精品解析：河北省衡水市安平中学2025-2026学年高一上学期9月第一次半月考数学试题

河北安平中学高一年级学情检测数学学科试题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的交集运算求解. 【详解】解：因为集合，， 所以， 故选：C 2. 设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算即可求解． 【详解】解：∵全集，集合，， ∴， ∴． 故选：D． 3. “x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】将代入可判断充分性,求解方程可判断必要性,即可得到结果. 【详解】将代入中可得,即“”是“”的充分条件； 由可得,即或,所以“”不是“”的必要条件, 故选:A. 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定，属于基础题. 4. 已知集合，，若，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，则或，求出的值，再检验即可. 【详解】因为，且， 所以，则或， 解得或或， 当或时，此时集合不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，满足，符合题意. 故选：D. 5. 已知全集，集合，，则正确的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先判断集合与集合的基本关系，再逐项验证即可. 【详解】由，当，，所以， 当，，所以，所以，故A错误； ，故B正确；由，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 故选：B. 6. 已知集合有且仅有1个真子集，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的真子集个数,判断出集合中有且只有一个元素，从而转化为方程有两个相等根问题求解即可. 【详解】由集合有且仅有1个真子集，可得集合中有且只有一个元素， 所以方程有2个相等的实数解， 即，解得， 所以实数的取值集合为， 故选：B. 7. 已知集合,则中所含元素的个数为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】列举法得出集合，共含个元素． 故答案选 8. 已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合A的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合中元素性质判断出符合两个性质的所有元素，在求出其个数即可. 【详解】由题意可知， 结合两个性质可知若，则，若，则； 若，则，若，则； 因此可知1和3不能同时出现也不能同时不出现，2和6不能同时出现也不能同时不出现，而4和5没有限制， 所以符合题意的集合有, 共16个. 故选：C 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. Q C. －3∈N D. ∈Z 【答案】AB 【解析】 【分析】根据常见数集的范围,直接判断. 【详解】根据常见数集的范围： ，故A正确； 不是有理数，所以 Q.故B正确； N为自然数集合，所以－3N.故C错误； 为无限不循环小数，所以.故D错误. 故选：AB 10. 已知集合，且，则实数m的值可以为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 0 【答案】ABD 【解析】 【分析】若，然后针对是否为空集进行讨论求解即可. 【详解】因为，． 当时，，符合题意； 当时，，所以或，解得或． 所以m的值为或或． 故选：ABD． 11. 下列说法正确的是（ ） A. 方程组的解集是 B. 若集合中只有一个元素，则 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为4 【答案】CD 【解析】 【分析】根据一元一次方程组的解是有序数对可判断A；对参数是否为零进行分类讨论可得或可判断B；利用韦达定理可判断C；由可得是集合的子集可判断D. 【详解】对于A，因为，解得，所以解集为，故A错误； 对于B，当时，，解得，此时集合，满足题意； 当时，需满足，可得，因此或，故B错误； 对于C，由可知一元二次方程的判别式， 即该方程有两根，且两根之积，即两根异号，所以充分性成立； 若一元二次方程有一正一负根，可知两根之积为负， 即，也即，所以必要性成立，故C正确； 对于D，由可知是集合的子集， 所以集合可以是，，，共4个，故D正确. 故选：CD. 三､填空题：每小题5分，共15分. 12. 若集合与集合相等，则实数__________. 【答案】或 【解析】 【分析】由集合相等，分类讨论求解即可. 【详解】因为集合与集合相等， 所以当时，，则，符合题意； 当时，，则，符合题意. 故或. 故答案为：或. 13. 一群学生参加学科夏令营，每名同学至少参加一个学科考试.已知有 100名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，48名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的3倍，则学生总数为______. 【答案】108 【解析】 【分析】根据容斥原理可求的值. 【详解】设只参加了数学、物理、化学考试的学生数分别为，，； 参加了两门学科考试的同学中参加了数学和物理、物理和化学、化学和数学的学生数分别为，，； 同时参加了三门学科考试的学生数为，如图所示： 根据题意可得， 前面三个等式相加，可得． 由第四个等式可得，， 因此， 解得．因此学生总数为． 故答案为：108. 14. 设A，B是R的两个子集，对于，定义：，， ①若，则对任意______； ②若对任意，则A，B的关系为______． 【答案】 ①. 0 ②. 【解析】 【分析】①根据，按照和分类讨论，求出的值代入可求出结果； ②由已知有，一个为0，另一个为1，结合题设的定义可判断元素与集合A、B的关系，进而可得，的关系. 【详解】①因为，则当时，，所以， 当时，必有，所以，所以， 综上可得， ②对任意，则，的值一个为0，另一个为1， 即时，必有，或时，必有， 所以A，B的关系为． 故答案为：0； 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，． （1）求，； （2）求，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】分别求出集合，，利用集合交、并、补的运算求解即可. 【小问1详解】 由题意得，，， ， 所以， ． 【小问2详解】 由题意得，，， 所以， ． 16. 