微考点 抽象函数的单调性6类常见考点全归纳讲义-备战2026年《考点通关》高考数学一轮考点归纳与解题策略(新高考地区专用)

微考点 抽象函数的单调性6类常见考点全归纳 备战2026年《考点通关》高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用) （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 单调性的判定与证明 考点二 解不等式 考点三 参数的确定 考点四 大小的判定 考点五 最值的求解 考点六 综合问题的应用 抽象函数中的单调性问题 抽象函数通常是指没有给出函数的具体解析式,只给出了其他一些条件(如函数的定义域、经过的特殊点、解析递推式、部分图像性质等)的函数问题,是高中与大学部分的一个衔接点.因为抽象函数无具体解析式,所以判断或应用其单调性比较困难,是高中数学学习中的一大难点.下面结合几类常见的有关抽象函数的单调性问题的技巧策略加以实例剖析. 一、单调性的判定与证明 合理借助函数的单调性的定义与相关性质,可以用来解决抽象函数单调性的判定或证明等相关问题.通过抽象函数的分析,结合函数单调性的定义,以及对应的条件加以判断对应抽象函数的单调性问题.解决此类问题的关键是把写成或者把写成(对应字母的顺序可以结合实际条件加以变换). 具体如下： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或 ; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或. 常见函数模型包括： Ⅰ：若，可认为函数为幂函数(的范围或数值需要其他条件确定)； Ⅱ：若，可认为函数为对数函数(的范围或数值需要其他条件确定)； Ⅲ：若，可认为函数为指数函数(的范围或数值需要其他条件确定)； Ⅳ：若，可认为函数为正比例函数或 Ⅵ：若，可认为是余弦函数. Ⅶ：若，可认为函数为一次函数或 题干 证明 已知函数满足任意的实数，都有，且当时，． 判断在上的单调性并证明． 设且，则 ， 因，则，故， 所以，即， 所以在上单调递增． 定义在上的函数满足当时，，且对任意的，，有．证明：是增函数． 法一：，且，令， 则，则， 因为，所以，， 所以，是增函数； 法二：，且， 所以， 由，得，又， 所以，即， 所以是增函数. 已知定义在上的函数，对任意的，恒有成立．若时，恒有，试判断在上的单调性，并说明理由． 在上为减函数，理由如下： 设，则， 又，故， 所以，即在上为减函数. 【典例1】已知定义在上的函数对任意实数,恒有,且当时,.求证:函数在上是减函数. 【解析】设,且,则,由条件知,当时,, 于是,从而, 所以,函数在上是减函数. 二、参数的确定 合理借助函数的单调性的定义与相关性质,可以用来破解已知不等条件背景下抽象函数的参数确定问题.通过抽象函数的单调性的分析,结合函数单调性的定义,建立起涉及参数的不等式(组),同时要注意在函数的定义域内讨论问题,进而通过求解不等式(组)来确定参数的取值问题. 【典例2】已知函数在区间(-1,1)上是减函数,又有成立,则实数的取值范围为_____. 【解析】由,得.由于函数在区间(-1,1)上是减函数, 根据函数单调性的定义,可得解得,所以实数的取值范围是. 故填答案:. 三、大小的判定 合理借助函数的单调性的定义与相关性质,可以用来判定一些涉及抽象函数的函数值的大小比较问题. 【典例3】若函数为上的增函数,对实数满足,试比较与的大小关系. 【解析】由,可得且. 由于函数为上的增函数, 可得, 结合不等式的性质,可得. 四、最值的求解 合理借助函数的单调性的定义与相关性质,可以用来求解给定区间背景下抽象函数的最值问题.求解函数在单调区间上的最值,其方法是根据单调函数的定义来解决,同时结合函数的奇偶性加以解决.而结合题目中的特征及关系式,利用函数的单调性和奇偶性,使问题解决得干净利索,别具一格,达到极佳的效果. 【典例4】已知函数对任意,总有,且当时,,,求函数在区间上的最值. 【解析】令,得;再令,得,所以函数为奇函数. 对任意,若,则,所以, 即,所以函数在上为减函数,则在区间上也必为减函数. 而,所以, 所以函数在区间上的取值范围为,即函数在区间上的最大值为2,最小值为-2. 五、综合问题的应用 合理借助函数的单调性的定义与相关性质,可以用来处理一些涉及抽象函数的综合应用问题.通过创新条件给出相应抽象函数的基本性质,结合抽象函数的单调性来合理转化与应用,进而把对应的抽象不等式与抽象函数的单调性加以合理链接,为进一步求解提供条件,背景新颖,创新应用. 【典例5】设是定义在上的函数,满足条件: (1); (2)； (3)在上是增函数. 如果,求实数的取值范围. 【解析】由于,令,可得.又,则有. 而,那么可化为 即.由于函数在上是增函数,可得解得, 故实数的取值范围为. 其实,函数的单调性是函数的重要性质之一,特别是有效融合进抽象函数,使得问题更加抽象,思维得以提升,素养得以培养,在解决单调性的判定与证明、参数的确定、大小的比较、求解函数值与最值以及综合应用等方面都有着广泛的应用,使得问题更具挑战性,在相关场合都有比较大的用途. 考点一 单调性的判定与证明 1．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数满足任意的实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并证明． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上，且，当时，． (1)求证：当时，； (2)求证：在上单调递减． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，对任意的，恒有成立． (1)求的值； (2)求证：当时，； (3)若时，恒有，试判断在上的单调性，并说明理由． 4．（2025高一·全国·专题练习）定义在上的函数满足当时，，且对任意的，，有．证明： (1)； (2)对任意的恒有； (3)是增函数． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足条件： ①对定义域上任意，都有；②当时，． (1)求证：； (2)求证：在上单调递增． 6．（2025高二·河北保定·阶段练习）已知函数在上满足，且当时，；当时，． (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若，求不等式的解集． 7．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； 考点二 解不等式 8．（25-26高三·甘肃兰州·阶段练习）已知定义在上的函数满足：，且当时，．则关于的不等式的解集为 ． 9．（25-26高三·安徽·阶段练习）已知的定义域为，且，对于任意正数x，y，都有，若当时，，则不等式的解集为 . 10．（25-26高一·全国·期末）已知函数的定义域为R，对任意的a，，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是 ． 11．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，对任意实数满足：，若时，恒成立，则满足不等式的实数的取值范围是 ． 12．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对于，，有，且，则不等式的解集为 ． 13．（2025高一·安徽合肥·期末）已知定义在上的函数满足：当时，，且对任意的，均有.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2025高一·江苏宿迁·期中）已知函数的定义域为，对任意的，若对任意的，有，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点三 参数的确定 15．（江苏省镇江市2025-2026学年高三学期期初监测数学试题）已知对于，恒有，且当时，.对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·江苏·模拟预测）已知定义在上的函数，对任意正数x，y满足，且当时，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（2025·全国·模拟预测）已知函数对任意恒有，且当时，．若存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（2025高一·四川南充·期中）已知函数的定义域为，，都有，且，都有，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（2025高二·黑龙江牡丹江·期末）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且，当时，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递减； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 20．（2025高一·河北保定·阶段练习）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； (3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 考点四 大小的判定 21．（2025高二·广东揭阳·期末）已知定义在上的函数，对任意，总有成立，且当时，．设，则（   ） A． B． C． D． 22．（2025高三·新疆·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，设，，则（   ） A． B． C． D． 考点五 最值的求解 23．（2025高三·山西大同·期末）已知函数对任意的实数x，y都有，且当时，，，则当时，的值域为 ． 24．（2025高二·河南周口·期末）函数对任意、总有，当时，，，则下列命题中正确的个数是（    ） ①是偶函数； ②是上的减函数； ③在上的最小值为； ④若，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 25．【多选】（2025·湖南·模拟预测）已知定义在R上的函数满足：对任意实数x，y，恒有，若，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的最小值为 C．为R上的增函数 D．关于x的不等式的解集为 考点六 综合问题的应用 26．（2025高一·河北保定·期末）已知定义域为的函数满足，，且时，，则下列说法正确的（    ） A． B．为减函数 C．为奇函数 D．不等式的解集为 27．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数满足，则下列结论不正确的是（    ） A． B．的定义域为 C．若在上单调递增 D．若，则 28．【多选】（25-26高三·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数的定义域为，且满足，则下列说法正确的有（   ） A． B．函数是奇函数 C． D．当时，，则在上单调递减 29．【多选】（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且，则（   ） A．是奇函数 B． C．有唯一极值点 D．单调递增 30．【多选】（25-26高一·全国·期中）已知定义在R上的函数满足：①是偶函数；②当时，；③当，时，．则（    ） A． B．在上单调递减 C．不等式的解集为 D． 31．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）已知定义在上的函数满足，且当时，，则（   ） A． B． C．在单调递增 D．是偶函数 32．【多选】（2025高二·辽宁·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，对，都有：①，②当时，，③当时，，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．在上单调递增 D． 33．【多选】（2025高二·福建三明·期末）已知函数是R上的奇函数，且过点，对于一切正实数m，n，都有.当时，恒成立，则（    ） A． B．方程所有根的和为 C．在上是单调函数 D．不等式的解集为 34．【多选】（2025高二·陕西西安·期末）已知函数是上的奇函数，且过点，对于一切正实数，都有，当时，恒成立，则（   ） A． B．在上是单调函数 C．当时， D．当时， 35．【多选】（2025高二·云南昆明·阶段练习）已知定义域为的函数不是常值函数，当时，，而且对任意的有，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．在上单调递减 D．若，则不等式的解集为 36．【多选】（2025高二·河北沧州·阶段练习）已知函数的定义域为，且满足，则下列说法正确的有（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．若当时，，则在上单调递增 37．【多选】（2025·山西·模拟预测）已知定义域为的函数满足：对任意的，，且当时，．则（   ） A． B．是偶函数 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 38．【多选】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数满足：①定义域为，②，③当时，，则（    ） A． B． C． D．若，则的取值范围为 39．【多选】（2025·重庆·模拟预测）已知函数对任意的都有，，且当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C．关于x的不等式的解集是 D． 40．【多选】（2025·江西南昌·模拟预测）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．可能是单调递减函数 C．为奇函数 D．若，则 41．【多选】（2025高三·山西·阶段练习）已知是定义在上的非常值函数，当时，，对任意的，都有，若，则（    ） A． B． C．在上单调递减 D．不等式的解集为 42．（25-26高一·湖南邵阳·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 43．（2025高一·黑龙江佳木斯·期中）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，，解不等式． 44．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足：对任意都有，当时，有． (1)判定在上的奇偶性，并说明理由； (2)判定在上的单调性，并给出证明； (3)求证：； 45．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数满足下列条件：①对任意，都有；②当时，有.求证： (1)是奇函数； (2)是单调递减函数； (3)，其中. 46．（25-26高一·河南驻马店·开学考试）已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. (1)证明：为奇函数. (2)证明：在上是减函数. (3)求不等式的解集. $微考点 抽象函数的单调性6类常见考点全归纳 备战2026年《考点通关》高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用) （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 单调性的判定与证明 考点二 解不等式 考点三 参数的确定 考点四 大小的判定 考点五 最值的求解 考点六 综合问题的应用 抽象函数中的单调性问题 抽象函数通常是指没有给出函数的具体解析式,只给出了其他一些条件(如函数的定义域、经过的特殊点、解析递推式、部分图像性质等)的函数问题,是高中与大学部分的一个衔接点.因为抽象函数无具体解析式,所以判断或应用其单调性比较困难,是高中数学学习中的一大难点.下面结合几类常见的有关抽象函数的单调性问题的技巧策略加以实例剖析. 一、单调性的判定与证明 合理借助函数的单调性的定义与相关性质,可以用来解决抽象函数单调性的判定或证明等相关问题.通过抽象函数的分析,结合函数单调性的定义,以及对应的条件加以判断对应抽象函数的单调性问题.解决此类问题的关键是把写成或者把写成(对应字母的顺序可以结合实际条件加以变换). 具体如下： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或 ; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或. 常见函数模型包括： Ⅰ：若，可认为函数为幂函数(的范围或数值需要其他条件确定)； Ⅱ：若，可认为函数为对数函数(的范围或数值需要其他条件确定)； Ⅲ：若，可认为函数为指数函数(的范围或数值需要其他条件确定)； Ⅳ：若，可认为函数为正比例函数或 Ⅵ：若，可认为是余弦函数. Ⅶ：若，可认为函数为一次函数或 题干 证明 已知函数满足任意的实数，都有，且当时，． 判断在上的单调性并证明． 设且，则 ， 因，则，故， 所以，即， 所以在上单调递增． 定义在上的函数满足当时，，且对任意的，，有．证明：是增函数． 法一：，且，令， 则，则， 因为，所以，， 所以，是增函数； 法二：，且， 所以， 由，得，又， 所以，即， 所以是增函数. 已知定义在上的函数，对任意的，恒有成立．若时，恒有，试判断在上的单调性，并说明理由． 在上为减函数，理由如下： 设，则， 又，故， 所以，即在上为减函数. 【典例1】已知定义在上的函数对任意实数,恒有,且当时,.求证:函数在上是减函数. 【解析】设,且,则,由条件知,当时,, 于是,从而, 所以,函数在上是减函数. 二、参数的确定 合理借助函数的单调性的定义与相关性质,可以用来破解已知不等条件背景下抽象函数的参数确定问题.通过抽象函数的单调性的分析,结合函数单调性的定义,建立起涉及参数的不等式(组),同时要注意在函数的定义域内讨论问题,进而通过求解不等式(组)来确定参数的取值问题. 【典例2】已知函数在区间(-1,1)上是减函数,又有成立,则实数的取值范围为_____. 【解析】由,得.由于函数在区间(-1,1)上是减函数, 根据函数单调性的定义,可得解得,所以实数的取值范围是. 故填答案:. 三、大小的判定 合理借助函数的单调性的定义与相关性质,可以用来判定一些涉及抽象函数的函数值的大小比较问题. 【典例3】若函数为上的增函数,对实数满足,试比较与的大小关系. 【解析】由,可得且. 由于函数为上的增函数, 可得, 结合不等式的性质,可得. 四、最值的求解 合理借助函数的单调性的定义与相关性质,可以用来求解给定区间背景下抽象函数的最值问题.求解函数在单调区间上的最值,其方法是根据单调函数的定义来解决,同时结合函数的奇偶性加以解决.而结合题目中的特征及关系式,利用函数的单调性和奇偶性,使问题解决得干净利索,别具一格,达到极佳的效果. 【典例4】已知函数对任意,总有,且当时,,,求函数在区间上的最值. 【解析】令,得;再令,得,所以函数为奇函数. 对任意,若,则,所以, 即,所以函数在上为减函数,则在区间上也必为减函数. 而,所以, 所以函数在区间上的取值范围为,即函数在区间上的最大值为2,最小值为-2. 五、综合问题的应用 合理借助函数的单调性的定义与相关性质,可以用来处理一些涉及抽象函数的综合应用问题.通过创新条件给出相应抽象函数的基本性质,结合抽象函数的单调性来合理转化与应用,进而把对应的抽象不等式与抽象函数的单调性加以合理链接,为进一步求解提供条件,背景新颖,创新应用. 【典例5】设是定义在上的函数,满足条件: (1); (2)； (3)在上是增函数. 如果,求实数的取值范围. 【解析】由于,令,可得.又,则有. 而,那么可化为 即.由于函数在上是增函数,可得解得, 故实数的取值范围为. 其实,函数的单调性是函数的重要性质之一,特别是有效融合进抽象函数,使得问题更加抽象,思维得以提升,素养得以培养,在解决单调性的判定与证明、参数的确定、大小的比较、求解函数值与最值以及综合应用等方面都有着广泛的应用,使得问题更具挑战性,在相关场合都有比较大的用途. 考点一 单调性的判定与证明 1．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数满足任意的实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并证明． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）对于给定的函数关系式赋值代入计算即得； （2）根据函数的单调性的定义，作差比较与的大小，此时需构造，利用题设性质证得即可． 【解析】（1）由题意，对任意的实数，都有， 令，则，所以． （2）在上单调递增． 证明如下：设且，则 ， 因，则，故， 所以，即， 所以在上单调递增． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上，且，当时，． (1)求证：当时，； (2)求证：在上单调递减． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数满足的表达式及其函数值，由并结合不等式性质可证明； （2）利用函数单调性定义证明即可. 【解析】（1）由题可知， 由，得， 而，当时，， 从而，即． 另解：，． （2）对于任意的，， 由于，所以有， 故， 即在上单调递减． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，对任意的，恒有成立． (1)求的值； (2)求证：当时，； (3)若时，恒有，试判断在上的单调性，并说明理由． 【答案】(1)0； (2)证明见解析； (3)在上为减函数，理由见解析. 【分析】（1）令并代入关系式，即可得； （2）利用关系式并结合（1）的结论，即可证； （3）应用单调性定义，设，则，即可得结论. 【解析】（1）令，则，故； （2）； （3）在上为减函数，理由如下： 设，则， 又，故， 所以，即在上为减函数. 4．（2025高一·全国·专题练习）定义在上的函数满足当时，，且对任意的，，有．证明： (1)； (2)对任意的恒有； (3)是增函数． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）令代入关系式，结合已知求值，即可证； （2）令得到，再由已知得，则，结合（1）结论，即可证； （3）法一：应用作商法，法二：应用作差法，结合函数单调性定义判断证明. 【解析】（1）令，则，又，故； （2）令，则，即， 由题意，当时，则，有， 所以，又， 所以； （3）法一：，且，令， 则，则， 因为，所以，， 所以，是增函数； 法二：，且， 所以， 由，得，又， 所以，即， 所以是增函数. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足条件： ①对定义域上任意，都有；②当时，． (1)求证：； (2)求证：在上单调递增． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用赋值法可得答案； （2）设，利用已知结合单调函数的定义可得答案． 【解析】（1）令得， 令，则，即； （2）设，则，故， 因为， 所以，即在上单调递增． 6．（2025高二·河北保定·阶段练习）已知函数在上满足，且当时，；当时，． (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)在R上单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）令得，再令并结合已知确定的值； （2）由得，讨论、，并结合及已知即可证； （3）首先求得，再依据单调性解不等式求解集. 【解析】（1）令，则，故，可得， 令，则， 当，则，即，与题设不符， 所以； （2）在R上单调递减，证明如下： 当时，；当时，， 由（1）知， 由， 当，即，，， 所以，即在上单调递减， 当，则，，， 所以，即在上单调递减， 综上，结合，易知在R上单调递减，得证. （3）令，则，故，即， 所以，则， 由（2）知，，即，可得或， 所以不等式解集为. 7．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用赋值法，求； （2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数. 【解析】（1）由， 故此令，则， 则. （2）设，是R上任意两个实数，且，令，， 则，所以， 由得，所以， 故，即， 故此函数为R上增函数. 考点二 解不等式 8．（25-26高三·甘肃兰州·阶段练习）已知定义在上的函数满足：，且当时，．则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由条件结合奇函数的定义证明为奇函数，再结合单调性定义证明为减函数，利用函数性质化简不等式可得，结合一元二次不等式解法求结论. 【解析】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为函数满足条件， 所以①，②， 由①可得， 所以，故， 所以函数为奇函数， 任取，且，则 ， 因为，所以，又当时，， 所以，故， 所以， 所以函数为减函数， 因为， 所以，又函数为奇函数， 所以，又函数为减函数， 所以，故 所以， 所以关于的不等式的解集为， 故答案为：. 9．（25-26高三·安徽·阶段练习）已知的定义域为，且，对于任意正数x，y，都有，若当时，，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用赋值法先求，进而得，利用定义法证单调性，最后利用单调性即可解不等式，进而求解. 【解析】由题意有：令有：， 令有：， 对任意的且，所以，即， 所以， 即，所以， 所以在上单调递增， 又，所以， 所以， 故答案为：. 10．（25-26高一·全国·期末）已知函数的定义域为R，对任意的a，，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】先由题设结合赋值法求出和，接着求出函数是单调递减函数，再利用函数单调性得，解该不等式即可得解. 【解析】因为对任意的a，，都有，，且， 所以，且． 设任意，则，则，又， 所以，若，则当时，， 则，矛盾，所以，所以，所以函数单调递减， 所以不等式等价于，所以， 故，即，解得． 所以不等式的解集是． 故答案为： 11．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，对任意实数满足：，若时，恒成立，则满足不等式的实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】观察抽象函数的特征式，易知其满足指数函数的函数性质，故采用特殊函数求解即可，本题也可以先运用单调性定义求出函数的单调性，再求解． 【解析】令，又，故， 对于任意的，又， ，故函数单调递减， 又不等式等价于，解得或． 故答案为：． 12．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对于，，有，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据单调性的定义得，在上为减函数，不等式化为，利用单调性得，解一元二次不等式即可． 【解析】对于，，有，，所以． 所以函数在上为减函数．令，易得其在上为减函数． 由，得． 由，得， 所以，即，得或． 故不等式的解集为． 故答案为： 13．（2025高一·安徽合肥·期末）已知定义在上的函数满足：当时，，且对任意的，均有.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得在上单调递减，由不等式即可求解. 【解析】解：令，得；再令，得， 故为上的奇函数， 设，且，则，得，即， 所以，得， 所以在上单调递减， 当时，得，即， 解得：， 故选：C 14．（2025高一·江苏宿迁·期中）已知函数的定义域为，对任意的，若对任意的，有，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数的奇偶性和单调性，再根据函数的性质，解抽象不等式. 【解析】令，有，得 令，，所以函数是奇函数， 由可知，当，，即，所以单调递减， 不等式， 所以，解得：. 故选：A 考点三 参数的确定 15．（江苏省镇江市2025-2026学年高三学期期初监测数学试题）已知对于，恒有，且当时，.对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知条件，恒有，运用特殊值法推出函数奇偶性，利用当时，，结合推出函数单调性，结合上述性质对不等式进行化简后构造函数并求导，结合导数分情况讨论得出实数的取值范围. 【解析】已知对于，恒有， 令，则， 令，则，所以为奇函数. 任取，则，已知当时，，则， 又，则， ，故为上的减函数，因， 由可得， 因为上的减函数，故对于恒成立， 令，则对于恒成立. 求导得， 当时，，在上单调递增，当时，，不合题意； 当时，令，解得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 在处取最小值， 要使恒成立，需使，即， 解得； 当时，，因为对于恒成立，符合题意. 综上，. 故选：B. 16．（2025·江苏·模拟预测）已知定义在上的函数，对任意正数x，y满足，且当时，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据变形得到，即，然后任取，从而可证明为增函数，可得到，再利用参数分离可得，再构造函数，利用导数求出的最大值，从而可求解. 【解析】由题意得对于任意正数，都有， 又因为，所以， 即，则得， 任意，则，因为，所以， 当时，，所以，则，所以， 所以函数在上单调递增，所以，且， 所以在时恒成立，即等价于在时恒成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，取到极大值也是最大值， 所以，故D正确. 故选：D. 17．（2025·全国·模拟预测）已知函数对任意恒有，且当时，．若存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：令，求出，令，可证得函数是奇函数，再由单调性的定义可得函数在上单调递增，进而可求出在区间上的最大值，则，解不等式即可求出实数的取值范围；法二：令可得函数的单调性，进而可求出在区间上的最大值，则，解不等式即可求出实数的取值范围. 【解析】法一：令，得，所以； 令，则有，即，则， 故是定义在上的奇函数． 设，则，又当时，， 则有，即， 则，故在上单调递增． 所以当时，． 又因为存在，使得成立， 所以，解得．故选D． 法二：令，则．因为， 当时，，所以，即函数在上单调递增． 因为存在，使得成立， 所以为在区间上的最大值． 因为在上单调递增，，所以， 所以．解得，即实数的取值范围为． 故选：D． 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于由赋值法证得函数在上单调递增，进而可求出在区间上的最大值，则，解不等式即可求出实数的取值范围. 18．（2025高一·四川南充·期中）已知函数的定义域为，，都有，且，都有，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】采用赋值法先分析的奇偶性，再根据条件得到的单调性，然后将函数值大小关系转化为自变量大小关系，从而可求结果. 【解析】因为，都有， 令，则，解得， 令，则，解得， 令，则， 又的定义域为关于原点对称，所以为偶函数； 因为，都有， 即，都有， 所以在上单调递减， 所以在上单调递减，所以在上单调递增， 又因为， 所以， 由此解得或， 故选：A. 19．（2025高二·黑龙江牡丹江·期末）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且，当时，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递减； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对进行赋值，计算即可求得答案； （2）利用函数的单调性定义结合题设条件推理证明即得； （3）利用（1）已得将不等式等价变形得到，再利用函数的单调性得到，求出函数的最小值，代入求解关于的一元二次不等式即可. 【解析】（1）由，取，可得：， 又当时，，则， 再取，可得：； （2）， ，且，则，依题， 则， 即在上单调递减； （3）由已知， 又由（1）得，则有， 因在上单调递减，则恒成立， 即恒成立，又， 则，解得， 故实数的取值范围为. 20．（2025高一·河北保定·阶段练习）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； (3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法，求； （2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数； （3）由原不等式可化为，化为，对任意的恒成立，可得恒成立，通过对勾函数性质求解实数的取值范围 【解析】（1）由， 故此令，则， 则； （2）设，是R上任意两个实数，且，令，， 则，所以， 由得，所以，故，即， 故此函数为R上增函数； （3）由已知条件得：， 故，，， ，由（2）可知在R上为增函数， ，即， 时，可得恒成立， 令， 由对勾函数性质可得在上单调递增， 所以， 所以 综上，. 考点四 大小的判定 21．（2025高二·广东揭阳·期末）已知定义在上的函数，对任意，总有成立，且当时，．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定函数的单调性，再构造函数并利用导数确定单调性并比较的大小即可. 【解析】，，而当时，，则， ，函数在上单调递减， 令函数，求导得，当时，， 函数在上单调递增，则，即， 因此，所以. 故选：B 22．（2025高三·新疆·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由单调性的定义证明在上为减函数，记，求导利用函数的单调性求解即可. 【解析】任取，，且，设，， 由，得， 即，所以， 所以在上为减函数， 记，则， 记，所以， 所以在上单调递增且， 所以当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， 所以， 所以恒成立，所以，即. 故选：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由已知条件结合单调性的定义证明函数的单调性，然后利用单调性判断函数值的大小. 考点五 最值的求解 23．（2025高三·山西大同·期末）已知函数对任意的实数x，y都有，且当时，，，则当时，的值域为 ． 【答案】 【分析】首先得出函数为增函数，且为奇函数，而函数是连续的，故只需求出端点函数值即可得解. 【解析】设任意的，则，所以． 又， 所以函数为增函数． 令，得； 令，则，而的定义域为关于原点对称，故为奇函数． 所以，， 所以在上的值域为． 故答案为：． 24．（2025高二·河南周口·期末）函数对任意、总有，当时，，，则下列命题中正确的个数是（    ） ①是偶函数； ②是上的减函数； ③在上的最小值为； ④若，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断①；利用函数单调性的定义可判断②；利用函数单调性可知在上的最小值为，利用赋值法求出的值，可判断③；将所求不等式变形为，结合函数的单调性解此不等式，可判断④. 【解析】对于①，取，则，解得， 令，则，即，且函数的定义域是， 所以函数是奇函数，故①错误； 对于②，令、，且，则， 因为当时，，所以， 则，即， 函数是上的减函数，故②正确； 对于③，因为函数是上的减函数， 所以函数在上的最小值为， 又， ，故， 在上的最小值为，故③错误； 对于④，，即， 因为函数是上的减函数，所以，解得， 所以实数的取值范围为，故④正确， 故选：B. 25．【多选】（2025·湖南·模拟预测）已知定义在R上的函数满足：对任意实数x，y，恒有，若，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的最小值为 C．为R上的增函数 D．关于x的不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，赋值推理判断AB；利用函数单调性定义推理判断C；将不等式等价转化，再利用单调性求解. 【解析】对于A，令，则，而，解得，A正确； 对于B，令，则，，假设存在使得， 对任意实数x，有， 此时为常数函数，与矛盾，即不存在使得，则，B错误； 对于C，由，得， ，且，则，又当时，，则， 又恒成立，因此 ， 即，因此为R上的增函数，C正确； 对于D，，则， ，不等式 ，令，由，即， 解得或，即或，而为R上的增函数，， 于是或，不等式的解集为，D正确. 故选：ACD 考点六 综合问题的应用 26．（2025高一·河北保定·期末）已知定义域为的函数满足，，且时，，则下列说法正确的（    ） A． B．为减函数 C．为奇函数 D．不等式的解集为 【答案】D 【分析】首先令得到，令，求出可判断A；当时，由可得进而确定单调性可判断B；令，结合得可判断C；根据的单调性和解不等式可判断D. 【解析】令，则，得， 对于A，令，则，故A错误； 对于B，若，则，此时， 所以， 即时，，所以为上的增函数，故B错误； 对于C，令，则，所以， 不满足，所以不是奇函数，故C错误； 对于D，因为为上的增函数，且， 所以当时，；当时，， 不等式的解集为，故D正确. 故选：D 27．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数满足，则下列结论不正确的是（    ） A． B．的定义域为 C．若在上单调递增 D．若，则 【答案】B 【分析】应用赋值法计算求解得出判断A，B，应用已知关系式得出函数再结合导函数得出单调性判断C，应用赋值法结合等差数列通项公式计算判断D. 【解析】令，可得，所以，A选项正确； 令，可得，所以不成立，所以的定义域不是，B选项不正确； 因为，所以，， 因为，所以，，， 当时，，在上单调递增，C选项正确； 若，令，可得， 所以，所以为等差数列， 所以，则，D选项正确； 故选：B. 28．【多选】（25-26高三·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数的定义域为，且满足，则下列说法正确的有（   ） A． B．函数是奇函数 C． D．当时，，则在上单调递减 【答案】AB 【分析】取，解出判断A，取解得，再取结合奇函数的定义判断B，取特殊值判断C，设，则，代入结合单调性的定义判断D. 【解析】取得，解得，A说法正确； 取得，解得， 取得，是偶函数， 所以且定义域，所以是奇函数，B说法正确； 由知，当时，不成立，C说法错误； 设，则，， 所以在上单调递增，D说法错误； 故选：AB 29．【多选】（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且，则（   ） A．是奇函数 B． C．有唯一极值点 D．单调递增 【答案】AB 【分析】根据已知函数等式，通过赋值及奇函数的概念判断AB；根据特值法判断CD. 【解析】对B，函数的定义域为， 令，得，故B正确； 对A，令，得，又， ，是奇函数，故A正确； 对CD，由题可取满足题意，而函数无极值，且不是严格单调递增函数，故CD错误. 故选：AB. 30．【多选】（25-26高一·全国·期中）已知定义在R上的函数满足：①是偶函数；②当时，；③当，时，．则（    ） A． B．在上单调递减 C．不等式的解集为 D． 【答案】AC 【分析】方法一：对于A，由条件③令，，结合条件②可得；对于B，结合条件与单调性定义求解；对于C，不等式等价于，结合的单调性及奇偶性求解；对于D，令判断即可． 方法二：构造函数判断即可． 【解析】方法一：对于A，由条件③当，时，， 令，，得：， 又由条件②得，∴，A正确； 对于B，取，，且，则 ， ∵，∴，，∴， ∴，即，∴在上单调递增，B不正确； 对于C，∵，， ∴不等式等价于， 又在上单调递增，且由条件①得是偶函数， ∴，∴解集为，C正确； 对于D，令，则，， 此时不成立，D错误． 方法二：构造函数，符合条件①②． ，故A正确； 时，，在上单调递增，故B不正确； ，则即为，则，解集为，故C正确； 令，则，， 此时不成立，D错误． 故选：AC． 31．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）已知定义在上的函数满足，且当时，，则（   ） A． B． C．在单调递增 D．是偶函数 【答案】ACD 【分析】利用赋值法判断AB，利用函数单调性和奇偶性的定义判断CD即可. 【解析】令，得，解得正确； 令，得1，即，解得，B错误； 令，且，则， 因为当时，，所以，即，所以在单调递增，C正确； 令，则，由B项知1，则，故是偶函数，D正确； 故选：ACD 32．【多选】（2025高二·辽宁·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，对，都有：①，②当时，，③当时，，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．在上单调递增 D． 【答案】BCD 【分析】根据对称性直接可得函数的对称轴，再根据定义法可判断函数的单调性，利用赋值法可判断函数的奇偶性，进而根据函数的性质分别判断各选项. 【解析】由，可知曲线关于直线对称，所以为偶函数， 由已知当时，， 令，可得，则， 令，可得，即函数为奇函数，即函数关于中心对称， A选项错误，B选项正确； 设，则，即， 所以在上单调递增，则在上单调递增， 又的图象是一条连续不断的曲线，且， 所以在上单调递增，C选项正确； 由，，得， 则，所以， 所以是以为一个周期的周期函数， 所以，， 易知在上单调递减，且， 所以，D选项正确； 故选：BCD. 33．【多选】（2025高二·福建三明·期末）已知函数是R上的奇函数，且过点，对于一切正实数m，n，都有.当时，恒成立，则（    ） A． B．方程所有根的和为 C．在上是单调函数 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】对于A，赋值即可判断；对于B，分别赋值、和求出和即可判断；对于C，探究在上的单调性，结合、和函数奇偶性即可判断；对于D，由函数单调性以及研究特殊值，，即可得解. 【解析】由题， 对于A：令，，所以A正确； 对于C：当时，，得， 故，即 又即， 所以，设， 则， 因为，所以， ， 因为当时，恒成立， 所以，即， 故在上单调递增， 又，，且函数是上的奇函数， 则在上是单调递增，所以C正确； 对于B：方程的根即为或的根， 因为在上单调递增，在上是单调递增， 所以有两个根， 令， ，得； 令，，则； 所以有两个根为， 因为在上单调递增，在上是单调递增，所以有3个根， 令，，得， 因为函数是奇函数，所以， 令，，得， 所以有3个根为， 方程所有根的和为，所以B不正确； 对于D：当时， 因为在上单调递增，，，所以； 当时，因为，，， ，， 由奇函数在上单调递增，所以； 所以即时，.所以D正确. 故选：ACD． 34．【多选】（2025高二·陕西西安·期末）已知函数是上的奇函数，且过点，对于一切正实数，都有，当时，恒成立，则（   ） A． B．在上是单调函数 C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】利用赋值法计算判断AC；举例说明判断B；利用函数单调性定义探讨单调性并求出范围判断D. 【解析】对一切正实数，都有，， 对于A，令，，得； 令，，得，A正确； 对于B，由函数是上的奇函数，得， 因此函数在上不单调，B错误； 对于C，令，则，因此，C正确； 对于D，，，，而当时，， 则， ， 函数在上单调递增，在上单调递增， 而， 当时，由，即，得， ，， ， 当时，， 解得， 因此当时，，D正确. 故选：ACD. 35．【多选】（2025高二·云南昆明·阶段练习）已知定义域为的函数不是常值函数，当时，，而且对任意的有，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．在上单调递减 D．若，则不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】A令求出，再令确定具体值；B令即可；C利用单调性的定义证明；D令得出是偶函数，再将问题转化为，结合单调性即可求出. 【解析】对于A，令，则有，得或， 但当时，， 与不是常值函数矛盾，故，故A正确； 对于B，令，则， 则， 当，则，故， 故，故B正确； 对于C，任取，令，则， 则，故在上单调递增，故C错误； 对于D，令可得：， 故是偶函数， 又，于是原不等式可转化为， 又由在上单调递增可得：，解得：， 故不等式的解集为，故D正确. 故选：ABD. 36．【多选】（2025高二·河北沧州·阶段练习）已知函数的定义域为，且满足，则下列说法正确的有（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．若当时，，则在上单调递增 【答案】ABD 【分析】根据给定的函数方程，利用赋值法，结合奇函数定义、单调性定义逐项判断. 【解析】对于A，取，得，则，A正确； 对于B，取，得，则，对，取， 得，则，函数是奇函数，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，，则，由当时，，得， 因此，在上单调递增，D正确. 故选：ABD 37．【多选】（2025·山西·模拟预测）已知定义域为的函数满足：对任意的，，且当时，．则（   ） A． B．是偶函数 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】ABD 【分析】利用代入法，结合偶函数，单调性的定义逐一判断即可． 【解析】A选项，令，则，所以，A正确； B选项，令，则， 所以，令，则， 所以是偶函数，B正确； CD选项，任取，且，则， 因为，所以，因此，，即， 所以在区间上单调递减，C错误，D正确． 故选：ABD． 38．【多选】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数满足：①定义域为，②，③当时，，则（    ） A． B． C． D．若，则的取值范围为 【答案】BC 【分析】用赋值法先令求得，再令即可求得，进而判断A、B；任取，则，由函数单调性的定义判断C；令可判断奇偶性，利用奇偶性与单调性解不等式判断D. 【解析】在中， 令得，则， 令得，则， 故，，故A错，B对； 对于C，设，则， 由，得， 所以， 则在上是增函数，从而，故C正确； 对于D，令得，即， 所以是偶函数，故等价于， 又在上是增函数，所以， 解得且，故D错误. 故选：BC. 39．【多选】（2025·重庆·模拟预测）已知函数对任意的都有，，且当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C．关于x的不等式的解集是 D． 【答案】ACD 【分析】对于A，结合，利用赋值法依次求出即可判断；对于B，通过选项A中的函数值的规律即可判断；对于C，运用定义法证明函数在上的单调性，将代入后，运用函数单调性将其化成一元二次不等式求解即得；对于D，令，代入已知式，根据递推性质即可证明结论. 【解析】对于A，在中，， 取，可得，解得， 再取，可得， 再取，可得，故A正确； 对于B，由A项可知，，故B错误； 对于C， 不妨设，则， 设，则，因当时，，则有， 由可得，即函数在上是增函数. 取易得，则， 故等价于，故得，解得或， 故不等式的解集是，故C正确； 对于D，将都取为，则得， 故，故D正确. 故选：ACD. 40．【多选】（2025·江西南昌·模拟预测）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．可能是单调递减函数 C．为奇函数 D．若，则 【答案】ACD 【分析】由单调函数性质，奇函数定义结合赋值法可判断各选项正误. 【解析】因为定义在R上的单调函数，则，. 对于A，令，则或， 若，则对，取，都有，不满足单调函数性质， 故，故A正确； 对于B，令，则或（舍），则， 因，结合为定义在R上的单调函数，则只能是单调递增函数； 对于C，令，则（舍）， 则，取，取， 则，又定义为R，则为奇函数，故C正确； 对于D，令，则，令， 则， 则，故D正确. 故选：ACD 41．【多选】（2025高三·山西·阶段练习）已知是定义在上的非常值函数，当时，，对任意的，都有，若，则（    ） A． B． C．在上单调递减 D．不等式的解集为 【答案】BC 【分析】利用赋值法求解判断AB；根据单调性的定义判断C;根据函数的单调性解不等式判断D 【解析】对于A，令x为任意实数，则， ∵是非常值函数，∴，故A错误； 对于B，令x为任意实数，，得， 令，∴，故B正确； 对于C，∵， 当时，，∴，∴当，， ∴对任意恒成立， 任取，则，即， 所以在上单调递减，故C正确； 对于D，令，得， 令，得， 再由可知， 又∵在上单调递减，∴不等式等价于， 解得或，故D错误. 故选：BC 42．（25-26高一·湖南邵阳·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析 (2)函数在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）利用函的奇偶性和单调性求解即可. 【解析】（1）函数是奇函数， 证明：令，则，解得， 令，则，令，则． 为定义在上的奇函数． （2）函数在上单调递减， 证明：，设，则， ， ，，． 又，， 又当时，，由（1）知为定义在上的奇函数． 则当时，，， ，即，即， 在上单调递减； （3）因为， 由（1）知为定义在上的奇函数， 则， 的定义域为且在上是单调递减的， 解得， 不等式的解集为． 43．（2025高一·黑龙江佳木斯·期中）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，，解不等式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知条件结合函数单调性的定义证明； （2）利用赋值法求得，再利用（1）求出的函数单调性解不等式． 【解析】（1）设，且，则，即， ∴， ∴，∴是上的增函数； （2）∵，∴， 在上式中取，则有， ∵，∴， 于是不等式等价于， 又由（1）知是上的增函数， ∴，解得或， ∴原不等式的解集为． 44．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足：对任意都有，当时，有． (1)判定在上的奇偶性，并说明理由； (2)判定在上的单调性，并给出证明； (3)求证：； 【答案】(1)在上是奇函数，理由见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先利用赋值法判断，再利用赋值法得，进而利用奇函数的概念证明即可． （2）结合抽象函数的运算，利用单调性的定义按照步骤证明即可． （3），然后求和得，由得，即可证明． 【解析】（1）函数的定义域为，令，得． 令，得，即， 所以在上是奇函数． （2）设，则， 由，得． 因为当时，所以， 即，从而在上单调递减． （3） ， 故 ， 又且，故， 从而． 45．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数满足下列条件：①对任意，都有；②当时，有.求证： (1)是奇函数； (2)是单调递减函数； (3)，其中. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由奇函数的定义及特殊值即可证明； （2）由单调性的定义,做差证明； （3）先由题中已知的恒等式赋值,得出要求数列的通项,再利用裂项求和的方法求得不等式左边的最简形式,最后比较左右两边的大小关系,即可得证． 【解析】（1）令，代入得到. 令，得，即. 所以在上是奇函数. （2）设，则. 因为，所以，. 又因为，所以且， 所以：，所以. 所以，. 所以在上是单调递减函数. （3）， 所以. 因为，所以. 所以. 故. 46．（25-26高一·河南驻马店·开学考试）已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. (1)证明：为奇函数. (2)证明：在上是减函数. (3)求不等式的解集. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）令、，结合奇偶性定义即可证； （2）设有，结合已知和单调性定义即可证； （3）利用奇偶性、单调性，化不等式为，即可求解集. 【解析】（1）令，则，所以， 令，则， 所以且定义域为R，故为奇函数； （2）设，因为， 所以， 所以， 因为，所以，所以，故在上单调递减； （3）因为为奇函数，且，所以， 不等式化为， 因为在上单调递减，所以，即，解得， 即不等式的解集是. $