精品解析：2025年湖北省武汉市 初三毕业年级部分学校四月调研考试数学试题

2024~2025学年度武汉市部分学校九年级调研考试 数学试卷 亲爱的同学： 在你答题前，请认真阅读下面的注意事项． 1．全卷共6页，三大题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置，并在“答题卡”背面左上角填写姓名和座位号． 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效． 4．答非选择题时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡”上．答在“试卷”上无效． 5．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 在现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．在下列文字中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 的倒数是（ ） A. 5 B. 6 C. D. 3. 同时掷三枚质地均匀的硬币，下列说法正确的是（ ） A. 至少有两枚硬币正面朝上的概率是 B. 三枚的硬币一定是两正一反 C. 至少有两枚硬币正面朝上的概率是 D. 三枚的硬币同一面概率是 4. 如图是一个圆柱体，关于该图形说法正确的是（ ） A. 主视图和俯视图相同 B. 左视图和俯视图相同 C. 左视图是矩形 D. 主视图和左视图不相同 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，点E为的中点，点G为上一点，连接，现将绕点B旋转得到，连接交于点M，则大小可能是（ ） A. B. C. D. 7. 下面是常用的化学试剂，下面两种化学试剂一混合后能生成（碳酸钙）沉淀的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 一次越野跑中，前a秒钟小明跑了1600m，小刚跑了1450m．小明、小刚此后所跑的总路程y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，则图中b的值是（       ） A. 3050 B. 2250 C. 2050 D. 2890 9. 如图，线段为的直径，的角平分线与的角平分线交于一点 ，且的角平分线与交于点， 点为上一动点，当点从点运动到点时，则与两点的运动路径比是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是小李同学绘制的 （a，b均为常数）函数的图像，则实数a，b的值满足（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置． 11. 中国是世界上最早使用负数的国家、负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零下记作，则零上记作___________． 12. 写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式________． 13. 计算 的结果是___________． 14. 如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数是___________（结果精确到，参考数据： ） 15. 如图，在等边中，，，D，E分别是边上的点，．若，当取最小值时，线段长为___________． 16. 已知抛物线 （a，b，c是常数，）经过点，其中．下列结论： ①关于x的一元二次方程一定有一个根是小于的实数； ②； ③若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ④当时，y随x的增大而减小； 其中正确的结论是___________．（填写序号） 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 求满足不等式组 的自然数解． 18. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，与相交于O，且． （1）求证：； （2）连接．请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 19. 某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳动时间t（单位：）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为：，，，，，绘制成如下不完整的统计图表． 各组劳动时间的频数分布表 组别 时间 频数 A 5 B m C 20 D 15 E 8 请根据以上信息解答下列问题． （1）A组数据的众数是：___________； （2）本次调查的样本容量是___________，B组所在扇形的圆心角的大小是___________； （3）若该校有4800名学生，估计该校学生劳动时间超过的人数． 20. 如图，线段为直径，点F为上一点交于点E，且，点A为中点． （1）求证：是切线； （2）若点F为靠近点的三等分点，连接交于点，且，求阴影部分面积． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，正方形四个顶点都是格点，点是上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）如图（1），点是延长线上的格点，先画一格点使四边形为平行四边形，再画中点． （2）如图（2），点是上一点，先在上找一点，使得，再画线段绕点逆时针旋转的对应线段． 22. 某课外科技活动小组研制了一种航模飞机、通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：）、飞行高度y（单位：）随飞行时间t（单位：）变化的数据如下表． 飞行时间 0 2 4 6 8 飞行水平距离 0 10 20 30 40 飞行高度 0 22 40 54 64 探究发现x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析式和y关于 t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． 问题解决如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机，根据上面的探究发现解决下列问题 （1）若发射平台相对于安全线的高度为，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； （2）在安全线上设置回收区域，，若飞机落到内（不包括端点 M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围． 23. 如图，在和中，，，，点在边上，是的中点．连接，是的中点． （1）求证：； （2）如图（1），若点在上，直接写出的值； （3）①如图（2），若点在下方，判定以，，为顶点的三角形的形状，并证明你的结论． ②如图（2），若线段（m为常数），请直接写出点从点运动到点，点的运动路径长．（请用含 的式子表示）． 24. 抛物线 交轴于，两点（在的左边），交轴于点． （1）直接写出，，三点的坐标． （2）如图（1），点为抛物线的顶点，点为抛物线上的点（在点右侧且是非第四象限点），连接交于点 ．当 的值最小时，求点的坐标． （3）如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于，两点，过的中点作直线 （异于直线）交抛物线 于 ，两点，直线与直线 于点 ．问点 是否在一条定直线上？若是，求出该直线的解析式；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度武汉市部分学校九年级调研考试 数学试卷 亲爱的同学： 在你答题前，请认真阅读下面的注意事项． 1．全卷共6页，三大题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置，并在“答题卡”背面左上角填写姓名和座位号． 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效． 4．答非选择题时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡”上．答在“试卷”上无效． 5．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 在现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．在下列文字中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，熟练掌握概念是解决本题的关键． 根据中心对称图形的概念，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；再根据轴对称图形的概念，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，由此判断选项即可． 【详解】解：A、“中”既是中心对称图形也是轴对称图形， B、“国”既不是中心对称图形也不是轴对称图形， C、“精”既不是中心对称图形也不是轴对称图形， D、“神”既不是中心对称图形也不是轴对称图形． 故选：A． 2. 的倒数是（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，根据乘积是1的两个数互为倒数进行求解即可． 【详解】解： 的倒数是， 故选：C． 3. 同时掷三枚质地均匀的硬币，下列说法正确的是（ ） A. 至少有两枚硬币正面朝上的概率是 B. 三枚的硬币一定是两正一反 C. 至少有两枚硬币正面朝上的概率是 D. 三枚的硬币同一面概率是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，掌握列表法或画树状图法求随机事件的概率是关键． 根据题意，用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：同时掷三枚质地均匀的硬币，分别用正1，反1，正2，反2，正3，反3表示，用画树状图法把所有等可能结果表示如下， ∴共有8种等可能结果， ∴有两枚正面朝上的结果有：（正1，正2），（正1，正3），（正2，正3），三枚正面朝上的结果有：（正1，正2，正3），共有4种结果， ∴至少有两枚硬币正面朝上的概率是，故A，C选项错误，不符合题意； 三枚的硬币不一定是两正一反，故B选项错误，不符合题意； 三枚的硬币同一面的有：（正1，正2，正3），（反1，反2，反3），共2种结果， ∴三枚的硬币同一面的概率是，故D选项正确，符合题意； 故选：D ． 4. 如图是一个圆柱体，关于该图形说法正确的是（ ） A. 主视图和俯视图相同 B. 左视图和俯视图相同 C. 左视图是矩形 D. 主视图和左视图不相同 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键；因此此题可根据圆柱体的特征及三视图可进行求解． 【详解】解：由圆柱体可知：它的主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆； 所以只有C选项是正确的，其他选项都是错误的； 故选C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、积的乘方、整式乘法的应用，准确分析计算是解题的关键． 根据合并同类项法则判断选项；根据积的乘方和幂的乘方判断、选项；根据整式乘法的计算方法判断选项． 【详解】，故选项错误； ，故选项错误； ，故选项错误； ，故选项正确； 故选． 6. 如图，在菱形中，点E为的中点，点G为上一点，连接，现将绕点B旋转得到，连接交于点M，则大小可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由菱形的性质及旋转的性质推出是等边三角形，得到，利用外角性质得到，只有符合，即，由此得解 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵将绕点B旋转得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴只有符合，即 故选B 7. 下面是常用的化学试剂，下面两种化学试剂一混合后能生成（碳酸钙）沉淀的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式的运用，先找出从四种化学试剂中选两种的所有组合情况，再确定能生成沉淀的组合情况，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：从4种化学试剂、、、中选2种的组合，有和、和、和、和、和、和共6种； 根据化学知识知： 和反应，化学方程式为，会生成沉淀； 和反应，化学方程式为，会生成沉淀， 其他组合反应不会生成沉淀， 所以能生成沉淀的组合有2种； 所以，生成沉淀的概率为， 故选：A． 8. 一次越野跑中，前a秒钟小明跑了1600m，小刚跑了1450m．小明、小刚此后所跑的总路程y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，则图中b的值是（       ） A. 3050 B. 2250 C. 2050 D. 2890 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，从函数图象获取到有用信息是解题的关键． 设小明从1600处到终点的速度为m米/秒，小刚从1450米处到终点的速度为n米/秒，根据函数图象可以得出：小明用秒跑的路程与小刚用跑的路程相等，小明跑了a秒后还需要300秒到达终点，而小刚跑了a秒后还需要200秒到达终点，据此列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题． 【详解】解：设小明从1600处到终点的速度为m米/秒，小刚从1450米处到终点的速度为n米/秒，根据题意，得 ， 解得：， 故这次越野跑的全程为：1600+300×1.5=1600+450=2050（米）， 即米． 故选：C． 9. 如图，线段为的直径，的角平分线与的角平分线交于一点 ，且的角平分线与交于点， 点为上一动点，当点从点运动到点时，则与两点的运动路径比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题． 如图1，连接，由题意可知，点是的内心，由为直径，可得，进而可得为定值，所以点的轨迹为一段弧，如图2，以点为圆心，为半径画圆，延长，交圆于点，连接，，可证，根据对角互补的四点共圆，可知点在以点为圆心，为半径的圆上运动，运动轨迹为，设，则，进一步可算出点的运动路径为，由图2可知，点的运动轨迹为，可算出点的运动路径为，最后计算比值即可得解． 【详解】解：如图1，连接， 点是和的角平分线的交点， 点是的内心， 平分， 为直径， ， ， 为定值， 点的轨迹为一段弧， 此圆弧的圆心一定在弦的中垂线上， 如图2，过圆心作，连接，， 设，则， 为直径， ， 平分， ， ，　　 ， 如图2，以点为圆心，为半径画圆，延长，交圆于点，连接，， 是圆中弦所对的圆心角，而是圆中弦所对的圆周角， ， ， ， 点，，，，四点共圆， 点在以点为圆心，为半径的圆上运动，运动轨迹为， 点的运动路径为， 由图2可知，当点从点运动到点时，点的运动轨迹为， 点的运动路径为， 点和点的运动路径比为． 故选：D． 【点睛】 10. 如图是小李同学绘制的 （a，b均为常数）函数的图像，则实数a，b的值满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了从函数图像获取信息，函数图像经过第一、三象限，那么当时，，则可分为三种情况：；；；根据x的值接近于0时的函数值和根据x的值为正负无穷时的函数值讨论三种情况即可． 【详解】解：由函数图像可知，当时，， 当时，则当，且的值无限接近0时，的值为负，且接近0，的值为正，且无穷大， ∴的值为正，且无穷大， 而由函数图像可知，当，且的值无限接近0时，的值无限小，且为负， ∴与题意不符； 当时，则当，且的值无穷大时，的值为负，且负无穷，的值为正，且无穷小， ∴的值为负，且负无穷， 而由函数图像可知，当，且的值无穷大时，的值为正，且无穷大， ∴与题意不符； 当时，则当，且的值无穷大时，的值为正，且正无穷，的值为正，且无穷小， ∴的值为正，且无穷大， 而由函数图像可知，当，且的值无穷大时，的值为正，且正无穷，符合题意； 当时，则当，且的值接近0时，的值为正，且无穷小，的值为正，且无穷大， ∴的值为正，且无穷大， 而由函数图像可知，当，且的值接近0时，的值为正，且正无穷，符合题意； 当时，则当，且的值接近0时，的值为负，且接近0，的值为负，且负无穷， ∴的值为负无穷， 而由函数图像可知，当，且的值接近0时，的值为负，且负无穷，符合题意； 当时，则当，且无穷小时，的值为负，且负无穷，的值为负，且接近0， ∴的值为负无穷， 而由函数图像可知，当，且无穷小时，的值为负，且负无穷，符合题意； 综上所述，，   故选： B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置． 11. 中国是世界上最早使用负数的国家、负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零下记作，则零上记作___________． 【答案】10 【解析】 【分析】此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解本题的关键，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正数，则另一个就用负数表示，据此求解即可． 【详解】解：若零下记作，则零上记作， 故答案为：10． 12. 写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据反比例函数在二、四象限的特征得出k＜0即可． 【详解】解：位于二、四象限的反比例函数比例系数k＜0，据此写出一个函数解析式即可，如（答案不唯一）． 【点睛】本题考查反比例函数的特征，掌握反比例函数的特征，反比例函数在一三象限，k＞0，反比例函数在二四象限，k＜0． 13. 计算 的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握其运算法则是关键． 根据异分母分式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：  ， 故答案为： ． 14. 如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数是___________（结果精确到，参考数据： ） 【答案】2.667 【解析】 【分析】本题考查解三角形的实际应用，取尺子O点正上方的点为D，根据题意可得，，根据正切函数的定义求解即可． 【详解】解：取尺子O点正上方的点为D，如图所示， 依题知，为等腰直角三角形，且，， 在中， ，即， ， 点C在尺上的读数约为， 故答案为：． 15. 如图，在等边中，，，D，E分别是边上的点，．若，当取最小值时，线段长为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、最短路径问题，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 过A作，且，连接，，设与交点为， 先证明得到，则，当B、E、P共线时取等号，此时点E与重合，再证明得到 即可求解． 【详解】解：∵在等边中，，， ∴，， 过A作，且，连接，，设与交点为， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∴，当B、E、P共线时取等号，此时点E与重合， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故当取最小值时，线段长为2． 故答案为：2． 16. 已知抛物线 （a，b，c是常数，）经过点，其中．下列结论： ①关于x的一元二次方程一定有一个根是小于的实数； ②； ③若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ④当时，y随x的增大而减小； 其中正确的结论是___________．（填写序号） 【答案】②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据抛物线开口向上，与轴交于正半轴，位于第四象限，画出大致函数图象，再结合函数图象分析即可． 【详解】解：∵抛物线 （a，b，c是常数，）， ∴抛物线开口向上，与轴交于正半轴， ∵点，其中． ∴位于第四象限， ∴抛物线 （a，b，c是常数，）的大致图象如下： 由函数图象可得，关于x的一元二次方程的根都是正数，一定不会有一个根是小于的实数，故结论①错误； 对称轴在轴右边，即，由可得，故结论②正确； 根据图象发现，与有两个不同的交点，即关于x的一元二次方程 一定有两个不相等的实数根，不可能有两个相等的实数根，故结论③错误； 将点坐标代入得，， ∴， ∴对称轴， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，y随x的增大而减小，故结论④成立； 故答案为：②④． 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 求满足不等式组 的自然数解． 【答案】0，1，2 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的自然数解，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键． 先分别求出两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，再求不等式组的解集范围内的自然数即可． 【详解】解：解不等式①，得； 解不等式②，得； 不等式组的解集是． 满足该不等式组的自然数解为0，1，2． 18. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，与相交于O，且． （1）求证：； （2）连接．请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 【答案】（1） 证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质，得到，即可得到； （2）先证明四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，四边形为菱形； 连接， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形． 19. 某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳动时间t（单位：）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为：，，，，，绘制成如下不完整的统计图表． 各组劳动时间的频数分布表 组别 时间 频数 A 5 B m C 20 D 15 E 8 请根据以上信息解答下列问题． （1）A组数据的众数是：___________； （2）本次调查的样本容量是___________，B组所在扇形的圆心角的大小是___________； （3）若该校有4800名学生，估计该校学生劳动时间超过的人数． 【答案】（1） （2） （3）该校学生劳动时间超过的大约有人 【解析】 【分析】（1）根据众数是一组数据中出现次数最多的数据进行求解即可； （2）利用D组的频数除以对应的百分比即可得到样本容量，利用样本容量减去A、C、D、E组的频数得到B组的频数，再用乘以B组占样本的百分比即可得到B组所在扇形的圆心角的大小； （3）用该校所有学生数乘以样本中劳动时间超过的人数的占比即可估计该校学生劳动时间超过的人数． 【小问1详解】 解：出现的次数最多， A组数据的众数是：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：本次调查的样本容量是，则， B组所在扇形的圆心角的大小是， 故答案为：． 【小问3详解】 解：该校学生劳动时间超过的人数（人）． 【点睛】此题考查了扇形统计图和频数分布表的信息关联，还考查了众数、样本容量、用样本估计总体等知识，读懂题意，找准扇形统计图和频数分布表的联系，准确计算是解题的关键． 20. 如图，线段为直径，点F为上一点交于点E，且，点A为中点． （1）求证：是切线； （2）若点F为靠近点的三等分点，连接交于点，且，求阴影部分面积． 【答案】（1） 证明：连接． 点A为中点， ， 又为直径， ， ∵， 又为半径， 是切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由题意易得，然后根据平行线的性质可知，进而问题可求证； （2）连接，过点作于点，由题意易得，，则有，，然后可得，进而根据三角函数及扇形面积公式可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，过点作于点． 点为靠近B点的三等分点， ， ， ， 点A为中点， ， 又为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 半径为， ． 【点睛】本题主要考查切线的判定、扇形面积公式、三角函数及圆周角的性质，熟练掌握切线的判定、扇形面积公式、三角函数及圆周角的性质是解题的关键． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，正方形四个顶点都是格点，点是上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）如图（1），点是延长线上的格点，先画一格点使四边形为平行四边形，再画中点． （2）如图（2），点是上一点，先在上找一点，使得，再画线段绕点逆时针旋转的对应线段． 【答案】（1） 画图如图（1） （2）画图如图（2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等”，即且，找到点，由平行四边形“对角线互相平分”的性质，如图（1）连接与的交点即为点； （2）连接、交于点，连接并延长与交于点，连接，连接、交于点，连接并延长与网格线交于点，如图（2）连接即为所求； 本题考查了旋转变换、平行线、平行四边形的性质和判定，理解题意，利用几何知识和旋转变换找到所求点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 画图如图（2） 对线段给出证明如下： 连接、交于点，连接并延长与交于点， 则点与点关于对称, ， 连接，连接、交于点，连接并延长与网格线交于点，连接即为所求， ， ， ， 是的中点，， ， ， ， 则四边形是平行四边形， ， ． 即证是线段绕点逆时针旋转所得． 22. 某课外科技活动小组研制了一种航模飞机、通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：）、飞行高度y（单位：）随飞行时间t（单位：）变化的数据如下表． 飞行时间 0 2 4 6 8 飞行水平距离 0 10 20 30 40 飞行高度 0 22 40 54 64 探究发现x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析式和y关于 t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． 问题解决如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机，根据上面的探究发现解决下列问题 （1）若发射平台相对于安全线的高度为，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； （2）在安全线上设置回收区域，，若飞机落到内（不包括端点 M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围． 【答案】探究发现：；问题解决：（1）飞机落到安全线时飞行的水平距离为；（2）发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 探究发现：由表格可知，飞行时间每增加，水平距离增加，据此可求出x与t的函数关系；由图可得，飞机的飞行轨迹类似于抛物线，据此利用待定系数法可求出y与t的函数关系； （1）根据探究发现求出的y与t的函数关系，求出y的值为0时t的值，进而求出此时x的值即可得到答案； （2）设发射平台相对于安全线的高度为，则飞机相对于安全线的飞行高度 根据的长度可得x的取值范围，进而可得t的取值范围，再求出对应t的值和的值为0的条件下n的值即可得到答案． 【详解】解：探究发现：由表格可知，飞行时间每增加，水平距离增加， ∴； 由图可得，飞机的飞行轨迹类似于抛物线， ∴可设， ∴ ， ∴， ∴； 问题解决：（1）在中，当时， 解得（舍），， 当时，． 答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为． （2）设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度 ， ∴， ∴， 在中，当时，； 当时，． ． 答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于． 23. 如图，在和中，，，，点在边上，是的中点．连接，是的中点． （1）求证：； （2）如图（1），若点在上，直接写出的值； （3）①如图（2），若点在下方，判定以，，为顶点的三角形的形状，并证明你的结论． ②如图（2），若线段（m为常数），请直接写出点从点运动到点，点的运动路径长．（请用含 的式子表示）． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∴，即，， ∴， ∴； （2） （3）①以，，为顶点的三角形为等腰直角三角形，证明如下： 延长交于点，连接，，设交于点， ∵， ∴， ∵是的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，且， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形． ② 【解析】 【分析】（1）利用“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”证明，即可得出结论； （2）作，垂足为，由（1）可知，，，由相似三角形的性质可得，利用等腰三角形“三线合一”的性质以及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，即，再证明，易得，然后根据，由此得出，进而求出得出求解即可； （3）①延长交于点，连接，，设交于点，证明，得到，，再证明，得到，，进而得到，即可得出结论． ②取的中点，连接，可以证明，，由此可得点在过点平行于直线上运动，点从点运动到点，点的运动路径长为 ，由此即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如下图，连接，作，垂足为， 由（1）可知，，， ∴， ∵，，是的中点， ∴，，即， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵，且， ∴， ， ∴ 【小问3详解】 ①略 ②取的中点，连接， ∵， ∴，， ∴点在过点平行于直线上运动， 当点在点时，点与点重合，点与点重合， ∵， ∴， ∴， 当点运动到点时，此时，则，， ∴点从点运动到点，点的运动路径长为 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形． 24. 抛物线 交轴于，两点（在的左边），交轴于点． （1）直接写出，，三点的坐标． （2）如图（1），点为抛物线的顶点，点为抛物线上的点（在点右侧且是非第四象限点），连接交于点 ．当 的值最小时，求点的坐标． （3）如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于，两点，过的中点作直线 （异于直线）交抛物线 于 ，两点，直线与直线 于点 ．问点 是否在一条定直线上？若是，求出该直线的解析式；若不是，请说明理由． 【答案】（1），， （2） （3）点是在一条定直线上，该直线的解析式为 【解析】 【分析】（1）分别令、为，解方程即可求得点、、的坐标； （2）如图，过点作轴，交于点，根据，设，，分别根据点的坐标特征以及与所在直线的关系表示出和，进而得出，要使的值最小，即取最大值，根据函数的增减性判断即可，进而求出点的坐标． （3）由题意知抛物线：， 联立方程求解即可得点坐标，根据中点坐标公式可得点坐标．设，，可得直线的解析式， 将点的坐标代入可得． 同理，求得直线的解析式，联立直线和直线的解析式可得点坐标，代入，整理比较系数之间的关系，判定点是否在一条定直线上． 【小问1详解】 解：抛物线 交轴于，两点（在的左边），交轴于点， 当时，， ， 当时，得：， 解得或， ，． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴，交于点， ， ， 设直线的解析式为，则有， 所以直线的解析式为， 设， ， 为抛物线上的点， 设， 设直线的解析式为，则有， ， ， ， ， 要使的值最小，即取最大值时， ，且随着的增大而增大， 当时，取最大值，最大值为，此时点与点重合， 设直线的解析式为，则有： ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得， 点的坐标为， 即当的值最小时，点的坐标为． 【小问3详解】 解：点在一条定直线上．理由如下： 由题意知抛物线：， 联立，解得，， ． 是的中点， ． 设，，直线的解析式为， 则 ， 解得， 直线的解析式为， 直线经过点， ，即． 设直线的解析式为，则有： ，解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为，则有： ，解得， 直线的解析式为， 联立 ， 直线与相交于点， ， 解得 ，即， 设点在直线上，则， 整理得，， 比较系数，得 ，解得， 当，时，无论、为何值时，等式恒成立， 点在定直线上． 即点是在一条定直线上，该直线的解析式为． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与坐标轴的交点，一次函数图象上点的坐标特征等．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，运用分类讨论思想思考是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $