基本不等式知识点与题型总结讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学讲义以“基本不等式”为核心，构建了从定义理解到多类题型应用的完整知识体系，通过清晰的知识框架图、分层表格和典型例题串联起“一正二定三相等”的使用原则与各类最值问题的解法路径，系统呈现了凑项、凑系数、“1”的妙用、联立消元等核心技巧的适用场景与内在逻辑。 讲义的亮点在于紧扣新课标三大核心素养，突出“数学思维”与“数学语言”的融合训练，如在“分式型最值”中引导学生通过换元法将复杂结构转化为标准形式，体现运算能力与模型意识；在“实际应用”部分设计工程、利润、几何优化等问题，强化数据观念与应用意识。每类题型均配有方法提炼与易错警示，基础薄弱生可掌握通法，优等生能拓展思维，教师据此可精准定位学情，实现高效复习与分层教学。

基本不等式知识点与题型总结讲义 基本不等式知识点与题型总结讲义 考点目录 基本不等式的定义及其使用 利用基本不等式求最值----凑项与凑系数 利用基本不等式求最值----负数型 利用基本不等式求最值----分式型 利用基本不等式求最值----“”的妙用 利用基本不等式求最值----联立消元法与设“”法 利用基本不等式证明不等关系 基本不等式的实际应用 考点一 基本不等式的定义及其使用 【知识点解析】 1. 基本不等式原始形式 （1）若，则； （2）若，则. 2. 基本不等式一般形式（均值不等式） （1）若，则； （2）使用步骤：一正、二定、三相等. 3. 基本不等式的两个重要变形 （1）若，则； （2）若，则. 总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值. 【例题分析】 1．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若，则的最小值为（    ） A．13 B．26 C． D． 2．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）若，则恒成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 4．（24-25高一下·内蒙古·期末）的最小值为（   ） A． B． C．6 D．24 5．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 7．（2025高二上·北京·学业考试）已知，且，则的最大值是（   ） A． B． C．1 D． 8．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习·多选）下列函数的最小值为的有（    ） A． B． C． D． 考点二 利用基本不等式求最值----凑项与凑系数 【知识点解析】 1.凑项：形如，无法直接用基本不等式，可以把原式添项变形为，则可使用基本不等式. 2.凑系数：形如，无法直接用基本不等式，可以把原式凑系数变形为，则可使用基本不等式. 3.凑项与凑系数：形如，无法直接用基本不等式，可以把原式添项变形为，则可使用基本不等式. ※核心：当形式不一致，导致乘积或和无法称为定值时，可通过适当的凑项与凑系数使得式子符合要求. 【例题分析】 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D． 3．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 4．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．5 5．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知，则函数的最小值为 ． 6．（24-25高二下·河北·期末）已知函数，则的最小值为 ． 7．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，则的最大值是 ，的最大值是 ． 8．（25-26高一上·甘肃武威·开学考试）已知，则的最小值为 ． 9．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）求下列各式的最值 (1)已知，求的最大值. (2)当时，求的最大值； 考点三 利用基本不等式求最值----负数型 【知识点解析】 负数型的处理思路： 若，则， 此时， 当且仅当取等号， 所以. ※核心：将两个负数转化为正数之后，即可利用基本不等式进行求解，注意最后再转化为负数. 【例题分析】 1．（24-25高二下·山东泰安·期末）已知，则有（   ） A．最大值0 B．最小值0 C．最大值 D．最小值 2．（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·湖南娄底·期中）已知，则的最大值是（   ） A．-1 B．1 C．4 D．7 4．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D． 5．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 考点四 利用基本不等式求最值----分式型 【知识点解析】 1.形如，无法直接用基本不等式，可以上下同时除以，得，再使用基本不等式. 2.形如，无法直接用基本不等式，可以上下同时除以，得，再使用基本不等式. 3.形如，无法直接用基本不等式，分子需要进行分解，得到的形式，再使用基本不等式. 4. 可利用换元法将（3）转换为（2）进行处理. 【例题分析】 1．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 2．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）当时，函数的最小值为 ． 3．（24-25高三上·福建泉州·期中）函数在上的最大值为 ． 4．（24-25高三上·吉林松原·阶段练习）若存在，使成立，则的取值范围是 . 5．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）函数的最小值为 ． 6．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）函数 的最大值为 . 7．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 8．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）求的最小值 . 考点五 利用基本不等式求最值----“1”的妙用 【知识点解析】 1.“1”的直接使用 若，求的最值. 则，进而可以使用基本不等式求最值. 2.变形的“1” 变形一：若为非0常数，求的最值. 因为，所以，则. 进而可以使用基本不等式求最值. 变形二：若，求的最值. 因为，所以，所以. 所以 展开后可以使用基本不等式求最值. 3.隐藏的“1” 若求形如的最值. 因为两个分母隐藏关系满足. 所以. 展开后可以使用基本不等式求最值. 4.换元法：若，也可化为或，回代消元，进而利用基本不等式求最值. 【例题分析】 1．（25-26高三上·江苏扬州·阶段练习）设，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 3．（25-26高三上·四川成都·开学考试）设，且，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 4．（2025·广东梅州·模拟预测）已知，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 5．（24-25高一上·上海嘉定·期末）若，则的最小值是 . 6．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 ． 7．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 . 8．（24-25高二下·江苏南京·期末）若正实数x、y满足，则的最小值是 . 9．（24-25高二下·江西上饶·期末）已知正实数满足，则的最小值为 ． 10．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知且，则的最小值为 ． 考点六 利用基本不等式求最值----联立消元法与设“”法 【知识点解析】 1.若出现（其中、、、、），求的最值. 可先利用基本不等式得①式：. 再将化为②式：. 联立①②消去，即可解不等式，求解的取值范围. 2.若出现（其中、、、、），求的最值. 可先利用基本不等式得①式：. 再将化为②式：. 联立①②消去，即可解不等式，求解的取值范围. 3.设“”法：可令所求目标为新变量“”，回代使得原等式变为二次方程，利用判别式求最值 【例题分析】 1．（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D．1 2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 4．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习·多选）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 5．（25-26高三上·四川眉山·开学考试·多选）已知正数满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·重庆·阶段练习）若，，且，则的最小值是 . 7．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知，，若，则的最小值为 ；的取值范围是 ． 8．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知正数满足，则的最大值为 . 考点七 利用基本不等式证明不等关系 【例题分析】 1．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知，则与之间的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 3．（24-25高三上·青海西宁·期中）已知，，则使成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河南·模拟预测）若，则使成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·重庆·一模）已知 ，则使 成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·河北沧州·期末·多选）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·福建泉州·期末·多选）设，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 9．（24-25高一上·湖南益阳·期末）（1）已知，求函数的最小值； （2）若，， 证明: . 10．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知． (1)若，证明：； (2)若，证明：； (3)若，证明． 11．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，，求证：． 考点八 基本不等式的实际应用 【知识点解析】 1.周长、面积、体积问题：核心表示出边长. 2.工程问题：核心表示出工作总量、工作效率、工作时间. 3.行程问题：核心表示出路程、速度、时间. 4.销售问题：核心表示出单价、数量、总价. 5.利润问题：核心表示出总收入和总成本.（期中总收入可能直接给出，也可利用总价等于单价×数量） 6.增长率模型：，期中为起始值，为增长率，为增长轮之后的值. ※注意单位统一 【例题分析】 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）某学校后勤部采购一台设备原值（购买价格）为元，且设备每年折旧率相同，设备维修及动力消耗每年以元增加，且设备经过使用后的残值（剩余值）为零，则这台设备最佳更新年限为（    ） A．年 B．年 C．年 D．年 3．（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（24-25高一下·云南昆明·期中）我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（    ） A．12 B． C． D．15 5．（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（   ） A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能 6．（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习·多选）《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理不正确的是（   ） A．由图1和图2面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 7．（24-25高三上·江苏南通·开学考试·多选）一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好．（   ） A．若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为 B．若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变 C．若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好 D．若窗户面积第一次增加了m%，第二次增加了,地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差 8．（25-26高三上·广东·开学考试）两次购买同一种物品，现采用两种不同的策略进行购买，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．购物方式比较经济的是第 种，针对上述现象，对于任意两个正实数，，可得到不等关系是 ． 9．（24-25高二下·天津·期末）勾股定理是初等几何中最精彩、最著名的定理之一，是几何学的明珠，它不仅揭示了直角三角形三边之间的数量关系，而且体现了“数形统一”的思想，对我们解决直角三角形类问题的帮助很大．如果一个直角三角形的周长等于，则该三角形面积的最大值为 ． 10．（24-25高一上·四川眉山·期中）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，则能围成的菜园面积的最大值为 . 11．（24-25高一上·广东广州·期中）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 12．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． (1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ (3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 13．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 14．（24-25高一上·浙江丽水·期末）如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. (1)当时，求的值； (2)设的面积为，求的最大值. 15．（24-25高一上·四川成都·期末）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值； (3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 16．（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为. (1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和关于的表达式； (2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时的值. 17．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为x米，宽为y米. (1)若育苗区面积为8平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为10米，求的最小值. 18．（24-25高一上·福建福州·期中）某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元． (1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 19．（23-24高一上·山东·期中）如图，海尔学校要建一个八边形的读书角，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为100m2的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；再在四个空角（四个三角形）上铺草坪，造价为80元/m2．设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m）．当x为何值时，最小？并求出这个最小值．注：． 20．（24-25高二上·浙江温州·期中）随着互联网的普及，网络购物得到了很好的发展.双十一期间，某服装公司在各大网络平台销售运动衣，经调研，每件衣服的售价(单位：元)与销量(单位：万件)之间满足关系式已知公司每年固定成本为万元，每生产万件衣服需要再投入万元设该公司一年内生产的衣服全部销售完.当公司销售万件衣服时，年利润为万元；当公司销售万件衣服时，年利润为万元． (1)写出年利润(万元)关于年销量万件的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，公司利润最大并求出最大利润． 21．（24-25高一上·黑龙江·期中）某公司生产某种电子仪器的固定成本为72万元，生产台的可变成本为万元.且，每台的销售价格为50万元，设总利润＝销售额－成本. (1)将总利润（单位；万元）表示为月产量的函数； (2)生产几台时，公司所获得的总利润最大？ (3)生产几台时，公司所获得的平均每台的利润最大？ 课后提升训练 1．（24-25高二下·福建漳州·期末）若，则的最小值为（   ） A．24 B．26 C．32 D．92 2．（24-25高二下·辽宁·期末）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广西崇左·期末）若（，），则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．12 D．49 4．（24-25高一下·云南昆明·期末）函数的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）函数（）的最大值为（    ） A． B．3 C．1 D． 6．（24-25高一下·陕西·期末）实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·辽宁·期末·多选）已知a，b均为正实数，且，则下列命题正确的有（   ） A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 8．（24-25高二下·福建福州·期末·多选）设正实数满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 9．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末·多选）已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（   ） A．xy的最大值为1 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 10．（24-25高二下·广东深圳·期末）若正实数，满足，则的最大值是 ． 11．（24-25高二下·四川凉山·期末）已知正实数，，满足，则的最小值为 . 12．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知，，且，则的最小值是 . 13．（24-25高一下·甘肃武威·期末）已知，且，则的最小值是 . 14．（24-25高一上·四川泸州·期末）若正数a，b满足：，则的最小值为 ． 15．（24-25高一上·湖南株洲·期末）近年来，伴随着骑行运动的蓬勃兴起，越来越多的体育爱好者投身于骑行的行列中，“2024环太湖国际公路自行车赛”更是为广大骑行爱好者提供了一场精彩绝伦的体育盛宴.科学研究表明：骑行运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为调整阶段.现一体重为60千克的专业骑行运动员进行4小时骑行训练，假设其稳定阶段是速度为的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），调整阶段由于体力消耗过大，速度变为的减速运动（表示该阶段所用时间）.调整阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力，已知该运动员初始体力为，不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题： (1)请写出该运动员剩余体力关于时间的函数； (2)该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？ 16．（24-25高一上·甘肃·期末）某企业年年初花费64万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用年后该设备的维修保养费用为万元，盈利总额为y万元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数）． 17．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知、均为正实数，. (1)若，求的最小值： (2)若，求的最小值. 18．（24-25高一上·贵州黔南·期末）在辽阔的中华大地上，农村的医疗服务一直是国家关注的焦点.随着时代的进步和社会的发展，国家正致力于提高农村医疗服务水平，以保障广大农民的健康权益.某公司为了满足市场需求，进一步增加市场竞争力，计划自主研发新型基础型CT机.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为200台.每生产x台，需另投入成本万元，且.由市场调研知，该产品每台的售价为150万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式.（利润销售收入成本） (2)当该产品的年产量为多少时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 19．（24-25高一上·四川眉山·期中）求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $基本不等式知识点与题型总结讲义 基本不等式知识点与题型总结讲义 考点目录 基本不等式的定义及其使用 利用基本不等式求最值----凑项与凑系数 利用基本不等式求最值----负数型 利用基本不等式求最值----分式型 利用基本不等式求最值----“”的妙用 利用基本不等式求最值----联立消元法与设“”法 利用基本不等式证明不等关系 基本不等式的实际应用 考点一 基本不等式的定义及其使用 【知识点解析】 1. 基本不等式原始形式 （1）若，则； （2）若，则. 2. 基本不等式一般形式（均值不等式） （1）若，则； （2）使用步骤：一正、二定、三相等. 3. 基本不等式的两个重要变形 （1）若，则； （2）若，则. 总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值. 【例题分析】 1．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若，则的最小值为（    ） A．13 B．26 C． D． 【答案】D 【详解】因，则，则， 等号成立时， 故的最小值为. 故选：D 2．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）若，则恒成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，当且仅当时等号成立， 因为恒成立，所以， 因为，， 其中，所以， 结合各选项知恒成立的一个充分条件为. 故选：B. 3．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【详解】因为，所以，由均值不等式得， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为2. 故选：B. 4．（24-25高一下·内蒙古·期末）的最小值为（   ） A． B． C．6 D．24 【答案】B 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为， 故选：B. 5．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】因为，要使根式有意义，则，所以，解得． 又，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为2． 故选：C. 6．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 当且仅当，，即时等号成立. 故选：C 7．（2025高二上·北京·学业考试）已知，且，则的最大值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】因为， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：D 8．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习·多选）下列函数的最小值为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立，，故A正确； 对于B，取，则，故B不正确； 对于C，，当且仅当，即时，等号成立，因为，故不是4，故C错误. 对于D，因为，所以， 故有基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：AD 考点二 利用基本不等式求最值----凑项与凑系数 【知识点解析】 1.凑项：形如，无法直接用基本不等式，可以把原式添项变形为，则可使用基本不等式. 2.凑系数：形如，无法直接用基本不等式，可以把原式凑系数变形为，则可使用基本不等式. 3.凑项与凑系数：形如，无法直接用基本不等式，可以把原式添项变形为，则可使用基本不等式. ※核心：当形式不一致，导致乘积或和无法称为定值时，可通过适当的凑项与凑系数使得式子符合要求. 【例题分析】 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【详解】因为，所以，故， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为7． 故选：D. 2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D． 【答案】D 【详解】因为，则，所以， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：D 3．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【详解】由题意，，故，根据基本不等式，， 当且仅当，即时等号成立． 此时函数的最小值为7. 故选：D. 4．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】C 【详解】由，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 5．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知，则函数的最小值为 ． 【答案】7 【详解】由于，则， 当且仅当，即时取到等号， 故最小值为7， 故答案为：7 6．（24-25高二下·河北·期末）已知函数，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 7．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，则的最大值是 ，的最大值是 ． 【答案】 1 【详解】时，和都为正值，，即和为定值． ，当且仅当，即时取等号，即的最大值是1． 由于时，和都为正值． ，当且仅当，即时取等号，即的最大值是． 8．（25-26高一上·甘肃武威·开学考试）已知，则的最小值为 ． 【答案】5 【详解】由，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为5. 故答案为：5. 9．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）求下列各式的最值 (1)已知，求的最大值. (2)当时，求的最大值； 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. （2）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为； 考点三 利用基本不等式求最值----负数型 【知识点解析】 负数型的处理思路： 若，则， 此时， 当且仅当取等号， 所以. ※核心：将两个负数转化为正数之后，即可利用基本不等式进行求解，注意最后再转化为负数. 【例题分析】 1．（24-25高二下·山东泰安·期末）已知，则有（   ） A．最大值0 B．最小值0 C．最大值 D．最小值 【答案】C 【详解】已知，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以已知，则有最大值. 故选：C. 2．（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值为． 故选:C． 3．（24-25高二下·湖南娄底·期中）已知，则的最大值是（   ） A．-1 B．1 C．4 D．7 【答案】B 【详解】由题意可得：， 因为，所以，当且仅当时取等号， 即 故选：B 4．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D． 【答案】D 【详解】因为，则，所以， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：D 5．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最大值为. 故选：C. 考点四 利用基本不等式求最值----分式型 【知识点解析】 1.形如，无法直接用基本不等式，可以上下同时除以，得，再使用基本不等式. 2.形如，无法直接用基本不等式，可以上下同时除以，得，再使用基本不等式. 3.形如，无法直接用基本不等式，分子需要进行分解，得到的形式，再使用基本不等式. 4. 可利用换元法将（3）转换为（2）进行处理. 【例题分析】 1．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 2．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）当时，函数的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，则，则， 当且仅当时，等号成立， 所以，当时，函数的最小值为. 故答案为：. 3．（24-25高三上·福建泉州·期中）函数在上的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：因为，，令，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值为． 故答案为： 4．（24-25高三上·吉林松原·阶段练习）若存在，使成立，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】解：依题意存在，使成立，即存在，使得，即，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值为，所以，即； 故答案为： 5．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）函数的最小值为 ． 【答案】 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 6．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）函数 的最大值为 . 【答案】/ 【详解】因为，则， 所以 ≤， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 【答案】4 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 8．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）求的最小值 . 【答案】9 【详解】 ， ，， ， 当且仅当即时，等号成立. 故答案为：9. 考点五 利用基本不等式求最值----“1”的妙用 【知识点解析】 1.“1”的直接使用 若，求的最值. 则，进而可以使用基本不等式求最值. 2.变形的“1” 变形一：若为非0常数，求的最值. 因为，所以，则. 进而可以使用基本不等式求最值. 变形二：若，求的最值. 因为，所以，所以. 所以 展开后可以使用基本不等式求最值. 3.隐藏的“1” 若求形如的最值. 因为两个分母隐藏关系满足. 所以. 展开后可以使用基本不等式求最值. 4.换元法：若，也可化为或，回代消元，进而利用基本不等式求最值. 【例题分析】 1．（25-26高三上·江苏扬州·阶段练习）设，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，， 则， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当，即，又，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 3．（25-26高三上·四川成都·开学考试）设，且，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】， 当且仅当，即时取等号. 故选：A. 4．（2025·广东梅州·模拟预测）已知，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】由得，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：D 5．（24-25高一上·上海嘉定·期末）若，则的最小值是 . 【答案】2 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是2. 故答案为：2. 6．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为    ， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 7．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】1 【详解】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当， 即，时，等号成立，所以的最小值为 故答案为：1 8．（24-25高二下·江苏南京·期末）若正实数x、y满足，则的最小值是 . 【答案】1 【详解】正实数x、y满足，故， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为1. 故答案为：1 9．（24-25高二下·江西上饶·期末）已知正实数满足，则的最小值为 ． 【答案】18 【详解】已知正实数满足，则 ，等号成立当且仅当， 所以的最小值为18. 故答案为：18. 10．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知且，则的最小值为 ． 【答案】9 【详解】由，得，令，则， 故， 当且仅当即时等号成立， 也即，即时，等号成立， 故的最小值为9． 故答案为：9. 考点六 利用基本不等式求最值----联立消元法与设“”法 【知识点解析】 1.若出现（其中、、、、），求的最值. 可先利用基本不等式得①式：. 再将化为②式：. 联立①②消去，即可解不等式，求解的取值范围. 2.若出现（其中、、、、），求的最值. 可先利用基本不等式得①式：. 再将化为②式：. 联立①②消去，即可解不等式，求解的取值范围. 3.设“”法：可令所求目标为新变量“”，回代使得原等式变为二次方程，利用判别式求最值 【例题分析】 1．（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【详解】由题设且，则， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值是0. 故选：A 2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解法1：因为实数满足，所以． 再由，可得（当且仅当时等号成立）， 解得，所以， 故的最大值为． 故选：A. 解法2：令，则，代入可得，， 整理得，得， 故． 故选：A. 3．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【详解】由有：， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 4．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习·多选）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】由得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，对 , ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错 因为，当且仅当时取等号， 解不等式得，故的最大值为，C对 ， 当且仅当即时取等号， 此时取得最小值，D正确 故选：ACD. 5．（25-26高三上·四川眉山·开学考试·多选）已知正数满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由，，得：； 对于A，, 当且仅当，结合，即，时等号成立，A错误； 对于B，， 当且仅当，结合，即，时取等号，B正确； 对于C，（当且仅当，即，时取等号）， ，解得：（当且仅当，时取等号），C错误； 对于D，（当且仅当，结合，即，时取等号）， 由C知：（当且仅当，时取等号）， （当且仅当，时取等号），D正确. 故选：BD 6．（24-25高三下·重庆·阶段练习）若，，且，则的最小值是 . 【答案】 【详解】由，则， 则， 当且仅当，即、时等号成立. 故答案为：. 7．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知，，若，则的最小值为 ；的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，所以 又因为 所以， 当且仅当时取等号，的最小值为． 因为，则， 所以， 因为，所以，所以 故答案为：；． 8．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知正数满足，则的最大值为 . 【答案】 【详解】已知正数满足， 根据基本不等式，（取等号）， 即，即， 于是，得到， 当时，时，的最大值为. 故答案为： 考点七 利用基本不等式证明不等关系 【例题分析】 1．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A. ∵（当且仅当时取等号）， ∴，当且仅当且时取等号. 选项A正确. B. ，当且仅当即时取等号. 选项B正确. C. ∵（当且仅当时取等号）， ∴. 选项C正确. D. ∵（当且仅当时取等号）， ∴. 选项D错误. 故选：D. 2．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知，则与之间的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【详解】 . 因为， 所以. 因为， 所以，即. 故选：B. 3．（24-25高三上·青海西宁·期中）已知，，则使成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，取，，显然有成立，但不成立，不符合题意. 对于B，由，得，所以，可推出，符合题意. 对于C，，可得，不符合题意. 对于D，由，得，因为，，所以，所以，不能推出，不符合题意. 故选：B． 4．（2024·河南·模拟预测）若，则使成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，易知当时满足，但此时不成立，可知A错误； 对于B，当，可知成立，但不成立，可知B错误； 对于C，由可得，即可得，即充分性成立； 当时，满足，但此时不成立，即必要性不成立，可得C正确； 对于D，当时，易知成立，此时不成立，可得D错误. 故选：C 5．（2025·重庆·一模）已知 ，则使 成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，令，显然有，但，A不是； 对于B，当，时，，B不是； 对于C，，显然有，但，C不是； 对于D，当，则，即， 反过来，令，不等式成立，而， D是. 故选：D 6．（24-25高一上·河北沧州·期末·多选）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】A.∵，且， ∴，当且仅当时，等号成立，解得，A错误． B.由A得，， 当且仅当时，等号成立，B正确． C.由A得，， ∴，当且仅当时，等号成立，C正确． D.∵， ∴，当且仅当时，等号成立，D正确． 故选：BCD. 7．（24-25高一上·福建泉州·期末·多选）设，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A，因为，， 所以，当且仅当且， 即时取等号，故A正确， B，因为，所以，当且仅当时取等号，故B错误， C，因为，当且仅当时取等号， 所以， 当且仅当时取等号，所以，即，故C正确， D，因为，当且仅当时取等号，故D正确； 故选：ACD. 8．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 【答案】②③④ 【详解】对于①，取，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，当，要证，即证， 即，即证， 而恒成立， 当时，，所以，故③正确. 对于④，，所以，故④正确. 故答案为：②③④. 9．（24-25高一上·湖南益阳·期末）（1）已知，求函数的最小值； （2）若，， 证明: . 【答案】（1）4；（2）证明见解析 【详解】（1），， 则． 当且仅当，即时等号成立． 所以函数的最小值为． （2），，， 即，当且仅当时等号成立． 10．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知． (1)若，证明：； (2)若，证明：； (3)若，证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）要证，因为，两边同时平方，即证. 展开得，已知，所以即证， 也就是证，即证. 对于，有，已知，所以，则， 当且仅当时等号成立. 所以得证. （2）根据二项式，将，代入可得： 整理得 因为，所以 已知，可得，即 ，当且仅当时取等号. 同时，由第一问可知（当且仅当时等号成立）. 将和代入可得： ，当且仅当时等号成立. 综上，若，得证. （3）因为，所以， 以上三个式子相加得， 所以，当且仅当时等号成立， 因为，且，所以， 所以，所以. 11．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，，求证：． 【答案】证明见解析；证明见解析 【详解】（1）证明：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴； （2）证明：∵，，，且， ∴ ，当且仅当时取等号． . 考点八 基本不等式的实际应用 【知识点解析】 1.周长、面积、体积问题：核心表示出边长. 2.工程问题：核心表示出工作总量、工作效率、工作时间. 3.行程问题：核心表示出路程、速度、时间. 4.销售问题：核心表示出单价、数量、总价. 5.利润问题：核心表示出总收入和总成本.（期中总收入可能直接给出，也可利用总价等于单价×数量） 6.增长率模型：，期中为起始值，为增长率，为增长轮之后的值. ※注意单位统一 【例题分析】 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，，则， 因为，即 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：B. 2．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）某学校后勤部采购一台设备原值（购买价格）为元，且设备每年折旧率相同，设备维修及动力消耗每年以元增加，且设备经过使用后的残值（剩余值）为零，则这台设备最佳更新年限为（    ） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】C 【详解】设这台设备使用年后更新，即最佳更新年限为年均设备费用（年折旧平均费用和年消耗平均费用）最小， 由题意可得，年消耗平均费用为元， 年折旧平均费用为元，则平均年总费用， 最佳更新年限为设备总费用（年折旧平均费用和年消耗平均费用）最小， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以这台设备最佳更新年限为， 故选：C． 3．（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】由可知，故， 当且仅当时，等号成立.于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米. 故选：B. 4．（24-25高一下·云南昆明·期中）我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（    ） A．12 B． C． D．15 【答案】B 【详解】因为直角三角形的斜边长等于5，设两直角边分别为a、b，则， 又因为， 所以，当且仅当时取“＝”， 故三角形周长的最大值为. 故选：B． 5．（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（   ） A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能 【答案】B 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的药品为克，右盘放的药品为克， 则，解得， ， 当且仅当时，取到等号，而，所以. 故选：B 6．（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习·多选）《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理不正确的是（   ） A．由图1和图2面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 【答案】ABD 【详解】对于A，由图1和图2面积相等得，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以，，， 因为，所以，整理得，故B错误； 对于C，因为D为斜边BC的中点，所以， 因为，所以，整理得，故C正确； 对于D，因为，所以，整理得，故D错误. 故选：ABD 7．（24-25高三上·江苏南通·开学考试·多选）一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好．（   ） A．若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为 B．若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变 C．若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好 D．若窗户面积第一次增加了m%，第二次增加了,地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差 【答案】BC 【详解】对于A，设该公寓窗户面积为，则地板面积为， 依题意有，解得， 所以，这所公寓的窗户面积至少为，故A错误； 对于B，记窗户面积为a和地板面积为b，同时窗户增加的面积为，同时地板增加的面积为， 由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 所以公寓采光效果不变，故B正确； 对于C，记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c. 由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 因为，且， 所以，即, 所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了， 故C正确； 对于D，记窗户面积为a和地板面积为b，则窗户增加后的面积为,地板增加后的面积为， 由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 因为， 又因为，所以， 因为，所以, 当时，采光效果不变， 所以无法判断公寓的采光效果是否变差了， 故D错误. 故选：BC. 8．（25-26高三上·广东·开学考试）两次购买同一种物品，现采用两种不同的策略进行购买，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．购物方式比较经济的是第 种，针对上述现象，对于任意两个正实数，，可得到不等关系是 ． 【答案】 二 ，（或者） 【详解】依题意，假设第一次价格为，第二次价格为，， 第一种方式购买的平均价格为， 第二种方式，设每次购买的花费为，则购买的平均价格为， 由基本不等式得， 所以选第二种方式比较经济； 不等关系是：，，等号成立时. 故答案为：二；， 9．（24-25高二下·天津·期末）勾股定理是初等几何中最精彩、最著名的定理之一，是几何学的明珠，它不仅揭示了直角三角形三边之间的数量关系，而且体现了“数形统一”的思想，对我们解决直角三角形类问题的帮助很大．如果一个直角三角形的周长等于，则该三角形面积的最大值为 ． 【答案】 【详解】设直角三角形的两直角边长分别为，则斜边长为， 因为直角三角形的周长为，所以， 由，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以，即三角形面积的最大值为. 故答案为：. 10．（24-25高一上·四川眉山·期中）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，则能围成的菜园面积的最大值为 . 【答案】 【详解】设矩形菜园的长为，宽为，可得， 则围成的菜园的面积， 当且仅当即时等号成立， 所以围成菜园的最大面积为. 故答案为：. 11．（24-25高一上·广东广州·期中）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】(1) (2)3万元 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. 当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 12．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． (1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ (3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 【答案】(1)长为，宽为 (2)每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为． (3)． 【详解】（1）由题得，即，，， 设每间虎笼的面积为，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以每间虎笼的长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大，最大为． （2）由题意可得，，，设钢筋网总长为，则， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时， 可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为． （3）依题意，得． 方法一： ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为． 方法二：，则，， 当且仅当时等号成立． 故，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为． 13．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】(1) (2) (3)3万元 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. （3）当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 14．（24-25高一上·浙江丽水·期末）如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. (1)当时，求的值； (2)设的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图，由矩形的周长为，，可知，. ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即，解得. （2）如图，由矩形的周长为，可知，， ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即， 解得， 所以. 所以的面积为 . 由基本不等式与不等式的性质，得， 当且仅当时，即当时，的面积最大， 面积的最大值为. 15．（24-25高一上·四川成都·期末）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值； (3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 【答案】(1)，其中，． (2) (3) 【详解】（1）由题设，则且； （2）由，得， 易知S是关于b的减函数，所以当b取最大值3m时，S取最小值． 故仓库占地面积的最小值为，此时． （3）解法一：由，得． 因为（当且仅当时取等号）． 所以，故，解得， 故（当且仅当时取等号）． 所以仓库容积的最大值为，此时． 解法二：由，得． 故． 因为（当且仅当时取等号）． 所以（当且仅当时取等号）． 故仓库容积的最大值为，此时． 16．（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为. (1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和关于的表达式； (2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时的值. 【答案】(1)，； (2)当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值为. 【分析】（1）根据条件列出函数关系式，再代入数值求，即可求解； （2）利用基本不等式求最值. 【详解】（1）由题意可知，， 因为时，，所以，解得：， 所以，； （2）因为，所以，， ， 当即时等号成立， 所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值为. 17．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为x米，宽为y米. (1)若育苗区面积为8平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为10米，求的最小值. 【答案】(1)育苗区的长为，宽为； (2) 【详解】（1）依题意，，所用篱笆总长为，而， 当且仅当，即，时取等号， 所以育苗区的长为，宽为时，所用篱笆总长最小. （2）依题意，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值. 18．（24-25高一上·福建福州·期中）某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元． (1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 【答案】(1) (2)当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元. 【详解】（1）当时， ， 当时， ， 故； （2）当时， ，故当百台时，取得最大值，最大值为万元， 当时， （万元）， 当且仅当，即时，等号成立， 由于，故当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元. 19．（23-24高一上·山东·期中）如图，海尔学校要建一个八边形的读书角，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为100m2的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；再在四个空角（四个三角形）上铺草坪，造价为80元/m2．设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m）．当x为何值时，最小？并求出这个最小值．注：． 【答案】时，的最小值为59000元 【详解】由题意，有，又，有， 故 ， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，取得最小值为59000元． 20．（24-25高二上·浙江温州·期中）随着互联网的普及，网络购物得到了很好的发展.双十一期间，某服装公司在各大网络平台销售运动衣，经调研，每件衣服的售价(单位：元)与销量(单位：万件)之间满足关系式已知公司每年固定成本为万元，每生产万件衣服需要再投入万元设该公司一年内生产的衣服全部销售完.当公司销售万件衣服时，年利润为万元；当公司销售万件衣服时，年利润为万元． (1)写出年利润(万元)关于年销量万件的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，公司利润最大并求出最大利润． 【答案】(1) (2)时，取得最大值为1150万元. 【详解】（1）因为当销售8万件衣服时，年利润为990万元， 所以，解得. 当销售20万件衣服时，年利润为1145万元， 所以，解得. 当时，； 当时， 所以 （2）当时，，所以； 当时，， 由于， 当且仅当，即时取等号，此时的最大值为1150， 综上可知，当时，取得最大值为1150万元. 21．（24-25高一上·黑龙江·期中）某公司生产某种电子仪器的固定成本为72万元，生产台的可变成本为万元.且，每台的销售价格为50万元，设总利润＝销售额－成本. (1)将总利润（单位；万元）表示为月产量的函数； (2)生产几台时，公司所获得的总利润最大？ (3)生产几台时，公司所获得的平均每台的利润最大？ 【答案】(1) (2)当生产10台时，公司所获得的总利润最大 (3)生产6台时，公司所获得的平均每台的利润最大 【详解】（1）由题意可知：. （2）因为，当且仅当时，等号成立 所以当生产10台时，公司所获得的总利润最大. （3）因为每台的平均利润为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以生产6台时，公司所获得的平均每台的利润最大. 课后提升训练 1．（24-25高二下·福建漳州·期末）若，则的最小值为（   ） A．24 B．26 C．32 D．92 【答案】C 【详解】因为， 所以， 由基本不等式可得，即， 当且仅当时取等，此时解得，， 则的最小值为32，故C正确. 故选：C 2．（24-25高二下·辽宁·期末）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以 ， 当且仅当，即，时取得等号． 故选：B. 3．（24-25高二下·广西崇左·期末）若（，），则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．12 D．49 【答案】B 【详解】由题设且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：B 4．（24-25高一下·云南昆明·期末）函数的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最小值为3. 故选：C. 5．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）函数（）的最大值为（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号. 所以，即（当时取等号）， 所以的最大值为 故选：D 6．（24-25高一下·陕西·期末）实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 7．（24-25高二下·辽宁·期末·多选）已知a，b均为正实数，且，则下列命题正确的有（   ） A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，因为a，b均为正实数，且， 所以， 因为，所以当时，的最小值为1，故A正确； 对于B，， 等号成立当且仅当，故B错误； 对于C，，等号成立当且仅当，故C正确； 对于D， ， 因为，所以，故D正确. 故选：ACD. 8．（24-25高二下·福建福州·期末·多选）设正实数满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，因为正实数满足，则， 所以， 当且仅当时，取等号，所以A正确， 对于B，因为， 当且仅当时，取等号，得到，所以B错误， 对于C，因为，当且仅当时，取等号，得到，所以C正确， 对于D，因为， 当且仅当时，取等号，所以D正确， 故选：ACD. 9．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末·多选）已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（   ） A．xy的最大值为1 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 【答案】ACD 【详解】正数x、y，满足， 对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ACD 10．（24-25高二下·广东深圳·期末）若正实数，满足，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】因为正实数，满足， 可由基本不等式可得：， 当且仅当取等号， 所以的最大值是， 故答案为： 11．（24-25高二下·四川凉山·期末）已知正实数，，满足，则的最小值为 . 【答案】3 【详解】， 又，为正实数，所以， 则，当时取等， 所以的最小值为3. 故答案为： 12．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知，，且，则的最小值是 . 【答案】9 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：9. 13．（24-25高一下·甘肃武威·期末）已知，且，则的最小值是 . 【答案】8 【详解】，且，则， 当且仅当，即，即时，等号成立. 的最小值是8. 故答案为：8 14．（24-25高一上·四川泸州·期末）若正数a，b满足：，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为正数a，b满足：，即， 所以， 当，且，得时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 15．（24-25高一上·湖南株洲·期末）近年来，伴随着骑行运动的蓬勃兴起，越来越多的体育爱好者投身于骑行的行列中，“2024环太湖国际公路自行车赛”更是为广大骑行爱好者提供了一场精彩绝伦的体育盛宴.科学研究表明：骑行运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为调整阶段.现一体重为60千克的专业骑行运动员进行4小时骑行训练，假设其稳定阶段是速度为的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），调整阶段由于体力消耗过大，速度变为的减速运动（表示该阶段所用时间）.调整阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力，已知该运动员初始体力为，不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题： (1)请写出该运动员剩余体力关于时间的函数； (2)该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？ 【答案】(1) (2)该运动员在时，体力达到最低值，为 【详解】（1）由题意写出速度关于时间的函数 代入与公式可得 即 （2）由一次函数性质得①稳定阶段中单调递减， 此过程中； ②调整阶段， 则有， 当且仅当，即时，等号成立， 所以调整阶段中体力最低值为， 由于， 因此该运动员在时，体力达到最低值，为. 16．（24-25高一上·甘肃·期末）某企业年年初花费64万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用年后该设备的维修保养费用为万元，盈利总额为y万元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数）． 【答案】(1) (2)10万元 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 则，因为（当且仅当时取等号）， 所以有万元， 故第8年年平均盈利额取得最大值，最大值为10万元. 17．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知、均为正实数，. (1)若，求的最小值： (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，则. 因为、均为正实数， 所以， 当且仅当时，即当，时取等号， 所以的最小值为. （2）当时，，可得，则， 所以，因为，，所以，进而得， 所以，. 所以， 当且仅当时，即当，时取等号， 所以的最小值为. 18．（24-25高一上·贵州黔南·期末）在辽阔的中华大地上，农村的医疗服务一直是国家关注的焦点.随着时代的进步和社会的发展，国家正致力于提高农村医疗服务水平，以保障广大农民的健康权益.某公司为了满足市场需求，进一步增加市场竞争力，计划自主研发新型基础型CT机.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为200台.每生产x台，需另投入成本万元，且.由市场调研知，该产品每台的售价为150万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式.（利润销售收入成本） (2)当该产品的年产量为多少时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)150台，万元 【详解】（1）当时，； 当时， ， 则. （2）当时，， 当时，万元. 当时， 万元. 当且仅当，即时，上式等号成立. 又，则当该产品的年产量为150台时， 该公司所获年利润最大，最大年利润是万元. 19．（24-25高一上·四川眉山·期中）求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，且，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，有最小值，最小值为； （2）因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为； （3）因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即，即时取等号， 故当时，有最小值，最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $