21.1一元二次方程课件-2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册满分全攻略备考系列

沪教版（2024）八年级数学上册 第21章 一元二次方程 21.1一元二次方程 目录 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结与布置作业 课堂练习（分层练习） 01 学习目标 学习目标 1.理解一元二次方程的概念. 2.掌握一元二次方程的一般形式. （重点） 3.了解一元二次方程的根的概念. （重点） 4.能根据实际问题列一元二次方程. （重点、难点） 新课导入 我们已经学过一元一次方程的解法.在此基础上，可以解决一些实际问题.但是，基于实际问题列出的方程并不限于一元一次方程. 问题 一块长方形绿地的面积为1200m²，且已知长比宽多10m.问长和宽各为多少? 设这块长方形绿地的宽为xm，它的长就是(x+10)m. 因为绿地面积为1200m²，所以x(x+10)=1200. 去括号，得x²+10x=1 200. 在上面的等式中，有一个用字母x表示的未知数，可知它是一个关于x的一元方程;等号的两边都是整式，这样的方程是一个整式方程，其中未知数x的最高次数是2.求出这个方程中未知数x的值，就可以求得长方形绿地的宽. 知识点讲解 定义与概念 一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 ax²+bx+c=0(a、b、c为已知数，且a≠0)， 其中ax²叫作二次项，a是二次项系数;bx叫作一次项，b是一次项系数;c叫作常数项. 例如，(x+5)²=12，2y²+3y=-1,x²+5x=0都是一元二次方程，必要时可以通过移项及化简把它们化成一般形式. 上述绿地面积问题中出现的方程x²+10x=1200，可通过移项化成一般形式x²+10x-1200=0，其中二次项系数a是1，一次项系数b是10，常数项c是-1200. 典型例题 经典例题 例1 把下列一元二次方程化成一般形式，并写出方程中的各项与各项的系数: (l) x(x-1)=3x-4; (2) y+=(y²+2). 解：(1)去括号，得 -x=3x-4. 移项并合并同类项，得 x²-4x+4=0. 因此，方程中的二次项是x²，即1·x²(1 通常省略不写)， 所以二次项系数是1;一次项是一4x，一次项系数是一4;常数项是4. (2)去括号，得 y +=y²+2. 移项，得 -y²+y+-2=0. 因此，方程中的二次项是-y²，二次项系数是-;一次项是y，一次项系数是1;常数项是-2. 总结归纳 满足方程ax²+bx+c=0 (a≠0) 的实数x叫作这个方程的实数根(或者实数解)，简称实根或者根.对于一个一元二次方程，可以依据根的意义，判断一个未知数的值是不是这个方程的根. 例2 判断-4、、2是不是一元二次方程x²+2x-8=0 的根. 解：把x=-4代入方程x²+2x-8=0的左边，得左边的值为 (-4)²+2X(-4)-8=0， 而右边的值为0 因为方程左右两边的值相等，所以x=-4是这个一元二次方程的根. 把x=代入方程x²+2x-8=0的左边，得左边的值为 而右边的值为0. 因为方程左右两边的值不相等，所以x=一不是这个一元二次方程的根. 类似地，把x=2代入方程的左边，发现方程左右两边的值相等，可知 x=2也是这个一元二次方程的根. 课堂练习 基础题 知识点1 一元二次方程的定义 1.下列方程中：; ; ; ; ，是一元二次方程的有 ( ) A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】一元二次方程需要满足的三个条件：（1）是整式方程；（2）化简后只 含有一个未知数；（3）化简后未知数的最高次数是2. ① 分母中有未知数，不是整式方程 × ② 含有两个未知数 × ③ 满足一元二次方程的三个条件 √ ④ 当 时，不含有二次项 × ⑤ 化简得 ,不含有二次项 × 2.关于的方程 ，有以下说法，其中正确的是( ) D A.当时， 是一元二次方程 B.当时， 是一元二次方程 C.当时， 是一元一次方程 D.以上说法都不对 【解析】 故A、B、C选项中的说法都不正确,故选D. 15 知识点2 一元二次方程的一般形式 3.一元二次方程 化成一般形式是________________ （二次项系数大于0），其中一次项系数是_____. 【解析】一元二次方程化成一般形式是 ，其 中一次项系数是.故答案为， . 4.若关于的一元二次方程 的常数项是 ，则它的一次项 是_____. 【解析】 关于的一元二次方程的常数项是 ， ，，， 方程的一次项为 . 16 知识点3 一元二次方程的根（解） 5.已知是关于 的一元二次方程的一个根，则 的值 是( ) C A. B.0 C.1 D.0或1 【解析】由题意可得是方程的一个根，将 代入方程 中，可得，解得 ，故选C. 17 6.下表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程 的根是( ) … 0 1 2 3 4 … … 12 6 2 0 0 2 6 12 … C A.， B.， C.， D.， 【解析】由题意得当时，，当时，， 方 程的根是， ，故选C. 18 7.若是关于的一元二次方程 的一个根，则 的 值是( ) D A.2 026 B.2 025 C.2 023 D.2 022 【解析】是关于的一元二次方程的一个根， ， ，故选D. 19 知识点4 建立一元二次方程模型 8.［2024广东佛山禅城区校级质检］如图是一块长，宽 的矩形菜地，现 要在中间铺设相同宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为 . 设石子路的宽度为 ，则下面所列方程正确的是( ) B A. B. C. D. 【解析】根据题意，得 .故选B. 20 9. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在黑龙江哈尔滨举行. 在亚冬会到来之际，某校组织了一次旱地冰球比赛，比赛采用双循环制（每两队 之间都进行两场比赛），共进行了30场比赛.设该校有 个队参赛，则根据题意可 列方程为______________. 【解析】由题意可列方程为 . 21 易错点 忽略一元二次方程中二次项系数不为0而出错 10.如果关于 的一元二次方程有一个解是， 那么 的值是( ) B A.3 B. C. D.0或 【解析】把代入方程中，得 ，解得 或3.当时，原方程二次项系数 ，不符合题意，故舍去， .故选B. 易错题 易错警示 注意一元二次方程中二次项系数不为0. 22 课堂小结 一元二次方程 只含有一个未知数 未知数的最高次数是2 是整式方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的解（根） 二次项系数 一次项系数 常数项 本节课同学们学到了什么？ 布置作业 作业题 教科书第61页练习 第1，2，3题 课本练习 1.判断下列方程哪些是一元二次方程： （1）； （2）3； （3）x； （4）； （5）（x+3）（x-3）+4=0 解：（1）是；（2）是；（3）不是；（4）是；（5）不是；（6）是； 2.将下列一元二次方程化成一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项: （1） ； （2）y=； （3）2x（x-1）=3（x+5）-4； （4）5（m、n是已知数。） 解：（1）整理，得+1=0，则它的二次项系数为，一次项系数为-3，常数项为1； （2）整理，得，则它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为1； （3）整理，得2，则它的二次项系数为2，一次项系数-5，常数项为-11； （4）整理，得5，则它的二次项系数为5，一次项系数为-m，常数项为n 3.当 m 满足什么条件时，方程m-3x=x²-mx+2是关于x的一元二次方程? 解：将方程化为一般形式： m 合并同类项得（m-1）=0 因为该方程是关于x的一元二次方程，根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，即m-1≠0，即m≠1 感谢观看 $