BE⊥l于E，AD⊥l于D．若BE＝2，AD＝6，求DE的长． 【思路引领】分为两种情况，画出图形求出△ADC≌△CEB，推出CD＝BE，AD＝CE，即可得出答案． 【解答】解：分为两种情况： ①如图1， ∵AD⊥l，BE⊥l， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠ACD+∠DAC＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE（同角的余角相等）， 在△ADC和△CEB中 ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴CD＝BE，AD＝CE． ∵DE＝DC+CE， ∴DE＝AD+BE＝6+2＝8； ②如图2， ∵AD⊥l，BE⊥l， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°， ∴∠BCD＝∠CAD（同角的余角相等）． 在△ADC和△CEB中 ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE，BE＝CD， ∵DE＝CE﹣CD， ∴DE＝AD﹣BE＝6﹣2＝4， 即DE的长是8或4． 【总结提升】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等． 11．（2025春•朝阳区校级月考）【模型建立】：如图①，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．直线m经过点A，过B作BM⊥m于点M，过C作CN⊥m于点N．易证得△BMA≌△ANC（无需证明），我们将这个基本图形称为“三垂直”或者叫“K形图”，它是“一线三等角”的特殊情形．接下来，我们就利用这个模型来解决一些问题： 【模型应用】：如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接BD，CE，分别交直线m于点M、F，若BD⊥m． 求证：点F是CE的中点； 【思路引领】【模型应用】（1）利用“三垂直”图形的性质得到△BMA≌△ANC，则AM＝CN，同理可得：△ADM≌△AEG，则AM＝EG，利用等量代换的性质得到CN＝EG，再利用全等三角形的判定定理得到△NCF≌△GEF，利用全等三角形的性质解答即可得出结论； （2）利用全等三角形的性质得到，S△ADM＝S△AEG，可求得△CNF的面积，利用△NCF≌△GEF，得到；利用等底同高的三角形面积相等的性质可得，则S△AEG＝S△AFE+S△EFG，则S△ADM； 【解答】【模型应用】（1）证明：过点C作CN⊥m交于点N，EG⊥m交于点G，如图， 由【模型建立】可知： ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BM⊥m，CN⊥m， 易证△BMA≌△ANC， ∴AM＝CN， 同理可得：△ADM≌△AEG， ∴AM＝EG， ∴CN＝EG． ∵CN⊥m，EG⊥m， ∴CN∥EG， ∴∠NCF＝∠GEF． 在△NCF和△GEF中， ， ∴△NCF≌△GEF（ASA）， ∴CF＝EF， ∴点F是CE的中点； （2）解：由（1）知：△BMA≌△ANC，△ADM≌△AEG， ∴，S△ADM＝S△AEG． ∵， ∴S△CNF＝S△ACF﹣S△ACN， 由（1）知：△NCF≌△GEF， ∴． ∵点F是CE的中点， ∴△AFC和△AFE是等底同高的三角形， ∴， ∴S△AEG＝S△AFE+S△EFG． ∴S△ADM． 故答案为：； 【总结提升】本题主要考查了直角三角形的性质， 直角三角形的边角关系定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，本题是阅读型，准确掌握题干中的方法，熟练的添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 类型五 一线三等角（非直角）模型 12．（2025春•汉滨区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，过D作∠EDF＝∠B，分别与AB，AC相交于点E和点F． （1）求证：∠BED＝∠FDC； （2）若DE＝DF，求证：BE＝CD． 【思路引领】（1）根据三角形的内角和定理和平角的定义即可得到结论； （2）根据全等三角形 的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵∠BED＝180°﹣∠B﹣∠BDE，∠FDC＝180°﹣∠EDF﹣∠BDE，∠EDF＝∠B， ∴∠BED＝∠FDC； （2）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△BDE与△CFD中， ， ∴△DBE≌△CFD（AAS）， ∴BE＝CD． 【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 13．（2023秋•乌达区期末）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． （1）已知：如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E．求证：DE＝BD+CE． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．那么结论DE＝BD+CE是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，将（1）中的条件改为：AB＝AC，A，E，D三点都在直线m上，且有∠BDF＝∠DEC＝∠BAC＝β，其中β为任意锐角．那么结论DE＝BD+CE是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【思路引领】（1）证明△ADB≌△CEA（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝BD，AD＝CE，即可得结论； （2）证明△ADB≌△CEA（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝BD，AD＝CE，即可得结论； （3）证明△ADB≌△CEA（AAS），由全等三角形的性质得出AD＝CE，AE＝BD，进而可以解决问题． 【解答】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （2）解：成立． ∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）解：DE＝BD+CE不成立，DE＝CE﹣BD成立，理由如下： ∵∠DEC＝∠EAC+∠C，∠BAC＝∠BAD+∠EAC，∠DEC＝∠BAC， ∴∠BAD＝∠C， ∵∠BDF＝∠DEC， ∴∠BDA＝∠AEC， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AD＝CE，AE＝BD， ∴CE＝AD＝AE+DE＝BD+DE， ∴DE＝CE﹣BD． 【总结提升】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质的综合应用，证明△ADB≌△CEA是解题的关键． 类型六 雨伞模型 14．（2025秋•肥东县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE．求证：BD＝2CE． 思路引领：延长BA交CE的延长线于F，先证明△BCE≌△BFE，得CE＝EF，再证明△ACF≌△ABD得BD＝CF，从而有BD＝2CE． 证明：延长BA交CE的延长线于F， ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠FBE， ∵CE⊥BE， ∴∠BEC＝∠BEF＝90°， ∵在△BCE和△BFE中， ， ∴△BCE≌△BFE（ASA）， ∴CE＝EF， 在△ABC中，∵∠BAC＝90°，CE⊥BE， ∴∠ABD+∠ADB＝90°， ∠CDE+∠FCA＝90°， 又∵∠ADB＝∠CDE（对顶角相等）， ∴∠FCA＝∠ABD， ∵在△ACF和△ABD中， ， ∴△ACF≌△ABD（ASA）， ∴BD＝CF， ∴BD＝2CE． 解题秘籍：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，证明此题的关键是作好辅助线：延长BA交CE的延长线于F． 15．（2024秋•惠山区期末）如图，已知△ABC的面积为12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 思路引领：延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，可得出S△ADCS△ABC． 解：如图，延长BD交AC于点E， ∵AD平分∠BAE，AD⊥BD， ∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（ASA）， ∴BD＝DE， ∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE， ∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC， ∴S△ADCS△ABC12＝6， 故选：C． 解题秘籍：本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，由BD＝DE得到S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE是解题的关键． 类型七 胖瘦模型 16．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，求证：BC＝CD． 【思路引领】过点C作CE⊥AB交AB的延长线于E，作CF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE＝CF，根据同角的补角相等求出∠D＝∠CBE，然后利用“角角边”证明△BCE和△DCF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． 【解答】证明：如图，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于E，作CF⊥AD于F， ∵AC平分∠BAD， ∴CE＝CF， ∵∠ABC+∠CBE＝180°，∠ABC+∠D＝180°， ∴∠D＝∠CBE， 在△BCE和△DCF中，， ∴△BCE≌△DCF（AAS）， ∴BC＝CD． 【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质以及三角形全等的判定方法是解题的关键． 17．（2023•惠州二模）如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若AE＝10，DE＝4，求AB的长． 【思路引领】（1）过C点作CF⊥AB，交AB的延长线于点F．由AAS证明△CDE≌△CBF，可得CE＝CF，结论得证； （2）证明Rt△ACE≌Rt△ACF，可得AE＝AF，可求出AB． 【解答】（1）证明：过C点作CF⊥AB，交AB的延长线于点F． ∵CE⊥AD， ∴∠DEC＝∠CFB＝90°， ∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°， ∴∠D＝∠CBF， 在△CDE与△CBF中， ， ∴△CDE≌△CBF（AAS）， ∴CE＝CF， ∴AC平分∠DAB； （2）解：由（1）可得BF＝DE＝4， 在Rt△ACE和Rt△ACF中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL）， ∴AE＝AF＝10， ∴AB＝AF﹣BF＝6． 【总结提升】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形． 18．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB于点E，并且AE（AB+AD），求∠ABC+∠ADC等于多少度？ 【思路引领】延长AD过C作CF垂直AD于F，由“AAS”可证△AFC≌△AEC，得到CF＝CE．再由条件AE（AB+AD），可证BE＝DF，由“SAS”可证△CDF≌△CEB，可得∠ABC＝∠CDF，即可求解． 【解答】解：过C作CF垂直AD于F， ∵AC平分∠BAD， ∴∠FAC＝∠EAC， ∵CE⊥AB，CF⊥AF， ∴∠DFC＝∠CEA＝90°， 在△AFC和△AEC中， ， ∴△AFC≌△AEC（AAS）， ∴AF＝AE，CF＝CE， ∵AE（AB+AD）， ∴2AE＝AB+AD， 又∵AD＝AF﹣DF，AB＝AE+BE，AF＝AE， ∴2AE＝AE+BE+AE﹣DF， ∴BE＝DF， 在△CDF和△CEB中， ， ∴△CDF≌△CEB（SAS）， ∴∠ABC＝∠CDF， ∵∠ADC+∠CDF＝180°， ∴∠ABC+∠ADC＝180°． 【总结提升】本题考查了全等三角形的判断和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 全等三角形图形研究七种最常考模型 模型一 对角互补四边形 1．（2024秋•南开区校级月考）如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC+∠ABC＝180°，下列结论：①CD＝CB；②AD+AB＝2AE；③AB﹣AD＝2BE．其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 2．（2023秋•枣强县校级月考）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠ADC＝180°，CE⊥AB于点E． （1）求证：CB＝CD． （2）若AB+AD＝10，求AE长． 3．（2022秋•江岸区期中）如图，若∠ABD+∠ACD＝180°（∠ABD＞∠ACD），过点A作CD的垂线，垂足为点E，DE＝3，CD＝5．求BD的长度． 类型二 外角平分线模型 4．（2023•河曲县一模）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 5．（2023秋•重庆期中）如图，△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求证：GA平分∠DGB； （3）若四边形DGBA的面积为18，AF＝4.5，求FG的长． 类型三 半角模型 6．（2022春•孝南区月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．如图1，将△ABM绕着点A逆时针转90°得到△ACK（△ABM≌△ACK）． 证明：MN＝NK； 7．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，E为AB上一点，∠DCE＝60°，∠DAE＝120°，求证：DE﹣AD＝BE． 8．如图，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，点E为AB上一点，∠DCE＝∠DAE＝60°，求证：AD+DE＝BE． 类型四 一线三垂直模型 9．（2021春•南岗区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，连接BD，若S△BCD，则BC的长为 　 　 ． 10．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l，BE⊥l于E，AD⊥l于D．若BE＝2，AD＝6，求DE的长． 11．（2025春•朝阳区校级月考）【模型建立】：如图①，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．直线m经过点A，过B作BM⊥m于点M，过C作CN⊥m于点N．易证得△BMA≌△ANC（无需证明），我们将这个基本图形称为“三垂直”或者叫“K形图”，它是“一线三等角”的特殊情形．接下来，我们就利用这个模型来解决一些问题： 【模型应用】：如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接BD，CE，分别交直线m于点M、F，若BD⊥m． 求证：点F是CE的中点； 类型五 一线三等角（非直角）模型 12．（2025春•汉滨区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，过D作∠EDF＝∠B，分别与AB，AC相交于点E和点F． （1）求证：∠BED＝∠FDC； （2）若DE＝DF，求证：BE＝CD． 13．（2023秋•乌达区期末）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． （1）已知：如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E．求证：DE＝BD+CE． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．那么结论DE＝BD+CE是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，将（1）中的条件改为：AB＝AC，A，E，D三点都在直线m上，且有∠BDF＝∠DEC＝∠BAC＝β，其中β为任意锐角．那么结论DE＝BD+CE是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 类型六 雨伞模型 14．（2025秋•肥东县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE．求证：BD＝2CE． 15．（2024秋•惠山区期末）如图，已知△ABC的面积为12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 类型七 胖瘦模型 16．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，求证：BC＝CD． 17．（2023•惠州二模）如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若AE＝10，DE＝4，求AB的长． 18．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB于点E，并且AE（AB+AD），求∠ABC+∠ADC等于多少度？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $