第二十二章测试卷（课时训练）2025 -2026学年人教版数学九年级上册

第二十二章测试卷 (时间:90分钟　满分:100分) 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的). 1.二次函数y=5x2的图象的对称轴是(　 　) A.直线x=5 B. y轴 C.x轴 D.直线y=5 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口向上,则(　 　) A.a>0　 B.a<0 C.a≠0　 D.无法确定a的值 3.抛物线y=(x+2)2-3的顶点坐标是(　 　) A.(-2,-3) B.(2,-3) C. (2,3) D. (-2,3) 4.将抛物线y=2(x-3)2+2向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到抛物线的解析式是(　 　) A.y=2(x-6)2 B.y=2(x-6)2+4 C.y=2x2 D.y=2x2+4 5.抛物线y=x2-2x+3与x轴的交点个数是(　 　) A.2个　　 B.1个 C.0个　 D.无法确定 6.已知点A(1, y1),B(2, y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上,则下列结论正确的是(　 　) A.2<y2<y1 B.2<y1<y2 C.y2<y1<2 D.y1<y2<2 7.已知二次函数的图象(0≤x≤3.4)如图.关于该函数在所给自变量的取值范围内,下列说法正确的是(　 　) A.有最大值2,无最小值 B.有最大值2,有最小值1.5 C.有最大值2,有最小值-2 D.有最大值1.5,有最小值-2 8.如图,直线y1=mx+n和抛物线y2=ax2+bx+c交于A(-3,1)和B(1,2)两点,使得y1>y2的x的取值范围是(　 　) A.x>1 B.x>-3 C.-3<x<1 D.x>1或x<-3 9.对于抛物线y=-(x+2)2+3,有下列结论:①抛物线的开口向下;②对称轴是直线x=-2;③图象不经过第一象限;④当x>2时,y随x的增大而减小.以上四个结论中正确的个数为(　 　) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列说法:①a>0;②b>0;③c<0;④b2-4ac>0;⑤5a+ b+2c>0.正确的个数是(　 　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分). 11.抛物线y=mx2与y=-x2的形状相同,而开口方向相反,则m的值是  .  12.当x=　 　时,二次函数y=x2-2x+6有最小值　 　.  13.若抛物线y=x2-3x+m(m为常数)与x轴的一个交点为(1,0),则该抛物线与x轴的另一个交点是　 　.  14.如图所示是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集为　 　.  15.如图,用一段长20 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m.菜园的最大面积是　 　.  16.已知抛物线的函数解析式为y=ax2-2ax-3a,则该抛物线的顶点坐标为　 　(用含a的代数式表示);若该抛物线与线段y=2(0≤x≤4)有两个公共点,则a的取值范围为　 .  三、解答题(本大题共6小题,满分52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 17.(6分)如图,抛物线经过A(-1,0),B(0,3),C(2,3)三点,顶点为D,且与x轴的另一个交点为E. (1)求该抛物线的解析式; (2)求点E的坐标. 18.(6分)如图,已知顶点为C(0,-3)的抛物线y=ax2+b(a≠0)与x轴交于A,B两点,直线y=x+m过顶点C和点B. (1)求m的值; (2)求函数y=ax2+b(a≠0)的解析式. 19.(8分)某超市经销一种商品,每千克成本为50元,经试销发现,该种商品的每天销售量y(kg)与销售单价x(元)满足一次函数关系,其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表所示: 销售单价x/元 55 60 65 70 销售量y/kg 70 60 50 40 (1)y(kg)与x(元)之间的函数关系式为　　　　　　　.  (2)当销售单价定为多少时,才能使当天的销售利润最大?最大利润是多少? 20.(9分)要建造一个圆形喷水池,在水池中央安装一个柱子OP,P处装上喷头,由P处向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下(如图).已知OP=3 m,喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4 m,离柱子OP的距离为1 m. (1)求这条抛物线的函数关系式; (2)水池的半径至少要为多少米,才能使喷出的水流不落在池外? 21.(10分)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(1,0),C (0,-3). (1)求此二次函数的解析式; (2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10,请求出点P的坐标. 22.(13分)如图,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴交于点M. (1)求抛物线的解析式与对称轴. (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. (3)连接AC,在直线AC下方的抛物线上,是否存在一点N, 使△NAC的面积最大?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章测试卷 (时间:90分钟　满分:100分) 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的). 1.二次函数y=5x2的图象的对称轴是(　B　) A.直线x=5 B. y轴 C.x轴 D.直线y=5 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口向上,则(　A　) A.a>0　 B.a<0 C.a≠0　 D.无法确定a的值 3.抛物线y=(x+2)2-3的顶点坐标是(　A　) A.(-2,-3) B.(2,-3) C. (2,3)　 D. (-2,3) 4.将抛物线y=2(x-3)2+2向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到抛物线的解析式是(　C　) A.y=2(x-6)2 B.y=2(x-6)2+4 C.y=2x2 D.y=2x2+4 5.抛物线y=x2-2x+3与x轴的交点个数是(　C　) A.2个　　 B.1个 C.0个　 D.无法确定 6.已知点A(1, y1),B(2, y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上,则下列结论正确的是(　C　) A.2<y2<y1 B.2<y1<y2 C.y2<y1<2 D.y1<y2<2 7.已知二次函数的图象(0≤x≤3.4)如图.关于该函数在所给自变量的取值范围内,下列说法正确的是(　C　) A.有最大值2,无最小值 B.有最大值2,有最小值1.5 C.有最大值2,有最小值-2 D.有最大值1.5,有最小值-2 8.如图,直线y1=mx+n和抛物线y2=ax2+bx+c交于A(-3,1)和B(1,2)两点,使得y1>y2的x的取值范围是(　C　) A.x>1 B.x>-3 C.-3<x<1 D.x>1或x<-3 9.对于抛物线y=-(x+2)2+3,有下列结论:①抛物线的开口向下;②对称轴是直线x=-2;③图象不经过第一象限;④当x>2时,y随x的增大而减小.以上四个结论中正确的个数为(　A　) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列说法:①a>0;②b>0;③c<0;④b2-4ac>0;⑤5a+ b+2c>0.正确的个数是(　B　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分). 11.抛物线y=mx2与y=-x2的形状相同,而开口方向相反,则m的值是 　.  12.当x=　1　时,二次函数y=x2-2x+6有最小值　5　.  13.若抛物线y=x2-3x+m(m为常数)与x轴的一个交点为(1,0),则该抛物线与x轴的另一个交点是　(2,0)　.  14.如图所示是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集为　x<-1或x>5　.  15.如图,用一段长20 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m.菜园的最大面积是　50 m2　.  16.已知抛物线的函数解析式为y=ax2-2ax-3a,则该抛物线的顶点坐标为　(1,-4a)　(用含a的代数式表示);若该抛物线与线段y=2(0≤x≤4)有两个公共点,则a的取值范围为　-≤a<-　.  三、解答题(本大题共6小题,满分52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 17.(6分)如图,抛物线经过A(-1,0),B(0,3),C(2,3)三点,顶点为D,且与x轴的另一个交点为E. (1)求该抛物线的解析式; (2)求点E的坐标. 解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c, 把A(-1,0),B(0,3),C(2,3)分别代入y=ax2+bx+c, 得 解得所以抛物线的解析式为y=-x2+ 2x+3. (2)当y=0时,-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3, 所以点E的坐标为(3,0). 18.(6分)如图,已知顶点为C(0,-3)的抛物线y=ax2+b(a≠0)与x轴交于A,B两点,直线y=x+m过顶点C和点B. (1)求m的值; (2)求函数y=ax2+b(a≠0)的解析式. 解:(1)将(0,-3)代入y=x+m,得m=-3. (2)由(1)知直线y=x+m的解析式为y=x-3. 将y=0代入y=x-3,得x=3,∴点B的坐标为(3,0). 将(0,-3),(3,0)代入y=ax2+b, 得 解得 ∴二次函数y=ax2+b的解析式为y=x2-3. 19.(8分)某超市经销一种商品,每千克成本为50元,经试销发现,该种商品的每天销售量y(kg)与销售单价x(元)满足一次函数关系,其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表所示: 销售单价x/元 55 60 65 70 销售量y/kg 70 60 50 40 (1)y(kg)与x(元)之间的函数关系式为　　　　　　　.  (2)当销售单价定为多少时,才能使当天的销售利润最大?最大利润是多少? 解:(1)y=-2x+180 (2)设当天的销售利润为w元,则 w=(x-50)(-2x+180)=-2(x-70)2+800. ∵-2<0,∴当x=70时,w最大值=800. ∴当销售单价定为70元时,才能使当天的销售利润最大,最大利润是800元. 20.(9分)要建造一个圆形喷水池,在水池中央安装一个柱子OP,P处装上喷头,由P处向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下(如图).已知OP=3 m,喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4 m,离柱子OP的距离为1 m. (1)求这条抛物线的函数关系式; (2)水池的半径至少要为多少米,才能使喷出的水流不落在池外? 解:(1)由图可知点P坐标为(0,3),点A坐标为(1,4), 设y=a(x-1)2+4, ∵点P坐标为(0,3),∴3=a(0-1)2+4,∴a=-1, ∴y=-(x-1)2+4. (2)当y=0时,x1=-1,x2=3,∴水池半径至少为3 m. 21.(10分)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(1,0),C (0,-3). (1)求此二次函数的解析式; (2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10,请求出点P的坐标. 解:(1)∵二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(1,0),C(0,-3), ∴ 解得 ∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3. (2)∵当y=0时,x2+2x-3=0,解得x1=-3,x2=1, ∴点A坐标为(1,0),点B坐标为(-3,0),∴AB=4. 设点P坐标为(m,n), ∵△ABP的面积为10,∴AB·=10,解得n=±5, 当n=5时,m2+2m-3=5,解得m=-4或m=2, ∴点P坐标为(-4,5)或(2,5); 当n=-5时,m2+2m-3=-5,方程无解, 故点P坐标为(-4,5)或(2,5). 22.(13分)如图,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴交于点M. (1)求抛物线的解析式与对称轴. (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. (3)连接AC,在直线AC下方的抛物线上,是否存在一点N, 使△NAC的面积最大?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-5),将A(0,4)代入y=a(x- 1)(x-5), 得4=a×(0-1)×(0-5),∴a=, ∴y=(x-1)(x-5)=x2-x+4,∴-=-=3, ∴对称轴为直线x=3. (2)存在.连接AC交对称轴于点P,此时△PAB的周长最小. 设直线AC的解析式为y=kx+b, 将点A(0,4),C(5,0)代入y=kx+b,得 解得 ∴直线AC的解析式为y=-x+4. 当x=3时,y=-×3+4=.∴P. (3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使△NAC的面积最大. 设点N的横坐标为t, 此时点N(0<t<5), 如图,过点N作NG∥y轴交x轴于点F,交AC于点G, 作AD⊥NG,交NG的延长线于点D, 把x=t代入,得y=-t+4, 则G. ∴NG=-t+4-=-t2+4t. ∵AD+CF=CO=5, ∴S△NAC=S△ANG+S△CGN=AD×NG+NG×CF=NG·OC=××5= -2t2+10t=-2+, ∴当t=时,△NAC面积的最大值为, 当t=时,y=t2-t+4=-3,∴点N的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $