精品解析：湖北省黄冈市2026届高三上学期九月调研考试数学试题

黄冈市2025年高三年级9月调研考试数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则集合（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解指数不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】由，解得，则，而， 所以. 故选：C 2. 已知命题，则（　　） A. 是假命题， B. 是假命题， C. 是真命题， D. 是真命题， 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数判断命题的真假，再根据全称量词命题的否定是存在量词命题写出，可判断各选项的准确性. 【详解】设，则. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为. 所以对恒成立. 所以成立，即命题为真命题. 因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以. 故选：D 3. 已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义，利用点与圆上点的距离的最大值去求的最大值即可. 【详解】表示以为圆心，为半径的圆， 则圆心C到点的距离， 则的最大值为. 故选：A 4. 已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】. 当且仅当，即时取等号. 故选：B 5. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：（　　），） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设至少经过小时后才能安全驾驶，由题意可得，进而求解即可. 【详解】设至少经过小时后才能安全驾驶， 则满足：，化简得：， 根据是增函数可得：，即， 因为，所以， 所以他至少要经过2小时后才能驾驶. 故选：B. 6. 已知函数，分别为的图象两条相邻对称轴上的动点，向量，，为得到函数的图象，需要将的图象（　　） A. 先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 C. 先向右平移个单位长度，再向下平移3个单位长度 D. 先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的几何意义可得出的图象的两条相邻对称轴之间的距离，进而得出，再利用图象变换依次得出满足各个选项条件的解析式即可. 【详解】设在上的投影向量为，则， 因，则，， 因分别为的图象的两条相邻对称轴上的动点，则， 得， 故，， 将的图象按照各个选项的条件变化分别得到满足以下解析式的函数图象： A： B：， C：， D： ，故符合题意的只有B选项. 故选：B 7. 若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用平方关系得到，进而得，再代入，利用和差角的余弦公式，计算即得. 【详解】由两边取平方，可得①， 由，两边取平方，可得②， 由①②得到，整理得到， 又，解得，即， 将其代入，可得，即， 即，所以， 故得. 故选：A. 8. 高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的称号．称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如，则下列说法正确的是（　　） A. 在上单调递增 B. C. 若，则的值域为 D. 若，则的值域为 【答案】D 【解析】 【分析】用特例判断选项；求出值域，利用高斯函数定义求，判断. 【详解】对于A：由题意，故A错； 对于B：因为当时，，所以，故B错； 对于C：， 当时，；当时，， 所以的值域为，故C错； 对于D：， ，当时，；当时，， 所以的值域为，故D正确． 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（　　） A. B. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 C. 终边落在直线上的角的集合是 D. 函数的定义域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角函数符号法则判断A；利用扇形弧长、面积公式计算判断B；求出角的集合表达式判断C；利用正切函数求出定义域判断D. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，设扇形半径为，由圆心角为的扇形的面积为，得， 解得，因此扇形的弧长为，B正确； 对于C，终边落在射线上的角集合为， 终边落在射线上的角集合为， 因此终边落在直线上的角的集合是，C错误； 对于D，由，得， 因此函数的定义域为，D正确. 故选：ABD 10. 定义在上的函数和，为奇函数，为偶函数，且，则（　　） A. B. C. 的图象关于对称 D. 8为的一个周期 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：由为奇函数可得，再利用，从而可消去，即可得解；对B：由为偶函数可得，再利用，从而可消去，即可得解；对C：借助B中所得，结合赋值法计算即可得；对D：结合A中所得及为偶函数计算即可得. 【详解】对A：由为奇函数，则， 故，由， 则，且有， 即，则， 令，则，即，故A错误； 对B：由为偶函数，则， 由，则、， 故，又， 则，则，则， 由，则，故， 故，故B正确； 对C：由，则的图象关于对称，故C正确； 对D：由，则， 又，则，则， 则，即， 即8为的一个周期，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. 若方程有两个不相等的实根，则 D. 若不等式对恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用导数求出函数的单调区间，由单调性的应用即可判断；对于B，由即可判断；对于C,由题可得则,令,可得,,从而将问题转化为证,构造函数,结合导数研究函数的最小值即可求解；对于D，将问题转化为，当时，，由于在上单调递增可得，即在时恒成立，构造函数,结合导数求出函数的最小值即可求解. 【详解】对于A，,则,所以当,,则在上单调递减，当时，,则在上单调递增，所以,故A正确； 对于B,由于,由于,所以,则，故B不正确； 对于C，,由A选项不妨假设,则,则,令,则,所以,解得：,, 要证，即证,即证,设,则,所以在上单调递增，则，则,所以,故C正确． 对于D,在恒成立，即在恒成立， 则，当时，，由于在上单调递增，， 即在时恒成立，令,则,令,解得：,所以在上单调递增， 令,解得：,所以在上单调递减，则,所以,故D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题先求出、，再化简代入求值即可. 【详解】解：∵ ，，， ∴ 或 ①当且时， ； ②当且时， . 故答案为：1. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，二倍角公式，是基础题. 13. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用奇、偶函数的定义，列出方程组，求解即得函数解析式，结合辅助角公式和正弦函数的性质即可求得函数最大值. 【详解】因为偶函数，则①， 又为奇函数，则②， 由①－②，整理得，则，其中， 故当时，即时，的最大值为. 故答案为：. 14. 已知的内角的对边分别为，其内切圆半径，则边长的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】解法一：由题设易得，，，，结合基本不等式可得，设的内切圆与边相切于点，结合图形可得，进而求解即可； 解法二：由题设结合平方关系、等面积法易得，结合余弦定理可得，，进而得到，结合基本不等式可得，进而求解即可. 【详解】解法一：由，即，则，同理， 而，解得， 设的内切圆与边相切于点， 而， 则， 即，当且仅当时等号成立， 所以， 由图可知， ， 则边长的最小值为. 解法二：由，得， 由，得①， 由余弦定理有 ， 则②，显然． 由①②整理得， 解得或（舍去）， 则，当时等号成立， 则边长的最小值为. 故答案为；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设函数的图象在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）求函数的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）利用复合函数的值域即可求解. 【小问1详解】 ， 依题意知：， . 【小问2详解】 . 当，即时，取得最小值， 最小值为. 16. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用正弦的和角公式及倍角公式得，再结合条件，即可求解； （2）根据条件得，由可得或，再结合条件，即可求解. 【小问1详解】 ， 又的最小正周期为，，则，所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 由时，得到，所以或 即或， 因为在区间上有且仅有3个零点， 由，令，得；令，得； 由，令，得；，得； 所以， 故的取值范围是. 17. 已知函数是偶函数． （1）求的值； （2）若，，，不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数定义即可求出m的值； （2）求出的表达式，对进行变量分离，得，再结合对勾函数的单调性求出的最大值即可． 【小问1详解】 是偶函数，，即， 即，而， ． 【小问2详解】 ，， ，又，， 而对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 当，，， ，， ，令，， 而在上单调递增，在上单调递减， 的取值范围是． 18. 在中，角的对边分别为，向量，且，点为边上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，的周长为19，求的长度； （3）若是边上靠近点A的一个三等分点，，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量运算可得，然后由正弦定理边角互化可得答案； （2）由题及余弦定理可得，然后由（1）结合可得答案； （3）解法一：设，，然后在，中利用正弦定理可得 ，然后由三角函数性质可得答案；解法二：由题，又可得，然后由正弦定理边角互化可得，据此可得答案. 【小问1详解】 且 ，即. . 又，则，结合，； 【小问2详解】 而 为角的角平分线 . 即，； 【小问3详解】 设，则； 设，则. 在中即 在中 即， 则. 又，，而， ， 由和差化积公式可得. 则. ，； 解法二：， ， . ． . ， . 19. 已知函数． （1）若，试讨论的单调性； （2）若函数是的一个极值点． （i）当时，证明：； （ii）当时，的零点从小到大依次排列构成一个数列，记为．证明：． 【答案】（1） 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增 （2） 由，求导得， 依题意，，解得，此时，经检验符合题意. （i）要证，即证， 成立. 令，，则， 设 ，，则. ①当时，，则在上单调递增，而， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增. 故，即时，. ②当时，，，则. 综上，当时，，即得证. （ii）由（i），，则由，即， 当时，恒成立，此时无零点， 当时， ①若，则，由（i）知在上单调递增，在上单调递减， 而，故存在，使， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 而，故， ②当时， 由①同理可证：， 由①②有， 是的零点，，即， 在上单调递减，， ，，即， ， 而， ， 故. 【解析】 【分析】（1）对函数求导后，根据参数的取值分类讨论导函数的正负，即得函数的单调性； （2）（i）令，分和两种情况，在时，通过求导判断其单调性，求得函数极值即可证明；在时，利用函数的有界性和不等式性质即可证明；（ii）先判断当时，无零点；依题分析当时，分和两种情况分析，在时，存在，使，分析得出；在时，同理可证：，由可得，借助于即可证明. 【小问1详解】 已知函数的定义域为，且， 当时，由可得，由可得， 故在上单调递增，在上单调递减； 当时，由可得，由可得， 故在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄冈市2025年高三年级9月调研考试数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则集合（　　） A. B. C. D. 2. 已知命题，则（　　） A. 是假命题， B. 是假命题， C. 是真命题， D. 是真命题， 3. 已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　） A. B. C. 2 D. 4. 已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 5. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：（　　），） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知函数，分别为的图象两条相邻对称轴上的动点，向量，，为得到函数的图象，需要将的图象（　　） A. 先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 C. 先向右平移个单位长度，再向下平移3个单位长度 D. 先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 7. 若，则（　　） A. B. C. D. 8. 高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的称号．称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如，则下列说法正确的是（　　） A. 在上单调递增 B. C. 若，则的值域为 D. 若，则的值域为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（　　） A. B. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 C. 终边落在直线上的角的集合是 D. 函数的定义域为 10. 定义在上的函数和，为奇函数，为偶函数，且，则（　　） A. B. C. 的图象关于对称 D. 8为的一个周期 11. 已知函数，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. 若方程有两个不相等的实根，则 D. 若不等式对恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________． 13. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则的最大值为___________． 14. 已知的内角的对边分别为，其内切圆半径，则边长的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设函数的图象在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）求函数的最小值． 16. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围． 17. 已知函数是偶函数． （1）求的值； （2）若，，，不等式对任意恒成立，求的取值范围． 18. 在中，角的对边分别为，向量，且，点为边上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，的周长为19，求的长度； （3）若是边上靠近点A的一个三等分点，，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）若，试讨论的单调性； （2）若函数是的一个极值点． （i）当时，证明：； （ii）当时，的零点从小到大依次排列构成一个数列，记为．证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $