第二章有理数的运算小结与复习（知识点梳理+高频考点精析+达标检测）2025-2026学年人教版七年级上册数学大单元教学分层优化练

该初中数学单元学案以“有理数的运算”为核心，围绕加减乘除、乘方及混合运算等核心概念，构建了从知识梳理到高频考点精析再到达标检测的完整学习路径。通过课时递进设计，每部分任务层层递进，前后关联紧密，帮助学生在系统复习中建立清晰的知识结构，实现从理解到应用的转化。 亮点在于“问题驱动+思维深化”的探究式学习设计，融合了抽象能力、运算能力和模型意识等核心素养。例如，“蚂蚁爬行找位置”“出租车行程计算”“科学记数法与实际数据表达”等活动，引导学生用数学眼光观察现实问题，用数学思维分析数量关系，用数学语言表达解决方案。学案还配有“运算律巧用策略图”和“易错点归纳表”，助力学生查漏补缺，提升计算准确率与逻辑严谨性，既支持学生自主复习，也为教师开展分层教学提供精准依据。

2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 第二章有理数的运算小结与复习（知识点梳理+高频考点精析+达标检测） 第一部分 知识点梳理 一、有理数的加减法 1.有理数的加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ⑶互为相反数的两数相加，和为零； ⑷一个数与零相加，仍得这个数。 2.有理数加法的运算律 ⑴加法交换律：a+b=b+a ⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律： ①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； ②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”； ③分母相同的数先相加——“同分母结合法”； ④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”； ⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。 3.加法性质 一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。 4.有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。 5.有理数加减法统一成加法的意义 在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。 二、有理数的乘除法 1.有理数的乘法法则 法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三） 法则二：任何数同0相乘，都得0； 法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数； 法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0. 2.倒数 乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。 注意：①0没有倒数； ②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置； ③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 ④倒数等于它本身的数是1或-1。 3.有理数的乘法运算律 ⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba ⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc). ⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即a(b+c)=ab+ac 4.有理数的除法法则 （1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。 （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0 5.有理数的乘除混合运算 （1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 （2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。 三、有理数的乘方 1.乘方的概念 求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中，a 叫做底数，n 叫做指数。 2.乘方的性质 （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。 （2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。 四、有理数的混合运算 做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： 1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右进行； 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。 五、科学记数法 把一个大于10的数表示成 的形式（其中， n是正整数），这种记数法是科学记数法。 六、近似数 1. 只有近似数有精确度的问题，准确数不存在精确度问题。 2. 一个近似数，四舍五入到哪一位，就近似到哪一位。 第二部分 高频考点精析 1倒数 例1．0.3的倒数是（      ） A． B． C． D． 【变式1-1】．下列语句正确的是（   ） A．1是最小的自然数 B．相反数等于它本身的数只有1 C．绝对值最小的数是0 D．倒数等于它本身的数只有1 【变式1-2】．下列说法：（1）有理数包括正有理数和负有理数；（2）两数相减，差小于被减数；（3）两个数比较，绝对值大的反而小；（4）倒数是它本身的数是1；（5）若，则；（6）没有最大的正数，但有最大的负整数．其中正确的个数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-3】．任何不小于1的数，它的倒数都小于1．( ) 2.有理数的加减 例2．计算： (1)； (2)． 【变式2-1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-2】．计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2-3】．计算 (1) (2) (3) (4) 3.有理数的加减运算律 例3．阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是___________，从第___________步开始出现错误； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了___________（填数学定律） (3)请将正确解答过程补充完整． 【变式3-1】．（1）小马虎在计算时，误将“＋”看成了“”结果得47，求的值． （2）阅读并解决问题． 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ①计算过程中，第一步把原式化成 的形式，体现了数学的 思想．为了计算简便，第二步应用的加法运算律 ．    ②根据以上的解题技巧计算下列式子． 【变式3-2】．计算：． 【变式3-3】．计算： (1)． (2)． (3)． 4.有理数的乘除 例4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4-1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4-2】．计算： (1)； (2)． 【变式4-3】．计算：． 5.有理数乘除运算律 例5．计算： (1) (2) 【变式5-1】．计算下列各题 (1) (2) 【变式5-2】．计算：． 【变式5-3】．简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料． 材料一，计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：． ． 材料二，下列算式是一类两个两位数相乘的一种特殊计算方法． ； ； 根据以上材料，完成下列问题： (1)请你根据对材料一的理解，计算：； (2)请你根据对材料二的理解，计算：． 6 .乘方的意义 例6．对于与，下列说法正确的是（    ） A．它们的底数相同 B．它们的结果相等 C．它们的底数不同，但结果相等 D．它们的底数不同，并且结果也不相等 【变式6-1】．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义． (1)； (2)； (3)． 【变式6-2】．计算： (1)； (2)； (3)． 【变式6-3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 7. 有理数的混合运算 例7．脱式计算： (1)； (2)． 【变式7-1】．用你喜欢的方法计算 (1)； (2) (3)； (4)． 【变式7-2】．能简便的要简便计算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式7-3】．计算下面各题，怎样算简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 8. 有理数混合运算的实际应用 例8．某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入。下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前四天共生产 辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产 辆； (3)该厂实行计件工资制，生产一辆车给工人50 元，超额完成任务超额部分每辆再奖10元，少生产一辆扣10 元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【变式8-1】．出租车司机小王某天下午在东西走向的胜利大道上行驶．如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程(单位：千米)如下： ． (1)将最后一名乘客送到目的地时，小王距离下午出车时的出发点多远？ (2)若汽车耗油量为升/千米，这天下午小王的出租车共耗油多少升？ 【变式8-2】．某超市购进10箱樱桃，若以每箱净重5千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下（单位：千克）：、、、、、、、0、、 (1)求这10箱樱桃的总净重量是多少千克． (2)若每箱樱桃的进价为450元，超市原计划把这些樱桃全部以零售的形式出售，为保证超市仍然能获利，那么樱桃的售价应定为每千克多少元． (3)若第一天超市以（2）中的售价售出了的樱桃后，经超市进行商讨研究后，将剩余的樱桃每2千克一盒经过包装后再投入到超市销售，每盒售价为360元，包装成本费为每盒10元，人工费不计，最终全部售出，请计算该超市实际销售樱桃的总利润比原计划销售樱桃的总利润多多少元． 【变式8-3】．某冷库一周内的温度记录如下表（单位：，规定标准温度为，高于标准记为正，低于记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 温差 +2 −3 +1 −1 −2 +4 −2 (1)星期三的实际温度是多少？ (2)温度最高的一天与最低的一天相差多少？ (3)若温度每高于标准，每天多消耗电费20元；每低于标准，每天少消耗电费10元，求这一周的电费与标准电费的总差额． 9.科学计数法 例9．中国居民存款破纪录，在人均住户存款指标中，北京的人均住户存款高居榜首，山西跻身前名．某银行月日号柜台上午存取款（存款为正，取款为负）情况如下： 存款笔数 第笔 第笔 第笔 第笔 第笔 第笔 金额/万元 (1)若当天早上上班时号柜台的初始钱款数额为万元，求中午下班结账时号柜台的钱款数额． (2)若号柜台的验钞机验钞速度为每小时张，则该验钞机验钞小时，可验钞多少张（用科学记数法表示）？ 【变式9-1】．年月日，科学家首次公布了人类基因组“基本信息”，经过初步测定和分析，人类基因共有亿个碱基对，包含了大约万到万个蛋白质编码基因，请用科学记数法表示亿个碱基对． 【变式9-2】．用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式9-3】用科学记数法表示的数，它原来是________位数（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 10 .近似数 例10．老师黑板上写了十三个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算出的答数是，老师说最后一位数字错了，其它的数字都对，正确答案应该是什么？ 【变式10-1】．下列用四舍五入法得到的近似数，分别精确到哪一位？ (1)； (2)； (3)． 【变式10-2】．用四舍五入法，按括号中的要求，对下列各数取近似数： (1)（精确到千分位）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到）； (4)130542（精确到千位）． 【变式10-3】下列说法正确的是（    ） A．近似数0.21与0.210的精确度相同 B．近似数6万与近似数60000的精确度相同 C．数2.9951精确到百分位是3.00 D．89.0是精确到个位 第三部分 达标检测 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．的倒数是（   ） A． B． C．4 D． 2．全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年宜宾完成造林约公顷．用科学记数法表示是（　　） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．一只蚂蚁从数轴上一点A出发，爬了7个单位长度到了，则点A所表示的数是（    ） A．6或8 B．8 C． D．8或 5．临汾市内电话的收费标准如下： 前3分钟 共计0.20元 以后每分钟 计费0.12元（不足1分钟的按照1分钟收费） 李老师给市内的张教授打了9分40秒的电话，应付电话费（   ）元． A．0.92元 B．0.94元 C．1元 D．1.04元 6．鞋号表明了鞋子的大小，我国1998年发布了新鞋号标准，新鞋号标准对应于20世纪60年代后期到定的旧鞋号标准，部分鞋号对照知下： 新鞋号 220 225 230 235 … 260 旧鞋号 34 35 36 37 … 则的值为（    ） A．40 B．41 C．42 D．43 7．比大 （   ） A． B． C． D． 8．在互联网时代，利用二维码可以进行身份识别．某校建立了一个学生身份识别系统，如图是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生的编号，其编号为，如图第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，编号为（其中），表示该生的编号为28，下面表示编号为10的学生的识别图案是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每小题，共20分） 9．用科学记数法表示为 ． 10．计算： ． 11．定义一种新的运算：若a，b是有理数，则．小明计算，则 ． 12．计算： ． 13．A、B两地相距千米．有一支游行队伍从A地出发，向B匀速前进．当游行队伍队尾离开A时，甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，乙向A步行，甲骑车先追向队头，追上之后又立即骑向队尾，到达队尾之后又掉头追队头，如此反复，当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距B地千米处；当甲第7次追上队头时，甲恰好第一次到达B地，那么此时乙距离A地还有 千米． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．相关气象资料表明，高度每增加，气温大约降低． (1)我国某山峰的高度约为．当山脚的地面气温约为时，求山顶的气温． (2)当某地的地面气温为时，该地高空某处的气温为．求此处的高度． 15．计算： (1)； (2)． 16．甲、乙印刷厂印制材料费用如下表． 甲厂：印刷一份材料1.5元，不收取制版费． 乙厂：印刷一份材料1元，另收取制版费150元． 两厂均要求最低印制200份． (1)如果选择甲厂印制280份材料，那么需___________元； (2)如果选择乙厂印制400份材料，那么需多少元？（不要忘记制版费哦！） (3)如果印制一批材料预计费用为750元，你认为哪个厂印制份数比较多？通过计算加以说明． 17．六年级同学组织“六一”庆祝活动，需要给48名同学购买同样大小的矿泉水． A超市：每10瓶矿泉水售价20元，凡购满50瓶可按总价的付款． B超市：每箱售价27元，凡购满4箱按总价的付款．（提示：每箱12瓶）． 如果让你负责购买，你会到哪个超市购买？请用计算方法说明理由． 18．请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为：，，… 所以： 问题： (1)计算：； (2)计算： 19．【问题情境】 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．日常生活中我们最常用的是十进制，使用十个数字记数，而电子计算机使用的是二进制，其各数位上的数字为或．如，就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数． 【初探感知】 （）把十进制数转换成进制数，采用“除以取余数”的方法，即将十进制数除以，然后对商继续除以，直到商等于为止，最后将所有的余数从后往前倒序写，就是结果，例如将十进制数转换为二进制数结果为 （）不同进位制之间是可以相互转换的，例如二进制数转换为十进制数为： 综合实践： 年月日时分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．射程超过公里，覆盖全球所有区域，展示了我国精确打击能力和威慑力．此消息一出振奋人心，是无数科学家们日以继夜的奋战换来的成果．同样也离不开计算机的帮忙，计算机是使用二进制进行运算的，与我们日常使用的十进制不同，应用你学的知识，解答下列问题： (1)请把射程公里转化为六进制的数应该为 公里； (2)在设计洲际弹道导弹时，科学家想把计算机中的数据的数转化为八进制的数，则这个数应该是 ； (3)把，转化为二进制的数分别为 ；利用二进制数的加法法则计算他们的和为 ． 20．综合与探究：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如图操作探究： (1)操作1：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示数______的点重合． (2)操作2：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示3的点重合，回答以下问题： ①那么数轴上表示的点与表示数______的点重合，表示数m的点与表示数______的点重合（用含m的代数式表示）； ②若数轴上A、B两点之间距离为11，（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是______、______． (3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一段纸带（如图①），将纸带按图②所示向左折叠，剪掉不重叠部分，不重叠部分的纸带长度为a个单位长度，将重叠部分按图③所标注的剪切处剪切，得到三条长度相等的纸带，请求出图③剪切处对应的点所表示的数（用含a的代数式表示）． 有理数的运算 加法 减法 乘法 除法 乘方 交换律 结合律 交换律 结合律 分配律 科学记数法 近似数 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 第二章有理数的运算小结与复习（知识点梳理+高频考点精析+达标检测）（解析版） 第一部分 知识点梳理 一、有理数的加减法 1.有理数的加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ⑶互为相反数的两数相加，和为零； ⑷一个数与零相加，仍得这个数。 2.有理数加法的运算律 ⑴加法交换律：a+b=b+a ⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律： ①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； ②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”； ③分母相同的数先相加——“同分母结合法”； ④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”； ⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。 3.加法性质 一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。 4.有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。 5.有理数加减法统一成加法的意义 在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。 二、有理数的乘除法 1.有理数的乘法法则 法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三） 法则二：任何数同0相乘，都得0； 法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数； 法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0. 2.倒数 乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。 注意：①0没有倒数； ②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置； ③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 ④倒数等于它本身的数是1或-1。 3.有理数的乘法运算律 ⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba ⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc). ⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即a(b+c)=ab+ac 4.有理数的除法法则 （1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。 （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0 5.有理数的乘除混合运算 （1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 （2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。 三、有理数的乘方 1.乘方的概念 求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中，a 叫做底数，n 叫做指数。 2.乘方的性质 （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。 （2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。 四、有理数的混合运算 做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： 1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右进行； 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。 五、科学记数法 把一个大于10的数表示成 的形式（其中， n是正整数），这种记数法是科学记数法。 六、近似数 1. 只有近似数有精确度的问题，准确数不存在精确度问题。 2. 一个近似数，四舍五入到哪一位，就近似到哪一位。 第二部分 高频考点精析 1倒数 例1．0.3的倒数是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】倒数 【分析】本题主要考查倒数，掌握非零的两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数，是关键．根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴0.3的倒数是， 故选：C． 【变式1-1】．下列语句正确的是（   ） A．1是最小的自然数 B．相反数等于它本身的数只有1 C．绝对值最小的数是0 D．倒数等于它本身的数只有1 【答案】C 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、倒数 【分析】本题考查了相反数的性质，绝对值的性质，倒数的性质，自然数的概念，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、0是最小的自然数，故该选项不符合题意； B、相反数等于它本身的数只有0，故该选项不符合题意； C、绝对值最小的数是0，故该选项符合题意； D、倒数等于它本身的数有1和，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】．下列说法：（1）有理数包括正有理数和负有理数；（2）两数相减，差小于被减数；（3）两个数比较，绝对值大的反而小；（4）倒数是它本身的数是1；（5）若，则；（6）没有最大的正数，但有最大的负整数．其中正确的个数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】有理数的分类、绝对值的几何意义、有理数大小比较、倒数 【分析】本题考查了有理数的减法，相反数的定义，绝对值的性质以及倒数的定义，是基础题，熟记概念与运算法则是解题的关键．根据相反数的定义，有理数的减法运算法则，绝对值的性质以及倒数的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：（1）有理数包括正有理数、负有理数和0，错误； （2）两数相减，差小于被减数，根据减数的正负情况其结果不同，错误，； （3）原说法只适用两个负数比较，绝对值大的反而小，错误； （4）倒数是它本身的数是1，错误，的倒数也是它本身； （5）若，则错误，或； （6）没有最大的正数，但有最大的负整数，正确； 综上所述，说法正确的有1个． 故选：B． 【变式1-3】．任何不小于1的数，它的倒数都小于1．( ) 【答案】× 【知识点】倒数 【分析】正确理解倒数的含义，在解答时一定要注意“0”和“1”的特殊性．在解答判断题时只要能找出一个反例，就说明是错误的．在判断题中一定要考虑“0”和“1”的特殊性． 【详解】解：不小于1的数也包括1，1的倒数还是1，所以这句话是错误的． 故答案为：×． 2.有理数的加减 例2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）根据加法交换率和结合律简便计算； （2）根据加法交换率和结合律简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则及运算律是解题的关键． （1）利用有理数的加减运算法则及运算律进行计算即可； （2）利用有理数的加减运算法则及运算律进行计算即可； （3）利用有理数的加减运算法则及运算律进行计算即可； （4）利用有理数的加减运算法则及运算律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2-2】．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数加法运算律、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减运算，加法运算律，掌握有理数的加减运算法则和运算律是解题的关键． （1）先把加减运算转化为加法运算，再利用加法运算律计算即可； （2）先把加减运算转化为加法运算，再利用加法运算律计算即可； （3）先把加减运算转化为加法运算，再利用加法运算律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式2-3】．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，正确计算是解题的关键： （1）根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）根据有理数的减法运算法则计算即可； （3）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （4）根据有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 3.有理数的加减运算律 例3．阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是___________，从第___________步开始出现错误； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了___________（填数学定律） (3)请将正确解答过程补充完整． 【答案】(1)有理数的减法法则，二 (2)加法交换律，加法结合律 (3)见详解 【知识点】有理数加法运算律、有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算，加法交换律，加法结合律，解题的关键是熟练掌握有理数的减法法则． （1）利用有理数的减法法则即可得出结果； （2）利用加法交换律和加法结合律即可得出结果； （3）利用有理数的加减运算法则和加法运算律进行计算即可． 【详解】（1）解：第一步变形的依据是有理数的减法法则，从第二步开始出现错误，因为移动时未移动负号， 故答案为：有理数的减法法则，二； （2）解：第二步应用了加法交换律，第三步应用了加法结合律， 故答案为：加法交换律，加法结合律； （3）解：原式（第一步） （第二步） （第三步） ． 【变式3-1】．（1）小马虎在计算时，误将“＋”看成了“”结果得47，求的值． （2）阅读并解决问题． 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ①计算过程中，第一步把原式化成 的形式，体现了数学的 思想．为了计算简便，第二步应用的加法运算律 ．    ②根据以上的解题技巧计算下列式子． 【答案】（1）；（2）①省略加号和括号，转化，交换律和结合律；② 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算． （1）根据题意先求出的值，再计算即可； （2）①根据有理数的加减混合运算步骤及运算定律可得答案； ②仿照题意利用加法的交换律和结合律简便计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ； （2）①计算过程中，第一步把原式化成省略加号和括号的形式，体现了数学的转化思想，为了计算简便，第二步应用了加法的交换律和结合律． 故答案为：省略加号和括号，转化，交换律和结合律； ② ． 【变式3-2】．计算：． 【答案】 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，先去绝对值，然后利用加法交换律和结合律运算解题即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3-3】．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．将分数进行拆解是解题的关键． （1）先把带分数进行拆解，再计算整数部分之和，分数部分之和，然后计算出最终结果． （2）将各个分数转化成，，等这样的形式，再将互为相反数的两个分数结合进行计算，只剩下，再计算得到结果． （3）将每个分数进行转化，得到，再将括号去掉，将互为相反数的结合进行计算，得到，最后计算出结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 4.有理数的乘除 例4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)365 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练运用运算律和运算法则进行简便计算． （1）先去括号，再通分，最后进行同分母分数的加减运算； （2）观察到每一项都有因数36，利用乘法分配律进行简便计算； （3）将带分数化为假分数，除法转化为乘法，再利用乘法交换律和结合律简便计算； （4）根据积不变的规律对式子变形，使两项都有因数0.365，再用乘法分配律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式4-1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的除法运算、有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，有理数的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）把除法变成乘法，再计算乘法即可； （2）把原式变形为，再利用乘法分配律求解即可； （3）根据除法计算法则求解即可； （4）先将除法化为乘法，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式4-2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的除法运算、有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数除法运算、有理数乘除混合运算等知识点，掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数成为解题的关键． （1）先将除法化成乘法，然后再计算即可； （2）先将除法化成乘法，然后按照分数的乘法计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【变式4-3】．计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题关键是注意运算的顺序． 先将小数与带分数化为分数，同时将除法转化为乘法，再计算． 【详解】解： ． 5.有理数乘除运算律 例5．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数加减中的简便运算、 分数的加、减法混合运算、分数的四则混合运算、有理数乘除中的简便运算 【分析】本题主要考查了分数的加减法运算以及除法运算，同时涉及到对分数进行变形和化简的技巧，解题的关键在于能够熟练掌握有理数的计算法则． （）本题可利用加法交换律和结合律进行简便计算，将同分母的分数或能凑整的数结合在一起； （）先把带分数化为假分数，再把被除数提取2，从而简便计算除法式子； 【详解】（1）解： （2） 【变式5-1】．计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1)7 (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算、有理数乘除中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算与乘法运算律，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先将带分数化为假分数，将除法转化为乘法，再利用乘法分配律的逆运算计算即可； （2）先计算小括号里的减法，再计算中括号里的乘法，最后计算除法即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式5-2】．计算：． 【答案】432 【知识点】有理数乘除中的简便运算 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键．根据有理数乘除的运算法则即可求解． 【详解】解： ． 【变式5-3】．简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料． 材料一，计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：． ． 材料二，下列算式是一类两个两位数相乘的一种特殊计算方法． ； ； 根据以上材料，完成下列问题： (1)请你根据对材料一的理解，计算：； (2)请你根据对材料二的理解，计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算、有理数乘除中的简便运算 【分析】本题以材料题为背景，介绍了有理数运算中的简便运算．正确理解题意加以运用是解题关键． （1）利用材料一所给方法，先计算即可求解； （2）利用材料二所给方法即可计算． 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解： ． 6 .乘方的意义 例6．对于与，下列说法正确的是（    ） A．它们的底数相同 B．它们的结果相等 C．它们的底数不同，但结果相等 D．它们的底数不同，并且结果也不相等 【答案】D 【知识点】有理数幂的概念理解、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方的定义，理解有理数的乘方的定义是解题的关键． 先确定和的底数和运算结果即可解答． 【详解】解：∵ 的底数为，的底数为，，， ∴和底数不同，并且结果也不相等． 故选：D． 【变式6-1】．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，底数表示相同的因数；指数3表示相同因数的个数 (2)，底数表示相同的因数，指数4表示相同因数的个数 (3)，底数表示相同的因数，指数5表示相同因数的个数 【知识点】有理数幂的概念理解、有理数的乘方运算 【分析】此题考查的是有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数乘方的意义． （1）首先仔细观察给出的几个因数，先处理符号，再写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义； （2）首先仔细观察给出的几个因数，再写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义； （3）首先仔细观察给出的几个因数，先处理符号，再写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义． 【详解】（1）解：原式， 底数表示相同的因数；指数3表示相同因数的个数； （2）解：原式， 底数表示相同的因数，指数4表示相同因数的个数； （3）解：原式 底数表示相同的因数，指数5表示相同因数的个数． 【变式6-2】．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查负数的指数运算，需注意括号的位置对结果符号的影响．解题步骤分为：1.判断底数是否包含负号；2.根据指数奇偶性确定符号；3.计算数值部分．根据运算步骤计算即可． 【详解】（1）． （2）． （3）． 【变式6-3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方．熟练掌握有理数的乘方是解题的关键． 乘方的核心内容：求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0． 本题中的8个小题均是通过乘方的定义和上述符号法则进行计算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：． 7. 有理数的混合运算 例7．脱式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)65 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查有理数四则混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）先计算小括号，再计算中括号，最后计算乘法； （2）根据乘法分配律进行计算即可； 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ． 【变式7-1】．用你喜欢的方法计算 (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1)194 (2)75 (3)7 (4) 【知识点】有理数乘法运算律、多个有理数的乘法运算、有理数的除法运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，混合运算，乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理原式，再运算括号内，即可作答． （2）先整理原式，再根据有理数的乘法运算律进行计算，即可作答． （3）先计算小括号内的减法，再计算中括号内的乘法，最后计算除法，即可作答； （4）先计算小括号内的加法，再计算除法，最后计算加法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式7-2】．能简便的要简便计算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)25 (2)16 (3)13.8 (4)30 (5)2 (6)1110 【知识点】有理数加减中的简便运算、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查有理数四则混合运算； （1）逆用乘法分配律计算即可； （2）根据乘法分配律进行计算即可； （3）先算除法，再算减法即可； （4）先算小括号内的，再算中括号内的，最后算括号外的即可； （5）先算除法，再算加减即可； （6）把算式变形后再计算． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： ， ． 【变式7-3】．计算下面各题，怎样算简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)4.9 (2)10 (3) (4)6 (5) (6)3 【知识点】有理数加法运算律、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用加法交换律和结合律简便计算即可； （2）将拆分为，再利用乘法交换律和结合律简便计算即可； （3）先将除法化为乘法计算，再进行减法计算即可； （4）先利用乘法分配律展开，再利用加法结合律简便计算即可； （5）先将除法化为乘法，再利用乘法分配律简便计算即可； （6）先计算小括号内加法，再计算乘法，最后计算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 8. 有理数混合运算的实际应用 例8．某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入。下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前四天共生产 辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产 辆； (3)该厂实行计件工资制，生产一辆车给工人50 元，超额完成任务超额部分每辆再奖10元，少生产一辆扣10 元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)412 (2)26 (3)35540 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数的应用，有理数的运算的应用， （1）根据有理数的加法和乘法，可得答案； （2）根据有理数的减法，可得答案； （3）先求出超额完成辆，再根据有理数的乘法计算即可． 【详解】（1）（辆） 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）（辆）， （元）． ∴该厂工人这一周的工资总额是元． 【变式8-1】．出租车司机小王某天下午在东西走向的胜利大道上行驶．如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程(单位：千米)如下： ． (1)将最后一名乘客送到目的地时，小王距离下午出车时的出发点多远？ (2)若汽车耗油量为升/千米，这天下午小王的出租车共耗油多少升？ 【答案】(1)42千米 (2)升 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的混合运算． （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）用行车总里程乘以耗油量即可． 【详解】（1）（千米）． 答：将最后一名乘客送到目的地时，小王距离下午出车时的出发点42千米； （2）（升）． 答：这天下午小王的出租车共耗油升． 【变式8-2】．某超市购进10箱樱桃，若以每箱净重5千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下（单位：千克）：、、、、、、、0、、 (1)求这10箱樱桃的总净重量是多少千克． (2)若每箱樱桃的进价为450元，超市原计划把这些樱桃全部以零售的形式出售，为保证超市仍然能获利，那么樱桃的售价应定为每千克多少元． (3)若第一天超市以（2）中的售价售出了的樱桃后，经超市进行商讨研究后，将剩余的樱桃每2千克一盒经过包装后再投入到超市销售，每盒售价为360元，包装成本费为每盒10元，人工费不计，最终全部售出，请计算该超市实际销售樱桃的总利润比原计划销售樱桃的总利润多多少元． 【答案】(1)这10箱樱桃的总净重量是48千克． (2)樱桃的售价应定为每千克150元． (3)该超市实际销售樱桃的总利润比原计划销售樱桃的总利润多900元． 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查正负数的实际应用以及有理数四则混合运算的实际应用，读懂题意，理解利润、单价、成本之间的关系是解题的关键． （1）求出称重记录的数据之和，再与标准重量相加，即为总净重量； （2）按照获利的标准求出销售额，除以数量，即为单价； （3）求出超市实际销售樱桃的总销售额和原计划销售樱桃的总销售额，再进行计算即可． 【详解】（1）解：（千克） （千克）， 答：这10箱樱桃的总净重量是48千克． （2）解：根据题意，销售额应为：（元）， 每千克售价：（元）． 答：樱桃的售价应定为每千克150元． （3）解：包装前销售额：（元）， 包装后销售额：（元）， 买入成本：（元） 包装成本：（元）， 实际总利润与原计划总利润之差：（元）． 答：该超市实际销售樱桃的总利润比原计划销售樱桃的总利润多900元． 【变式8-3】．某冷库一周内的温度记录如下表（单位：，规定标准温度为，高于标准记为正，低于记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 温差 +2 −3 +1 −1 −2 +4 −2 (1)星期三的实际温度是多少？ (2)温度最高的一天与最低的一天相差多少？ (3)若温度每高于标准，每天多消耗电费20元；每低于标准，每天少消耗电费10元，求这一周的电费与标准电费的总差额． 【答案】(1)1 (2)7 (3)60元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． （1）根据表格中星期三的温差，结合标准温度，用标准温度加上温差得到实际温度． （2）先找出温度最高和最低的一天对应的温差，再计算两者的差值． （3）分别计算高于和低于标准温度部分对应的电费差额，再求和得到总差额． 【详解】（1）解：标准温度为，星期三温差为，则实际温度为； （2）解：温度最高的一天与最低的一天相差； （3）解：（元）， 这一周的电费与标准电费的总差额为60元。 9.科学计数法 例9．中国居民存款破纪录，在人均住户存款指标中，北京的人均住户存款高居榜首，山西跻身前名．某银行月日号柜台上午存取款（存款为正，取款为负）情况如下： 存款笔数 第笔 第笔 第笔 第笔 第笔 第笔 金额/万元 (1)若当天早上上班时号柜台的初始钱款数额为万元，求中午下班结账时号柜台的钱款数额． (2)若号柜台的验钞机验钞速度为每小时张，则该验钞机验钞小时，可验钞多少张（用科学记数法表示）？ 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，正确理解题意，列出算式是解题关键． （1）把存取款金额依次相加列式，然后计算即可． （2）用每小时验钞张数乘时间，计算后再用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解：根据题意得：（万元）． 答：中午下班结账时号柜台的钱款数额为万元． （2）解：（张）． 答：该验钞机验钞小时，可验钞张． 【变式9-1】．年月日，科学家首次公布了人类基因组“基本信息”，经过初步测定和分析，人类基因共有亿个碱基对，包含了大约万到万个蛋白质编码基因，请用科学记数法表示亿个碱基对． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学技术法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：亿． 【变式9-2】．用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． （1）将写成其中，n为整数的形式即可； （2）将写成其中，n为整数的形式即可； （3）将写成其中，n为整数的形式即可； （4）将写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【变式9-3】用科学记数法表示的数，它原来是________位数（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】根据科学记数法的形式，其中，n是整数位数减1． 【详解】解：根据题意， ∴它原来是12位数． 故选：C． 【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的一般形式以及a与n的取值是解题的关键． 10 .近似数 例10．老师黑板上写了十三个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算出的答数是，老师说最后一位数字错了，其它的数字都对，正确答案应该是什么？ 【答案】 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】因为自然数都是整数，所以这个自然数的和一定是一个整数；因为小明计算出的答数是．老师说最后一位数字错了，其它的数字都对，因此正确的答案应在和之间；又因为，，所以可以知道这个自然数的和是在和之间，由此可以确定一定是；用除以，结果是约等于；所以正确的答案是． 【详解】解：自然数都是整数，所以这个自然数的和一定是一个整数； 又因为，，所以可以知道这个自然数的和一定是， ； 答：正确答案应该是． 【点睛】本题考查了近似数，解题的关键是先结合题意，推导出这13个数的和，进而根据平均数、数量和总数三者之间的关系，求出正确的答案． 【变式10-1】．下列用四舍五入法得到的近似数，分别精确到哪一位？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，精确到十分位（精确到） (2)，精确到万分位（精确到） (3)，精确到百位 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数、求近似数的精确度 【分析】本题主要考查科学记数法和有效数字，可以结合近似数精确度的定义进行解答． （1）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是 0 的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）利用近似数的精确度求解． （3）对于用科学记数法表示的数，可先将其还原为原数再判断其精确度即可. 【详解】（1）解：精确到十分位（即精确到）． （2）解：精确到万分位（即精确到）． （3）解：，精确到百位． 【变式10-2】．用四舍五入法，按括号中的要求，对下列各数取近似数： (1)（精确到千分位）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到）； (4)130542（精确到千位）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】求一个数的近似数、求近似数的精确度 【分析】本题考查了近似数，近似数精确到哪一位，应当看后一位的数字与5的大小比较，利用四舍五入法解答．熟练掌握四舍五入法是解题关键． （1）根据万分位的数字，利用四舍五入法解答即可． （2）根据十分位的数字，利用四舍五入法解答即可． （3）根据千分位的数字，利用四舍五入法解答即可． （4）根据百位的数字，利用四舍五入法解答即可． 【详解】（1）解：（精确到千分位）； （2）解：（精确到个位）； （3）解：（精确到）； （4）解：（精确到千位）． 【变式10-3】下列说法正确的是（    ） A．近似数0.21与0.210的精确度相同 B．近似数6万与近似数60000的精确度相同 C．数2.9951精确到百分位是3.00 D．89.0是精确到个位 【答案】C 【分析】根据近似数的精确度的定义进行分析解答即可． 【详解】A选项中，因为近似数0.21是精确到百分位的，近似数0.210是精确到千分位的，所以A中说法错误； B选项中，因为近似数6万是精确到万位的，近似数60000是精确到个位的，所以B中说法错误； C选项中，因为数2.9951精确到百分位是3.00，所以C中说法正确； D选项中，因为89.0是精确到十分位，所以D中说法错误． 故选：C． 【点睛】本题考查的是学生对近似数有效数字的理解，掌握近似数有效数字的概念：“从一个数的左边第一个非零数字起，到精确到的数位止，所有数字都是这个数的有效数字”是解答本题的关键 第三部分 达标检测 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．的倒数是（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】倒数 【分析】本题主要考查了倒数的定义，解题的关键是熟练掌握倒数的定义． 根据倒数的定义进行求解即可． 【详解】解：的倒数是， 故选：B． 2．全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年宜宾完成造林约公顷．用科学记数法表示是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的位数确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握加法运算法则是解题的关键；根据有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 4．一只蚂蚁从数轴上一点A出发，爬了7个单位长度到了，则点A所表示的数是（    ） A．6或8 B．8 C． D．8或 【答案】D 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，有理数的加减，分类讨论是解题的关键． 根据题意由或即可求解． 【详解】依题意，一只蚂蚁从数轴上点出发爬了7个单位长度到了表示的点， 则点所表示的数为：或． ∴点所表示的数为：8或． 故选：D． 5．临汾市内电话的收费标准如下： 前3分钟 共计0.20元 以后每分钟 计费0.12元（不足1分钟的按照1分钟收费） 李老师给市内的张教授打了9分40秒的电话，应付电话费（   ）元． A．0.92元 B．0.94元 C．1元 D．1.04元 【答案】D 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了分段计费在生活中的运用．解答时，应根据不同时段的计费标准分别计算；计时时，应采取进一法保留整数． 先求出李老师打电话3分钟后剩下的时间；再根据总价单价时间，求出3分钟后的总价；最后依据总价前3分钟总价3分钟后总价解答． 【详解】解：9分40秒分分40秒分， （元）， 故应付电话费1.04元． 故选：D． 6．鞋号表明了鞋子的大小，我国1998年发布了新鞋号标准，新鞋号标准对应于20世纪60年代后期到定的旧鞋号标准，部分鞋号对照知下： 新鞋号 220 225 230 235 … 260 旧鞋号 34 35 36 37 … 则的值为（    ） A．40 B．41 C．42 D．43 【答案】C 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查有理数的运算，及找规律，根据表格数据观察得出规律求解，即可解题． 【详解】解：根据表格数据观察可知，旧鞋号增加1号，对应新鞋号增加5号， ，， 即的值为42， 故选：C． 7．比大 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的减法运算、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方和减法运算，先根据乘方的定义进行化简，再相减即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：． 8．在互联网时代，利用二维码可以进行身份识别．某校建立了一个学生身份识别系统，如图是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生的编号，其编号为，如图第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，编号为（其中），表示该生的编号为28，下面表示编号为10的学生的识别图案是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】 本题考查了有理数乘方的应用，正确理解题中的转换方法，利用有理数的乘方法则逐项计算是解题的关键；根据编号的转换方法，将四个选项中的识别图案转换成编号，取其编号为10的选项即可得出结论． 【详解】 解：A、； B、； C、； D、． 故选：C． 二、填空题（每小题，共20分） 9．用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：用科学记数法表示为：， 故答案是：． 10．计算： ． 【答案】2 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握运算法则，并能合理利用乘法公式进行简便运算. 利用乘法分配律简便计算 【详解】解： 故答案为：． 11．定义一种新的运算：若a，b是有理数，则．小明计算，则 ． 【答案】16 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数运算的新定义．读懂题意，按照新定义给出的计算方法计算即可． 【详解】解：由新定义可得： ． 故答案为：16． 12．计算： ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、有理数四则混合运算 【分析】此题考查了有理数的四则混合运算，化简绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算乘除和化简绝对值，然后计算加法． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．A、B两地相距千米．有一支游行队伍从A地出发，向B匀速前进．当游行队伍队尾离开A时，甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，乙向A步行，甲骑车先追向队头，追上之后又立即骑向队尾，到达队尾之后又掉头追队头，如此反复，当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距B地千米处；当甲第7次追上队头时，甲恰好第一次到达B地，那么此时乙距离A地还有 千米． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用，求得甲和乙的速度比成为解题的关键． 每次往返甲前进了千米，全程六次往返和一次追上，六次往返前进了（千米），说明追上一次可以行（千米），所以返回就行了（千米）．甲和乙的速度比是，然后求出乙行的路程，再用减去乙行的路程即可． 【详解】解：每次往返甲前进了（千米）， 全程六次往返和一次追上，六次往返前进了（千米）， 说明追上一次可以行（千米），所以返回就行了（千米）． 甲和乙的速度比是，乙行了（千米）， 所以此时乙距离A地的距离为（千米）． 答：此时乙距离A地还有千米． 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．相关气象资料表明，高度每增加，气温大约降低． (1)我国某山峰的高度约为．当山脚的地面气温约为时，求山顶的气温． (2)当某地的地面气温为时，该地高空某处的气温为．求此处的高度． 【答案】(1)山顶的气温约为． (2)此处的高度为． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数的实际问题，解决本题的关键是根据已知条件列出式子并求解. （1）同一时刻峰顶的气温=地面的气温山顶的高度，注意单位需统一. （2）计算温度差，除以6可得答案. 【详解】（1）． 答：山顶的气温约为． （2）解： 答：此处的高度为． 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）先计算有理数的乘方，绝对值，乘法，最后计算加减即可； （2）先计算有理数的乘方，乘除法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．甲、乙印刷厂印制材料费用如下表． 甲厂：印刷一份材料1.5元，不收取制版费． 乙厂：印刷一份材料1元，另收取制版费150元． 两厂均要求最低印制200份． (1)如果选择甲厂印制280份材料，那么需___________元； (2)如果选择乙厂印制400份材料，那么需多少元？（不要忘记制版费哦！） (3)如果印制一批材料预计费用为750元，你认为哪个厂印制份数比较多？通过计算加以说明． 【答案】(1)420 (2)550元 (3)乙厂印制的份数比较多 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查的是有理数四则混合运算的实际应用，掌握有理数四则混合运算的实际应用是解题的关键． （1）根据题意列出式子即可求出； （2）根据题意列出总费用等于材料费加上制版费即可； （3）分别求出甲厂与乙厂印制的份数，再进行比较即可； 【详解】（1）解：（元）， 故答案为：420． （2）解：（元）， 答：如果选择乙厂印制400份材料，需550元． （3）解：在甲厂印制：（份）， 在乙厂印制：（份）， ， 在乙厂印制的份数比较多． 17．六年级同学组织“六一”庆祝活动，需要给48名同学购买同样大小的矿泉水． A超市：每10瓶矿泉水售价20元，凡购满50瓶可按总价的付款． B超市：每箱售价27元，凡购满4箱按总价的付款．（提示：每箱12瓶）． 如果让你负责购买，你会到哪个超市购买？请用计算方法说明理由． 【答案】超市比较便宜，去超市购买，理由见详解 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查最优化问题，关键根据题意分别计算出去两家超市所需价钱，然后比较，选出花钱比较少的一家． 根据题意，分别计算出两家超市购买所需钱数，超市：买 48 瓶可以按 50 瓶来买：（元），（元）；超市：（箱），（元），（元）．然后进行比较，选出较便宜的一家． 【详解】解：A超市： 买 48 瓶可以按 50 瓶来买：（元）， （元）； B超市：（箱）， （元）， （元 ）， ， 答：超市比较便宜，去超市购买． 18．请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为：，，… 所以： 问题： (1)计算：； (2)计算： 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先拆分，再抵消法计算即可求解； （2）先拆分，再抵消法计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．【问题情境】 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．日常生活中我们最常用的是十进制，使用十个数字记数，而电子计算机使用的是二进制，其各数位上的数字为或．如，就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数． 【初探感知】 （）把十进制数转换成进制数，采用“除以取余数”的方法，即将十进制数除以，然后对商继续除以，直到商等于为止，最后将所有的余数从后往前倒序写，就是结果，例如将十进制数转换为二进制数结果为 （）不同进位制之间是可以相互转换的，例如二进制数转换为十进制数为： 综合实践： 年月日时分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．射程超过公里，覆盖全球所有区域，展示了我国精确打击能力和威慑力．此消息一出振奋人心，是无数科学家们日以继夜的奋战换来的成果．同样也离不开计算机的帮忙，计算机是使用二进制进行运算的，与我们日常使用的十进制不同，应用你学的知识，解答下列问题： (1)请把射程公里转化为六进制的数应该为 公里； (2)在设计洲际弹道导弹时，科学家想把计算机中的数据的数转化为八进制的数，则这个数应该是 ； (3)把，转化为二进制的数分别为 ；利用二进制数的加法法则计算他们的和为 ． 【答案】(1) (2) (3)，； 【知识点】有理数的除法运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（）根据十进制数转换成进制数的计算方法即可求解； （）先把二进制数转换为十进制数，再根据十进制数转换成进制数的计算方法即可求解； （）根据十进制数转换成进制数的计算方法分别把和转化为二进制的数，再根据二进制数的加法法则计算即可求解； 本题考查了有理数的除法和混合运算的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ∴将十进制数转化为六进制数为， 故答案为：； （2）解： ∵， ， ∴， 故答案为：； （3）解：， ， ， ， ， ∴， 同理得， ∴， 故答案为：，；． 20．综合与探究：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如图操作探究： (1)操作1：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示数______的点重合． (2)操作2：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示3的点重合，回答以下问题： ①那么数轴上表示的点与表示数______的点重合，表示数m的点与表示数______的点重合（用含m的代数式表示）； ②若数轴上A、B两点之间距离为11，（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是______、______． (3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一段纸带（如图①），将纸带按图②所示向左折叠，剪掉不重叠部分，不重叠部分的纸带长度为a个单位长度，将重叠部分按图③所标注的剪切处剪切，得到三条长度相等的纸带，请求出图③剪切处对应的点所表示的数（用含a的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①6，；②， (3)图③剪切处对应的点所表示的数为或 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数的减法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查了实数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题． （1）折叠纸面，若表示1的点与表示的点重合，中心点表示的数为0，即0与之间的距离等于0与1之间的距离，于是可得表示的点与表示的点重合； （2）①折叠纸面，使表示1的点与表示3的点重合，中心点表示的数为2，可得出所求即可； ②根据A、B间的距离和中间数求解即可； （3）根据题意画出草图，通过计算可得出剪切处对应的点所表示的数的值． 【详解】（1）解：由题意得：对折中心点表示的数为0，因此表示的点与表示的点重合； 故答案为：； （2）解：①折叠纸面，使表示1的点与表示3的点重合，中心点表示的数为2， 与2之间的距离为：，则表示与的点重合的点为：； m与2之间的距离为：，则表示与m的点重合的点为：； 故答案为：6，； ②∵数轴上A、B两点之间距离为11，（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合， ∴A表示的数为，B表示的数为， 故答案为：，； （3）解：如图，由题意得，， ∴， ∴剪切处D对应的点所表示的数； 剪切处C对应的点所表示的数； 综上：图③剪切处对应的点所表示的数为或． 有理数的运算 加法 减法 乘法 除法 乘方 交换律 结合律 交换律 结合律 分配律 科学记数法 近似数 学科网（北京）股份有限公司 $