精品解析：江苏省南京市中华中学2024-2025学年高二下学期5月学情调研数学试题

中华中学2024—2025学年度第二学期5月学情调研 高二数学 本卷调研时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为 A. 1， B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】图中阴影部分表示的集合为，解出集合，再进行集合运算即可 【详解】 图中阴影部分表示的集合为 故选 【点睛】本题主要考查了图表达集合的关系及交、并、补的运算，注意集合的限制条件． 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由，得或，则不一定成立，如； 由，得且，则必成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 若关于x的不等式ax2+bx+2＜0的解集为，则a﹣b的值是（　　） A. ﹣14 B. ﹣12 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【详解】∵关于的不等式的解集为，∴关于的方程的两个实数根为和，且，由根与系数的关系，得；解得，，∴，故选A. 4. 已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由不等式的性质可判断A；举反列可判断BCD. 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，已知，取， 所以， 所以，故B错误； 对于C，，，故C错误； 对于D，已知，取， ，所以，故D错误. 故选：A. 5. 若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题知，进而得，，再根据期望、方差的性质求解即可. 【详解】解：因为随机变量服从两点分布，其中， 所以， 所以，， ，. 故D错误，ABC正确. 故选：D 6. 已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（ ） A. 40 B. 120 C. 240 D. 280 【答案】D 【解析】 【分析】 先利用正态分布的性质可求，再利用二项展开式的通项公式可求的系数. 【详解】根据正态曲线的性质可知，，解得， 的展开式的通项公式为，， 的展开式的通项公式为，， 令两式展开通项之积的指数为，可得或， ∴的展开式中的系数为， 故选：D. 【点睛】方法点睛：利用二项展开式计算指定项的系数时，注意利用通项公式和多项式的乘法判断出指定项的系数是有哪些项的系数相乘所得到的. 7. 用四种不同的颜色给如图所示的六块区域涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（ ） A. 120 B. 144 C. 264 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】利用两个计数原理，先分类再分步即可求解． 【详解】先涂，有4种选择，接下来涂，有3种选择，再涂,有2种选择， ① 当颜色相同时涂色方法数是：， ② 当颜色不相同时涂色方法数是：， 满足题意的涂色方法总数是：． 故选：A． 8. 已知定义域为的函数满足为偶函数．当时，，且当时，．对，都有，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可求得当，，，时的函数解析式，并且计算当时，的解，结合图象求的最小值. 【详解】因为定义域为的函数满足为偶函数， 所以函数关于对称， 因为当时，，当时，， 所以当时，，则， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 如图，画出函数图象 当时，令，解得或， 对，都有， 结合图象，得，的最小值为 故选：D. 【点睛】关键点点睛：求得当，，，时的函数解析式后，结合函数的图象是本题的关键. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. “”是“在上恒成立”的充要条件 C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 D. 函数的最小值是 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，解不等式得到或，A错误；B选项，分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，得到答案；C选项，解不等式得到，根据推出关系得到答案；D选项，由基本不等式进行求解. 【详解】A选项，，解得或，A错误； B选项，当时，在上恒成立， 当时，要满足，解得， 综上，， 所以“”是“在上恒成立”的充要条件，B正确； C选项，，解得， 由于，， 则“”是“”的必要不充分条件，C正确； D选项，， 但无解，故等号取不到，D错误. 故选：BC 10. 设，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. ，，，…，中最大的是 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】设，利用通项公式求得含的系数判断A，利用赋值法求解判断BD，结合二项式系数的单调性及系数的正负判断系数最大项即可判断C. 【详解】设，则， 二项式的展开式通式，由，选项A正确； 令，则，选项B正确； 因为，当时，系数为正， 所以系数最大的是，选项C正确； 令，则，令， 则，，选项D错误. 故选：ABC. 11. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是以8为周期的周期函数 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数奇偶性以及表达式可知满足，可判断A正确；化简可得可知B正确；又可得，即C正确；利用赋值法可求得，可知D错误. 【详解】对于A，由题意， 且，即①， 用替换中的，得②， 由①+②得， 所以的图象关于点对称，且，故A正确； 对于B，由， 可得，， 所以， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，由①知， 则，所以，故C正确； 对于D，又因为，所以， 令，则有2， 令，则有， 令，则有， 所以 ， 所以 ，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：函数性质综合问题经常利用函数的奇偶性、对称性、周期性中的两条性质去推导第三个性质，再将3个性质综合运用即可实现问题求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的单调递减区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解. 【详解】令，解得或， 又在上单调递减，在上单调递增， 且在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减． 故答案为：. 13. 袋中有6个球，其中红黄绿蓝白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件：甲和乙至少一人摸到红球，事件：甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率的公式计算可得结果. 【详解】由题意得，事件为：甲和乙只有一人摸到红球， ∴. ∵事件的对立事件为：甲和乙都没有摸到红球， ∴， ∴. 故答案为：. 14. 已知三个正整数的和为8，用表示这三个数中最小的数，则的期望__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用组合的知识与隔板法，分类讨论求得与对应的概率，从而利用数学期望的计算公式即可求解. 【详解】设这三个正整数分别为，则题意可得， 所以随机变量可能取值为1和2， 用隔板法可求得：事件总情况为种， 当时，分两种情况：①三个数中只有一个1，有种； ②三个数中有两个1，有种， 所以时，； 当时，也分两种情况：①三个数中只有一个2，有种； ②三个数中有两个2，有种， 所以时，， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于利用隔板法求得事件总情况为种，再分类讨论与对应的概率，从而得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，命题，不等式恒成立，命题，成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出的值域，若为真命题，求出的取值范围； （2）若为真命题，则，求出的范围，分真假和假真两种情况求解的范围. 【小问1详解】 当时，， 若为真命题，则， 即，解得或， 因此，实数的取值范围； 【小问2详解】 若为真命题，则， 解得或， （i）若真假，则，可得； （ii）若假真，则，可得或， 综上所述，实数的取值范围是. 16. 某学校有2000人，为加强学生安全教育，某校开展了安全知识讲座，讲座结束后，学校组织了一场安全知识测试，将测试成绩划分为“不够良好”或“良好”，并得到如下列联表： 性别 安全知识测试成绩 合计 不够良好 良好 男 800 300 1100 女 700 200 900 合计 1500 500 2000 （1）根据小概率的独立性检验，能否认为本次安全知识测试成绩与性别有关联？ （2）设事件“选到的学生是男生”，事件“选到的学生的测试成绩为‘良好’”，用频率估计概率，通过计算比较与的大小． 其中，表示事件发生的概率． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）认为了解安全知识测试成绩与性别有关，此推断犯错误的概率小于 （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立性检验的方法求解判断即可； （2）利用条件概率公式求得与，可得结论. 【小问1详解】 零假设为：该校学生了解安全知识测试成绩与性别没有关联. 根据列联表中的数据，经计算得到， 根据小概率值的独立性检验，可以推断成立， 即认为了解安全知识测试成绩与性别有关，此推断犯错误的概率小于. 【小问2详解】 因为，，所以， 因为，所以， 因为，所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面，为边CD的中点，且. （1）求线段的长； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上（不含端点）是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，由即可求解； （2）分别求平面与平面的法向量，利用夹角公式即可求解； （3）设，利用直线与平面所成角的正弦值为即可求解. 【小问1详解】 由底面平面， 故，又底面是矩形，故， 故AD、AB、PA两两垂直， 故可以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、， 设，则， 则， 由，则， 解得，即； 【小问2详解】 ， 设平面的一个法向量， 因为，可得， 令，则，所以， ， 设平面的一个法向量， 可得， 令，则，所以， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 （3）设， 则， 因为与平面所成角的正弦值为，设AN与平面所成角， 所以， 所以所以或， 因为所以，所以. 18. 某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手来自于3个不同的班级，三个班级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以或取胜的选手积3分，失败的选手积0分；而在比赛中以取胜的选手积2分，失败的选手积1分．已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为． （1）若进入决赛的9名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？ （2）在第6场比赛中，当时，设甲所得积分为，求的分布列及期望 （3）在第6场比赛中，记甲取胜的概率为，求的最大值． 【答案】（1） （2）分布列： （3） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，求出所对应的概率，即可求出分布列与数学期望； （3）依题意，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值. 【小问1详解】 记比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级为事件， 则； 【小问2详解】 依题意的可能取值为， 所以， ， ， . 所以的分布列为 所以的期望为. 【小问3详解】 依题意，， 则， 令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值， 所以. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，且在上单调递增，求的取值范围； （3）证明：当时，. 【答案】（1） （2） （3） 因为，所以要证， 只需证， 令，该二次函数的图象的对称轴为直线， 令，则， 令，则，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以在上单调递增. 问题可转化为证明，即证， 即证. 令， 则， 令， 则， 所以在上单调递减，且， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，证毕. 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）先确定是上的增函数.再由在上恒成立，得到，即可求解； （3）由，将问题转化成，构造函数，确定其在上单调递增.进而转化成恒成立，进而可求证. 【小问1详解】 当时，，则， ，则， 故曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 令， 则， 因为，所以， 所以恒成立， 所以是上的增函数. 因为在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以只需，又， 故. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中华中学2024—2025学年度第二学期5月学情调研 高二数学 本卷调研时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为 A. 1， B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 若关于x的不等式ax2+bx+2＜0的解集为，则a﹣b的值是（　　） A. ﹣14 B. ﹣12 C. 12 D. 14 4. 已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 5. 若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（ ） A. 40 B. 120 C. 240 D. 280 7. 用四种不同的颜色给如图所示的六块区域涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（ ） A. 120 B. 144 C. 264 D. 96 8. 已知定义域为的函数满足为偶函数．当时，，且当时，．对，都有，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. “”是“在上恒成立”的充要条件 C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 D. 函数的最小值是 10. 设，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. ，，，…，中最大的是 D. 11. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是以8为周期的周期函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的单调递减区间为______． 13. 袋中有6个球，其中红黄绿蓝白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件：甲和乙至少一人摸到红球，事件：甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率________. 14. 已知三个正整数的和为8，用表示这三个数中最小的数，则的期望__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，命题，不等式恒成立，命题，成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 16. 某学校有2000人，为加强学生安全教育，某校开展了安全知识讲座，讲座结束后，学校组织了一场安全知识测试，将测试成绩划分为“不够良好”或“良好”，并得到如下列联表： 性别 安全知识测试成绩 合计 不够良好 良好 男 800 300 1100 女 700 200 900 合计 1500 500 2000 （1）根据小概率的独立性检验，能否认为本次安全知识测试成绩与性别有关联？ （2）设事件“选到的学生是男生”，事件“选到的学生的测试成绩为‘良好’”，用频率估计概率，通过计算比较与的大小． 其中，表示事件发生的概率． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面，为边CD的中点，且. （1）求线段的长； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上（不含端点）是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 18. 某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手来自于3个不同的班级，三个班级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以或取胜的选手积3分，失败的选手积0分；而在比赛中以取胜的选手积2分，失败的选手积1分．已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为． （1）若进入决赛的9名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？ （2）在第6场比赛中，当时，设甲所得积分为，求的分布列及期望 （3）在第6场比赛中，记甲取胜的概率为，求的最大值． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，且在上单调递增，求的取值范围； （3）证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $