安徽省怀远第一中学2025-2026学年高三上学期第一次月考（9月）数学试题

2026年高三9月第一次月考 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟. 一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，∴. 2.已知都是单位向量，若，，则（ ） A. 　　 B.　　　 C. 　 D. 【答案】C 【解析】由，得，即. 3.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为， 则，即，所以， 则.故选：B. 4.白舍窑位于江西省南丰县白舍镇，是宋元时期“江西五大名窑”，其瓷器以白瓷最为闻名，素有“白如玉，薄如纸”的特点．如图是白舍窑生产的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部为一个圆台，下部实心且外形为圆柱．现测得底部直径为6cm，上部直径为12cm，茶杯侧面与水平面的夹角为，则该茶杯容量（茶杯杯壁厚度忽略不计）约为（ ）（单位：） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】圆台的体积即为该茶杯容量，如图，cm，cm， 过点分别作⊥，⊥于点， 则cm，cm， 其中圆台的高为cm， 故圆台体积为.故选：D 5.地球是半径为的球体，现将空间直角坐标系的原点置于球心，赤道位于平面上，轴的正方向为球心指向正北极方向，本初子午线弧是度经线，位于平面上，且交轴于点，如图所示，已知赤道上一点位于东经度，则地球上位于西经经度、北纬度的空间点的横坐标（保留整数）约为（ ）（参考数字：，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设点投影到平面上的点，则，，， 又与轴正向的夹角为，由在x轴与y轴的投影可知 因此点的坐标为的横坐标约为，答案选B. 6.已知是原点，是双曲线的右焦点，过双曲线的右顶点且垂直于轴的直线与双曲线一条渐近线交于点，以点为圆心的圆经过点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由已知， ∵以点为圆心的圆经过点 ∴ 故，双曲线的离心率为.故选B． 7.下图是中华人共和国国家统计局发布的2012年至2021年居民人均可支配收入（单位：元）的变化情况，下列说法错误的是（ ） A. 2012年至2021年，人均年可支配收入增幅逐年增大 B. 2012年至2021年，人均年可支配收入逐年上升 C. 这10年居民人均可支配年收入的平均数超过23821 D. 这10年居民人均可支配年收入的中位数为24897.5 【答案】A 【解析】2012年至2021年，人均年可支配收入增幅有增大有减小，故A错误.. 8.函数的大致图象是（ ） 【答案】B 【解析】首先根据偶函数排除A、C选项，然后由排除D. (也可以用洛必达法则)答案为B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列说法正确的是（ ） A.数据，，，，，，，的第80百分位数为10 B.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 C.已知随机变量服从正态分布，越大，则随机变量越集中 D.若随机变量，随机变量，则 【答案】AD 【解析】对于A，将数据，，，，，，，从小到大排列为，由于，故第80百分位数为第7个数10，A正确， 对于B，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于1， B错误， 对于C，正态分布，表示标准差，故越大，随机变量越分散，C错误， 对于D，随机变量，则,故随机变量， 则，D正确，故选：AD 10.已知函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ） A. B.函数在区间上单调递减 C.过点能作两条不同直线与相切 D.函数恰有4个零点 【答案】AB 【解析】对于A中，由函数，可得， 因为 是函数的一个极值点， 可得， 解得，经检验适合题意，所以A正确； 对于B中，由，令，解得或， 当时，；当时，；当时，， 故在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，所以B正确； 对于C中，设过点且与函数相切的切点为， 则该切线方程为， 由于切点满足直线方程，则， 整理得，解得，所以只能作一条切线，所以C错误； 对于D中，令，则的根有三个，如图所示，， 所以方程有3个不同根，方程和均有1个根， 故有5个零点，所以D错误．故选：AB． 11.如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（ ） A.圆的圆心都在直线上 B.圆的方程为 C.若，则圆与轴有交点 D.设直线与圆在第二象限的交点为，则 【答案】ABC 【解析】圆的圆心，直线的方程为，即， 由两圆内切连心线必过切点，得圆的圆心都在直线上，即圆的圆心都在直线 上，故A正确； 显然，设点，则，而， 解得，因此圆的圆心，半径为， 圆的方程为， 则圆的方程为，故B正确； 圆的圆心为，半径，圆心到轴的距离为， 由两边平方得， ，，而 所以当时，圆与轴有交点，C选项正确. 在中，令，得点的纵坐标为， 因此，故D错误．故选：ABC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.) 12.在等比数列中，，是函数的两个极值点，若，则的值为______． 【答案】16 【解析】的定义域为，， 由题意得是方程的两个不相等的正根，故，解得， 由韦达定理得，故，因为为等比数列，所以， 其中，故，所以，解得，满足要求.故答案为：16 13.已知时，不等式恒成立，则的最大值是__________． 【答案】 【解析】， 令，则 当时，单调递减 当时，单调递增 ∴ ∵，∴ 14.已知抛物线的焦点为，是直线上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，若分别与轴交于点，则外接圆半径的最小值为 . 【答案】 【解析】设，则， ∴， 从而直线的斜率之积为， ∴， 同理 ∴外接圆的直径为， 外接圆半径最小值为，为 四、解答题（本大题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.（13分） 凸四边形的面积为， （1）求的最大值； （2）在（1）的条件下，若凸四边形外接圆的圆心为点，求所对的圆弧的长. 【解析】（1） 在中，由余弦定理知： 在中，由余弦定理知： ∴ ① ∵ ② 可得 即 当时， ∴； （2）由（1）知 ∵ ∴，， 故四边形的外接圆的直径为， ∴所对的圆弧的长为. 16.（15分） 已知棱长为的正方体中，分别是棱的中点. （1）求多面体的体积； （2）求直线和平面所成角的正弦值. 【解析】（1）∵，， ∴， ∴四点共面， 易知多面体是一个三棱台 ； （2）如图，分别延长到点，使， 连接交的延长线于点，连接， 作，连接 ∵， ∴ ∵ ∴平面 ∵平面 ∴平面平面 ∵平面平面，且 ∴平面 ∴为直线和平面所成角 在中 ， 由等面积可知 ∴ 在中 ，， ∴. 17.（15分） 某核酸检测机构为筛查诊断新冠肺炎，需要检验唾液或咽拭子样本是否为阳性，现有份唾液或咽拭子样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将其中（且）份唾液或咽拭子样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的唾液或咽拭子样本全为阴性，因而这份唾液或咽拭子样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份唾液或咽拭子样本究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这份唾液或咽拭子样本的检验次数总共为次.假设在接受检验的唾液或咽拭子样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为现取其中（且）份唾液或咽拭子样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为若关于的函数关系式与抗生素计量相关，其中是不同答案的正实数，满足，对任意的，都有 （1）证明：为等比数列； （2）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值. 参考数据：，，，， 【解析】（1）证明：由 知① 即② ②-①知 所以 是首项为1，公比为的等比数列，通项为. （2）由（1）知，， 当进行逐份检验时，的值只有，所以，， 当进行混检时，的取值为， 当时，对应的情况为份混检之后的结果均为阴性，故； 当时，对应的情况为份混检之后的结果均为阳性，故； ∴ ， ∴ 当时，，即， .   设，， 当时，，即在上单调减. 又，， ；，， . 的最大值为4. 18.（17分） 已知椭圆的左焦点与圆的圆心重合，过右焦点的直线与交于两点，的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）若上存在两点关于直线对称，且（为坐标原点），求的值. 【解析】（1）由，得， ∴ ∵的周长为 ∴， ∴ 椭圆的方程为； （2）设线段的中点，， 由直线，且 设，则联立， 得 ∵ ∴，即 ∴ ① ，得， 即 ∴ ∵， ∴，得 ∴ ② 联立①②，消去得， ∴， ∴或 经验证，满足， ∴. 29.（17分） 已知时，． （1）求实数的最大值； （2）证明：．（参考数据：） 【解析】（1）令，则需证 ，， 当，即时 ，在上恒增， ∵， ∴，即在上恒增 ∵，∴，即 当，即时 ∵为增函数， ∴存在唯一零点，使 时，，为减函数， 时，，为增函数， ∵，∴在存在唯一零点，设为， 时，，为减函数 时，，为增函数 ，故不成立 综上： （2）由（1）知 当时， ∴ 当时， 令，则， ∵ ∴在上是增函数 ∴在上是增函数 综上，． 第 6 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高三9月第一次月考 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟. 一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2.已知都是单位向量，若，，则（ ） A. 　　 B.　　　 C. 　 D. 3.已知，则（ ） A. B. C. D. 4.白舍窑位于江西省南丰县白舍镇，是宋元时期“江西五大名窑”，其瓷器以白瓷最为闻名，素有“白如玉，薄如纸”的特点．如图是白舍窑生产的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部为一个圆台，下部实心且外形为圆柱．现测得底部直径为6cm，上部直径为12cm，茶杯侧面与水平面的夹角为，则该茶杯容量（茶杯杯壁厚度忽略不计）约为（ ）（单位：） A. B. C. D. 5.地球是半径为的球体，现将空间直角坐标系的原点置于球心，赤道位于平面上，轴的正方向为球心指向正北极方向，本初子午线弧是度经线，位于平面上，且交轴于点，如图所示，已知赤道上一点位于东经度，则地球上位于西经经度、北纬度的空间点的横坐标（保留整数）约为（ ）（参考数字：，） A. B. C. D. 6.已知是原点，是双曲线的右焦点，过双曲线的右顶点且垂直于轴的直线与双曲线一条渐近线交于点，以点为圆心的圆经过点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7.下图是中华人共和国国家统计局发布的2012年至2021年居民人均可支配收入（单位：元）的变化情况，下列说法错误的是（ ） A. 2012年至2021年，人均年可支配收入增幅逐年增大 B. 2012年至2021年，人均年可支配收入逐年上升 C. 这10年居民人均可支配年收入的平均数超过23821 D. 这10年居民人均可支配年收入的中位数为24897.5 8.函数的大致图象是（ ） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列说法正确的是（ ） A.数据，，，，，，，的第80百分位数为10 B.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 C.已知随机变量服从正态分布，越大，则随机变量越集中 D.若随机变量，随机变量，则 10.已知函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ） A. B.函数在区间上单调递减 C.过点能作两条不同直线与相切 D.函数恰有4个零点 11.如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（ ） A.圆的圆心都在直线上 B.圆的方程为 C.若，则圆与轴有交点 D.设直线与圆在第二象限的交点为，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.) 12.在等比数列中，，是函数的两个极值点，若，则的值为______． 13.已知时，不等式恒成立，则的最大值是__________． 14.已知抛物线的焦点为，是直线上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，若分别与轴交于点，则外接圆半径的最小值为 . 四、解答题（本大题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.（13分） 凸四边形的面积为， （1）求的最大值； （2）在（1）的条件下，若凸四边形外接圆的圆心为点，求所对的圆弧的长. 16.（15分） 已知棱长为的正方体中，分别是棱的中点. （1）求多面体的体积； （2）求直线和平面所成角的正弦值. 17.（15分） 某核酸检测机构为筛查诊断新冠肺炎，需要检验唾液或咽拭子样本是否为阳性，现有份唾液或咽拭子样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将其中（且）份唾液或咽拭子样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的唾液或咽拭子样本全为阴性，因而这份唾液或咽拭子样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份唾液或咽拭子样本究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这份唾液或咽拭子样本的检验次数总共为次.假设在接受检验的唾液或咽拭子样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为现取其中（且）份唾液或咽拭子样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为若关于的函数关系式与抗生素计量相关，其中是不同答案的正实数，满足，对任意的，都有 （1）证明：为等比数列； （2）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值. 参考数据：，，，， 18.（17分） 已知椭圆的左焦点与圆的圆心重合，过右焦点的直线与交于两点，的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）若上存在两点关于直线对称，且（为坐标原点），求的值. 29.（17分） 已知时，． （1）求实数的最大值； （2）证明：．（参考数据：） 第 6 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $