考点11 二次函数与幂函数4类常见考点全归纳讲义-备战2026年《考点通关》高考数学一轮考点归纳与解题策略(新高考地区专用)

考点11 二次函数与幂函数4类常见考点全归纳 1.通过具体实例,了解幂函数及其图象的变化规律. 2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等). 备战2026年《考点通关》高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用) 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 幂函数的概念 考点二 幂函数的图象与性质 考向1 幂函数的图象 考向2 幂函数的性质 考点三 二次函数的解析式 考点四 二次函数的图象与性质 考向1 二次函数的图象 考向2 二次函数的单调性与最值 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数y＝xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0,＋∞)上都有定义； ②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,＋∞)上单调递增； ③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时,y＝xα为奇函数；当α为偶数时,y＝xα为偶函数. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0),顶点坐标为(m,n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 3.幂函数的性质 (1)当α<0时,幂函数在区间(0,＋∞)上单调递减.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于＋∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. (2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点,或不相交,任何幂函数的图象都不过第四象限. (3)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1),(0,0),(－1,1),(－1,－1)外,其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. 4.谨防三个易误点 (1)幂函数f(x)＝(m,n互质),当m为偶数时,函数为偶函数；当m为奇数,n为偶数时,函数为非奇非偶函数； (2)二次函数在区间单调,求参数取值范围时等号的处理； (3)含有参数的二次函数定轴动区间和动轴定区间问题的讨论. 考点一 幂函数的概念 【典例】【多选】下列命题中正确的是(　　) A.已知幂函数的图象过点，则8． B.函数是幂函数，则实数的值是4 C.函数的定义域是 D.函数，其中，则其值域为 【答案】ACD. 【解析】对于A，令，由题意得，即，解得，故， 则．故A正确, 对于B，由幂函数的定义知，即，解得或．故B错误, 对于C，要使函数有意义，则有，解得：且， 所以函数的定义域为，故C正确, 对于D，设，则.因为，所以. 当时，.所以函数的值域为，故D正确. 故选ACD. 解题策略 1.幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 2.求幂函数的定义域和值域的方法 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解． 幂函数的定义域由幂指数确定： （1）当幂指数取正整数时，定义域为， 当为正偶数时，值域为；当为奇数时，值域为． （2）当幂指数取零或负整数时，定义域为， 当时，值域为；当为负偶数时，值域为；当为负奇数时，值域为． （3）当幂指数取分数时，可以先化为根式，再利用根式有意义求定义域和值域． 【巩固训练】 1．（2025·江苏盐城·三模）“”是“为幂函数”的（    ）条件． A．充要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要 【答案】D 【分析】分别验证其充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】当时，，符合幂函数的形式，故充分性满足； 当为幂函数可得，解得或， 故必要性不满足， 所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：D 2．（2023·四川成都·一模）与有相同定义域的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出各函数的定义域，即可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，即函数的定义域为， 对于A选项，函数的定义域为，A不满足； 对于B选项，函数的定义域为，B不满足； 对于C选项，对任意的，，即函数的定义域为，C不满足； 对于D选项，函数的定义域为，D满足. 故选：D. 3．（24-25高二下·北京东城·期末）已知函数且，若其值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数值域结合幂函数和对数函数性质，建立不等式，可得答案. 【详解】当时，，易知函数在上单调递增，则； 当时，，由于值域为， 故在上需单调递增，且， 易知，且，解得. 故选：C 考点二 幂函数的图象与性质 考向1 幂函数的图象 【典例1】下列命题中正确的是(　　) A.当m＝0时,函数y＝xm的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点 C.幂函数y＝xm的图象不可能在第四象限内 D.若幂函数y＝xm为奇函数,则y＝xm是定义域内的增函数 答案　C 解析　对于A,当m＝0时,函数y＝xm的图象是直线y＝1除去点(0,1),所以A项不正确； 对于B,幂函数的幂指数小于0时,图象不经过点(0,0),所以B项不正确； 对于C,幂函数y＝xm的图象不可能在第四象限内,所以C项正确； 对于D,当m＝－1时,幂函数y＝xm为奇函数,但在定义域内不是增函数,所以D项不正确. 【典例2】如图所示,图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象,已知n取±2,±四个值,则相对应曲线C1,C2,C3,C4的n依次为(　　) A.－2,－2 B.2－2 C.－－2,2 D.2－2,－ 答案　B 解析　根据幂函数y＝xn的性质,在第一象限内的图象： 当n>0时,n越大,y＝xn递增速度越快,所以曲线C1的n＝2,C2的n＝； 当n<0时,|n|越大,曲线越陡峭,所以曲线C3的n＝－C4的n＝－2. 【典例3】幂函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，即可得解. 【详解】幂函数定义域为，且， 所以为偶函数，函数图象关于轴对称， 又当时单调递减，则在上单调递增， 故符合题意的只有C. 故选：C 【典例4】已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先根据幂函数定义得，再确定的图像所经过的定点为，代入解得的值. 【详解】由于为幂函数，则，解得：，则； 函数，当 时，， 故的图像所经过的定点为， 所以，即，解得：, 故选：B. 解题策略 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即x＝1,y＝1,y＝x所分区域.根据α<0,0<α<1,α＝1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定. 2.解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝或y＝x3)来判断． 【巩固训练】 1．（24-25高一上·上海长宁·期末）如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根已知幂函数图象在或时图象上下关系，结合构造函数，利用指数函数的单调性做出判断. 【详解】由已知图象可知当时，， 当时，， 而函数在底数时为的单调增函数， 在底数满足时为的单调减函数， . 故选：A 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知图象可确定与的正负情况，进而判断根据幂函数单调性判断各选项正误. 【详解】因为二次函数的图象开口向上，所以，又对称轴在轴右侧，则，所以， 则在第一象限，根据幂函数的单调性可得单调递增，单调递减． 故选：B. 3．（24-25高一上·福建厦门·期末）函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可. 【详解】函数是幂函数，定义域为R，是偶函数，排除D； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，排除A，选项B符合要求. 故选：B 4．（多选）（24-25高一下·云南昆明·期中）下列函数中恒过定点的有（    ） A．（为常数） B．（且） C．（且） D．（为非零常数） 【答案】ACD 【分析】将点逐一代入四个选项的函数中验证即可. 【详解】对于A，，所以（为常数）恒过定点，A选项正确， 对于B，，所以（且）不过，故B选项错误， 对于C，，所以（且）恒过定点，C选项正确， 对于D，因为，所以，当时，，故恒过定点，D选项正确. 故选：ACD 考向2 幂函数的性质 【典例1】函数的单调减区间为 ； 【答案】 【分析】先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性分析求解即可. 【详解】解：令，则可以看作是由与复合而成的函数. 令，得或. 易知在上是减函数，在上是增函数，而在上是增函数， 所以的单调递减区间为. 故答案为：. 【典例2】幂函数f(x)＝(m2－m－1)在(0,＋∞)上单调递减,则实数m的值为(　　) A.2或－1 B.－1 C.2 D.－2或－1 答案　B 解析　由题意可知,m2－m－1＝1,解得m＝－1或m＝2, 当m＝－1时,f(x)＝x－3,函数f(x)在(0,＋∞)上单调递减,成立； 当m＝2时,f(x)＝x3,函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增,不成立, 所以m＝－1. 【典例3】已知函数，是上的减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，在上单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围是 故选：C 【典例4】设，则大小关系是 . 【答案】 【分析】抓住同底与同指构造函数，利用单调性比较大小. 【详解】因为在单调增， 所以，即， 因为在单调减， 所以，即 综上，. 故答案为：. 【典例5】已知幂函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为的定义域为，且在上单调递增， 所以由可得：，解得： 【典例6】已知幂函数为偶函数，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据幂函数定义和奇偶性直接求解即可. 【详解】为幂函数，，解得：或； 当时，为偶函数，满足题意； 当时，为奇函数，不合题意； 综上所述：. 故答案为：. 【典例7】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性得到，代入不等式得到，根据函数的单调性解得答案. 【详解】幂函数在上单调递减，故，解得. ，故，，. 当时 ，不关于轴对称，舍去； 当时 ，关于轴对称，满足； 当时 ，不关于轴对称，舍去； 故，，函数在和上单调递减， 故或或，解得或. 故答案为： 解题策略 1.比较幂值大小的方法 (1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小． (2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”． 2.利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 3.解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用． 【巩固训练】 1．（多选）（25-26高三上·四川广安·开学考试）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由解析式的形式，根据函数的性质对选项逐一判断即可. 【详解】是奇函数，故B不正确； 是偶函数，因为， 所以在上单调递减，在上单调递增.故D不正确； 是偶函数，且在区间上单调递增； 是偶函数，，所以在区间上单调递增. 故A、C正确. 故选：AC. 2．（24-25高二下·云南临沧·期末）已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相关幂函数及复合函数性质得，，在上单调递增，结合已知列不等式求参数范围. 【详解】对于，，结合相关幂函数性质，易知其在上单调递增，故函数在R上单调递增， 所以，即. 故选：D. 3．（25-26高一上·全国·课堂例题）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合指数函数、幂函数的单调性，即可求解． 【详解】，在上单调递增， ，故，所以， ，在上单调递增， ，故，即，所以． 故选：D 4．（24-25高一上·江苏南通·期中）若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据幂函数的性质可知在定义域上单调递减，结合题干列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】因为幂函数在定义域上单调递减， 所以， 故答案为：. 5．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）设函数，若关于x的不等式恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的奇偶性及解析式可得，结合对应幂函数的单调性及奇函数的对称性得在R上为增函数，则恒成立，即可求范围. 【详解】∵，且定义域为R， ∴是奇函数，故等价于. ∵，则 ∴， 当时，，易知在上单调递增， 结合奇函数对称性，知在R上为增函数，故恒成立， ∴，得. 故选：D 6．（24-25高一上·湖北武汉·期末）若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和性质可得，代入解不等式即可. 【详解】因为为幂函数， 则，解得或， 若，则为偶函数，符合题意； 若，则为奇函数，不符合题意； 综上所述：. 不等式，即为，等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 7．（25-26高三上·广东中山·阶段练习）已知函数是幂函数，对任意，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论可能成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【分析】根据是幂函数可求m为2或，再根据在上单调递增可得m为2，根据即可求出a，b的关系，从而得到答案． 【详解】∵函数是幂函数， ∴或． ∵对任意，且，满足， ∴在上单调递增． 当时，满足题意， 当时，不符合题意， ∴， ∴在上单调递增． ∵的值为负数， ∴． 当时，，故A可能成立； 当时，，故B可能成立； 当时，，故C可能成立； 故选：ABC． 8．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)为奇函数． (2) 【分析】（1）由幂函数的定义可得，结合单调性解出的值，然后根据奇偶性定义判断奇偶性. （2）由（1）得,由定义域和单调性可得答案. 【详解】（1）由幂函数的定义得， 解得或，又由幂函数在区间上单调递减得指数，即， 故，则， 又为奇函数． （2）由（1）得，因为函数在区间和上单调递减， 当时，无解，舍去； 当时，解得； 当时，解得． 综上，的取值范围是． 考点三 二次函数的解析式 【典例】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1,且f(x)的最大值是8,试确定该二次函数的解析式. 解　方法一　(利用“一般式”解题) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由题意得 解得 所以所求二次函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7. 方法二　(利用“顶点式”解题) 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0). 因为f(2)＝f(－1), 所以抛物线的对称轴为x＝ 所以m＝. 又根据题意,函数有最大值8, 所以n＝8, 所以f(x)＝a＋8. 因为f(2)＝－1,所以a＋8＝－1, 解得a＝－4, 所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 方法三　(利用“零点式”解题) 由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2,x2＝－1, 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0), 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8,即＝8. 解得a＝－4. 故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 解题策略 求二次函数解析式的三个策略 (1)已知三个点的坐标,宜选用一般式. (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式. (3)已知图象与x轴的两交点的坐标,宜选用零点式. 【巩固训练】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）根据下列条件，求二次函数的解析式. (1)图象经过点，，； (2)当时，函数有最小值5，且经过点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）根据二次函数的顶点坐标先设解析式，代入点求二次函数解析式即可. 【详解】（1）设二次函数的解析式为， 把点，和代入得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）∵当时，函数有最小值5，∴二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为，则， ∵点在该二次函数图象上，则， 解得：. ∴二次函数的解析式为. 2．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）设二次函数满足，则（    ） A． B．的最小值小于0 C．若，则是正数 D．若，则是正数 【答案】ABD 【分析】根据条件可得，求出，由于恒成立，可得恒成立，则，求出的值，得到，检验所求满足，利用二次函数的图像与性质依次分析选项即可求解. 【详解】因为，令，即， 所以，则，即 因为是二次函数，所以，又因为恒成立， 所以恒成立，由于当时，， 所以，解得:，则， 此时满足条件， 所以 对于A，，故A正确； 对于B，当时，，故B正确； 对于C，，则， 解得：，所以不一定是正数，故C错误； 对于D，， 当时，不是恒大于0，不成立， 当时，要使，则，解得：， 所以要使，则是正数，故D正确； 故选;ABD 3．（22-23高一上·四川广安·期中）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设二次函数，根据题意列式求即可； （2）可得，根据存在性问题结合一次函数性质可得，解不等式即可. 【详解】（1）设二次函数， 因为， 则，解得，即， 又因为，可得， 所以的解析式为. （2）由题意可得：，则在内单调递增， 则在内的最小值为， 若使得成立，则， 即，解得或， 所以的取值范围是. 考点四 二次函数的图象与性质 考向1 二次函数的图象 【典例1】(多选)函数f(x)＝ax2－2x＋1与g(x)＝xa在同一直角坐标系中的图象不可能为(　　) 答案　BD 解析　因为f(x)＝ax2－2x＋1,g(x)＝xa, 对于A,当a＝－1时,f(x)＝－x2－2x＋1,其图象开口向下,对称轴方程为x＝－1,g(x)＝x－1＝其图象关于原点对称,且在(0,＋∞)上单调递减,故A满足要求； 对于B,当f(x)＝ax2－2x＋1的图象开口向上时,a>0,此时g(x)＝xa在(0,＋∞)上单调递增,故B不满足要求； 对于C,当a＝时,f(x)＝x2－2x＋1,其图象开口向上,对称轴方程为x＝2,g(x)＝其图象在[0,＋∞)上单调递增,且越来越缓,故C满足要求； 对于D,当f(x)＝ax2－2x＋1的图象开口向上时,a>0,此时其对称轴方程为x＝－>0,故D不满足要求. 【典例2】已知函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1,m],值域为则m的取值范围是(　　) A.(0,4] B. C. D. 答案　B 解析　设f(x)＝x2－3x－4＝x∈R, 所以f(x)的图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为x＝如图所示, 所以f＝－易知f(－1)＝f(4)＝0, 由图可知,要使函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1,m],值域为 则m的取值范围是. 解题策略 研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向． 【巩固训练】 1．（多选）（25-26高一上·湖北十堰·开学考试）如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．若点是抛物线上的两点，若，则 【答案】AB 【分析】根据二次函数的图象性质对每个选项进行判断即可. 【详解】因为二次函数的图象与轴的一个交点为， 则. 由图象可以看出，. 因为二次函数的对称轴为，所以，即. 所以，所以A正确； 将代入中，得，所以C错误； 因为，，所以. 所以，即，所以B正确； 对于选项D，当均在对称轴左侧，由于在对称轴左侧抛物线是单调递减的， 所以如果，则，所以D错误. 故选：AB. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知方程的根为和，则不等式成立时函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据已知的解集为，结合函数图象的开口方向及各选项图象，即可得. 【详解】由题设，不等式的解集为， 且的开口向上，结合图象知A正确. 故选：A 3．（多选）（25-26高一上·广西·开学考试）函数与在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由直线与抛物线有公共点，再结合；，；；三种情况讨论即可. 【详解】令，得.令，得或，则函数与在轴上有公共点，排除B. 当时，，抛物线开口向上，直线过一二三象限，函数与在同一坐标系中的大致图象一致， A选项可能. 当，时，，抛物线开口向下，直线过一二四象限，函数与在同一坐标系中的大致图象一致，C选项可能. 当时，，抛物线开口向下，直线过二三四象限，函数与在同一坐标系中的大致图象一致，D选项可能. 故选：ACD 考向2 二次函数的单调性与最值 (2025·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1. (1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减,求a的取值范围； (2)若a>0,设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式. 解　(1)由题意知a≠0. 当a>0时,f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上,对称轴方程为x＝ 所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足≥2, 又a>0,所以0<a≤； 当a<0时,f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下,对称轴方程为x＝<0, 所以f(x)在区间[1,2]上单调递减恒成立. 综上,a的取值范围是(－∞,0)∪. (2)①当0<≤1,即a≥时, f(x)在区间[1,2]上单调递增, 此时g(a)＝f(1)＝3a－2. ②当1<<2,即<a<时, f(x)在区间上单调递减,在区间 上单调递增,此时g(a)＝f＝2a－－1. ③当≥2,即0<a≤时, f(x)在区间[1,2]上单调递减, 此时g(a)＝f(2)＝6a－3. 综上所述,g(a)＝ 解题策略 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解题的关键都是对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. （1）轴定区间定时，二次函数在闭区间上一定存在最小值和最大值，它们只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得（若对称轴不在给定区间内，则只考虑端点）.分别求出函数值，通过比较大小确定最值； （2）轴动区间定时，当对称轴与区间的相对位置不定时，应通过分类讨论求解； （3）轴定区间动时，从运动的观点来看，让区间从左向右沿x轴正方向移动，分析移动到不同位置时对最值有什么影响.借助图形，可以更直观、清晰地解决问题； （4）轴动区间动时，由于它们的变化相互制约，即对它们的制约关系进行讨论.分类讨论的标准为对称轴与x轴交点的横坐标在所给区间内和对称轴与x轴交点的横坐标不在所给区间内. 【巩固训练】 1．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，则 .（填“”或“”） 【答案】 【分析】由题意知二次函数在上单调递增，即可判断、的大小. 【详解】由的图象关于直线对称，且开口向上， ∴在上单调递增，故. 故答案为： 2．（22-23高一上·四川广安·期中）若在上是单调函数，则的取值范围是（  ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】根据题意可知二次函数的对称轴和开口方向，结合单调性列式求解即可. 【详解】因为函数的图象开口向下，对称轴为， 若在上是单调函数，则或，解得或， 所以的取值范围是. 故选：D. 3．（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由复合函数单调性可知，在上单调递减，且恒成立，再通过对称轴和函数的最值的限定，列出不等式求解. 【详解】因为函数在上单调递减，在单调递增， 所以在上单调递减，且恒成立， 即，解得. 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数． (1)若，求函数的最值； (2)若，求函数的最值． 【答案】(1)最小值为，最大值为 (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的对称轴为，由二次函数的单调性，即可求解. （2）分类讨论定区间与对称轴的关系，结合二次函数的图象与性质，可得答案. 【详解】（1）∵函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴在上单调递减，在上单调递增，且． ∴，． （2）由（1）知对称轴为直线， ①当，即时， ，． ②当，即时， ，． ③当，即时， ，． ④当，即时， ，． 设函数的最大值为，最小值为， 则有， . 5．（22-23高一上·广东深圳·期中）已知函数． (1)若函数在上是增函数，求实数a的取值范围； (2)若，求时的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质列不等式，从而求得的取值范围. （2）对进行分类讨论，从而求得. 【详解】（1）的开口向上，对称轴为， 由于函数在上是增函数， 所以， 所以的取值范围是. （2）当时，，开口向上，对称轴为， 所以，当时，在时取得最小值，即； 当，时，在时取得最小值， 即； 当时，在时取得最小值，即. 所以. 一、单选题 1．如下图所示曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的指数α依次为（    ） A．－2，－，，2 B．2，，－，－2 C．－，－2，2， D．.2，，－2，－ 【答案】B 【分析】在图象中，作出直线，根据直线和曲线交点的纵坐标的大小，可得曲线，，，相应的α应是从大到小排列． 【详解】 在图象中，作出直线，直线和曲线的交点依次为, 所以，所以， 所以， 所以可得曲线，，，相应的α依次为 2，，－，－2 故选：B 【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．已知是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则的值为(　　) A．－3 B．2 C．－3或2 D．3 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义判断即可． 【详解】由是幂函数， 知，解得或. ∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴. 故. 故选：A. 【点睛】本题考查了幂函数的定义以及函数的单调性问题，属于基础题． 3．已知幂函数y＝ (m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于（    ） A．1 B．0，2 C．－1，1，3 D．0，1，2 【答案】C 【分析】由幂函数的图象的性质得到指数小于零，且为偶数，解不等式得m的可能值，然后再进行检验. 【详解】∵幂函数y＝(m∈Z)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称， ∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3(m∈Z)为偶数， 由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，又m∈Z， ∴m＝－1，0，1，2，3. 当m＝－1时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意； 当m＝0时，m2－2m－3＝－3，为奇数，不符合题意； 当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意； 当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意； 当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意． 综上所述，m＝－1，1，3. 故选：C. 二、填空题 4．已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为 . 【答案】 【解析】根据函数是幂函数得，求得或1，再检验是否符合题意即可. 【详解】因为是幂函数，，解得或1， 当时，是偶函数，关于轴对称，在单调递增，不符合题意， 当时，是偶函数，关于轴对称，在单调递减，符合题意， . 故答案为：. 5．对幂函数，填空： （1）当，时，图象恒过 和 两点；其中当时，幂函数图象在图象的 方；当时，幂函数图象在图象的 方． （2）当，时，图象也恒过 和 两点；其中当时，幂函数图象在图象的 方；当，幂函数图象在图象的 方． （3）当，时，图象恒过点 ． 【答案】 下 上 上 下 【分析】根据幂函数的性质，对每个空进行逐一填写即可. 【详解】（1）当，时，图象恒过和两点； 其中当时，幂函数图象在图象的下方； 当时，幂函数图象在图象的上方． （2）当，时，图象也恒过和两点； 其中当时，幂函数图象在图象的上方； 当，幂函数图象在图象的下方． （3）当，时，图象恒过点点. 故答案为：；；下；上；；；上；下；. 6．已知，，则m与n的大小关系为 ． 【答案】 【分析】根据的特征，构造幂函数，利用其单调性可以比较的大小. 【详解】设，已知，则， 因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 则，即， 故答案为：. 7．若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】令f(x)=的定义域是{x|},且在(0,+∞)上单调递增,则原不等式等价于解得. 三、解答题 8．已知幂函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围. 【答案】(1) ;(2) . 【详解】试题分析：根据幂函数的定义求出的值，再根据偶函数的定义求出的解析式； 若函数在上不是单调函数，对称轴在区间内，即可求出实数的取值范围． 解析：（1）由 或 又为偶函数，则：此时：. （2）在上不是单调函数，则的对称轴满足 即：. 9．画出函数的图象，并指出其单调区间 【答案】答案见解析 【分析】根据幂函数的图像特点画出函数的图象，再根据图像观察单调性即可. 【详解】函数的图象如下： 函数在上单调递增. 10．已知幂函数的图象过点，试求出这个函数的解析式. 【答案】 【分析】直接带点计算即可. 【详解】由已知，得，即. 11．分别写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： （1）；         （2）； （3）；         （4）. 【答案】答案见解析. 【分析】直接观察出定义域，在根据和的关系来判断单调性. 【详解】（1），其定义域为R， 又， 故为定义域为R的偶函数； （2），其定义域为，其为非奇非偶函数； （3），其定义域为， 又， 故为定义域为的奇函数； （4），其定义域为R， 又， 故为定义域为R的偶函数. 12．已知幂函数的图像经过点，求的值. 【答案】-3. 【解析】把点的坐标代入函数的解析式中，求出参数，然后把代入函数解析式中求值即可 【详解】解：的图像经过点， . 【点睛】本题考查了求幂函数解析式，考查了求函数值问题，考查了数学运算能力. 13．已知幂函数的图像经过点，求这个幂函数的解析式. 【答案】. 【解析】设出幂函数的解析式，把点的坐标代入求出参数即可. 【详解】解：设幂函数，因为图像经过点，所以，所以，所以. 【点睛】本题考查了已知幂函数图像过点求解析式问题，属于基础题. 14．判断函数与的奇偶性. 【答案】奇函数，偶函数. 【解析】分别求出两个函数的定义域，然后根据函数奇偶性的定义直接判断即可. 【详解】解：的定义域为， 而是奇函数. 的定义域为， 而是偶函数. 【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断，考查了数学运算能力，属于基础题. 15．已知幂函数的图象经过点，求函数的解析式，并作出该函数图象的草图，判断该函数的奇偶性和单调性． 【答案】，图象见解析，偶函数，单调性见解析. 【分析】待定系数即可求得幂函数解析式，画出图象，数形结合即可判断函数奇偶性和单调性. 【详解】因为幂函数的图象经过点，故可得，解得， 故，其定义域为，关于原点对称； 其函数图象如下所示： 数形结合可知，因为的图象关于轴对称，故其为偶函数； 且在单调递减，在单调递增. 16．画出下列函数的图象，并判断其奇偶性： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)奇函数，图象见解析 (2)偶函数，图象见解析 (3)非奇非偶函数，图象见解析 【分析】（1）（2）（3）根据题意，作出函数的图象，先分析函数的定义域是否关于原点对称，再分析与的关系，即可求解奇偶性． 【详解】（1），其定义域为， ，则函数为奇函数； 图象如图：    （2）；其定义域为， ，则函数为偶函数； 图象如图：    （3），其定义域， 但且， 则既不是奇函数也不是偶函数 图象如图：    17．证明：幂函数在区间上是增函数. 【答案】证明见解析 【分析】在上任取，计算的正负即可判断单调性. 【详解】解：在上任取， 则， 因为， 则， ，即. 所以幂函数在区间上是增函数. 18．试比较下列各组数中两个数的大小： （1），；         （2），； （3），；         （4），. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】根据幂函数的单调性逐一判断即可. 【详解】解：（1）由幂函数的性质，单调递增，又，所以； （2）由幂函数的性质，单调递减，又，所以； （3）由幂函数的性质，单调递减，又，所以； （4）由幂函数的性质，单调递增，又 ，所以. 19．试比较下列各组数的大小： （1），； （2），，； （3），1，. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用函数在区间上单调递增即可比较大小； （2）利用函数在区间上单调递增即可比较大小； （3）利用函数和在区间上单调递增，以及中间值 “1”即可比较大小. 【详解】解：（1）因为函数在区间上是增函数，又，所以. （2）因为函数在区间上是增函数，又，所以. （3）因为函数在区间上是增函数，又，所以， 因为函数在区间上是增函数，又，所以， 所以. 20．写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性： （1）；     （2）；     （3）. 【答案】（1）定义域是，奇函数；（2），函数既不是奇函数，也不是偶函数；（3），是偶函数. 【分析】确定函数式有意义的自变量的集合，根据奇偶性定义判断奇偶性. 【详解】解（1）函数的定义域是. 因为对任意的，，且都有， 所以由奇函数的定义知，函数是奇函数. （2）函数即，其定义域是. 因为当时，， 所以由奇函数、偶函数的定义可知，函数既不是奇函数，也不是偶函数. （3）由函数即可知，所以此函数的定义域是. 因为对任意的，，都有，，且， 所以由偶函数的定义知，函数是偶函数. 21．求函数的定义域，并指出其单调区间. 【答案】，增区间为，减区间为. 【解析】根据指数幂的运算公式化简函数的解析式，然后求出函数的定义域，然后利用函数的单调性的性质求出单调区间. 【详解】解：的定义域为，增区间为，减区间为. 【点睛】本题考查了函数的定义域和单调性，考查了函数单调性的性质，属于基础题. 22．求出下列函数的定义域，并判断函数的奇偶性： （1）；（2）； （3）；（4）. 【答案】（1）定义域为，偶函数；（2）定义域为R，既不是奇函数，也不是偶函数；（3）定义域为R，奇函数；（4）定义域为，既不是奇函数，也不是偶函数. 【解析】（1）根据指数幂的运算公式化简函数的解析式，求出函数的定义域，然后利用函数的奇偶性的定义进行判断即可； （2）根据分数指数幂和根式的转化公式化简函数的解析式，求出函数的定义域，然后利用函数的奇偶性的定义进行判断即可； （3）根据分数指数幂和根式的转化公式化简函数的解析式，求出函数的定义域，然后利用函数的奇偶性的定义进行判断即可； （4）根据分数指数幂和根式的转化公式化简函数的解析式，求出函数的定义域，然后利用函数的奇偶性的定义进行判断即可. 【详解】解：（1）的定义域为. ， 是偶函数； （2）的定义域为R. , . 既不是奇函数，也不是偶函数； （3）的定义域为R. , 是奇函数； （4）的定义域为， 既不是奇函数，也不是偶函数. 【点睛】本题考查了求函数的定义域，考查了函数的奇偶性的判断，考查了根式与分数指数幂的互化公式. 23．根据单调性和奇偶性的定义证明函数的单调性和奇偶性. 【答案】证明见解析. 【分析】根据函数奇偶性的定义判断，利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可. 【详解】证明：的定义域为R. 任取，且，则. ，且，，. ，即. 在上为增函数. 又，为奇函数. 【点睛】本题考查幂函数的单调性及奇偶性的证明，属于基础题. 24．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小： （1），；（2），. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据的单调性比较大小； （2）根据在上的单调性比较大小. 【详解】解：（1）设，则在R上为增函数. ，. （2）设，则在上为减函数， ，. 【点睛】本题考查幂函数的单调性的应用，属于基础题. 25．写出函数与的定义域和值域. 【答案】见解析 【分析】由奇偶性以及幂函数的性质得出定义域以及值域. 【详解】令，定义域为，因为，所以函数为奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增，故值域为. 令，定义域为，因为，所以函数为奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增，故值域为. 26．试用描点法画出函数的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明. 【答案】图像见解析，定义域：，值域：，讨论见解析，证明见解析 【分析】函数，可得．可得定义域，，可得，可得值域；在求解奇偶性，并作出其大致图象，利用定义证明单调性即可； 【详解】解：. 列表： x … -3 -2 -1 1 2 3 … … 1 1 … 描点，连线.图象如图所示.      定义域：，值域：.在上是增函数，在上是减函数. 证明如下：设任意的，且.则. . ，即，在上是增函数. 设任意的，且，则. ， ，即. 在上是减函数. 是偶函数. 【点睛】本题考查幂函数的图象及性质，单调性的证明，属于中档题． 27．画出函数的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性. 【答案】图像见解析，偶函数，讨论见解析 【分析】将绝对值去掉，将函数解析式写出分段函数的形式，再根据幂函数的性质及图象画出函数图象，从而可以判断函数的奇偶性和单调性. 【详解】解： 的图象如图所示，    设的定义域为R. ， 为偶函数. 当时，为增函数，证明如下： 设任意的，且，则. ，且即. 在上为增函数. 当时，为减函数，证明如下： 设任意的，且，则. ，且，即. 在上是减函数. 【点睛】本题考查分段函数及幂函数的图象及性质，属于中档题. $考点11 二次函数与幂函数4类常见考点全归纳 1.通过具体实例,了解幂函数及其图象的变化规律. 2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等). 备战2026年《考点通关》高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用) 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 幂函数的概念 考点二 幂函数的图象与性质 考向1 幂函数的图象 考向2 幂函数的性质 考点三 二次函数的解析式 考点四 二次函数的图象与性质 考向1 二次函数的图象 考向2 二次函数的单调性与最值 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数y＝xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0,＋∞)上都有定义； ②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,＋∞)上单调递增； ③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时,y＝xα为奇函数；当α为偶数时,y＝xα为偶函数. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0),顶点坐标为(m,n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 3.幂函数的性质 (1)当α<0时,幂函数在区间(0,＋∞)上单调递减.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于＋∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. (2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点,或不相交,任何幂函数的图象都不过第四象限. (3)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1),(0,0),(－1,1),(－1,－1)外,其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. 4.谨防三个易误点 (1)幂函数f(x)＝(m,n互质),当m为偶数时,函数为偶函数；当m为奇数,n为偶数时,函数为非奇非偶函数； (2)二次函数在区间单调,求参数取值范围时等号的处理； (3)含有参数的二次函数定轴动区间和动轴定区间问题的讨论. 考点一 幂函数的概念 【典例】【多选】下列命题中正确的是(　　) A.已知幂函数的图象过点，则8． B.函数是幂函数，则实数的值是4 C.函数的定义域是 D.函数，其中，则其值域为 解题策略 1.幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 2.求幂函数的定义域和值域的方法 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解． 幂函数的定义域由幂指数确定： （1）当幂指数取正整数时，定义域为， 当为正偶数时，值域为；当为奇数时，值域为． （2）当幂指数取零或负整数时，定义域为， 当时，值域为；当为负偶数时，值域为；当为负奇数时，值域为． （3）当幂指数取分数时，可以先化为根式，再利用根式有意义求定义域和值域． 【巩固训练】 1．（2025·江苏盐城·三模）“”是“为幂函数”的（    ）条件． A．充要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要 2．（2023·四川成都·一模）与有相同定义域的函数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·北京东城·期末）已知函数且，若其值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点二 幂函数的图象与性质 考向1 幂函数的图象 【典例1】下列命题中正确的是(　　) A.当m＝0时,函数y＝xm的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点 C.幂函数y＝xm的图象不可能在第四象限内 D.若幂函数y＝xm为奇函数,则y＝xm是定义域内的增函数 【典例2】如图所示,图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象,已知n取±2,±四个值,则相对应曲线C1,C2,C3,C4的n依次为(　　) A.－2,－2 B.2－2 C.－－2,2 D.2－2,－ 【典例3】幂函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【典例4】已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（　　） A． B． C．2 D． 解题策略 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即x＝1,y＝1,y＝x所分区域.根据α<0,0<α<1,α＝1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定. 2.解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝或y＝x3)来判断． 【巩固训练】 1．（24-25高一上·上海长宁·期末）如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建厦门·期末）函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高一下·云南昆明·期中）下列函数中恒过定点的有（    ） A．（为常数） B．（且） C．（且） D．（为非零常数） 考向2 幂函数的性质 【典例1】函数的单调减区间为 ； 【典例2】幂函数f(x)＝(m2－m－1)在(0,＋∞)上单调递减,则实数m的值为(　　) A.2或－1 B.－1 C.2 D.－2或－1 【典例3】已知函数，是上的减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例4】设，则大小关系是 . 【典例5】已知幂函数，若，则的取值范围是 ． 【典例6】已知幂函数为偶函数，则实数的值为 . 【典例7】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 . 解题策略 1.比较幂值大小的方法 (1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小． (2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”． 2.利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 3.解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用． 【巩固训练】 1．（多选）（25-26高三上·四川广安·开学考试）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的有（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南临沧·期末）已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课堂例题）若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏南通·期中）若，则实数的取值范围是 . 5．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）设函数，若关于x的不等式恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·湖北武汉·期末）若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 . 7．（25-26高三上·广东中山·阶段练习）已知函数是幂函数，对任意，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论可能成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 考点三 二次函数的解析式 【典例】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1,且f(x)的最大值是8,试确定该二次函数的解析式. 解题策略 求二次函数解析式的三个策略 (1)已知三个点的坐标,宜选用一般式. (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式. (3)已知图象与x轴的两交点的坐标,宜选用零点式. 【巩固训练】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）根据下列条件，求二次函数的解析式. (1)图象经过点，，； (2)当时，函数有最小值5，且经过点. 2．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）设二次函数满足，则（    ） A． B．的最小值小于0 C．若，则是正数 D．若，则是正数 3．（22-23高一上·四川广安·期中）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)，使得成立，求的取值范围. 考点四 二次函数的图象与性质 考向1 二次函数的图象 【典例1】(多选)函数f(x)＝ax2－2x＋1与g(x)＝xa在同一直角坐标系中的图象不可能为(　　) 【典例2】已知函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1,m],值域为则m的取值范围是(　　) A.(0,4] B. C. D. 解题策略 研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向． 【巩固训练】 1．（多选）（25-26高一上·湖北十堰·开学考试）如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．若点是抛物线上的两点，若，则 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知方程的根为和，则不等式成立时函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   3．（多选）（25-26高一上·广西·开学考试）函数与在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 考向2 二次函数的单调性与最值 (2025·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1. (1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减,求a的取值范围； (2)若a>0,设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式. 解题策略 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解题的关键都是对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. （1）轴定区间定时，二次函数在闭区间上一定存在最小值和最大值，它们只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得（若对称轴不在给定区间内，则只考虑端点）.分别求出函数值，通过比较大小确定最值； （2）轴动区间定时，当对称轴与区间的相对位置不定时，应通过分类讨论求解； （3）轴定区间动时，从运动的观点来看，让区间从左向右沿x轴正方向移动，分析移动到不同位置时对最值有什么影响.借助图形，可以更直观、清晰地解决问题； （4）轴动区间动时，由于它们的变化相互制约，即对它们的制约关系进行讨论.分类讨论的标准为对称轴与x轴交点的横坐标在所给区间内和对称轴与x轴交点的横坐标不在所给区间内. 【巩固训练】 1．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，则 .（填“”或“”） 2．（22-23高一上·四川广安·期中）若在上是单调函数，则的取值范围是（  ） A． B． C．D． 3．（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 ． 4．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数． (1)若，求函数的最值； (2)若，求函数的最值． 5．（22-23高一上·广东深圳·期中）已知函数． (1)若函数在上是增函数，求实数a的取值范围； (2)若，求时的最小值． 一、单选题 1．如下图所示曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的指数α依次为（    ） A．－2，－，，2 B．2，，－，－2 C．－，－2，2， D．.2，，－2，－ 2．已知是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则的值为(　　) A．－3 B．2 C．－3或2 D．3 3．已知幂函数y＝ (m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于（    ） A．1 B．0，2 C．－1，1，3 D．0，1，2 二、填空题 4．已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为 . 5．对幂函数，填空： （1）当，时，图象恒过 和 两点；其中当时，幂函数图象在图象的 方；当时，幂函数图象在图象的 方． （2）当，时，图象也恒过 和 两点；其中当时，幂函数图象在图象的 方；当，幂函数图象在图象的 方． （3）当，时，图象恒过点 ． 6．已知，，则m与n的大小关系为 ． 7．若，则实数a的取值范围是 ． 三、解答题 8．已知幂函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围. 9．画出函数的图象，并指出其单调区间 10．已知幂函数的图象过点，试求出这个函数的解析式. 11．分别写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： （1）；         （2）； （3）；         （4）. 12．已知幂函数的图像经过点，求的值. 13．已知幂函数的图像经过点，求这个幂函数的解析式. 14．判断函数与的奇偶性. 15．已知幂函数的图象经过点，求函数的解析式，并作出该函数图象的草图，判断该函数的奇偶性和单调性． 16．画出下列函数的图象，并判断其奇偶性： (1)； (2)； (3)．       17．证明：幂函数在区间上是增函数. 18．试比较下列各组数中两个数的大小： （1），；         （2），； （3），；         （4），. 19．试比较下列各组数的大小： （1），； （2），，； （3），1，. 20．写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性： （1）；     （2）；     （3）. 21．求函数的定义域，并指出其单调区间. 22．求出下列函数的定义域，并判断函数的奇偶性： （1）；（2）； （3）；（4）. 23．根据单调性和奇偶性的定义证明函数的单调性和奇偶性. 24．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小： （1），；（2），. 25．写出函数与的定义域和值域. 26．试用描点法画出函数的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明. 27．画出函数的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性. $