精品解析：辽宁省大连市大连经济技术开发区第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024-2025年度上学期高一期中考试试卷 数 学 命题人： 战新颜 考试时间：120分钟 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数集满足：，，若，则一定有：（ ）. A. B. C. D. 2. 设，则=（ ） A. 3 B. 5 C. -1 D. 1 3. 已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，下面有关结论错误的有（ ） A. 定义域为 B. 值域为 C. 在上单调递减 D. 图象关于原点对称 5. 若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 6. 记实数的最小数为若则函数的最大值为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 5 7. 已知函数在R上单调递减，则单调递增区间为 A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足：，当时，有，则称函数为“理想函数”．根据此定义，下列函数为“理想函数”的是（ ） A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，与函数不是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数为定义在上减函数，下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. C. 若，则的取值范围是 D. 函数的值域为 11. 对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数的值域为 C. 对于任意的，不等式恒成立 D. 不等式的解集为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若，则_________． 13. 若函数定义域为，则函数的定义域为_____． 14. 设函数的定义域为，，当时，.若存在，使得有解，则实数的取值范围为__________. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是一元二次方程的两个不等实数根． （1）若均为正根，求实数的取值范围； （2）求使的值为整数的的整数值； 16. 某公司最近4年对某种产品投入的宣传费万元与年销售量之间的关系如下表所示. 1 4 9 16 168.6 236.6 304.6 372.6 （1）根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适宜作为与的函数模型？ （2）已知这种产品的年利润万元与的关系为，则年宣传费为多少时年利润最大？ 17. 已知二次函数满足且该函数图象与轴交于点，在轴上截得的线段长为. （1）求函数的解析式； （2）若函数在是单调函数，求实数的取值范围； （3）解不等式. 18. 若定义在上的函数对任意实数、恒有，当时，，且. （1）求证：为奇函数； （2）求在上的最小值； （3）解关于的不等式：. 19. 教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.也即：若，则有，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题： （1）若，求最小值； （2）若，求的最大值，并求取得最大值时的的值； （3）对任意，判断与大小关系并加以严格证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年度上学期高一期中考试试卷 数 学 命题人： 战新颜 考试时间：120分钟 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数集满足：，，若，则一定有：（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助交集与并集的性质推导即可得. 【详解】由，， 故、或、， 由，故，故C正确，D错误； 同理，、或，，故A、B错误. 故选：C. 2. 设，则=（ ） A. 3 B. 5 C. -1 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的定义区间和解析式，求函数值. 【详解】，则. 故选：A 3. 已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质求解即得. 【详解】对于A，，A不是； 对于B，当时，由，得，B不是； 对于C，，可能有，如，C不是； 对于D，由，得，则；若，则，D是. 故选：D 4. 已知函数，下面有关结论错误的有（ ） A. 定义域为 B. 值域为 C. 在上单调递减 D. 图象关于原点对称 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的定义域、对勾函数的性质一一分析选项即可. 【详解】对于A，显然的定义域为，故A正确； 对于B、D，易知函数， 即为奇函数，图象关于原点对称， 且，当且仅当时取得等号， 故值域为，故BD正确； 对于C，函数的单调区间不能用并集表示，且的单调递减区间为，故C错误. 故选：C 5. 若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知，根据存在性问题结合配方法分析求解. 【详解】因为，即， 又因为，当且仅当时，等号成立， 若，，即， 所以实数a可取的最小整数值是. 故选：A. 6. 记实数的最小数为若则函数的最大值为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由题意在同一个坐标系中，分别作出三个函数的图像，再按要求得到的图象，结合图像易得函数的最大值． 【详解】 如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数的图象， 而的图象即是图中勾勒出的实线部分， 要求的函数的最大值即图中最高点的纵坐标. 由联立解得，，故所求函数的最大值为． 故选：B． 7. 已知函数在R上单调递减，则的单调递增区间为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数定义域，在定义域内找到函数内层函数的递减区间即为答案． 【详解】令所以函数的定义域为 根据复合函数的单调性：同增异减,要找的单调递增区间，即找函数的单调递减区间为, 故选C 【点睛】本题考查复合函数的单调性：同增异减．需要注意的是定义域优先原则．属于基础题． 8. 已知定义在上的函数满足：，当时，有，则称函数为“理想函数”．根据此定义，下列函数为“理想函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用定义判断和证明函数是否为“理想函数” 【详解】A:当时，对当时，，因此不是“理想函数”，故A错误. B：当时，对当时，，所以不是“理想函数”，故B错误. C：当时，例如时，所以不是“理想函数”，故C错误. D：当时，对当时，，所以是“理想函数”，故D正确 故选：D 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，与函数不是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数，一一判断即可. 【详解】解：的定义域为． 对于A，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数； 对于B，定义域为，与定义域相同，对应关系相同，是同一函数； 对于C，的定义域为，与定义域不同，不是同一函数； 对于D，，与的对应关系不同，不是同一函数． 故选：ACD． 10. 已知函数为定义在上减函数，下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. C. 若，则的取值范围是 D. 函数的值域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，分析出要使定义在上的函数是减函数，须满足一次函数的斜率，二次函数的对称轴，且函数在左侧的最小值大于等于在右侧的最大值，进而列出不等式组，求出的取值范围，即可判断；对于B，C，利用函数在上的单调性，将不等式，转化为关于的不等式，求出的取值范围，即可判断；对于D，取符合题意的，得到函数的确切解析式并求出其值域，即可判断. 【详解】对于A，当时，函数， 对称轴为，且. 所以要使定义在上的函数是减函数， 须满足，即， 解得，即取值范围为，故A正确； 对于B，因为函数是定义在上的减函数， 所以等价于，整理得， 其判别式，故恒为正， 即对所有的都成立， 所以，恒成立，故B正确； 对于C，因为函数是定义在上的减函数， 所以等价于，解得， 即的取值范围是，故C正确； 对于D，由选项A可知，当，函数在上是减函数， 所以令，此时， 当时，可得； 当时，因为， 所以， 所以函数的值域为，不是，故D错误. 故选：ABC 11. 对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数的值域为 C. 对于任意的，不等式恒成立 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据取整函数的定义结合奇函数的定义分析判断，对于B，根据取整函数的定义求解判断，对于C，根据取整函数的定义结合不等式的性质分析判断，对于D，先解一元二次不等式，再利用取整函数定义求解. 【详解】对于A，当时，，当，， 所以不是奇函数，所以A错误， 对于B，因为表示不超过的最大整数，所以当时，， 所以函数的值域为，所以B正确， 对于C，因为时，， 所以，所以C正确， 对于D，由，得， 因为表示不超过的最大整数，所以，所以D正确. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：设，则，所以函数为奇函数，由，则，则，则，所以． 考点：函数奇偶性应用． 13. 若函数的定义域为，则函数的定义域为_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据函数的定义域为，得到函数的分子对应的函数的定义域为，解之得，再结合分式的分母不等于0，列出不等式组，解之可得函数的定义域． 【详解】∵函数的定义域为， ∴函数的定义域为，解得， 因此函数的定义域满足：，可得． ∴函数的定义域为：． 故答案为：． 14. 设函数的定义域为，，当时，.若存在，使得有解，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据，可知，可得函数解析式并画出函数图象，由图象可得实数的取值范围. 【详解】根据，可知， 当时，， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 此时恒成立. 画出局部函数图象如图所示： 当时，，解得：或， 要存在，使得有解，只需， 故答案为：. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是一元二次方程的两个不等实数根． （1）若均为正根，求实数的取值范围； （2）求使的值为整数的的整数值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得，判别式和，运算得解； （2）利用韦达定理化简，结合题意求解. 【小问1详解】 由题意，一元二次方程有两个正根， 故，得， 且，解得：. 【小问2详解】 由题意，， 又当，即时，且， 故， 由于为整数，故只能取，又， 故整数的值为. 16. 某公司最近4年对某种产品投入的宣传费万元与年销售量之间的关系如下表所示. 1 4 9 16 168.6 236.6 304.6 372.6 （1）根据以上表格中数据判断：与哪一个更适宜作为与的函数模型？ （2）已知这种产品的年利润万元与的关系为，则年宣传费为多少时年利润最大？ 【答案】（1）更适宜作为与的函数模型 （2）时，年利润最大 【解析】 【分析】 （1）将点代入和，求出这两个函数，然后将代入，看哪个算出的数据接近实际数据哪个就更适宜作为与的函数模型； （2）根据（1）可得，利用函数单调性求最大利润. 【详解】解：（1）①若选，把代入上式， 得，解得，. 当时，，与相差较大，该函数不适宜作为与的函数模型. ②若选，把代入上式， 得，解得， 当时，， 当时，. 比较知更适宜作为与的函数模型； （2）由（1）知， 令，则， 函数在上为增函数，在上为减函数， 当，即时，年利润最大. 【点睛】本题考查函数模型的建立和应用，涉及了函数的最值，是中档题. 17. 已知二次函数满足且该函数图象与轴交于点，在轴上截得的线段长为. （1）求函数的解析式； （2）若函数在是单调函数，求实数的取值范围； （3）解不等式. 【答案】（1） （2） （3）详解见解析 【解析】 【分析】（1）设，由函数的对称轴和图象在x轴上截得的线段长为可得，将点代入计算，即可求解； （2）根据函数在区间上的单调性，求出参数即可； （3）将原不等式变形为，分类讨论求出当、、时不等式的解集即可. 【小问1详解】 由题意知，设图象与x轴的两个交点为， 则，由知， 函数图象关于直线对称，又函数图象在x轴上截得的线段长为， 所以，则， 将点代入解析式，得，解得， 所以，即； 【小问2详解】 ，该抛物线的对称轴为， 因为该函数在上是单调函数， 所以或，解得或， 即实数a的取值范围为； 【小问3详解】 不等式转化为， 即， 当时，不等式解得或， 当时，不等式解得， 当时，不等式解得或， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 18. 若定义在上的函数对任意实数、恒有，当时，，且. （1）求证：为奇函数； （2）求在上的最小值； （3）解关于的不等式：. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）令，可得出的值，令，结合函数奇偶性的定义可得出结论； （2）先利用函数单调性的定义证明函数为上的减函数，可知在上的最小值为，根据题意计算出的值，即可得解； （3）将所求不等式变形为，利用函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 小问1详解】 证明：因为函数的定义域为， 令，则，解得. 令，则，则， 所以，函数为奇函数. 【小问2详解】 解：任取，则， 因为当时，，则， 由（1）知，， 即，所以，函数在上单调递减， 所以，函数在上的最小值为， 因为，， ，所以，， 即函数在上的最小值为. 【小问3详解】 解：由（1）知，， 所以，， 因为函数在上单调递减，则，即， 解得，即不等式的解集为. 19. 教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.也即：若，则有，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题： （1）若，求的最小值； （2）若，求的最大值，并求取得最大值时的的值； （3）对任意，判断与的大小关系并加以严格证明. 【答案】（1） （2）最大值为， （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据三阶基本不等式的内容直接可得解； （2）由，结合四阶基本不等式可得最值； （3）猜测，成立，验证不等式成立；结合推广公式证明结论成立. 【小问1详解】 因为，所以由三阶基本不等式可得：， 当且仅当即时取等号， 因此的最小值为； 【小问2详解】 当时，由四阶基本不等式可得： ， 当且仅当即时取等号， 因此的最大值为； 【小问3详解】 大小关系为，， 证明如下： 由条件可知：时，， 当时，左边，右边，左边右边，不等式成立； 当，时，由阶基本不等式，可知： 不等式左边 而，因此上式的不等号取不到等号， 于是， 综上，原不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $