第14章 专题添加辅助线构造全等三角形&链接中考- 【重点班提分练】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习册（人教版2024）

第十四章全等三角形 专题添加辅助线构造全等三角形 扫 码 批 点题讲解 改 专题点1>添加公共边构造全等三角形3.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB, 若无公共边，可连接两点构造公共边，将待 垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面 证问题转化到有公共边的两个全等三角形中. 积分别为48和26，求△FDE的面积. 1.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AD= BC,且DE=BF,求证：BE=DF 专题点2)》巧用角平分线构造全等三角形 若把三角形的角平分线看成一条公共边， 4.如图，AC平分∠BAD,∠B+∠D=180°， 在角的两边分别截取相等的线段，或在角平分 CE⊥AD于点E,AD=12cm,AB=7cm,求 线上找一点向角的两边分别找（作）等角，可以 DE的长 依据“SAS”或“ASA”等证明三角形全等. 2.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线， AD⊥BE,垂足为D,求证：∠2=∠1+∠C A 31 重点班提分练数学八年级上册 专题点3>“截长补短法”构造全等三角形 专题点4>》“倍长中线法”构造全等三角形 当题设中出现或结论要证线段的和差问题 当三角形中有中线时，常利用“倍长中线 时，通常采用“截长补短法”构造全等三角形，从 法”构造全等三角形，转换边、角条件，从而将分 而实现边的转化. 散的边、角集中在一个图形中，使问题得到解决 5.如图，已知AC∥BD,EA,EB分别平分 6.在通过构造全等三角形解决问题的过程 ∠CAB和∠DBA,点E在CD上.求证： 中，有一种方法叫作倍长中线法 AB=AC+BD. (1)如图1，AD是△ABC的中线，且AB> AC.延长AD至点E,使ED=AD,连接 BE.求证：△ADC兰△EDB. (2)如图2，AD是△ABC的中线，点E在BC 的延长线上，CE=AB,∠BAC=∠BCA. 求证：AE=2AD, 图1 图2 32 第十四章全等三角形 链接中考 扫 码 重点题讲解 改 练中考 4.(西藏中考)如图，点C是线段AB的中点， AD=BE,∠A=∠B.求证：∠D=∠E. 1.(青海中考)如图，OC平分∠AOB,点P在 D OC上，PD⊥OB,PD=2,则点P到OA的距 离是 ( C 0 D B A.4 B.3 练模拟 C.2 D.1 2.(南通中考)如图，点B,F,C,E在同一条直5.（普陀模拟）如图，在四边形ABCD中，AC 线上，AB∥ED,AC∥FD,要使△ABC兰 为对角线，AB=CD,如果要证得△ABC与 △DEF,还需添加的一个条件是 △CDA全等，那么可以添加的条件是（) D A.AD∥BC 3.（南充中考)如图，在△ABC中，点D为BC B.∠B=∠D 边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长 C.∠B=∠ACD 线于点E.求证：△BDE≌△CDA. D.∠ACB=∠CAD=90° 6.(达州模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥ CD,∠D=90°，BE⊥AF于点E,AD=BE,求 证：△BEA≌△ADF. 335.解：如图，过点0分别作OF⊥BD,OG⊥AC, OH⊥BE,垂足分别为F,G,H, C HE :AO平分∠DAC,CO平分∠ACE, ∴.OF=0H=0G. ·△A0C的面积为12， 1 ·2AC·0G=12 AC=6, 1 . ×60G=12, .∴.0G=4, .∴.0F=0H=0G=4. SAABO+SARCO=SAAOC+SAARC=12+18=30, AB·0F+BC.0H=30, 1 :.2 2 即号x4(A8+BG)=30. .AB+BC=15, ∴.△ABC的周长=AB+BC+AC=15+6=21 易错重难提升专练 1.D.·△ABC≌△CDA,且AB=CD, ∴.∠1=∠2，AD=CB,∠D=∠B, 无法证明AB=BC. 2.D当△ABC≌△PQA时，AP=AC=8. ∵点P的运动速度为2cm/s,∴.8÷2=4(s) 当△ABC≌△QPA时，AP=BC=4. '点P的运动速度为2cm/s,∴.4÷2=2(s). 综上，点P运动的时间为2s或4s. 3.A当AB=CD时，不能判断三角形全等，故 符合题意； 当AC=BD时，在△ABC和△DCB中， AC=DB, ∠2=∠1，.△ABC≌△DCB(SAS),能判断 BC=CB, 三角形全等，故不符合题意； 当∠A=∠D时，在△ABC和△DCB中， r∠A=∠D, ∠2=∠1， BC=CB, ∴.△ABC≌△DCB(AAS),能判断三角形全等， 故不符合题意； 当∠ABC=∠DCB时，在△ABC和△DCB中， T∠ABC=∠DCB, BC=CB, .△ABC≌△DCB(ASA), .∠2=∠1， 能判断三角形全等，故不符合题意， 4.证明：如图，过点P分别作PC⊥OM于点C, PD⊥ON于点D,连接OP, 则∠PC0=∠PD0=90°. :∠PC0+∠MON+∠PD0+∠CPD=180°× 2=360°，∠M0N=70°， ∴.∠CPD=360°-90°-90°-70°=110°. ,∠APB=110°， .∠CPD=∠APB, .∠CPD-∠APD=∠APB-∠APD, .∠CPA=∠DPB. 在△APC和△BPD中， ·∠PCA=∠PDB, ∠CPA=∠DPB, PA=PB, ∴.△APC≌△BPD(AAS), ∴.PC=PD. 又PC⊥OM,PD⊥ON, ∴.点P在∠MON的平分线上. 专题添加辅助线构造全等三角形 1.证明：如图，连接BD 9 rAB=CD, 在△ADB和△CBD中，DB=BD, AD=CB, ∴.△ADB≌△CBD(SSS), .∠ADB=∠CBD,∴.AE∥CF, ∴.∠EDB=∠FBD. 在△DEB和△BFD中， DE=BF, ∠EDB=∠FBD, DB=BD, .△DEB≌△BFD(SAS), .∴.BE=DF 2.证明：如图，延长AD交BC于点F. 2 D BE是∠ABC的平分线，∴.∠ABD=∠FBD. AD⊥BE,∴.∠ADB=∠FDB=90 在△ABD与△FBD中， r∠ABD=∠FBD, BD=BD, I∠ADB=∠FDB, .△ABD≌△FBD(ASA), ∴.∠DFB=∠2. 又∠DFB=∠1+∠C, .∠2=∠1+∠C. 3.解：如图，过点D作DH⊥AC于点H. B D 'AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB,DH⊥AC, .DF=DH. [DE=DG, 在Rt△FDE和Rt△IHDG中， DF=DH, .'.Rt△FDE≌Rt△HDG(HL). 同理，Rt△FDA≌Rt△HDA(HL),∴.S△FDE= SAHDG,S△FM=S△HDA 设△FDE的面积为x,由题意，得SAADG S△mG=S△MBD+SAFDE,即48-x=26+x, 解得x=11,即△FDE的面积为11. 4.解：如图，过点C作CF⊥AB交AB的延长线于 点F B A D ,AC平分∠BAD,CE⊥AD, ∴.∠BFC=∠CED=90°，CF=CE. [AC=AC, 在Rt△AFC和Rt△AEC中， CF=CE, .Rt△AFC≌Rt△AEC(HL), ∴.AF=AE. .:∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠FBC=180°， ∴.∠FBC=∠D, .∴.△FBC≌△EDC(AAS), ∴.BF=ED, .AB+AD=AF-BF+AE+ED=2AE. AD=12 cm,AB=7 cm, .19=2AE, .AE=9.5cm, ∴.DE=AD-AE=12-9.5=2.5(cm). 5.证明：方法一（补短法)如图1，延长BD至 点F,使BF=BA,连接EF. 图1 .'EA,EB分别平分∠CAB和∠DBA, ∴.∠CAE=∠EAB,∠FBE=∠ABE. 在△AEB和△FEB中， 20 BA=BF, ∠ABE=∠FBE, BE=BE .△AEB兰△FEB（SAS),∴.AE=FE ∠EAB=∠F,∴.∠CAE=∠F. .AC∥BD,.∠C=∠EDF. 在△ACE和△FDE中， r∠C=∠EDF, ∠CAE=LF, AE=FE, ∴.△ACE≌△FDE(AAS), .AC=FD, .AB=FB=BD+AC. 方法二（截长法）如图2，在AB上截取A1 使AF=AC,连接EF. 图2 .·EA,EB分别平分∠CAB和∠DBA, ∴.∠CAE=∠EAB,∠FBE=∠DBE. ,AC=AF,∠CAE=∠FAE,AE=AE, ∴.△CAE≌△FAE(SAS), ∴.∠C=∠AFE. AC//BD, .∴.∠C+∠D=180° .∠AFE+∠BFE=180°， ∴.∠BFE=∠D ·∠FBE=∠DBE,BE=BE, .∴.△FBE≌△DBE(AAS), .BF=BD, .AB=AF+BF=AC+BD 6.证明：(1)：AD是△ABC的中线， ∴.DB=CD rAD=ED. 在△ADC和△EDB中， ∠ADC=∠EDB, CD=BD, ∴.△ADC≌△EDB(SAS). (2)如图，延长AD至点M,使DM=AD,连接 CM. 1D0 M :AD是△ABC的中线， ∴.BD=CD rAD=MD, 在△ABD和△MCD中， ∠ADB=∠MDC, BD=CD, .△ABD≌△MCD(SAS), ∴.AB=MC,∠B=∠MCD. AB=CE, ∴.CM=CE. .∠BAC=∠BCA, ∴.∠B+∠BAC=∠MCD+∠BCA, 即∠ACE=∠ACM. rAC=AC, 在△ACM和△ACE中，{∠ACM=∠ACE, CM=CE, .△ACM≌△ACE(SAS), ∴.AM=AE. AM=2AD, .AE=2AD. 链接中考 1.C如图，过点P作PE⊥OA于点E. A E 04 DB OC平分∠AOB,PD⊥OB,PE⊥OA, .PE=PD=2. 2.AB=DE(或AC=DF或BF=EC或BC=EF) .AB∥ED,AC∥FD, ∴.∠B=∠E,∠ACB=∠DFE. ①添加条件为AB=DE. 21 r∠ACB=∠DFE, 在△ABC和△DEF中，{∠B=∠E, AB=DE, .△ABC≌△DEF(AAS). ②添加条件为AC=DF. r∠B=∠E, 在△ABC和△DEF中， ∠ACB=∠DFE, LAC=DF, .△ABC≌△DEF(AAS). ③添加条件为BF=EC. .BF=EC,∴.BF+CF=EC+CF,即BC=EF r∠B=∠E, 在△ABC和△DEF中，BC=EF, ∠ACB=∠DFE, .△ABC≌△DEF(ASA). ④添加条件为BC=EF. 在△ABC和△DEF中， r∠B=∠E, BC=EF, ∠ACB=∠DFE, ∴.△ABC≌△DEF(ASA). 综上，这个条件可以是AB=DE(或AC=DI 或BF=EC或BC=EF). 3.证明：.D为BC的中点，BD=CD. BE∥AC,∴.∠E=∠DAC,∠DBE=∠C. 在△BDE和△CDA中， r∠E=∠DAC, ∠DBE=∠C, BD=CD, ∴.△BDE≌△CDA(AAS). 4.证明：，点C是线段AB的中点，∴.AC=BC 在△ADC和△BEC中， rAC=BC, ∠A=∠B, AD=BE, ∴.△ADC≌△BEC(SAS), .∠D=∠E. 5.D在△ABC和△CDA中，AB=CD,AC=CA. A.添加条件AD∥BC,得到∠ACB=∠CAD,不 能证得△ABC与△CDA全等，该选项不合题 意；B.添加条件∠B=∠D,不能证得△ABC 与△CDA全等，该选项不合题意；C.添加条件 ∠B=∠ACD,∠B与∠ACD不是对应角，不能 证得△ABC与△CDA全等，该选项不合题意； D.添加条件∠ACB=∠CAD=90°，对应判定 的依据为HL,能证得△ABC与△CDA全等， 该选项符合题意， 6.证明：.AB∥CD,∴.∠BAE=∠AFD :∠D=90°，BE⊥AF, .∠AEB=∠D=90°. 在△BEA和△ADF中， r∠BAE=∠AFD, ∠AEB=∠D, BE=AD, ∴.△BEA≌△ADF(AAS). 章末检测 1.B 选项 分析 正误 由题图可知两个图形形状相同， A 大小不同，所以不是全等形 由题图可知两个图形可以完全 B 重合，所以是全等形 由题图可知两个图形形状不同， 所以不是全等形 由题图可知两个图形形状不同， D 所以不是全等形 2.B因为△ABC≌△CDA,所以①AB与CD是 对应边，故①不符合题意；②AD与CB是对应 边，故②符合题意；③∠CAB与∠ACD是对应 角，故③符合题意；④∠BAC与∠DCA是对应 角，∠BCA与∠DAC是对应角，故④不符合题 意.综上，正确的有②③， 3.A△ABD≌△ACE,∴.BD=CE,∴.BD+ DE=CE+DE,即BE=CD,选项B成立，不符 合题意； 22