已知集合，． （1）若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）成立的一个必要条件是，则，求解即可； （2）由，则或，求解即可. 【小问1详解】 因为集合，． 若成立的一个必要条件是，所以， 则，所以， 故实数的取值范围. 【小问2详解】 若，则或， 所以或， 故实数的取值范围. 17. 若集合. （1）若，写出的子集； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）其子集为： （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，求出，根据子集的概念可写出的所有子集. （2）根据条件确定集合的包含关系，再分类讨论可求的取值范围. 【小问1详解】 当时，. ∵ ∴. ∴其子集为：，共8个（）. 【小问2详解】 ∵，∴. 分为两种情况： 当时，符合题意，此时，解得：； 当时，则或或： 若或，则，解得：，此时，符合题意； 若，则有，解得：无解. 综上所述，实数的取值范围为. 18. 已知集合． （1）若，求; （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）； （3）． 【解析】 【分析】 利用交集运算即可； 利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可； 把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围. 【小问1详解】 当时，， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以由，得， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为； 【小问3详解】 由是的充分不必要条件，可得 ， 又， 则，且式等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围是． 19. 若集合中的元素都可以表示为某两个整数的平方和，即，则称集合为“弦方集” （1）分别判断，，，是否为弦方集中的元素； （2）已知集合为弦方集，且，正整数能表示为某个整数的平方，证明：； （3）已知集合为弦方集，集合，证明：. 【答案】（1）是弦方集中的元素，不是弦方集中的元素； （2）依题意，集合为弦方集，且，即存在，使得， 正整数能表示为某个整数的平方，即存在， 所以， 所以是弦方集中的元素，即. （3）假设，则存在，， 使得，由于是奇数，所以是奇数， 所以一个是奇数，另一个是偶数， 不妨设， 则， 而除以的余数为，除以的余数为， 所以，与已知矛盾，所以. 【解析】 【分析】（1）根据“弦方集”的元素的特征进行判断； （2）根据“弦方集”的定义证得结论成立； （3）利用反证法，先假设，根据“弦方集”的元素的特征以及整数的有关性质得出矛盾，从而证得. 【小问1详解】 因为，所以是弦方集中的元素. 不存在，使得，所以不是弦方集中的元素. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：解新定义题型的方法步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论； （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”，归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况； （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北安平中学高一年级学情检测数学学科试题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 3. “x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知集合，，若，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知全集，集合，，则正确的关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合有且仅有1个真子集，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合,则中所含元素的个数为 A. B. C. D. 8. 已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合A的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 20 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. Q C. －3∈N D. ∈Z 10. 已知集合，且，则实数m的值可以为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 0 11. 下列说法正确的是（ ） A. 方程组的解集是 B. 若集合中只有一个元素，则 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为4 三､填空题：每小题5分，共15分. 12. 若集合与集合相等，则实数__________. 13. 一群学生参加学科夏令营，每名同学至少参加一个学科考试.已知有 100名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，48名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的3倍，则学生总数为______. 14. 设A，B是R的两个子集，对于，定义：，， ①若，则对任意______； ②若对任意，则A，B的关系为______． 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，． （1）求，； （2）求，． 16. 已知集合，． （1）若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 17. 若集合. （1）若，写出的子集； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知集合． （1）若，求; （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19. 若集合中的元素都可以表示为某两个整数的平方和，即，则称集合为“弦方集” （1）分别判断，，，是否为弦方集中的元素； （2）已知集合为弦方集，且，正整数能表示为某个整数的平方，证明：； （3）已知集合为弦方集，集合，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $