第15章 易错重难提升专练&专题最短路径问题- 【重点班提分练】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习册（人教版2024）

.AP=AC, ∴.∠APD=∠ACQ. rAP=AC, 在△APD和△ACQ中，{∠APD=∠ACQ, PD=CQ, .△APD≌△ACQ(SAS), ∴.AD=AQ,∠PAD=∠CAQ, ∴.∠BAC=∠CAQ+∠BAQ=∠PAD+∠BAQ= ∠BAD+∠BAQ=∠DAQ=60°， ∴.△ADQ为等边三角形， ∴.AD=DQ, .CD=DQ+CQ=AD+DP=AD+DB. 易错重难提升专练 1.解：当∠B为等腰三角形ABC的顶角时，此时 ∠A=∠C=180°-LB_180°-50 2 =65°； 2 当∠B为等腰三角形ABC的底角时，此时另 一底角为50°，顶角为180°-50°-50°=80°. 综上所述，另外两个角分别是65°，65°或 50°，80°. 2.解：当6是腰长时，等腰三角形的三边长分别 为6,6,5，能组成三角形，周长=6+6+5=17； 当6是底边长时，等腰三角形的三边长分别 为6,5,5，能组成三角形，周长=6+5+5=16. 综上所述，这个等腰三角形的周长为17或16. 3.解：在等腰三角形ABC中，AB=AC,BD为腰 AC上的高，∠ABD=40° 当BD在△ABC内部时，如图1. A B 图1 …31 BD为高， ∴.∠ADB=90°， ∴.∠BAD=90°-∠ABD=90°-40°=50. AB=AC, 1 ∠ABG=∠C=)(180°-∠BAD (180°-50°)=65°. 当BD在△ABC外部时，如图2. D 图2 BD为高， ∴.∠ADB=90°， ∴.∠BAD=90°-∠ABD=90°-40°=50°. AB=AC, ∴.∠ABC=∠C. .∠BAD=∠ABC+∠C, 1 ·LC=2∠BAD=250 综上所述，这个等腰三角形的底角的度数为 65或25°. 4.解：(1)设当点M,N运动xs时，M,N两点 重合， 则x×1+12=2x, 解得x=12, 即当点M,N运动12s时，M,N两点重合. (2)如图1，设当点M,N运动ts时，可得到 等边三角形AMN,此时AM=t×1=t,AN=AB BN=12-2t. M 图1 ,△AMN是等边三角形， .AM=AN,即t=12-2t, 解得t=4, ∴.当点M,N运动4s时，可得到等边三角形 AMN. (3)当点M,N在BC边上运动时，能得到以 MN为底边的等腰三角形AMN. 由(1)可知，当点M,N运动12s时，M,N两 点重合，此时恰好在C处， 如图2，假设△AMN是等腰三角形，AN=AM, B 图2 .∴.∠AMN=∠ANM,∴.∠AMC=∠ANB. BC=AC, ∴.∠C=∠B. 在△ACM和△ABN中， r∠AMC=∠ANB, ∠C=∠B, AC=AB, ∴.△ACM≌△ABN(AAS), .∴.CM=BN. 设当点M,N在BC边上运动，点M,N运动的 时间为ys时，△AMN是等腰三角形，易知 12≤y≤18， ∴.CM=（y-12)cm,BN=3×12-2y=36- 2y(cm), .y-12=36-2y, 解得y=16,故假设成立， ∴.当点M,N在BC边上运动时，能得到以 MN为底边的等腰三角形AMN,此时点M,N 运动的时间为16s. 专题最短路径问题 1.解：如图，连接PB B D 'AB=AC,AD是BD边上的中线， 32 ∴.AD垂直平分BC, ∴.PB=PC, .PC+PE=PB+PE. .PE+PB≥BE, ∴.当P,B,E三点共线时，PB+PE的值最小， 最小值为BE的长度， 即PC+PE的最小值是6. 2.解：MN垂直平分AC,∴.MA=MC. CABNG BM+MC +BC BM+MA+BC 20cm, AB=BM+MA=12 cm, ∴.BC=20-12=8(cm). 如图，点P在直线MN上，连接PA,PB,PC. B MN垂直平分AC,.PA=PC, ∴.PA-PB=PC-PB. PC-PB≤BC,∴.当P,B,C三点共线时， PC-PB有最大值，此时PC-PB=BC=8cm, 即PA-PB的最大值是8cm. 3.解：如图，作点C关于A0的对称点C',连接 C'M,C'0, ∴.OC'=OC,C'M=CM, ∴.CM+MN=C'M+MW, ∴.当C',M,N三点共线且C'N⊥OB时，C'M+ MN有最小值，即CM+MN有最小值，最小值 为CN. 又∠AOC=∠B0C=10°，∠C'OM=∠C0M, ∴.∠C'0N=30°. 在m△c0N中，cW=0c=寸0c=10, ∴.CM+MN的最小值为10. 4.解：如图，分别作点A关于直线BC和直线CD 的对称点A',A",连接A'A",交BC于点E,交 CD于点F,则FA=FA”,EA=EA',易知A'A"的 长为△AEF的周长的最小值. A D A .∠DAB=140°， .∴.∠A'+∠A"=180°-140°=40° 由轴对称的性质，得∠EAA'=∠A',∠FAD= ∠A", ∴.∠EAA'+∠FAD=40°， ∴.∠EAF=∠DAB-(∠EAA'+∠FAD)=140°- 40°=100°. 链接中考 1.BA.,OE⊥0F,∴.∠B0E+∠B0F=90°，由 对称可得∠AOB=∠DOC.,点E,F分别是 底边AB,CD的中点，△OAB与△ODC都是等 腰三角形，∠BOE=2∠A0B,∠DOF= )∠D0C,LB0E=LD0P,÷LD0F ∠BOF=90°，∴.OB1OD,结论正确，故不符 合题意；B.∠BOC不一定等于∠AOB,结论错 误，故符合题意；C.由对称可得△OAB≌ △ODC.点E,F分别是底边AB,CD的中 点，∴.OE=OF,结论正确，故不符合题意； D.如图，过点O作GM⊥OH,则∠GOD+ ∠D0H=90°..·∠BOH+∠D0H=90°， ∴.∠GOD=∠BOH,由对称可得∠BOH= ∠COH,∴.∠GOD=∠COH.同理可证 ∠AOM=∠BOH,∴.∠BOC+∠AOD=∠AOM+ ∠G0D+∠AOD=180°，结论正确，故不符合 题意. 3 B 2.C如图，连接AD. E B D :∠BAC=90°，AB=AC=6,D为BC的中点， AE=CF,∴.∠BAD=∠B=∠C=45°，∴.AD= BD=DC,∴.△ADE≌△CDF(SAS), .S四边形AEDP=S△ADE+S△ADF=SACDF+SAADF= 5ac-2om又5ar-2 1 1 AB·AC= 2 6x 1 6=18,Sa边形40=2564ac=9, 3.(1)证明：在△ABC和△ADE中， rAB=AD, ∠B=∠D, BC=DE, ∴.△ABC≌△ADE(SAS). (2)解：，：△ABC≌△ADE,∠BAC=60°， ∴.AC=AE,∠CAE=∠BAC=60°， ∴.△ACE是等边三角形， ∴.∠ACE=60. 4.C如图，过点E作EM∥BD,交AC于点M. C D :△ABC是等边三角形，AB=a,∴.AC=BC= AB=a,∠A=∠B=∠ACB=60°.EM∥ BD,∴.∠AEM=∠B=60°，∠AME=∠ACB= 60°，∠MEF=∠D,∴.∠A=∠AEM= ∠AME,∴.△AEM是等边三角形，∴.AE=AM= EM..·AE=CD,∴.ME=CD.在△EMF和 3重点班提分练数学八年级上册 易错重难 练)易错 易错点1》等腰三角形的角与边的分类 讨论 (1)等腰三角形中如果只知道一个角，需要 就这个角是顶角还是底角进行分类讨论.讨论 时还应注意利用三角形的内角和来排除不可能 情况；(2)等腰三角形中如果只知道边长，需要 就这条边是底边还是腰进行分类讨论.讨论时 还应注意利用三角形的三边关系来排除不可能 情况。 1.在等腰三角形ABC中，∠B=50°，求另外两 个角的度数 2.已知等腰三角形的两条边长分别为5和6， 求这个等腰三角形的周长。 易错点2》等腰三角形腰与腰上的高夹 角的分类讨论 等腰三角形腰上的高可能在三角形内部， 也可能在三角形外部，需要分类讨论 3.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角 为40°，求这个等腰三角形的底角的度数 46 提升专练 码 绝 重点题讲解 练重难 重难点》动点与等腰三角形存在性问题 设未知数表示线段长，追及、相遇时刻即为 重合时刻 4.如图，在△ABC中，AB=BC=AC=12cm, 现有点M,N分别从点A,B同时出发，沿 △ABC的边运动.已知点M的速度为 1cm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第1 次运动到点B时，点M,N同时停止运动. (1)当点M,N运动几秒时，M,N两点重合？ (2)当点M,N运动几秒时，可得到等边三 角形AMW? (3)当点M,N在BC边上运动时，能得到以 MN为底边的等腰三角形AMN吗？若 能得到，请求出此时点M,N运动的 时间. M ←NB 第十五章轴对称 专题 最短路径问题 码 重点题讲解 改 专题点1线段之和的最小值 专题点3 利用“垂线段最短”解决线 段和的最短问题 求线段之和的最小值时，利用对称性，连接 已知点和另一点的对称点，与对称轴的交点即 利用对称性得到等线段，然后利用“垂线段 为所求.关键点：动点所在的直线是对称轴、 最短”化折为直. 1.如图，在△ABC中，AB=AC,AD,BE是3.如图，已知∠A0C=∠B0C=10°，0C=20, △ABC的两条中线，AD=5,BE=6,P是 在OA上找一点M,在OB上找一点N,求 AD上的一个动点，连接PE,PC,求PC+ CM+MN的最小值， PE的最小值 专题点2线段之差的最大值 专题点4 利用“两点之间，线段最短” 解决线段和的最短问题 利用对称性得到等线段，从而通过三边关 需要作两次对称，然后利用“两点之间，线 系确定两线段之差的最大值， 段最短”化折为直。 2.如图，在△ABC中，AB=AC,AC的垂直平分 4.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°， 线交AC于点N,交AB于点M,AB=12cm, ∠BAD=140°，点E,F分别为BC和CD上 △BMC的周长是20cm.若点P在直线MW 的动点，连接AE,AF,EF.当△AEF的周长 上，求PA-PB的最大值， 最小时，求∠EAF的度数 47