2026年高考数学真题完全解读（全国二卷）

该高中数学高考复习讲义覆盖函数与导数、解析几何与立体几何等核心考点，按模块占比和命题趋势构建知识体系，通过考点细目梳理、解题方法指导、真题分类训练等环节，帮助学生系统突破高频难点，体现复习教学的针对性和逻辑性。 资料以数学眼光分析工业数据情境，如第15题频率分布直方图与二项分布应用，用数学思维引导轨迹方程分类讨论，如第18题椭圆轨迹形状判断，设置避坑提醒和分层练习，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

2026年全国新高考二卷数学真题完全解读 试卷总评·考情分析·复习策略·真题解读 试题分析 2026年新高考全国II卷数学试题延续19题结构（单选8道、多选3道、填空3道、解答5道），总分150分。试卷整体难度适中，基础题占比稳定，中档题与压轴题梯度清晰。单选题前4题侧重基础概念与运算，第5题棱台体积结合菱形底面考查空间几何运算，第6题排列组合分组问题体现计数原理的应用，第7题三角函数二倍角公式与第8题函数奇偶性、周期性、对称性的综合考查适当提升思维层次。多选题第9题圆与圆的位置关系为基础综合题，第10题等比数列性质考查较为全面，第11题抛物线与等边三角形结合具有较强的几何综合性。填空题第12题等差数列求和、第13题函数零点问题为基础与中档题，第14题球与正三棱锥外接球问题对空间想象能力要求较高。解答题第15题以电子元件故障检测为工业情境，将频率分布直方图与二项分布结合，体现统计应用导向；第16题立体几何证明与线面角计算、第17题解三角形证明与周长求解属于中档题；第18题椭圆轨迹方程引入中心点概念，需要分类讨论轨迹形状，创新性强；第19题函数导数压轴题保持传统风格，切线方程、恒成立求参数范围、最值三问层层递进，端点效应与参数分离两种方法并重。与全国I卷相比，II卷在概率统计的情境创设、解析几何的设问创新等方面呈现差异化特征。 试题亮点 1. 概率统计与工业数据情境深度融合，凸显应用导向：第15题以电子元件首次故障时间为工业背景，通过频率分布直方图呈现数据分布特征，要求学生运用百分位数定义求解第一四分位数和中位数；第(2)问进一步将频率估计为概率，结合二项分布的期望与方差求解实际问题。这种以工业生产数据为载体的命题方式，既考查了数据分析能力，又体现了数学在质量检测与可靠性分析中的实际应用价值。 2. 解析几何设问方式创新，轨迹分类讨论能力要求高：第18题在椭圆基础上引入动点轨迹问题，第(2)(i)问要求推导轨迹方程并根据参数取值判断轨迹形状（椭圆、双曲线或抛物线去掉与轴交点），(ii)问进一步讨论中心点的存在性及平移后的曲线形状。这种开放式、分类讨论式的设问方式打破了传统解析几何定点定值的固定模式，对学生的代数运算能力和分类讨论思想提出了更高要求。 3. 函数导数压轴守正出新，双方法并重体现思维层次：第19题保持函数导数作为压轴题的传统定位，第(1)问切线方程为基础计算；第(2)问不等式恒成立求参数范围，提供构造差函数分类讨论和必要性探路两种解法；第(3)问求最小值，既有端点效应分析又有参数分离结合洛必达法则的解法。多种解法的设置让不同思维层次的学生都能找到适合自己的解题路径，体现了能力层级分明的命题理念。 命题趋势 一、概率统计考查深度稳中有升，工业数据情境常态化：近三年新高考II卷概率统计模块分值稳定在25分左右，2026年试卷第15题以电子元件故障检测的直方图为载体，将频率估计、百分位数、二项分布融为一题，综合性显著提升。与全国I卷相比，II卷更偏好工业生产和质量检测类情境。随着大数据与人工智能在各行业的渗透，基于真实数据集的分析与推断能力将成为未来命题的持续重点，预计概率统计模块的分值和情境复杂度将稳中有升。 二、解析几何轨迹问题创新设问，分类讨论与形状判断成为新方向：第18题打破传统椭圆综合题的定点定值、面积最值等固定模式，引入轨迹方程推导和根据参数判断曲线形状（椭圆/双曲线/抛物线）的开放式设问。这种设计不仅考查了解析几何的核心运算能力，更要求学生具备参数分类讨论和曲线形状识别的综合能力。未来解析几何解答题可能继续探索轨迹、范围、存在性等探究性设问，淡化复杂计算、强化思维过程。 三、函数导数压轴保持传统风格，端点效应与参数分离方法并重：与全国I卷第19题函数集合综合的创新方向不同，全国II卷第19题延续了函数导数的传统压轴模式，但第(2)(3)问均提供多种解法路径。第(2)问恒成立求参数既可用构造差函数分类讨论，也可用必要性探路；第(3)求最值既可用端点效应分析，也可用参数分离结合洛必达法则。这种多解法并重的命题思路体现了对数学思维多样性的尊重，预计未来II卷压轴题将继续保持这一特色。 四、立体几何与解三角形中档题定位稳定，空间向量法成为主流：近三年新高考II卷立体几何和解三角形均稳定在解答题前两题的位置，难度适中。2026年试卷第16题三棱锥的线面垂直证明与线面角计算，同时提供空间向量法和体积法两种解法；第17题解三角形通过余弦公式展开证明钝角三角形，再用正弦定理和面积公式求周长。空间向量法因其代数化程度高、思维难度相对较低，已成为学生解决立体几何问题的主流方法，预计这一趋势将继续延续。 考点细目表 题号 题型 分值 具体考点 关键能力 1 单选 5 平面向量与复数→复数运算→复数的基本运算 数学运算 2 单选 5 集合与常用逻辑用语→集合运算→集合的交集运算 数学运算 3 单选 5 三角函数与解三角形→三角恒等变换→三角函数的基本关系与不等式 数学运算 4 单选 5 解析几何→双曲线→双曲线的标准方程与渐近线方程 数学运算 5 单选 5 立体几何→空间几何体→棱台的体积计算 直观想象、数学运算 6 单选 5 概率与统计→计数原理→排列组合中的分组分配问题 逻辑推理、数学运算 7 单选 5 三角函数与解三角形→三角恒等变换→二倍角公式的应用 数学运算 8 单选 5 函数与导数→函数性质→函数的奇偶性、周期性与对称性综合 逻辑推理、数学运算 9 多选 6 解析几何→圆→圆与圆的位置关系 数学运算 10 多选 6 数列→等比数列→等比数列的通项公式与前n项和 数学运算、逻辑推理 11 多选 6 解析几何→抛物线→抛物线的定义与性质及等边三角形综合 数学运算、直观想象 12 填空 5 数列→等差数列→等差数列的通项公式与求和公式 数学运算 13 填空 5 函数与导数→函数零点→函数零点与参数范围 数学运算、逻辑推理 14 填空 5 立体几何→球→球的体积与正三棱锥的外接球 直观想象、数学运算 15 解答 13 概率与统计→统计图表与分布→频率分布直方图与二项分布 数据分析、数学建模 16 解答 15 立体几何→空间向量→线面垂直的证明与线面角计算 直观想象、数学运算 17 解答 15 三角函数与解三角形→解三角形→余弦定理、正弦定理与三角形面积综合 数学运算、逻辑推理 18 解答 17 解析几何→椭圆→椭圆的几何性质与轨迹方程 数学运算、逻辑推理 19 解答 17 函数与导数→导数应用→切线方程、不等式恒成立与最值问题 逻辑推理、数学运算 考点模块占比分析 基础知识模块（约11%，16分）：重点考查集合运算、复数基本运算等基础概念，对应第1、2题。其中第1题复数运算和第2题集合交集为基础概念的直接应用，难度较低但需运算准确。 函数与导数模块（约24%，36分）：重点考查函数性质、导数的几何意义、恒成立与最值问题，对应第8、13、19题。第8题将奇偶性、周期性与对称性综合；第13题函数零点与参数范围；第19题作为压轴题，涵盖切线方程、恒成立求参数和最值三问，端点效应与参数分离两种方法并重。 平面解析几何与立体几何模块（约31%，46分）：重点考查双曲线、圆、抛物线、椭圆及空间几何体，对应第4、5、9、11、14、16、18题。分值占比最高，其中第11题抛物线与等边三角形综合、第14球与正三棱锥外接球、第18题椭圆轨迹与形状判断均为高区分度题目。 数列与三角函数模块（约21%，32分）：重点考查等差数列、等比数列及三角函数恒等变换、解三角形，对应第3、7、10、12、17题。第10题等比数列前n项和性质考查较为深入，第17题解三角形需证明钝角再求周长，综合性较强。 概率与统计模块（约12%，19分）：重点考查计数原理、频率分布直方图与二项分布，对应第6、15题。第6题排列组合分组问题需要分类讨论；第15题以电子元件故障检测为工业情境，将频率分布直方图与二项分布期望方差结合，体现应用导向。 核心复习策略 1. 夯实基础，重视核心概念与运算准确性 （1）回归教材，系统梳理集合、复数、三角函数、数列等核心概念的定义与公式，做到概念清、公式熟、运算准。如第1题复数运算和第2题集合交集需确保基础运算无误。 （2）通过限时训练提高基础题的运算速度和准确率，减少因粗心导致的失分。基础题是稳定得分的基本盘。 2. 强化解析几何与立体几何的综合训练 （1）熟练掌握圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质，特别关注轨迹方程的推导和参数分类讨论。如第18题需根据参数判断轨迹形状，要求对椭圆、双曲线、抛物线的标准方程有深刻理解。 （2）加强空间想象能力和外接球问题的训练，掌握建系法求线面角和空间距离。如第14题球与正三棱锥和第16题线面角均需较强的空间分析能力。 3. 提升函数导数与概率统计的解题能力 （1）函数导数复习中注重端点效应、参数分离、必要性探路等方法的系统训练。如第19题第(2)(3)问均提供多种解法路径，掌握不同方法可提升解题灵活性。 （2）概率统计关注工业数据、质量检测等新情境，培养从直方图、统计表中提取信息并建立概率模型的能力。如第15题需从频率分布直方图中估计概率，再结合二项分布求解。 避坑提醒（考试最易踩的雷） 轨迹方程忘记讨论特殊情况：如第18题推导轨迹方程时，需讨论参数不同取值下轨迹的形状（椭圆、双曲线、抛物线），并注意去掉与轴的交点，避免遗漏导致失分。 函数导数恒成立问题漏判边界：如第19题第(2)问求参数范围时，需验证边界值是否满足条件，端点效应分析中容易遗漏端点检验导致范围错误。 排列组合分类不全面：如第6题分组问题需对甲、乙所在小组进行分类讨论，且丙、丁的限制条件容易遗漏某种情况，导致方案数计算不全。 表达不规范：步骤、依据、单位或答语缺失都会造成失分。 一、单选题 1．（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：复数的基本运算 ►命题分析： （1）情境创设：纯数学运算情境，直接考查复数的基础运算。 （2）问题设计：直接设问，考查复数的加减乘除运算，属于基础概念题。四个选项设置常见的运算结果，检验复数运算的准确性。 （3）考查目标：考查数学运算素养，侧重复数基础运算的准确性。 答案与解析 【答案】B 【详解】 知识总结 ①核心概念：复数z=a+bi的实部为a，虚部为b；复数运算遵循代数运算规则，注意i^2=-1。②解题要点：按复数运算法则直接计算，注意合并实部和虚部。③拓展关联：复数与平面向量一一对应，复数的加减对应向量的加减，复数的乘法对应旋转和伸缩。 2．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：集合的交集运算 ►命题分析： （1）情境创设：纯数学情境，考查集合的基本运算。 （2）问题设计：给出两个集合，要求求交集。属于集合运算的基础题，需要准确理解交集的定义。 （3）考查目标：考查数学运算素养，侧重集合运算基本概念的理解。 答案与解析 【答案】A 【详解】由题可得，所以 知识总结 ①核心概念：集合的交集是由同时属于两个集合的所有元素组成的集合，记作A∩B。②解题要点：先化简或确定两个集合的元素，再找出公共元素。③拓展关联：集合运算常与不等式、函数定义域等结合考查，是高考基础题的重要载体。 3．已知，，则（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：三角函数的基本关系与不等式 ►命题分析： （1）情境创设：纯数学情境，考查三角函数的基本关系式及不等式性质。 （2）问题设计：给出三角函数值的关系，要求判断大小关系。需要运用三角函数基本关系式进行变形和比较。 （3）考查目标：考查数学运算素养，侧重三角函数基本关系式的灵活运用和不等式判断。 答案与解析 【答案】D 【详解】由，得， 所以，即； 由，得， 所以，即. 两式相减，得， 所以 . 知识总结 ①核心概念：sin^2α+cos^2α=1；三角函数的单调性可用于比较大小。②解题要点：利用基本关系式将不同三角函数化为同名函数，再利用单调性或特殊值比较。③拓展关联：三角函数比较大小时，常利用单位圆、单调区间或构造函数求导。 4．已知双曲线：（，）过点和，则双曲线C的渐近线方程是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：双曲线的标准方程与渐近线方程 ►命题分析： （1）情境创设：纯数学情境，考查双曲线的标准方程确定和渐近线方程的求解。 （2）问题设计：给出双曲线经过的两个点，要求确定渐近线方程。需要先代入点坐标求参数，再写出渐近线方程。 （3）考查目标：考查数学运算素养，侧重双曲线标准方程的求解和渐近线方程的确定。 答案与解析 【答案】B 【分析】把点和代入双曲线方程求出，再求出渐近线方程即可. 【详解】把点和，代入双曲线方程可得 ， 所以双曲线方程为， 故该双曲线渐近线方程为. 知识总结 ①核心概念：双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的渐近线方程为y=±(b/a)x；若双曲线方程为y^2/a^2-x^2/b^2=1，则渐近线为y=±(a/b)x。②解题要点：先设双曲线标准方程，代入已知点求参数a、b，再写渐近线方程。③拓展关联：双曲线的渐近线反映了双曲线无限延伸时的趋势，是描绘双曲线形状的重要参考线。 5．已知棱台的上下底面均为有一个角为的菱形，且上下底面的边长分别为2和3，若该棱台的高为，则该棱台的体积为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：棱台的体积计算 ►命题分析： （1）情境创设：以菱形为底面的棱台为背景，考查空间几何体的体积计算。 （2）问题设计：给出棱台上下底面为有一个角为60度的菱形，边长分别为2和3，高为sqrt(3)，要求求体积。需要先求菱形面积，再用棱台体积公式计算。 （3）考查目标：考查直观想象和数学运算素养，侧重棱台体积公式的运用和菱形面积的计算。 答案与解析 【答案】D 【分析】分别求出棱台的上底面面积和下底面面积，再根据棱台的体积公式求得该棱台的体积. 【详解】由题意，得棱台的上底面面积为， 下底面面积为， 所以该棱台的体积为. 知识总结 ①核心概念：棱台体积公式V=(1/3)*h*(S1+S2+sqrt(S1*S2))，其中S1、S2为上下底面积，h为高；菱形面积S=a^2*sinθ，其中a为边长，θ为内角。②解题要点：先分别计算上下底面菱形面积，再代入棱台体积公式。③拓展关联：棱台可看作棱锥被平行于底面的平面截去顶部所得，体积公式可通过大棱锥减小棱锥推导。 6．现有甲、乙、丙、丁等8人分成A、B两个技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在一起，丙、丁不能在一起，则不同的分配方案有（     ） A．10种 B．12种 C．16种 D．24种 命题透视 ►核心考点：排列组合中的分组分配问题 ►命题分析： （1）情境创设：以技术小组人员分配为实际情境，考查排列组合中的分组问题。 （2）问题设计：8人分两组，每组4人，甲、乙必须在一起，丙、丁不能在一起，求分配方案数。需要分类讨论甲、乙所在组，再安排丙、丁的位置。 （3）考查目标：考查逻辑推理和数学运算素养，侧重分类讨论思想和计数原理的综合运用。 答案与解析 【答案】C 【分析】对甲、乙两人都在A小组和B小组进行分类，结合计数原理求解即可. 【详解】情况1：甲、乙两人都在A小组， 安排丙、丁：丙、丁中必须有一个在A组，另一个在 B 组. 若丙在A组，丁在B组：此时A组已有 {甲, 乙, 丙}，还差1人； B组已有{丁}，还差3人， 则从剩余4人中选1人进A组，方案数为. 若丁在A组，丙在 B 组：同理，方案数为. 所以当甲、乙在A组时，方案数为种. 情况2：甲、乙两人都在 B 小组， 甲、乙在B组的情况与在A组的情况完全一致， 安排丙、丁：同样是丙在A组或丁在A组两种情况，方案数各为 ， 所以当甲、乙在B组时，方案数为 种. 故所有分配方案共有种. 知识总结 ①核心概念：分组问题常用分类讨论或排除法；若有限制条件，先处理限制条件再安排其余元素。②解题要点：按甲、乙所在组分类，再处理丙、丁的限制，最后用组合数计算每种情况的方案数。③拓展关联：分组分配问题是排列组合的经典题型，常与隔板法、捆绑法、插空法等技巧结合考查。 7．已知为第二象限角，且，则（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：二倍角公式的应用 ►命题分析： （1）情境创设：纯数学情境，以第二象限角为背景，考查二倍角公式的应用。 （2）问题设计：已知第二象限角及三角函数值关系，要求求另一个三角函数值。需要利用二倍角公式化简，结合角的范围确定符号。 （3）考查目标：考查数学运算素养，侧重二倍角公式的灵活运用和三角函数值的符号判断。 答案与解析 【答案】C 【分析】利用二倍角公式化简可得，结合角的范围分别求出，即可求解. 【详解】由，得： 因为是第二象限角，所以，， 化简得：，即 由于，解得：， 因为，所以， 所以 知识总结 ①核心概念：二倍角公式sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos^2α-sin^2α=2cos^2α-1=1-2sin^2α；第二象限角sinα>0，cosα<0。②解题要点：利用二倍角公式化简已知条件，结合角的范围确定三角函数值的符号。③拓展关联：二倍角公式是降幂升角的重要工具，常与和差角公式、辅助角公式结合使用。 8．已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 命题透视 ►核心考点：函数的奇偶性、周期性与对称性综合 ►命题分析： （1）情境创设：纯数学情境，以抽象函数的性质为背景，考查函数三大性质的综合应用。 （2）问题设计：已知函数为偶函数，满足f(x+1)=f(1-x)，且当x∈[0,1]时有具体表达式，要求求某点函数值。需要综合分析周期性、对称性和奇偶性。 （3）考查目标：考查逻辑推理和数学运算素养，侧重函数性质的灵活转换和综合应用能力。 答案与解析 【答案】D 【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得. 【详解】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 知识总结 ①核心概念：偶函数满足f(-x)=f(x)；若f(a+x)=f(a-x)，则函数关于x=a对称；若f(x+T)=f(x)，则周期为T。②解题要点：由f(x+1)=f(1-x)推出对称轴为x=1，结合偶函数性质推出周期为2，再利用周期性将所求点转化到已知区间。③拓展关联：函数的奇偶性、周期性、对称性三者关系密切，知二可推一，是函数性质综合题的常考方向。 二、多选题 9．已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（     ） A．点的坐标为 B．时，圆与轴相切 C．当时，圆与圆相切 D．当圆与圆相交时，两交点所在的直线方程为 命题透视 ►核心考点：圆与圆的位置关系 ►命题分析： （1）情境创设：纯数学情境，以两个圆的方程为背景，考查圆与圆的位置关系及相关性质。 （2）问题设计：给出两个圆的方程，判断四个关于圆心、半径、位置关系的命题。涉及圆心坐标、半径计算、圆与圆相切、相交弦等知识点。 （3）考查目标：考查数学运算素养，侧重圆的标准方程、圆心距与半径关系的综合运用。 答案与解析 【答案】BC 【分析】对于A，求出的圆心坐标即可判断； 对于B，利用圆心到的距离即可判断； 对于C，求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断； 对于D，将两个圆的方程相减化简即可求解. 【详解】由：，化简可得， 所以，的圆心，半径，故A错误； 对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确； 对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确； 对于D，由，化简得：， 所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误. 知识总结 ①核心概念：圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2的圆心为(a,b)，半径为r；两圆位置关系由圆心距d与半径和差的关系决定；相交两圆的公共弦所在直线方程可将两圆方程相减得到。②解题要点：先将圆方程化为标准形式，确定圆心和半径，再逐一验证各选项。③拓展关联：圆系方程、切线长公式、公共弦问题是圆与圆位置关系的延伸考点。 10．已知等比数列的公比，且，，记数列的前项和为，则（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：等比数列的通项公式与前n项和 ►命题分析： （1）情境创设：纯数学情境，以等比数列为背景，考查等比数列的基本性质和前n项和公式。 （2）问题设计：已知等比数列公比大于1，给出两项的值，要求判断四个关于公比、前n项和、数列单调性的命题。 （3）考查目标：考查数学运算和逻辑推理素养，侧重等比数列基本公式的灵活运用和数列性质的推理判断。 答案与解析 【答案】ACD 【分析】设等比数列的公比为，根据条件列出关于的方程，求解可得的值，判断A；利用特值法可判断B；根据等比数列的前n项和公式，求得，，化简可判断C；求出，由的取值情况，结合不等式的性质，判断D. 【详解】设等比数列的公比为，则，即. 因为，所以，即. 因为，所以，所以，即， 所以A正确. 因为，则，所以B错误. . 所以C正确. 当n为奇数时，； 当n为偶数时，因为；所以， 所以，即. 所以D正确. 知识总结 ①核心概念：等比数列通项公式an=a1*q^(n-1)；前n项和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)(q≠1)；等比数列各项同号时，公比q>1则递增，0<q<1则递减。②解题要点：先由已知条件列方程求公比q，再验证各选项。③拓展关联：等比数列与等差数列是数列的基础模型，等比数列前n项和公式中注意q=1时的特殊情况。 11．已知抛物线：，有一斜率为的直线过点，点A在抛物线E上，,两点在直线上，且为等边三角形，则（     ） A．抛物线E的准线方程为 B．当直线与抛物线E无交点时， C．若直线与抛物线相交于唯一一点，则抛物线E的焦点在直线上 D．当时，面积的最小值为 命题透视 ►核心考点：抛物线的定义与性质及等边三角形综合 ►命题分析： （1）情境创设：以抛物线和等边三角形为几何背景，考查抛物线的定义、性质及与等边三角形的综合应用。 （2）问题设计：抛物线y^2=2px上一点与直线上的两点构成等边三角形，要求判断四个关于准线、直线与抛物线位置关系、焦点、面积最值的命题。 （3）考查目标：考查数学运算和直观想象素养，侧重抛物线几何性质的理解和几何图形的分析能力。 答案与解析 【答案】ABD 【分析】A选项，根据抛物线方程得，进而得出准线方程；B选项，设直线为，和抛物线方程联立消去，令求解；C选项，先根据直线和抛物线相切，求出切点，假设过焦点，则得到，根据两直线的夹角的公式推出的正切值，从而判断；D选项，可将问题转化为抛物线上一点到直线的距离最小值来处理. 【详解】A选项，，则，故准线，A选项正确； B选项，设直线为，则， 联立得到，， 直线和抛物线无交点，则， 结合，解得，B选项正确； C选项，由联立方程， 若与相交于唯一点，只可能是相切， 则，解得， 此时，解得，进而得，则， 若过焦点（如图），由于，，而， 根据倾斜角的定义，，， 而，此时的正切值为， 即，这与为等边三角形矛盾，C选项错误； D选项，当，此时直线方程为， 设，则到的距离为， 即等边三角形的高的最小值为，此时面积，D选项正确. C选项方法二：求得，则，， 则， 则，抛物线E的焦点不在直线上，故C错误. D选项方法二：到的最小距离可转化为抛物线和平行的切线，求得两平行线的距离即可， 由于，设直线为， 联立，得到， 由，此时直线为， 由平行线的距离公式可推出直线间距离为，其余同上. 知识总结 ①核心概念：抛物线y^2=2px的焦点为(p/2,0)，准线为x=-p/2；直线与抛物线联立后的判别式可判断位置关系；点到直线的距离公式d=|Ax0+By0+C|/sqrt(A^2+B^2)。②解题要点：利用抛物线定义求准线；联立直线与抛物线方程判断位置关系；将面积最值转化为点到直线距离的最值。③拓展关联：抛物线的光学性质（焦点发出的光线经反射后平行于轴）是其重要的几何特性。 三、填空题 12．设为等差数列的前项和，若，，则__________． 命题透视 ►核心考点：等差数列的通项公式与求和公式 ►命题分析： （1）情境创设：纯数学情境，考查等差数列的基本公式应用。 （2）问题设计：已知等差数列两项的值，要求求前n项和。直接代入通项公式求公差和首项，再用求和公式计算。 （3）考查目标：考查数学运算素养，侧重等差数列通项公式和求和公式的熟练运用。 答案与解析 【答案】24 【分析】根据等差数列通项公式求出公差，再结合求和公式求解即可. 【详解】由等差数列通项公式， 代入可得，解得. 因为，所以， 故. 知识总结 ①核心概念：等差数列通项公式an=a1+(n-1)d；前n项和Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2。②解题要点：由已知条件列方程组求a1和d，再代入求和公式。③拓展关联：等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数（d≠0时），可利用函数性质求最值。 13．若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 命题透视 ►核心考点：函数零点与参数范围 ►命题分析： （1）情境创设：以含参函数为背景，考查函数零点问题与参数范围的确定。 （2）问题设计：已知函数有两个零点，求参数取值范围。可通过转化为一元二次方程有两个正根，或转化为两个函数图象有两个交点来求解。 （3）考查目标：考查数学运算和逻辑推理素养，侧重函数零点问题的转化思想和参数范围的确定方法。 答案与解析 【答案】 【分析】方法一：令,则即，,转化为一元二次方程有两个正根的问题. 方法二：把函数 有两个零点转化为方程有两个实数根的问题，再转化为,即函数与函数交点问题. 【详解】令，得，即， 方法一： 令，则，即，, 则一元二次方程有两个正根， 那么， 所以，的取值范围是. 方法二： 设，那么设，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增，且， 根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是. 知识总结 ①核心概念：函数零点即方程f(x)=0的实数根；函数零点个数可转化为图象交点个数。②解题要点：法一令f(x)=0转化为一元二次方程有两个正根，利用判别式和韦达定理；法二分离参数转化为两个函数图象交点问题。③拓展关联：函数零点问题常与导数结合，通过分析单调性和极值来确定零点个数。 14．已知球的体积为，点A，B，C，D均在球表面上，若为正三角形，且，则__________． 命题透视 ►核心考点：球的体积与正三棱锥的外接球 ►命题分析： （1）情境创设：以球和正三棱锥为背景，考查空间几何体的外接球问题。 （2）问题设计：已知球的体积，球面上四点构成正三棱锥，底面为正三角形且侧棱相等，要求求底面边长或相关量。需要利用球的体积公式求半径，再通过外接球的性质列方程求解。 （3）考查目标：考查直观想象和数学运算素养，侧重空间几何体的外接球性质和方程思想。 答案与解析 【答案】 【分析】根据球的体积得出球的半径，由正三棱锥的对称性得出球心的位置，然后由勾股定理，列方程组求解. 【详解】由球的体积公式，，解得， 设的外心为，连接， 由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上， 不妨设在线段上，连接， 设的边长为，由正弦定理可得，， 再设，由题知，， 解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图）， 所以， 由三角形面积公式，. 知识总结 ①核心概念：球的体积V=(4/3)πR^3；正三棱锥的外接球球心在高线上；外接球半径R、底面外接圆半径r、球心到底面距离d满足R^2=r^2+d^2。②解题要点：由体积公式求球半径，设底面边长为参数，利用外接球性质列方程求解。③拓展关联：外接球问题是立体几何的高频考点，常用方法是确定球心位置，利用勾股定理建立方程。 四、解答题 15．某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图： (1)求第一四分位数和中位数； (2)设为首次故障时间小于365天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）已知该工厂向某用户销售了100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件数，若，求和． 命题透视 ►核心考点：频率分布直方图与二项分布 ►命题分析： （1）情境创设：以电子元件首次故障检测为工业生产情境，考查统计图表分析和概率分布的综合应用。 （2）问题设计：第(1)问根据频率分布直方图求第一四分位数和中位数，需要先确定所在区间再用线性插值；第(2)问将频率估计为概率，利用二项分布的期望和方差公式求解实际问题。 （3）考查目标：考查数据分析和数学建模素养，侧重从统计图表中提取信息、估计概率并建立概率模型的能力。 答案与解析 【答案】(1)第一四分位数为 ，中位数为 ； (2)（ⅰ）；（ⅱ），． 【分析】（1）根据百分位数的定义，先确定其大致位置，然后列方程求解； （2）根据直方图，先求出小于365天的频率，作为概率的估计值，然后利用二项分布的期望和方差求解. 【详解】（1）由直方图可知，的频率为， 的频率为， 故第一四分位数在上，设为，则，解得； 的频率为， 的频率为， 故中位数在上，设为，则，解得. 故第一四分位数为370，中位数为381； （2）由直方图可知，小于365天的频率为，故， 根据二项分布的期望和方差公式， ， 知识总结 ①核心概念：频率分布直方图中，每个矩形的面积表示该组的频率；第p百分位数是使累积频率达到p%的值；二项分布X~B(n,p)的期望E(X)=np，方差D(X)=np(1-p)。②解题要点：先计算各组频率，确定百分位数所在区间，再用比例法求解；将频率作为概率估计值，代入二项分布公式。③拓展关联：频率分布直方图与正态分布、二项分布的结合是概率统计考查的重要方向。 16．如图，在三棱锥中，点在上，，，． (1)求证：； (2)若，，，．求直线与平面所成角的正弦值． 命题透视 ►核心考点：线面垂直的证明与线面角计算 ►命题分析： （1）情境创设：以三棱锥为几何体背景，考查空间几何中的线面垂直证明和线面角的计算。 （2）问题设计：第(1)问证明线线垂直，通过线面垂直的性质定理转化；第(2)求直线与平面所成角的正弦值，提供空间向量法和体积法两种解法。 （3）考查目标：考查直观想象和数学运算素养，侧重线面垂直的判定与性质定理及空间角的计算方法。 答案与解析 【答案】(1)证明： 因为且，，且， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面， 平面，平面， 所以平面， 故. (2) 【分析】（1）根据题意可得，，再结合线面垂直的性质定理证明即可； （2）法一：建立空间直角坐标系，求解向量和平面的法向量，再结合向量法求解线面夹角；法二：利用体积法解出设点到平面的距离为，进而计算线面夹角. 【详解】（1）略 （2）如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 可得， ， ， . 因为 且 ，所以. 所以，，. 设平面 的法向量 ，则， 可得，令，则：，，即. 设与平面所成的角为： 所以 ， 所以与平面所成的角为. 法二：在 中，， 在 中，， 由（1）知，则. 在 中，. 在 中，. ， 为直角三角形，则. 设点到平面的距离为，与平面所成角为， 由得： ，即， 解得：. 所以. 知识总结 ①核心概念：线面垂直的性质定理：若直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线；线面角是直线与平面中其投影的夹角，sinθ=|cos<向量a,法向量n>|。②解题要点：证明线线垂直时，可转化为证明一线垂直于另一线所在的平面；求线面角时优先建立空间直角坐标系，用法向量法计算。③拓展关联：空间向量法是解决立体几何问题的通用方法，将几何关系转化为代数运算，降低思维难度。 17．在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 命题透视 ►核心考点：余弦定理、正弦定理与三角形面积综合 ►命题分析： （1）情境创设：以三角形为背景，考查解三角形中的边角关系证明和周长计算。 （2）问题设计：第(1)问证明三角形为钝角三角形，需要利用两角和的余弦公式展开，结合角的范围判断；第(2)已知面积求周长，需综合运用正弦定理、余弦定理和面积公式列方程组求解。 （3）考查目标：考查数学运算和逻辑推理素养，侧重解三角形中多个定理的综合运用和方程思想。 答案与解析 【答案】(1)证明：由，则， 又，得，则， 由两角和的余弦公式，， 结合可知， 则异号，必然一个为负， 又，即中必有一个是钝角； (2) 【分析】（1），结合题设得出，然后由两角和的余弦展开得到，进而得解； （2）先推出三角形面积公式的变形式，解得，由正弦定理进而得出，然后列余弦定理和面积公式的关于的方程组求解. 【详解】（1）略 （2）方法一：由正弦定理和三角形的面积公式， ， （是外接圆半径） 又，，则，解得， 又，则， 由余弦定理，即， 又，则， 于是，即， ，解得， 故周长为. 方法二：由，则， 即， 由正弦定理可得，， 由三角形面积公式，， 得到，则，其余同上. 知识总结 ①核心概念：余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC；正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R；三角形面积S=(1/2)absinC。②解题要点：证明钝角三角形时，利用余弦公式判断某个角的余弦值为负；求周长时，利用正弦定理将边化为角，结合面积公式列方程。③拓展关联：解三角形常与三角函数、向量结合，是高考解答题的重要考点。 18．椭圆：（），过右焦点且与轴垂直的直线被截得的长度为． (1)求的离心率． (2)为坐标原点，给定点，在上，过点作轴的垂线，垂足为，与交于点．当在上运动时，的轨迹为． （ⅰ）求的方程，并说明M是什么曲线； （ⅱ）是否有中心点？当为何值时，有中心点？当有中心点时，平移到，使为的中心点，说明的形状. 命题透视 ►核心考点：椭圆的几何性质与轨迹方程 ►命题分析： （1）情境创设：以椭圆为载体，考查椭圆的几何性质、轨迹方程推导及分类讨论。 （2）问题设计：第(1)问利用过焦点垂直于轴的直线截椭圆所得线段长求离心率；第(2)(i)求动点轨迹方程，并根据参数判断轨迹形状（椭圆、双曲线或抛物线）；(ii)讨论中心点的存在性及平移后的曲线形状。 （3）考查目标：考查数学运算和逻辑推理素养，侧重轨迹方程的推导、参数分类讨论和曲线形状的识别能力。 答案与解析 【答案】(1) (2)（i）的方程为;当 时，，则方程表示椭圆去掉与轴交点；当 时，，则方程表示双曲线去掉与轴交点；当时，轨迹的方程为 ，为抛物线去掉与轴交点； （ii）当时，轨迹的方程为 ，为抛物线去掉与轴交点，无中心点; 当时，有中心点，平移到，使为的中心点时，此时的方程为， 当 时，形状为椭圆去掉与轴交点，当 时，形状为双曲线去掉与轴交点. 【分析】（1）利用过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为 ，通过求出坐标解出线段的长，求得再求出离心率； （2）(i)通过联立方程求出点的坐标，再反解出点的坐标代入椭圆方程，从而求出的轨迹的方程； （ii）先讨论在不同取值时，中心存在的情况；再假设中心点坐标为，求出中心坐标的表达式，再通过平移求出的方程，再讨论不同情况下的形状. 【详解】（1）设椭圆 的右焦点为，其中 ， 那么过右焦点且垂直于 轴的直线为，代入椭圆得 ，即 ， 所以 ，由于截线段长为 ，解得 ， 故 ，离心率 . （2）(i)  方法一： 由(1)知椭圆方程为 ，由于点满足 ，且 ，过作轴的垂线，交 轴于点 ， 那么当时，点，点与点重合； 当时，直线 方程为：，直线方程为： ， 即 联立，解得即点， 设，则由， 代入椭圆方程 得，即 两边乘以 得 整理得， 把点代入，仍然成立， 故轨迹的方程为； 方法二： 由于，点在轴，故直线必有斜率； 设直线方程为，，那么点， 由于轴，则， 由于点三点共线，则， 因为点在直线上，所以，， 把代入椭圆方程： ，得，即， 整理化简，得 ， 故轨迹的方程为； 当 时，，则方程表示椭圆去掉与轴交点； 当 时，，则方程表示双曲线去掉与轴交点； 当时，轨迹的方程为 ，为抛物线去掉与轴交点； (ii)当即时，轨迹的方程为 ，为抛物线去掉与x轴交点，无中心点； 当 即 且0时，设轨迹的中心点为，那么 若点在轨迹上，那么点，也在轨迹上，则 ， 两式相减得，， 整理，得， 要使用等式恒成立，则 即中心点为， 所以有中心点当且仅当 且0，且中心坐标为 . 将平移使其中心与原点重合，设平移后的点为，那么 ，即， 代入轨迹方程可得， 整理化简，得，即， 即的方程为， 当 时，，则方程表示椭圆去掉与轴交点； 当 时，，则方程表示双曲线去掉与轴交点， 综上，当时，轨迹的方程为 ，为抛物线去掉与轴交点，无中心点； 当时，有中心点，平移到，使为的中心点时，此时的方程为， 当 时，形状为椭圆去掉与轴交点，当 时，形状为双曲线去掉与轴交点. 知识总结 ①核心概念：椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1中，过焦点垂直于长轴的弦长为2b^2/a；轨迹方程可通过消参法求得；根据二次方程系数判断曲线形状。②解题要点：由弦长条件列方程求a、b关系；设出动点坐标，利用已知条件消去参数得轨迹方程；对参数分类讨论确定曲线类型。③拓展关联：轨迹问题常用方法有直接法、定义法、相关点法、参数法；圆锥曲线的统一定义是到定点距离与到定直线距离之比为常数e。 19．已知函数，曲线在点处的切线为． (1)求，； (2)当时，，求的取值范围； (3)当时，，求的最小值． 命题透视 ►核心考点：切线方程、不等式恒成立与最值问题 ►命题分析： （1）情境创设：以函数导数为载体，考查切线方程、不等式恒成立求参数范围及最值问题。 （2）问题设计：第(1)问利用导数的几何意义建立方程组求参数；第(2)问不等式恒成立求参数范围，提供构造差函数分类讨论和必要性探路两种解法；第(3)问求最小值，提供端点效应分析和参数分离结合洛必达法则两种解法。 （3）考查目标：考查逻辑推理和数学运算素养，侧重导数应用、恒成立问题的多种解法和最值问题的分析能力。 答案与解析 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合导数几何意义建立方程求解； （2）法一：构造差函数，结合导函数符号的变化分类讨论函数的单调性，进而由恒成立求解参数范围即可；法二：先由必要性探路分析界点，当，确定界点；再结合界点分类讨论即可； （3）法一：构造差函数，结合端点效应分析界点，再分类讨论可得；法二：分离参数，结合洛必达法则求解. 【详解】（1）， 由切点在直线上，也在函数图象上， 可知且，可得； 由，则切线的斜率为， 解得； 故. （2）由（1）知，， 则 ， 故题意可转化为对任意恒成立， 法一：令，， 则， 当时，由且， 则，即， 则在上单调递增，又， 要使对任意恒成立， 则，解得； 当时，不成立； 当时，，，且， 则， 即，则在上单调递减， 又当时，，不满足题意； 综上所述，的取值范围为. 法二： 不等式可转化为， 即对任意恒成立， 当时，不成立； 当时，设，， 当时，由，可知， ， 这与对任意恒成立矛盾； 当时，， ， 由，故在上单调递增， 故在上存在唯一零点，设为， 且当时，，即， 此时不等式不成立； 当时，， 则在上单调递增， 由，故， 故不等式，即恒成立， 综上所述，的取值范围为； （3）法一：设， 则 ， 令， 则， 其中，，. 当时，， 则在上单调递增，故， 故在上单调递增，故， 即当时，恒成立，满足题意； 当时，设 ， 由，可知且， 则，可知在上单调递增， 故，即， 故在上单调递增，故， 故在上单调递增，故， 即当时，恒成立，满足题意； 当时，此时，又， 则存在正实数，使得，， 则在上单调递减，则， 即当，，不满足题意； 综上所述，，即的最小值为. 法二：由可得 ， 则，即， 则， 由，可知，则， 故原不等式可转化为， 由， 设，， 则， 设，，令， 则，， 由， 再令， ，故在上单调递增， 故，则，故在上单调递增， 所以，即， 故在上单调递减， 又由洛必达法则可知， 故要使当时，恒成立，则， 即的最小值为. 知识总结 ①核心概念：函数在某点处的导数等于切线斜率；不等式f(x)≥0恒成立等价于f(x)的最小值≥0；端点效应指在区间端点处取等号可确定参数的临界值。②解题要点：求切线方程时利用切点在曲线上和切线上两个条件；恒成立问题可构造差函数求最小值，或分离参数求最值；洛必达法则用于求0/0或∞/∞型极限。③拓展关联：恒成立问题、存在性问题、最值问题是函数导数压轴题的三类核心题型，常用方法有分类讨论、参数分离、必要性探路、端点效应等。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $