精品解析：贵州省毕节市金沙县第四中学2021-2022学年八年级下学期半期质量监测数学试卷

金沙县第四中学 2021—2022学年第二学期半期质量监测试卷 八年级数学 一、单选题（每小题3分，共45分） 1. 已知实数a，b，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列宣传图案中，既中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. 戴口罩讲卫生 B. 少出门少聚集 C. 有症状早就医 D. 勤洗手勤通风 3. y与3的和的一半是负数，用不等式表示为(　　)． A. B. C. (y＋3)＜0 D. (y＋3)＞0 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中：①关于某直线对称的两个三角形是全等三角形；②有一个角是的三角形是等边三角形；③一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等；④平面内，到三角形三边距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点；⑤等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合．正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 7. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，等腰中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（ ） A. 12 B. 8 C. 15 D. 13 9. 等腰三角形周长为17cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的腰长为（　　） A. 6cm B. 7cm C. 5cm或6cm D. 5cm 10. 如图，是等边三角形，，，则的形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定形状 11. 如图，已知△ABC是等边三角形，点D是AB边中点，过D作DE⊥AC于点E，AB=10，则EC长为（ ） A. 2.5 B. 5 C. 7 D. 7.5 12. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点刚好落在边上，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 13. 直线： 与直线：在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，将Rt△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，已知，，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 24 15. 若关于的一元一次不等式组恰有个整数解，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（第小题5分，共25分） 16. 和的公因式是_________. 17. 已知等腰三角形的一个内角为，则它的顶角是______________°． 18. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则_______． 19. 如图，点、的坐标分别为、，若将线段平移至，点对应点，点对应点，则的值为_______． 20. 在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n＋1B2n＋1（n是正整数）的顶点A2n＋1的坐标是____． 三、解答题（共80分） 21. 已知，，求的值． 22. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来且写出它的所有整数解． 23. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，若把向右平移5个单位长度得，与关于原点成中心对称． （1）写出的坐标（______，______），（______，______）； （2）画出； （3）求的面积． 24. 已知：如图，BE⊥CD于点E，BE＝DE，BC＝DA． （1）求证：△BCE≌△DAE； （2）判断DF与BC的位置关系，并说明理由． 25. 为了抓住即将到来的“五一”小长假旅游商机，某商店决定购进A、B两种纪念品，若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元，若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元． （1）求购进两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，请问该商店有几种进货方案？ （3）已知商家出售一件A种纪念品可获利5元，出售一件B种纪念品可获利3元，在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最大？最大利润是多少？ 26. 计算下列各式： （1）___________； （2）__________； （3）__________； 你能根据所学知识找到计算上面的算式的简便方法吗？请你利用你找到的简便方法计算下式：． 27. 已知等边△ABC，点D为BC上一点，连接AD． （1）如果点E是AC上一点，且CE＝BD，连接BE，BE与AD的交点为点P，如图1，求出∠APE的大小． （2）将（1）中AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接BF交AC与点Q，如图2，用等式表示线段AQ和CD的数量关系_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金沙县第四中学 2021—2022学年第二学期半期质量监测试卷 八年级数学 一、单选题（每小题3分，共45分） 1. 已知实数a，b，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案． 【详解】解：A、不等式的两边都减3，不等号的方向不变，故A错误； B、不等式的两边都加4，不等号的方向不变，故B错误； C、不等式的两边都减2，不等号的方向不变，故C错误； D、不等式的两边都乘以3，不等号的方向不变，故D正确． 故选：D． 【点睛】主要考查了不等式的基本性质，“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱． 2. 下列宣传图案中，既中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. 戴口罩讲卫生 B. 少出门少聚集 C. 有症状早就医 D. 勤洗手勤通风 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. y与3的和的一半是负数，用不等式表示为(　　)． A. B. C. (y＋3)＜0 D. (y＋3)＞0 【答案】C 【解析】 【分析】根据负数值小于0解答即可． 【详解】由题意可得：（y+3）＜0． 故选C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，要抓住关键词语，弄清不等关系，把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求此不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可求得． 【详解】解：解不等式得：x≤3， 所以在数轴上表示为： 故选：D． 【点睛】不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线． 5. 下列说法中：①关于某直线对称的两个三角形是全等三角形；②有一个角是的三角形是等边三角形；③一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等；④平面内，到三角形三边距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点；⑤等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合．正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质和等边三角形的判定及垂直平分线的判定等，根据相关概念逐项判断即可得解． 【详解】解：①关于某直线对称的两个三角形能够完全重合，因此是全等三角形，正确； ②存在一个角为的非等边三角形（如、、的三角形），错误； ③若锐角对应的边不同（如一个为邻边，另一个为对边），则两直角三角形可能不全等，错误； ④到三边距离相等的点是三角形内心（角平分线交点），而垂直平分线交点为外心，错误； ⑤等腰三角形仅顶角的角平分线、底边中线和高线重合，题干中未限定条件，表述不严谨，错误； 综上，仅①正确，正确个数为1， 故选：A． 6. 如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD=2，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵AD是∠BAC的角平分线, CD=3， ∴DE=CD=3， ∵AB=8， ∴△ABD的面积 故选A. 【点睛】本题主要考查角了平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键. 7. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据因式分解的定义以及提公因式法和公式法，即可得到正确结论． 【详解】解：A、属于整式的乘法，故A不符合题意； B、，等式不成立，故B不符合题意； C、，等式不成立，故C不符合题意； D、符合因式分解定义，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了因式分解，解决问题的关键是掌握提公因式法和公式法的方法． 8. 如图，等腰中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（ ） A. 12 B. 8 C. 15 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，进而可得，即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， 故选：D． 9. 等腰三角形周长为17cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的腰长为（　　） A. 6cm B. 7cm C. 5cm或6cm D. 5cm 【答案】C 【解析】 【分析】分为两种情况：5cm是等腰三角形的腰或5cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形． 【详解】若5cm为等腰三角形的腰长，则底边长为17﹣5﹣5＝7（cm），5+5＞7，符合三角形的三边关系； 若5cm为等腰三角形的底边，则腰长为（17﹣5）÷2＝6（cm），此时三角形的三边长分别为6cm，6cm，5cm，符合三角形的三边关系； ∴该等腰三角形的腰长为5cm或6cm， 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，同时注意三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边． 10. 如图，是等边三角形，，，则的形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定形状 【答案】B 【解析】 【分析】先证明△A BE≌△A CD得AE=AD，∠EAD=∠BAE=60°，从而得△ADE的形状是等边三角形，即可得出结论． 【详解】解： △ABC是等边三角形， AB=AC，∠BAC= 60°， 在△ABE与△ACD中， ， △A BE≌△A CD ( SAS)， AE=AD，∠EAD=∠BAE=60°， △ADE的形状是等边三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，证明△ABE≌△ACD是解题的关键. 11. 如图，已知△ABC是等边三角形，点D是AB边中点，过D作DE⊥AC于点E，AB=10，则EC长为（ ） A. 2.5 B. 5 C. 7 D. 7.5 【答案】D 【解析】 【分析】由等边三角形的性质求解， 再求解， 从而可得答案． 【详解】解： △ABC是等边三角形，AB=10， ， 点D是AB边中点， ， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，掌握“含的直角三角形的性质”是解本题的关键． 12. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点刚好落在边上，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和，由旋转得到角相等是解题关键．由旋转的性质得出，，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，进而求出，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 13. 直线： 与直线：在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察图象，当直线位于直线上方时，对应自变量的取值范围就是关于的不等式的解集． 【详解】由图象知，当时，函数的函数值大于函数的函数值，即关于的不等式的解集为． 故选：B 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，数形结合是本题的关键． 14. 如图，将Rt△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，已知，，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质得到△ABC≌△DEF，BE=CF=3，DE=AB=6，则HE=4，利用面积的和差得到阴影部分的面积=S梯形ABEH，然后根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵直角三角形ABC沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置， ∴△ABC≌△DEF，BE=CF=3，DE=AB=6， ∴HE=DE-DH=6-2=4， ∵S△ABC=S△DEF， ∴阴影部分的面积=S梯形ABEH=×（4+6）×3=15． 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形性质，平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 15. 若关于的一元一次不等式组恰有个整数解，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可． 【详解】解不等式3﹣2x＞1，得：x＜1， 解不等式x﹣a＞0，得：x＞a， 则不等式组的解集为a＜x＜1， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴不等式组的整数解为﹣2、﹣1、0， 则﹣3≤a＜﹣2， 故选C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于a的不等式组． 二、填空题（第小题5分，共25分） 16. 和的公因式是_________. 【答案】 【解析】 【分析】分别取系数和相同字母的最大公因数相乘即为所求． 【详解】和中8和12的最大公因数是4，字母的公因式为x3y,所以它们的公因式是：4x3y. 故答案是：4x3y. 【点睛】考查了求公因式，常用的方法是先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式． 17. 已知等腰三角形的一个内角为，则它的顶角是______________°． 【答案】30或120##120或30 【解析】 【分析】已知等腰三角形的一个内角为30°，根据等腰三角形的性质可分情况解答：当30°是顶角或者30°是底角两种情况． 【详解】解：此题要分情况考虑： ①30°是它的顶角； ②30°是它的底角，则顶角是180°-30°×2=120°． 故答案为：30或120． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 18. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则_______． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得a，b，然后代入求解即可． 【详解】解：由点关于原点对称的点为，得 ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特征，代数式求值．解题的关键在于明确：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 19. 如图，点、的坐标分别为、，若将线段平移至，点对应点，点对应点，则的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据线段AB平移后的对应点的坐标确定平移方式，进而可求出a、b的值，最后求出a+b的值即可． 【详解】解：∵、的坐标为、，平移后点对应点，点对应点， ∴线段AB的平移方式是先向右平移1个单位，再向上平移2个单位， ∴a=1，b=2， ∴a+b=3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了坐标系中点的平移规律，根据平移前后点的坐标确定平移方式是解答本题的关键． 20. 在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n＋1B2n＋1（n是正整数）的顶点A2n＋1的坐标是____． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据△OA1B1是边长为2的等边三角形，可得A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2n+1的坐标是多少即可解决问题． 【详解】∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）， ∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称， ∴点A2与点A1关于点B1成中心对称， ∵2×2-1=3，2×0-=-， ∴点A2的坐标是（3，-）， ∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称， ∴点A3与点A2关于点B2成中心对称， ∵2×4-3=5，2×0-（-）=， ∴点A3的坐标是（5，）， ∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称， ∴点A4与点A3关于点B3成中心对称， ∵2×6-5=7，2×0-=-， ∴点A4的坐标是（7，-），…， ∵1=2×1-1，3=2×2-1，5=2×3-1，7=2×3-1，…， ∴An的横坐标是2n-1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）-1=4n+1， ∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是-， ∴顶点A2n+1的坐标是（4n+1，）， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化-旋转问题，要熟练掌握，解答此题的关键是分别判断出An纵坐标． 三、解答题（共80分） 21. 已知，，求的值． 【答案】18 【解析】 【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解后代入，即可得到答案． 【详解】原式 ， 原式 ． 【点睛】本题考查了提公因式法、完全平方公式在代数式求值中的应用，熟练运用提公因式法、公式法因式分解是解题的关键，同时渗透了整体代入的思想． 22. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来且写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：1，2，3．数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练计算是解题的关键．先解每个不等式，再写出不等式组的解集，写出整数解，最后将解集在数轴上表示出来． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为：，整数解为：1，2，3． 不等式组的解集在数轴上表示为： 23. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，若把向右平移5个单位长度得，与关于原点成中心对称． （1）写出的坐标（______，______），（______，______）； （2）画出； （3）求的面积． 【答案】（1）1，3；， （2）如图： （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移求出坐标，根据点关于原点中心对称的性质求的坐标； （2）根据平移求出的坐标，根据中心对称即可求出的坐标，连接这三个点即可得到； （3）的面积为边长是3的正方形的面积减去周围3个直角三角形的面积，据此即可列式求解． 本题考查了平移和关于原点中心对称，掌握平移和中心对称的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：向右平移5个单位得到，关于原点中心对称的点为， 故答案为：1，3；，； 【小问2详解】 解：向右平移5个单位得到， 三点关于原点中心对称的点为， 连接三点，即可得到： 【小问3详解】 解：的面积为边长是3的正方形的面积减去周围3个直角三角形的面积， ． 24. 已知：如图，BE⊥CD于点E，BE＝DE，BC＝DA． （1）求证：△BCE≌△DAE； （2）判断DF与BC的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵BE⊥CD于点E， ∴， ∵在Rt△BCE C与Rt△DAE中， ， ∴Rt△BCE≌Rt△DAE（HL）， （2） 垂直关系，理由如下： ∵BE⊥CD于点E， ∴， ∵Rt△BCE≌Rt△DAE（HL）， ∴∠B=∠D， ∵∠D+∠EAD=90°，∠EAD=∠FAB， ∴∠B+∠FAB=90°， ∴DF⊥BC． 【解析】 【分析】（1）利用HL证明Rt△BCE与Rt△DAE全等； （2）由△BCE≌△DAE可得∠B=∠D，进而由∠D+∠EAD=90°可得∠B+∠FAB=90°，从而得出DF⊥BC． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：略． 【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质的理解及运用，选择恰当的判定条件证明三角形全等是解题的关键． 25. 为了抓住即将到来的“五一”小长假旅游商机，某商店决定购进A、B两种纪念品，若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元，若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元． （1）求购进两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，请问该商店有几种进货方案？ （3）已知商家出售一件A种纪念品可获利5元，出售一件B种纪念品可获利3元，在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）故A种纪念品每件10元，B种纪念品每件5元 （2）有三种方案： 方案1：购进A种纪念品50件，购进B种纪念品50件；方案2：购进A种纪念品51件，购进B种纪念品49件；方案3：购进A种纪念品52件，购进B种纪念品48件； （3）方案3的利润最大，最大利润为404元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数性质的应用，正确选择未知数或变量，列出方程组，不等式组，一次函数的解析式是解题的关键． （1）设A种纪念品每件x元，B种纪念品每件y元，根据题意列方程组计算即可． （2）设A种纪念品购进m件，则B种纪念品购进件，根据题意列不等式组计算即可． （3）根据题意列出利润w关于m的解析式，根据一次函数的性质即可确定最值． 【小问1详解】 解：设A种纪念品每件x元，B种纪念品每件y元，根据题意，列方程组得： ， 解方程组得：， 故A种纪念品每件10元，B种纪念品每件5元． 【小问2详解】 解：设A种纪念品购进m件，则B种纪念品购进件，根据题意，列不等式组，得： ， 解不等式组，得，， ∵m是正整数， ∴50，51，52， ∴有三种方案： 方案1：购进A种纪念品50件，购进B种纪念品50件， 方案2：购进A种纪念品51件，购进B种纪念品49件， 方案3：购进A种纪念品52件，购进B种纪念品48件． 【小问3详解】 解：设A种纪念品购进m件，则B种纪念品购进件， 根据题意，得：， ， w随m的增大而增大， 当时，w取最大值， 最大值为：， 故方案3的利润最大，最大利润为404元． 26. 计算下列各式： （1）___________； （2）__________； （3）__________； 你能根据所学知识找到计算上面的算式的简便方法吗？请你利用你找到的简便方法计算下式：． 【答案】（1）；（2）；（3）； 【解析】 【分析】本题考查了应用平方差公式计算，解题的关键是掌握平方差公式． （1）根据平方差公式计算即可； （2）根据平方差公式计算即可； （3）根据平方差公式展开计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为； （2）， 故答案为； （3）， 故答案为； ． 27. 已知等边△ABC，点D为BC上一点，连接AD． （1）如果点E是AC上一点，且CE＝BD，连接BE，BE与AD的交点为点P，如图1，求出∠APE的大小． （2）将（1）中AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接BF交AC与点Q，如图2，用等式表示线段AQ和CD的数量关系_______． 【答案】（1）60° （2） 【解析】 【分析】（1）只需要证明得到∠BAD＝∠CBE，再由三角形外角的性质即可得到∠APE＝∠BAD＋∠ABP＝∠CBE＋∠ABP＝∠ABC＝60°； （2）先证，得到∠F＝∠EBQ，由（1）知，得到AD＝BE，可证得到AQ＝EQ，则AQ＝AE，由此即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°， 在△ABD和△BCE中， ， ∴（SAS）， ∴∠BAD＝∠CBE， ∵∠APE是△ABP的一个外角 ∴∠APE＝∠BAD＋∠ABP＝∠CBE＋∠ABP＝∠ABC＝60°； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵∠APE＝60°，∠DAF＝120°， ∴∠APE＋∠DAF＝180°， ∴， ∴∠F＝∠EBQ， 由（1）知， ∴AD＝BE， ∴BE＝AD＝AF， 又∵∠AQF＝∠BQE，∠F＝∠EBQ， ∴（AAS）， ∴AQ＝EQ， ∴AQ＝AE， 又∵BD＝CE，BC＝AC ∴CD＝AE， ∴AQ＝CD． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，平行线的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $