精品解析：重庆市育才中学教学共体2025-2026学年九年级上学期第一次自主作业检测数学试题

重庆育才中学教共体初2026届初三（上）第一次自主作业 数学试卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，有理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数和无理数的概念，二次根式的化简，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据整数和分数统称为有理数，进行一一判断即可． 【详解】解：A、是无理数，故不符合题意； B、是无理数，故不符合题意； C、是有理数，故符合题意； D、是无理数，故不符合题意； 故选：C． 2. 以下图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此解答即可． 【详解】解：由轴对称图形的概念可知，已知图形中属于轴对称图形的是图形D． 故选：D． 3. 在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 6，8，10 C. 5，12，14 D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和构成三角形的条件，熟练掌握勾股定理逆定理的内容是解题的关键．根据勾股定理的逆定理逐项进行判断即可得． 【详解】解：A、，故不能组成直角三角形； B、，故能组成直角三角形； C、，故不能组成直角三角形； D、，故不能组成直角三角形； 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方和完全平方公式，熟记各运算法则是解答本题的关键．根据幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方和完全平方公式逐一判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、、不是同类项，不能合并同类项，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：B． 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 对角线相互平分且相等的四边形是菱形 B. 对角线相等的四边形是平行四边形 C. 对角线相等且平分的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形、平行四边形、矩形、正方形的判定定理，熟练掌握这些判定定理是解题的关键．根据各选项中四边形对角线的性质，结合菱形、平行四边形、矩形、正方形的判定定理来判断命题真假． 【详解】解：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，不是菱形，故A错误． 对角线互相平分的四边形是平行四边形，仅对角线相等不能判定是平行四边形，故B错误． 因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线再相等，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，所以对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故C正确． 正方形需要对角线垂直、相等且互相平分，仅垂直和相等不充分，故D错误． 故选：C． 6. 如图，与位似，位似中心是点，且，若的周长为8，则的周长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的概念，相似三角形的判定与性质，根据位似图形的概念得到，，接着证明，求得与相似比为，然后根据位似图形的周长之比等于相似比即可求解． 【详解】解：与位似，位似中心是点， ，， ， ， ， 与相似比为， 的周长为8， 则的周长为． 故选：A． 7. 已知关于的一元二次方程一个根是2，则的值（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的特征，解一元一次方程，熟练掌握该知识点是解题的关键．将代入，然后解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方的程一个根是2， ， ， 故选：C． 8. 如图，是三种化合物的结构式及分子式，则按其规律第20个化合物的分子式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数列规律识别和代数表达式的应用，熟练掌握如何通过观察和代数表达来找出数列中的规律是解题的关键．通过观察给定的几种化合物的结构和分子式，可以看出每个化合物的碳原子数量和氢原子数量之间存在一定的数学关系．需要找到这种关系，并据此推断第20个化合物的分子式． 【详解】解：观察给出的化合物分子式： ； ； ； ； 可以看出，每个化合物的氢原子数量总是其碳原子数量的两倍加2，即对于第n个化合物，其分子式为， 将代入上述公式，得到： ， ， 故选：B． 9. 如图，在正方形中，点、分别是和边上的点，其中，上有一点，满足，连接，若为的中点，连接，设，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质、直角三角形性质、三角形内角和定理及等腰三角形的判定与性质，连接，证明，求出，再证明，根据等腰三角形的性质求出结论． 【详解】解：连接， 在正方形中，， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ，为的中点， ， ， ， ， 故选：A． 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，为整数，且满足，．下列说法：①满足条件的所有整式不存在单项式；②当时，满足条件的所有整式的和为；③满足条件的所有三次四项式，共有15个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了单项式，多项式的概念，涉及次数，项数等，整式的加减，理解题意，分类讨论是解题的关键．当时，整式为，可证此时不为0，整式为不可能是单项式，从而判断①；当时，整式为，，，然后从，，，，讨论出所有满足条件的，然后加起来即可得出答案；由题意可知，那么，然后分类讨论得出列出所有满足条件的，即可判断③． 【详解】解：整式，其中为自然数，为正整数，为整数， 都不为0，最小为0， 当时，整式为， 满足，． ，， 不为0， 那么当时，整式为不可能是单项式；故①正确； 当时，整式为， 满足，． ，， 那么当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 那么所有的之和为，所有的之和为，所有的之和为， 故满足条件的所有整式的和为；故②错误； 当整式为三次四项式，那么，， 那么整式为， 满足，． ，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 共15个，故③正确； 故选：C． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了基本算术运算和特殊角度的三角函数值，熟练掌握平方根的计算和特殊角度（如）的正弦值是解题的关键．首先需要计算算术平方根的值，然后计算特定角度的正弦值，最后将两者相加．解题思路是分别计算两个部分的值，然后进行加法运算． 【详解】解： 故答案为：． 12. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是环，方差分别为，则射击成绩最稳定的是___________． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的意义，要判断谁的射击成绩最稳定，根据方差的意义，比较四人成绩的方差大小，方差最小的成绩最稳定． 【详解】解：∵ ， ， ， ，且， ∴ 丙的方差最小，射击成绩最稳定． 故答案为：丙． 13. 若点在一次函数图象上，则___________（填，或）． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一次函数的表达式，分别求出点、对应的函数值、，再比较大小．本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵ 点在图象上， ∴ ． ∵ 点在图象上， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 故答案为：． 14. 已知两个多项式，若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的运算，分式的化简求值，利用整体代入法是解题的关键．化简，得到，然后将代入化简即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，点为对角线、的交点，将沿着直线翻折得到，与交于点，连接，则___________，___________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】先利用矩形性质、勾股定理和三角形面积公式求出、，再根据中位线定理得；接着证明、，推出，利用相似性质列方程求． 【详解】解：如图，连接交于． 在矩形中，，，，，， 矩形面积为， ， 由翻折可知，， 在中，由勾股定理得， ， ∵， ∴， 解得， 在中，， ， ，， 是的中位线， ，且， 由折叠可知，又， ， ， ， ， 设，则， ∴， 解得， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键． 16. 如果一个四位数能被两个两位数与表示为，其中数与的十位数字相同，个位数字之和为8，则称四位数为“成功数”，并把数被数与表示为的过程，称为“成功分解”，例如：，35与33的十位数字相同，个位数字之和等于8， ∴1258是“成功数”．按照这个规定，则2344____________“成功数”（填“是”或“不是”）；若把一个四位“成功数”进行“成功分解”，即表示为，并将放在的左边组成一个新的四位数，若能被13整除，且的各个数位数字之和能被4整除，则满足条件的数最小值是____________． 【答案】 ①. 是 ②. 1728 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的数的整除问题，熟练掌握能被13、4整除的数的特征以及根据新定义建立数学表达式是解题的关键．判断2344是否为“成功数”，需找到满足条件的两位数和，使，且与十位数字相同，个位数字之和为8．设，则，得出的表达式，再根据能被13整除且各位数字之和能被4整除，结合是四位数确定、的范围，进而求解的最小值． 【详解】解：设，则（为的整数，为的整数）． ． 当，时，，， ， ∴2344是“成功数”． 设，则（为的整数，为的整数），． ∵能被13整除，的各位数字之和为，且能被4整除，即（为整数），化简得， ∴为偶数． 又∵是四位数， 当， 时，，，此时，不满足为位数的条件． 当，时，，，，，，能被13整除，各位数字之和为，能被4整除． 因此，的最小值为1728． 故答案为：是，1728． 三、解答题：（本大题共2小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，包括因式分解法和求根公式法，熟练掌握一元二次方程的求解方法和求根公式是解题的关键． （1）通过将方程左侧提取公因式的方式，将方程转化为两个一元一次方程求解． （2）采用求根公式法进行求解． 【小问1详解】 解：， ， ∴， 【小问2详解】 解：， ∵，，， ∴， 即， ∴，． 18. 如图，在菱形中，对角线、交于点，平分交于点．作的平分线交于点，证明．解答思路：利用菱形对角线的性质和角平分性质得到角相等，再通过与全等得对应边相等．请根据解答思路完成下面填空并用尺规作图： （1）作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹） （2）证明：∵四边形是菱形， ∴①_______， ∴②_______， ∵平分，平分， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【答案】（1） 为所求： （2） 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了尺规做题——角平分线，角平分线的定义，菱形的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以、为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点，连接交于点，则为所求； （2）结合菱形的性质以及角平分线，证明出，以及，然后证明，然后根据全等三角形的性质得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题：（本大题共7小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 每年9月是全民健康生活方式宣传月，2025年9月1日是第19个“全民健康生活方式日”某校学生会从八、九年级各随机抽取20名学生进行了“全民健康生活方式”相关知识问卷调查，并对获得的数据进行整理和分析．问卷共设置了10道选择题，每题10分，满分100（即得分为10的倍数）．问卷得分（）分为4个等级：．优秀（）；．良好（）；．及格（）；．不及格（）．下面给出了部分信息： 抽取的八年级学生的问卷得分在组的数据是：100，100，100，90，90，90，90； 抽取的九年级学生的问卷得分在组的数据是：100，100，100，100，90，90，90，90，90，90； 被抽取的八、九年级学生问卷得分统计表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 80 80 180 九年级 80 90 390 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，_____，_____，并直接补全条形统计图； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级的学生更了解“全民健康生活方式”相关知识？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有学生1060人，九年级有学生900人，请估计八、九年级学生能够获得优秀等级的人数共是多少？ 【答案】（1），，； 补全条形统计图如下： （2） 解：九年级学生更了解．理由如下： 九年级的中位数大于八年级的中位数，中位数越大，说明数据的中间水平越高，即九年级学生的成绩中间水平更高，所以九年级学生更了解“全民健康生活方式”相关知识． （3）人． 【解析】 【分析】（1）依据众数定义确定八年级众数；按照中位数定义，结合九年级组人数确定中位数；通过扇形统计图及已知条件计算，再根据各等级人数关系补全条形统计图． （2）对比八年级和九年级数据的中位数、众数等统计量，判断哪个年级学生更了解相关知识． （3）先分别算出八年级和九年级优秀人数的占比，再结合各年级总人数，用总人数乘以占比求出优秀总人数． 【小问1详解】 解：由题意可得八年级被抽取数据出现了3次，90出现4次，60以下的数据出现1次，60和70这两类数据出现5次， 出现的次数为次，是出现次数最多的， 所以． 九年级抽取名学生，将数据从小到大排列，中位数是第、个数据的平均数． 九年级组有人，组有人， 所以第、个数据分别为90、80， 所以中位数． 九年级组占，则组人数为人； 组占，则组人数为人； 组有人， 所以组人数为人， 组人数所占百分比为， ∴． 八年级总人数人，组人，组人，组人， 所以组人数为人， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：八、九年级优秀总人数： 人． 【点睛】本题主要考查了统计的相关知识，包括众数、中位数、扇形统计图、条形统计图以及用样本估计总体等，熟练掌握这些统计概念和方法是解题的关键． 20. 先化简再求值：，并且x是大于，小于3的整数，取一个合适的x代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵x是大于，小于3的整数，且，，，， ∴， 当时，原式． 21. 数学沈老师为了激励学生尺规作图规范，购买3个圆规和4支铅笔花费38元，奖励给（1）班作图优秀的学生；购买5个圆规和2支铅笔花费54元，奖励给（2）班作图优秀的学生． （1）请问圆规和铅笔的单价分别为多少元？ （2）沈老师的奖励起到了非常好的效果，越来越多的学生作图规范，沈老师决定再购买一批圆规和铅笔奖励给学生，并且商家降价优惠卖给沈老师，其中铅笔的售价降低元，圆规的售价降低元．沈老师花30元购买铅笔，花75元购买圆规，此次购买圆规和铅笔共30个，求的值． 【答案】（1）圆规的单价为10元，铅笔的单价为2元 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． （1）设圆规的单价为x元，铅笔的单价为y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）根据“花30元购买铅笔，花75元购买圆规，此次购买圆规和铅笔共30个，”列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设圆规的单价为x元，铅笔的单价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：圆规的单价为10元，铅笔的单价为2元； 【小问2详解】 解：根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 即的值为． 22. 如图，在矩形中，，对角线、交于点．动点以每秒1个单位长度从点出发沿运动，同时动点以相同的速度从点出发沿着运动，设点、运动的时间都为，点到点的距离为，点到的距离与的距离的和为． （1）请直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】（1），． （2） 作图如下： 性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （3）． 【解析】 【分析】（1）对于，先根据矩形性质和勾股定理求出对角线的长度，再结合点的运动速度和路程关系得出函数关系式；对于，分点在上和上两种情况，利用相似三角形的性质求出点到和的距离，进而得出的函数关系式． （2）根据（1）中的分段函数，分别取点绘制图象，再观察图象得出一条性质． （3）结合和的函数图象，找出时的取值范围． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ，， ∴，，，， ∴． ∵点从出发沿运动，速度为每秒个单位长度，运动时间为， ∴， ∴； ∴， 当时，点在上．设点到的距离为，到的距离为．过Q作，，则， ∴ ∴， ∴即， ∴， ． 同理，， ∴， ∴． ∴． 当时，点在上，，．过作，，则，． ∴，， ∴，即， ∴． ∵， ∴，即， ∴． ∴． 综上，． 【小问2详解】 解：当时，；当时，；当时，． 【小问3详解】 解： 联立与得 解得． 联立与得 解得（舍去，因为）． 如图， 结合图象，时的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及函数图象的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质，准确找出相似比是解题的关键． 23. 如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别去、两港装载物资，港位于港西南方向，最后都运送到港．甲货轮沿港的南偏东方向航行60海里后到达港，再沿北偏东航行一定距离到达港．乙货轮沿港的正东方向航行一定距离到达港，装载好货物后再沿正南方向航行一定距离到达港．（参考数据： ，，） （1）求、两港之间的距离（结果保留根号）． （2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 【答案】（1）海里 （2）甲货轮先到达港 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方位角，构建直角三角形是解题的关键． （1）作于点，根据方位角的定义得到，，海里，推出，然后在中，利用三角函数求得、即可得到答案； （2）作于点，由（1）可求得，然后根据解直角三角形得到，，，，结合，从而求得，进而得到、，计算出和进行比较即可． 【小问1详解】 解：作于点，如图所示， 则， 由题意可知，，，海里， ∴， ∴， 在中，（海里）， （海里）， ∴海里， 答：、两港之间的距离为海里． 【小问2详解】 解：作于点，如图所示， 则， 由题意可知，，， 由（1）可知，，（海里）， ∴，， ∴，，，， ∵，即， 解得， ∴海里， 海里， ∴（海里）， （海里）， ∵，甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同）， ∴甲货轮先到达港． 24. 如图1，一次函数分别与轴，轴交于点，点在轴上满足． （1）求直线的解析式； （2）如图2，点是直线上一动点，线段在轴上移动，记为，分别连接，当线段最短时，求周长的最小值； （3）如图3，在（2）问的条件下，将直线沿射线方向平移个单位得到直线，点是直线上一动点，连接，是否存在点使得直线与直线与的夹角等于，若存在，请直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）先求出点B坐标，再用待定系数法求解即可； （2）先根据垂线段最短利用勾股定理求出点，再利用建桥选址（平移）模型和将军饮马（对称）模型将周长的最小值问题转化为，再根据坐标系中两点距离公式求解即可， （3）先求出点点沿射线方向平移个单位得到点坐标为，进而求出直线的解析式，再根据当轴时，，求出此时点的坐标为，进而利用对边等角找到另一个满足条件点，利用坐标系中两点距离公式列方程求解即可． 【小问1详解】 解：对于一次函数， 令，则， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 设直线的解析式为， 把、代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：对于一次函数， 令，则， ∴， ∴， 当线段最短时，则， ∵点是直线上，且， ∴设， ∵， ∴， 解得： ，（不符合题意舍去）， ∴， ∵周长 ∴当最小时，周长最小， 如图，取点关于轴对称点，将点向右平移个单位，得，连接、、、， 由对称可知：， 由平移可知：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当、、三点在同一直线上，即点在与轴交点上时，最小， 即的最小值为， ∵， 周长最小为． 【小问3详解】 解：∵， ∴直线解析式为， 设点沿射线方向平移个单位得到点坐标为， 则， ∴， ∴， ∴点， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当轴时，，此时点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 所以点的坐标为， 在直线取点使，设点坐标为，如图： ∴ ∴， ∴，， ∴，即直线与直线与的夹角等于， 由可得：， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴点坐标为， 综上所述：以点的坐标为或 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，解题关键是利用平行和对称转化线段关系，由建桥选址（平移）模型和将军饮马（对称）模型求出最小值，利用平行直线的一次项系数相等求解析式． 25. 如图，在等边中，延长到点，连接． （1）点是内一动点，满足，以为边作等边，点落在线段上，若，求的度数； （2）如图2，的角平分线交于，在边上取点，使得，连接，在边上取一点，使得，连接、．用等式表示线段、、三者之间的关系； （3）如图3，已知，点是内一动点且满足，当最小时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等边和性质，证明，得出，结合建立方程，即可求解， （2）过点作，交于，连接，通过构造平行线与双等腰结构，得到，从而得到， 再证明．先利用等腰三角形性质和三角形的内角和证明，得是等边三角形，进而得，再证明得，从而可得点是的内角平分线的交点，由此证明，再利用等腰三角形判定证明，由此证明，可得，可得； （3）以为边向下作等边，可得，当最小时，即，最小， 进而可得，作于点，再利用勾股定理和线段和差求出，结合，由此即可解． 【小问1详解】 解：∵在等边中， ∴，， ∵在等边中， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ 【小问2详解】 解：过点作，交于，连接， 设， ∵是的角平分线， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴点是的内角平分线的交点， ∴平分， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：以为边在下方作等边，作于点，如图， 同理（1），易证， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴当最小时，即，最小， 此时， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了全等三角形性质和判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，直角三角形的性质等知识点，综合性强，通过旋转、对称等几何变换转化角度关系和线段关系是解题关键．（1）通过构造旋转全等三角形，建立角度关系求解，（2）构造平行线与双等腰结构，通过全等三角形转化线段关系，（3）旋转构造等边三角形，利用极值点定位求最优解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆育才中学教共体初2026届初三（上）第一次自主作业 数学试卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，有理数是（ ） A. B. C. D. 2. 以下图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 6，8，10 C. 5，12，14 D. ，， 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 对角线相互平分且相等的四边形是菱形 B. 对角线相等的四边形是平行四边形 C. 对角线相等且平分的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 6. 如图，与位似，位似中心是点，且，若的周长为8，则的周长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 已知关于的一元二次方程一个根是2，则的值（ ） A. B. C. D. 6 8. 如图，是三种化合物的结构式及分子式，则按其规律第20个化合物的分子式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点、分别是和边上的点，其中，上有一点，满足，连接，若为的中点，连接，设，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，为整数，且满足，．下列说法：①满足条件的所有整式不存在单项式；②当时，满足条件的所有整式的和为；③满足条件的所有三次四项式，共有15个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ___________． 12. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是环，方差分别为，则射击成绩最稳定的是___________． 13. 若点在一次函数图象上，则___________（填，或）． 14. 已知两个多项式，若，则的值为___________． 15. 如图，在矩形中，，点为对角线、的交点，将沿着直线翻折得到，与交于点，连接，则___________，___________． 16. 如果一个四位数能被两个两位数与表示为，其中数与的十位数字相同，个位数字之和为8，则称四位数为“成功数”，并把数被数与表示为的过程，称为“成功分解”，例如：，35与33的十位数字相同，个位数字之和等于8， ∴1258是“成功数”．按照这个规定，则2344____________“成功数”（填“是”或“不是”）；若把一个四位“成功数”进行“成功分解”，即表示为，并将放在的左边组成一个新的四位数，若能被13整除，且的各个数位数字之和能被4整除，则满足条件的数最小值是____________． 三、解答题：（本大题共2小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在菱形中，对角线、交于点，平分交于点．作的平分线交于点，证明．解答思路：利用菱形对角线的性质和角平分性质得到角相等，再通过与全等得对应边相等．请根据解答思路完成下面填空并用尺规作图： （1）作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹） （2）证明：∵四边形是菱形， ∴①_______， ∴②_______， ∵平分，平分， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 四、解答题：（本大题共7小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 每年9月是全民健康生活方式宣传月，2025年9月1日是第19个“全民健康生活方式日”某校学生会从八、九年级各随机抽取20名学生进行了“全民健康生活方式”相关知识问卷调查，并对获得的数据进行整理和分析．问卷共设置了10道选择题，每题10分，满分100（即得分为10的倍数）．问卷得分（）分为4个等级：．优秀（）；．良好（）；．及格（）；．不及格（）．下面给出了部分信息： 抽取的八年级学生的问卷得分在组的数据是：100，100，100，90，90，90，90； 抽取的九年级学生的问卷得分在组的数据是：100，100，100，100，90，90，90，90，90，90； 被抽取的八、九年级学生问卷得分统计表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 80 80 180 九年级 80 90 390 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，_____，_____，并直接补全条形统计图； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级的学生更了解“全民健康生活方式”相关知识？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有学生1060人，九年级有学生900人，请估计八、九年级学生能够获得优秀等级的人数共是多少？ 20. 先化简再求值：，并且x是大于，小于3的整数，取一个合适的x代入求值． 21. 数学沈老师为了激励学生尺规作图规范，购买3个圆规和4支铅笔花费38元，奖励给（1）班作图优秀的学生；购买5个圆规和2支铅笔花费54元，奖励给（2）班作图优秀的学生． （1）请问圆规和铅笔的单价分别为多少元？ （2）沈老师的奖励起到了非常好的效果，越来越多的学生作图规范，沈老师决定再购买一批圆规和铅笔奖励给学生，并且商家降价优惠卖给沈老师，其中铅笔的售价降低元，圆规的售价降低元．沈老师花30元购买铅笔，花75元购买圆规，此次购买圆规和铅笔共30个，求的值． 22. 如图，在矩形中，，对角线、交于点．动点以每秒1个单位长度从点出发沿运动，同时动点以相同的速度从点出发沿着运动，设点、运动的时间都为，点到点的距离为，点到的距离与的距离的和为． （1）请直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 23. 如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别去、两港装载物资，港位于港西南方向，最后都运送到港．甲货轮沿港的南偏东方向航行60海里后到达港，再沿北偏东航行一定距离到达港．乙货轮沿港的正东方向航行一定距离到达港，装载好货物后再沿正南方向航行一定距离到达港．（参考数据： ，，） （1）求、两港之间的距离（结果保留根号）． （2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 24. 如图1，一次函数分别与轴，轴交于点，点在轴上满足． （1）求直线的解析式； （2）如图2，点是直线上一动点，线段在轴上移动，记为，分别连接，当线段最短时，求周长的最小值； （3）如图3，在（2）问的条件下，将直线沿射线方向平移个单位得到直线，点是直线上一动点，连接，是否存在点使得直线与直线与的夹角等于，若存在，请直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 25. 如图，在等边中，延长到点，连接． （1）点是内一动点，满足，以为边作等边，点落在线段上，若，求的度数； （2）如图2，的角平分线交于，在边上取点，使得，连接，在边上取一点，使得，连接、．用等式表示线段、、三者之间的关系； （3）如图3，已知，点是内一动点且满足，当最小时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $