精品解析：湖南省长沙市北雅中学2025-2026学年上学期八年级入学数学试卷

2025-2026学年湖南省长沙市北雅中学八年级（上）入学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 把无理数表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． 根据无理数的估算求出各个无理数的取值范围，由此即可得出答案． 【详解】解：∵；，即；；； ∴在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是， 故选：C； 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键，根据不等式的基本性质逐一进行分析判断即可． 【详解】A.由，两边同时加上b，可得，故A选项正确，符合题意； B. 由，两边同时减去c，得，故B选项错误，不符合题意； C. 由，当时，，当时，，当时，，故C选项错误，不符合题意； D.由 ，当时，，当时，，故D选项错误，不符合题意； 故选：A． 3. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】原式利用平方根定义及二次根式的性质判断即可得到结果. 【详解】、原式，不符合题意； 、原式，不符合题意； 、原式没有意义，不符合题意； 、原式，符合题意. 故选. 【点睛】此题考查了算术平方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 4. 每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础，为了解某校800名初三学生的睡眠时间，从17个班级中抽取100名学生进行调查，下列说法正确的是（ ） A. 800名学生是总体 B. 100是样本容量 C. 17个班级是抽取的一个样本 D. 每名学生是个体 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查总体、个体、样本、样本容量的概念。总体是研究对象的全体，个体是总体中的每个对象，样本是被抽取的部分个体，样本容量是样本中个体的数目． 总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量，据此判断即可． 【分析】解：A选项错误，总体是800名初三学生的睡眠时间，而非学生本身； B选项正确，样本容量是被抽取的个体数目，即100； C选项错误，样本是抽取的100名学生的睡眠时间，而非17个班级； D选项错误，个体是每名学生的睡眠时间，而非学生本身； 故选：B 5. 有4根长度分别为2、4、6、7的木条，从中任意选出三根，其中能构成三角形的有（　　） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，从中任意选出三根，有4种情况，由三角形三边关系定理判定即可． 【详解】解：从中任意选出三根，有以下4种情况：2、4、6，2、4、7，2、6、7，4、6、7， ，不能构成三角形， ，不能构成三角形， ，能构成三角形， ，能构成三角形， 所以其中能构成三角形的有2种． 故选：B． 6. 如图，于点E，于点，且，若利用“”证明，则需添加的条件是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定，掌握运用“”证明直角三角形全等成为解题的关键. 题目中已经给出一对直角边相等，再添加斜边对应相等即可证明结论． 【详解】解：在和中， ， ∴． 所以需要添加的条件是． 故选：A． 7. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人； 根据题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键． 8. 俄罗斯方块是一款经典休闲益智游戏，如图是小宇玩俄罗斯方块时某一时刻的截图，若在以为原点建立的平面直角坐标系中，小宇将上方的方块先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后，点恰好落在点处，则上方的方块移动前点所在位置的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标平移的性质：上下平移只改变点的纵坐标，上加下减；左右平移只改变点的横坐标，左减右加，据此求解即可． 【详解】点先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后的位置为点， 将点先向上移动6个格于，再向右移动2个格子后得到点 ∴上方的方块移动前点所在位置的坐标为， 故选：C． 9. 过一点画已知直线的平行线（ ） A. 有且只有一条 B. 不存在 C. 有两条 D. 不存在或有且只有一条 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：分点在直线上和点在直线外两种情况解答． 解：若点在直线上，过这点不能画已知直线的平行线； 若点在直线外，根据平行公理，有且只有一条直线与已知直线平行． 故选D． 点评：此题的关键在分类讨论，是易错题． 10. 如图，已知AC平分，于E，，则下列结论①；②；③；④．其中，正确结论的个数（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①直线AB上取点F，使EF=BE，①直线AB上取点F，使EF=BE，即可得到△BCE和△FCE全等，再由AB=AD+2BE即可求解； ②由①可证明△ACD和△ACF全等，再根据即可求解； ③由②即可得解； ④由②即可得解． 【详解】解：①在AE取点F，使． 在Rt△BCE与Rt△FCE中， ∴， ∴△BCE≌△FCE， ，， ， ， ， ，故①正确； ②AB上取点F，使，连接CF． 在与中，，，， ， ． 垂直平分BF， ， ． 又， ， ，故②正确； ③由②知，，， 又， ，故③正确； ④易证， ， 又， ， ，故④正确． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 如图，这是小明同学在体育课上跳远测量的方法，其中蕴含的数学道理是________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查了垂线段的性质在实际生活中的应用．根据垂线段最短解答． 【详解】解：测量的依据是：垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 13. 如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】作于F，根据角平分线的性质定理得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过E作于F， ∵是边上的高线，平分， ∴， ∵， ∴的面积为， 14. 一个零件的形状如图，按规定．已知，要判断这个零件是否合格，只要检验的度数就可以了．量得，这个零件______（填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角知识，熟练掌握三角形的外角性质，连接并延长是解题的关键； 连接并延长，根据三角形的外角的性质得到，，因此，即可作出判断． 【详解】解：连接并延长，如图： 由三角形的外角性质可得，，， ∴，， ∴ ， ∴这个零件符合规定，是合格的． 故答案为：合格． 15. 若关于x，y的方程组的解x与y互为相反数，则k的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主考查二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握方程组的解以及解二元一次方程组是解题的关键． 根据方程组的解x与y互为相反数，即可将替换成，解关于与的方程即可． 【详解】解：∵x与y互为相反数， ∴，即， 把代入，可得：， 解得：， 故答案为：1； 16. 已知关于的不等式组的解集是，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先用、表示出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，然后根据即可得到关于和的方程，求得和的值，代入即可求解，根据不等式组的解求出得到关于和的方程是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∵不等式的解集为， ∴，， 解得：，， ∴． 三、解答题：本题共9小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算立方根和算术平方根，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 求下列各式中x的值： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】此题考查了运用平方根解方程的能力，熟练掌握平方根的概念是解题的关键． （1）整理后，直接运用平方根的定义进行求解即可； （2）运用平方根的定义进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 解得：； 【小问2详解】 解：， ， 解得：或． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，将平移得到，其中的对应点是； （1）写出点，的对应点，的坐标：_____，_____； （2）在图中画出； （3）设点在轴上，且的面积等于的面积，求出点的坐标． 【答案】（1）， （2） 解：，，， 如图， 即为所求． （3）或 【解析】 【分析】本题考查平移，格点三角形的面积，解题的关键是正确找出对应点的位置． （1）由点及其对应点的坐标，可得平移方式，从而可得点，的对应点，的坐标； （2）根据，，的坐标，描点，连线，即可得； （3）根据轴上的点的坐标特征，设出点的坐标，由面积相等列方程，求解即可得点的坐标． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴将向右平移个单位，向下平移个单位，得到， ∵，， ∴，，，， ∴，， 故答案为：，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设点的坐标为， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得，，或， ∴点的坐标为或． 20. 请将下列证明过程补充完整：如图，已知，，，求证：． 证明：， ； ； ∴ （同位角相等，两直线平行）； ∴ ； ∵（已知）； ∴ ； ∴（ ）； ∴（ ）． 【答案】已知；垂线的定义；；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，由垂直的定义得出，进而可得出，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，进而可得出，最后根据平行线的性质进而可证明． 【详解】证明：∵，（已知）， ∴（垂线的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）； ∴，（内错角相等，两直线平行）； ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：已知；垂线的定义；；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 21. 如图，已知AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F． （1）求证：△ABH≌△DEG； （2）求证：CE＝FB． 【答案】（1） 证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF， ∴∠DEG＝∠ABH＝90°， 在Rt△ABH和Rt△DEG中， ∵， ∴Rt△ABH≌Rt△DEG（HL）； （2） 证明：∵Rt△ABH≌Rt△DEG（HL）， ∴AB＝DE， 在△ABC和△DEF中， ∵， ∴△ABC≌△DEF（AAS）， ∴BC＝EF， ∴CE＝FB． 【解析】 【分析】（1）由可证明； （2）证明．得出，则可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、垂直的定义；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 22. 我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了150亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃，若用380元可购进种娃娃7件，种娃娃8件；用340元可购进种娃娃11件，种娃娃4件． （1）求、两种娃娃的进价分别为多少？ （2）若每件种娃娃售价为25元，每件种娃娃售价为37元，某商店准备用不超过900元购进两种娃娃40件，且这两种娃娃全部售出后总获利不低于216元，问共有几种方案并求出利润最大值？ 【答案】（1）A、B两种娃娃的进价分别为20元、30元 （2）一共有3种方案，当购进种30件，种10件时，获得最大利润220元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设A、B两种娃娃的进价分别为元、元，然后根据题意可得方程组为，进而求解即可； （2）设商店准备购进A种娃娃a件 ，则购进B种娃娃件，由（1）即题意可得，然后分别求出利润即可． 【小问1详解】 解：设、两种娃娃的进价分别为元、元．根据题意得： 解得； 答：A、B两种娃娃的进价分别为20元、30元． 【小问2详解】 设商店准备购进A种娃娃a件，根据题意可得： 解得：； 故共有3种方案． 当，利润：（元）， 当，利润：元）， 当，利润：（元）， 答：一共有3种方案，当购进种30件，种10件时，获得最大利润220元． 23. （1）如图1，在中，的平分线相交于点F，，求的度数； （2）如图2，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若． ①求的度数； ②求的度数． 【答案】（1）；（2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角平分线的性质和判定定理，三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据三角形内角和为180度求出，再根据角平分线的定义得出，最后利用三角形内角和定理求解即可； （2）①根据三角形外角的性质得出，，再由角平分线的定义得出，进而求解即可； ②作于E，于F，于G，根据角平分线的性质定理得出，再由角平分线的判定定理证明平分，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的平分线相交于点F， ∴， ∴； （2）解：①在中，， 在中，， ∵分别是和的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； ②作于E，于F，于G， ∵的平分线与内角平分线交于点P， ∴， ∴， ∴平分， ∴． 24. 已知在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点P是第一象限内一动点． （1）如图1，若动点满足，求点P的坐标； （2）如图2，在第（1）问的条件下，且， ①求点B的坐标； ②当，求的值． （3）如图3，若，且，若动点P满足，问：的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其值． 【答案】（1）； （2）①；②6； （3）的值不会变化，它的值为2 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的应用，点的坐标的特征，垂直的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解决本题的关键． （1）利用非负数的意义求得a，b的值即可得出结论． （2）①过点P作于点E，轴于点F，利用矩形的判定与性质和全等三角形的判定与性质求得，则结论可求； ②通过证明，得到，则． （3）过点B作于点H，设，交于点K，利用线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质得到，；再利用得到，则，结论可求． 【小问1详解】 解：， ，， ，． ． 【小问2详解】 解：①过点作于点，轴于点，如图， ，，轴于点， 四边形为正方形， ，， ． 点的坐标是， ， . ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ； ②， ，， . ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：的值不会发生变化，它的值为，理由： 过点作于点，设，交于点，如图， ，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， . 在和中， ， ， ，. 在和中， ， ， ． ， ． 25. 我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： （1）不等式组的“长度”______；“整点”为______； （2）若不等式组的“长度”，求a的取值范围； （3）若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；， （2） （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）先整理不等式得出，分和两种情况，根据及列不等式完成不等式的解集即可得答案； （3）分情况，根据得出值，得出不等式组，用表示不等式组的解集，根据恰有4个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【小问1详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为， 故答案为：；，； 【小问2详解】 解： 解不等式得：， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得，, ∴ 当时，方程组解为：， 满足题意， 综上所述：的取值范围． 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 当时，不等式的解集为， ∴，不符合， 当时，不等式的解集为， ∵， ∴， 解得：， 当时，不等式的解集为， ∴， 解得：， 当，不等式的解集为， ∴， 解得：，当时，，不符合， 当或，方程组无解， 综上所述：， ∴为， 解不等式组得：， ∵关于y的不等式组恰有4个“整点”， ∴， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年湖南省长沙市北雅中学八年级（上）入学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 把无理数表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是（　　） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础，为了解某校800名初三学生的睡眠时间，从17个班级中抽取100名学生进行调查，下列说法正确的是（ ） A. 800名学生是总体 B. 100是样本容量 C. 17个班级是抽取的一个样本 D. 每名学生是个体 5. 有4根长度分别为2、4、6、7的木条，从中任意选出三根，其中能构成三角形的有（　　） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 6. 如图，于点E，于点，且，若利用“”证明，则需添加的条件是（ ）． A. B. C. D. 7. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 俄罗斯方块是一款经典休闲益智游戏，如图是小宇玩俄罗斯方块时某一时刻的截图，若在以为原点建立的平面直角坐标系中，小宇将上方的方块先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后，点恰好落在点处，则上方的方块移动前点所在位置的坐标为（　　） A. B. C. D. 9. 过一点画已知直线的平行线（ ） A. 有且只有一条 B. 不存在 C. 有两条 D. 不存在或有且只有一条 10. 如图，已知AC平分，于E，，则下列结论①；②；③；④．其中，正确结论的个数（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 如图，这是小明同学在体育课上跳远测量的方法，其中蕴含的数学道理是________． 12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 13. 如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 14. 一个零件的形状如图，按规定．已知，要判断这个零件是否合格，只要检验的度数就可以了．量得，这个零件______（填“合格”或“不合格”）． 15. 若关于x，y的方程组的解x与y互为相反数，则k的值为______． 16. 已知关于的不等式组的解集是，则_____． 三、解答题：本题共9小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 求下列各式中x的值： （1）； （2）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，将平移得到，其中的对应点是； （1）写出点，的对应点，的坐标：_____，_____； （2）在图中画出； （3）设点在轴上，且的面积等于的面积，求出点的坐标． 20. 请将下列证明过程补充完整：如图，已知，，，求证：． 证明：， ； ； ∴ （同位角相等，两直线平行）； ∴ ； ∵（已知）； ∴ ； ∴（ ）； ∴（ ）． 21. 如图，已知AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F． （1）求证：△ABH≌△DEG； （2）求证：CE＝FB． 22. 我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了150亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃，若用380元可购进种娃娃7件，种娃娃8件；用340元可购进种娃娃11件，种娃娃4件． （1）求、两种娃娃的进价分别为多少？ （2）若每件种娃娃售价为25元，每件种娃娃售价为37元，某商店准备用不超过900元购进两种娃娃40件，且这两种娃娃全部售出后总获利不低于216元，问共有几种方案并求出利润最大值？ 23. （1）如图1，在中，的平分线相交于点F，，求的度数； （2）如图2，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若． ①求的度数； ②求的度数． 24. 已知在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点P是第一象限内一动点． （1）如图1，若动点满足，求点P的坐标； （2）如图2，在第（1）问的条件下，且， ①求点B的坐标； ②当，求的值． （3）如图3，若，且，若动点P满足，问：的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其值． 25. 我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： （1）不等式组的“长度”______；“整点”为______； （2）若不等式组的“长度”，求a的取值范围； （3）若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $