第4讲：充分条件与必要条件【知识梳理+3个题型归纳】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2025-2026年高一上数学常考题型归纳 【第4讲：充分条件与必要条件】 【知识梳理】 一、核心概念界定 1.命题的基本关系 设命题为“若，则”（记为），其中称为条件，称为结论。 2.充分条件 若成立，则称是的充分条件，即“有必有”。充分条件不要求唯一，也不要求是的“最小”条件。 3.必要条件 若（即原命题的逆命题成立），则称是的必要条件，即“无必无”。必要条件是结论成立的“前提保障”。 4.充要条件 若且（记为），则称是的充分必要条件（简称充要条件），此时与等价。 5.既不充分也不必要条件 若且，则与无逻辑推导关系。 二、逻辑关系与集合对应 充分、必要条件可通过集合包含关系直观理解 是的充分条件（条件范围小，结论范围大）； 是的必要条件（结论范围小，条件范围大）； 是的充要条件（两者范围完全一致）； 是的既不充分也不必要条件与无包含关系。 三、判定方法总结 1.定义法（直接推导） ①判定是否成立（验证充分性）； ②判定是否成立（验证必要性）； ③综合①②得出结论。 2.逆否命题法（等价转化） 原命题“若，则”与逆否命题“若，则”等价，可通过判定逆否命题真假简化推导（尤其适用于否定性条件）。 3.集合法（直观判断） 转化条件与结论对应的集合，利用“小范围推大范围”的原则快速判定：小范围是大范围的充分条件，大范围是小范围的必要条件。 4.传递法（连锁推导） 若，，则（充分条件具有传递性）；必要条件同样满足传递性。 四、高考考点提炼 1.核心考点1：基础判定（选择/填空题） 直接考查充分、必要条件的定义，常结合不等式、函数、数列、立体几何、解析几何等知识载体，需先化简条件与结论，再用定义法或集合法判定。 2.核心考点2：充要条件的证明（解答题） 需“双向证明”：①证明充分性（）；②证明必要性（），两者缺一不可，书写时需明确标注“充分性”“必要性”。 3.核心考点3：含参数的条件问题（综合题） 已知是的充分（或必要、充要）条件，求参数取值范围。解题关键： ①转化为集合包含关系（或等）； ②结合不等式解集端点值的“等号是否可取”进行讨论（注意验证边界情况）。 4.易错点警示 混淆“是的充分条件”与“是的必要条件”（关键看推导方向）； 忽略“充要条件”需双向证明，仅证单一方向； 处理含参数问题时，遗漏集合端点值的验证（导致范围扩大或缩小）。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：充分条件必要条件充要条件的判断】 例题精选 【例题1】【多选题】（25-26高一上·河南南阳·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．已知集合，且，则集合A的真子集个数是7 B．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【例题2】（24-25高三下·福建泉州·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 相似练习 【相似题1】（22-23高一上·四川广安·期中）设，，则是的（　  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【相似题2】【多选题】（25-26高一上·全国·课前预习）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“都是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件 【解题策略】 一、核心解题框架：三步骤四方法 （一）通用三步骤 1.化简：将、转化为最简形式（集合、范围等）； 2.选法：按条件特征匹配判定方法； 3.验证：双向确认充分性（）与必要性（）。 （二）四类方法适配表 方法 适配场景 操作要点 定义法 简单命题，直接推导无难度 严格按“？”“？”推导 集合法 可转化为集合（解集、定义域等） 小范围大范围，用判断 逆否命题法 含否定词或直接推导复杂 转化为“若则”简化推导 传递法 多条件连锁关系 按链条梳理 二、高考高频题型专项策略 （一）题型1：基础判定题（选择/填空） 策略：化简→定集合→比范围 转化、为集合，通过包含关系直接对应条件类型。 （二）题型2：充要条件证明题（解答题） 策略：分方向→扣定义→总结 1.充分性（）：以推，扣定理依据； 2.必要性（）：以推，验证逆推合理性； 3.总结“由①②知为充要条件”。 （三）题型3：含参数条件题（综合题） 策略：转集合→列不等式→验端点 1.转化、为含参集合； 2.按充分（）/必要（）列不等式组； 3.代入端点验证等号是否成立。 三、易错点规避 1.方向混淆：记准“则充分、必要”，标注箭头区分； 2.证明漏项：充要条件需双向论证，缺一不可； 3.端点遗漏：含参问题必验证端点对集合包含关系的影响； 4.复杂直推：否定性条件优先用逆否命题转化。 【题型二：根据充分条件必要条件充要条件求参数】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）已知集合，，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【例题2】（24-25高二下·江西南昌·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，集合，若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 【相似题2】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知集合. (1)求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解题策略】 一、核心逻辑：条件→集合的转化（教材本源） 条件与集合关系一一对应： 充分条件 必要条件 充分不必要 必要不充分 充要条件 二、四步解题流程（高考实战） ✅步骤1：化简条件定边界 将、转化为区间/集合（优先区间，易看边界）。 例：→；→。 ✅步骤2：对接关系建模型 按条件类型匹配集合关系，列出对应不等式组（以，为例）： 充分条件：对应，不等式组为； 必要条件：对应，不等式组为； 充分不必要/必要不充分：分别对应/，不等式组同上，且需满足“等号不同时成立”； 充要条件：对应，不等式组为。 ✅步骤3：求解参数验边界 解不等式组后必验边界值，核心规则： 若集合为开区间（如）：代入边界值，判断转化后的闭区间是否仍满足包含关系； 若集合为闭区间（如）：代入边界值，确认其不破坏原条件关系。 ✅步骤4：反向验证保正确 根据条件类型双向验证逻辑： 充分条件：验证是否恒成立； 必要条件：验证是否恒成立； 充分不必要/必要不充分：除正向验证外，还需验证反向推导不成立。 三、高考易错点+规避技巧 1.易错点：边界等号漏判 规避技巧：用代入法强制验证边界值，在草稿纸标注“是否可取”。 2.易错点：充分/必要关系颠倒 规避技巧：先明确“条件→结论”方向，对应“条件集合⊆结论集合（充分条件）”“结论集合⊆条件集合（必要条件）”。 3.易错点：忽略参数隐含范围 规避技巧：化简条件时先标注参数限制（如），最终解集取“不等式组解集”与“隐含范围”的交集。 4.易错点：真包含与包含混淆 规避技巧：充分不必要条件对应“真包含（）”，充分条件对应“包含（）”。 四、教材vs高考衔接 教材母题（单边界）：已知是的充分条件，求的范围。 高考真题（双边界）：已知是的必要不充分条件，求的范围。 关键差异：高考题需转化为建立模型，且需验证的隐含条件。 【题型三：充要条件的证明】 例题精选 【例题1】（22-23高三·全国·对口高考）设a，b，c为的三边，求方程与有公共根的充要条件． 【例题2】（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·全国·课堂例题）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【相似题2】（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 【相似题3】（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 【解题策略】 一、核心认知：集合与充要条件的本质 充要条件即集合相等（），需证“双向包含”： 充分性：（）； 必要性：（）。 二、三步解题策略 ✅步骤1：定位集合，明确方向 转化、为集合，标注推导目标： “是的充要条件”→充分性，必要性； “的充要条件是”→充分性，必要性。 ✅步骤2：分层推导，验证包含 1.充分性（证）： 任取→满足→由定义得，故。 2.必要性（证）： 任取→满足→由定义得，故。 ✅步骤3：总结收尾，确认相等 “由且，得，故是的充要条件。” 三、易错点与规避技巧 1.方向颠倒：标注“充分性→条件集⊆结论集”“必要性→结论集⊆条件集”； 2.缺“任意性”：用“任取”开头，不用特殊元素验证； 3.缺定义衔接：推导中注明“由集合的定义可知”； 4.符号混用：元素用“”，集合包含用“”。 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·期中）已知；．则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高三上·天津·期中）对于任意实数，，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·陕西汉中·期中）已知非空集合，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·山东·期中）“一元二次方程有一个正根和一个负根”是“”的（　　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（22-23高一上·黑龙江鸡西·阶段练习）命题“”的一个充要条件是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 6．（23-24高一上·甘肃白银·期中）下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”成立的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 7．（24-25高一上·河北衡水·期中）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）下列说法正确的是（    ）． A．已知集合，则满足条件的集合N的个数为4 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．的一个必要条件是 9．（22-23高一上·福建泉州·期中）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C．“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 10．（21-22高一上·安徽·期中）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（    ） A．是的必要不充分条件 B．是的充要条件 C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件 三、解答题 11．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，． (1)若，定义集合或，求； (2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若___________，求实数的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 12．（24-25高一上·山东淄博·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 13．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，是否存在实数，使得命题是命题的必要不充分条件？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 14．（22-23高一上·云南昆明·期中）已知集合， ，请在①充分条件，②必要条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的________条件，判断实数是否存在？ 15．（23-24高一上·广西南宁·期中）求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高一上数学常考题型归纳 【第4讲：充分条件与必要条件】 【知识梳理】 一、核心概念界定 1.命题的基本关系 设命题为“若，则”（记为），其中称为条件，称为结论。 2.充分条件 若成立，则称是的充分条件，即“有必有”。充分条件不要求唯一，也不要求是的“最小”条件。 3.必要条件 若（即原命题的逆命题成立），则称是的必要条件，即“无必无”。必要条件是结论成立的“前提保障”。 4.充要条件 若且（记为），则称是的充分必要条件（简称充要条件），此时与等价。 5.既不充分也不必要条件 若且，则与无逻辑推导关系。 二、逻辑关系与集合对应 充分、必要条件可通过集合包含关系直观理解 是的充分条件（条件范围小，结论范围大）； 是的必要条件（结论范围小，条件范围大）； 是的充要条件（两者范围完全一致）； 是的既不充分也不必要条件与无包含关系。 三、判定方法总结 1.定义法（直接推导） ①判定是否成立（验证充分性）； ②判定是否成立（验证必要性）； ③综合①②得出结论。 2.逆否命题法（等价转化） 原命题“若，则”与逆否命题“若，则”等价，可通过判定逆否命题真假简化推导（尤其适用于否定性条件）。 3.集合法（直观判断） 转化条件与结论对应的集合，利用“小范围推大范围”的原则快速判定：小范围是大范围的充分条件，大范围是小范围的必要条件。 4.传递法（连锁推导） 若，，则（充分条件具有传递性）；必要条件同样满足传递性。 四、高考考点提炼 1.核心考点1：基础判定（选择/填空题） 直接考查充分、必要条件的定义，常结合不等式、函数、数列、立体几何、解析几何等知识载体，需先化简条件与结论，再用定义法或集合法判定。 2.核心考点2：充要条件的证明（解答题） 需“双向证明”：①证明充分性（）；②证明必要性（），两者缺一不可，书写时需明确标注“充分性”“必要性”。 3.核心考点3：含参数的条件问题（综合题） 已知是的充分（或必要、充要）条件，求参数取值范围。解题关键： ①转化为集合包含关系（或等）； ②结合不等式解集端点值的“等号是否可取”进行讨论（注意验证边界情况）。 4.易错点警示 混淆“是的充分条件”与“是的必要条件”（关键看推导方向）； 忽略“充要条件”需双向证明，仅证单一方向； 处理含参数问题时，遗漏集合端点值的验证（导致范围扩大或缩小）。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：充分条件必要条件充要条件的判断】 例题精选 【例题1】【多选题】（25-26高一上·河南南阳·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．已知集合，且，则集合A的真子集个数是7 B．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【分析】对A，化简集合A，利用公式计算；对，利用充分、必要条件的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于A：集合，且， 所以集合A的真子集个数为，A错误； 对于B：若“方程有一个正根和一个负根”,则， 所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件.B正确； 对于C：解，得或， 所以“”是“”的充分不必要条件.C错误； 对于D：若，则且， 所以“”是“”的必要不充分条件.D正确. 故选：BD. 【例题2】（24-25高三下·福建泉州·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的概念进行判断. 【详解】由，得或， 由，则，即， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 相似练习 【相似题1】（22-23高一上·四川广安·期中）设，，则是的（　  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式可化简命题，然后可得答案. 【详解】，当时，可得，但当， 不一定能得到，则是的必要不充分条件. 故选：B 【相似题2】【多选题】（25-26高一上·全国·课前预习）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“都是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件 【答案】ABD 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合选项即可逐一求解. 【详解】当时，，充分性成立；当时，或，必要性不成立，A正确； 当，时，，此时，充分性不成立；当时，，必要性成立，B正确； 当时，，充分性成立；当时，则或，必要性不成立，C错误； 当时，，不是无理数，充分性不成立；当，时，是无理数，但0不是无理数，必要性不成立，D正确． 故选：ABD 【解题策略】 一、核心解题框架：三步骤四方法 （一）通用三步骤 1.化简：将、转化为最简形式（集合、范围等）； 2.选法：按条件特征匹配判定方法； 3.验证：双向确认充分性（）与必要性（）。 （二）四类方法适配表 方法 适配场景 操作要点 定义法 简单命题，直接推导无难度 严格按“？”“？”推导 集合法 可转化为集合（解集、定义域等） 小范围大范围，用判断 逆否命题法 含否定词或直接推导复杂 转化为“若则”简化推导 传递法 多条件连锁关系 按链条梳理 二、高考高频题型专项策略 （一）题型1：基础判定题（选择/填空） 策略：化简→定集合→比范围 转化、为集合，通过包含关系直接对应条件类型。 （二）题型2：充要条件证明题（解答题） 策略：分方向→扣定义→总结 1.充分性（）：以推，扣定理依据； 2.必要性（）：以推，验证逆推合理性； 3.总结“由①②知为充要条件”。 （三）题型3：含参数条件题（综合题） 策略：转集合→列不等式→验端点 1.转化、为含参集合； 2.按充分（）/必要（）列不等式组； 3.代入端点验证等号是否成立。 三、易错点规避 1.方向混淆：记准“则充分、必要”，标注箭头区分； 2.证明漏项：充要条件需双向论证，缺一不可； 3.端点遗漏：含参问题必验证端点对集合包含关系的影响； 4.复杂直推：否定性条件优先用逆否命题转化。 【题型二：根据充分条件必要条件充要条件求参数】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）已知集合，，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据充分不必要条件的性质，得到集合是集合的真子集，从而得到关于实数的不等式组，求解不等式组，即可得到实数的取值范围. （2）根据集合是否为空集进行分类讨论，结合，分别求出实数的取值范围，最后取并集即可. 【详解】（1）已知“”是“”的充分不必要条件，根据充分不必要条件的定义可知集合是集合的真子集. 已知，，则，解得. 故实数的取值范围为. （2）当时，因为，所以，解得，此时成立； 当时，，解得. 因为，，则或，解得或，故此时. 综上，若，则实数的取值范围为. 【例题2】（24-25高二下·江西南昌·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或．； (2)． 【分析】（1）利用交集运算即可求解； （2）利用充分不必要条件转化为，从而可得参数满足的不等式，即可求解. 【详解】（1）当时，集合，又或． ∴或或．； （2）∵若，且是的充分不必要条件，，， ∴，则， 解得:，故的取值范围是． 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，集合，若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】 【分析】依题意可得真包含于，分与两种情况讨论，分别求出参数的取值范围. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以真包含于， 当，即，此时，符合题意； 当，即，即， 此时要使真包含于，则，解得， 当时，符合题意； 当时，符合题意； 综上可得的取值范围为. 【相似题2】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知集合. (1)求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）解一元二次不等式、分式不等式求集合，再应用集合的交运算求集合； （2）由必要不充分条件有，进而分情况求解参数范围. 【详解】（1）由题意知：集合， 集合或， 所以或，； （2）由“是的必要不充分条件”知：， 当时，，即，符合题意， 当时，，即， 综上所述，实数的取值范围是. 【解题策略】 一、核心逻辑：条件→集合的转化（教材本源） 条件与集合关系一一对应： 充分条件 必要条件 充分不必要 必要不充分 充要条件 二、四步解题流程（高考实战） ✅步骤1：化简条件定边界 将、转化为区间/集合（优先区间，易看边界）。 例：→；→。 ✅步骤2：对接关系建模型 按条件类型匹配集合关系，列出对应不等式组（以，为例）： 充分条件：对应，不等式组为； 必要条件：对应，不等式组为； 充分不必要/必要不充分：分别对应/，不等式组同上，且需满足“等号不同时成立”； 充要条件：对应，不等式组为。 ✅步骤3：求解参数验边界 解不等式组后必验边界值，核心规则： 若集合为开区间（如）：代入边界值，判断转化后的闭区间是否仍满足包含关系； 若集合为闭区间（如）：代入边界值，确认其不破坏原条件关系。 ✅步骤4：反向验证保正确 根据条件类型双向验证逻辑： 充分条件：验证是否恒成立； 必要条件：验证是否恒成立； 充分不必要/必要不充分：除正向验证外，还需验证反向推导不成立。 三、高考易错点+规避技巧 1.易错点：边界等号漏判 规避技巧：用代入法强制验证边界值，在草稿纸标注“是否可取”。 2.易错点：充分/必要关系颠倒 规避技巧：先明确“条件→结论”方向，对应“条件集合⊆结论集合（充分条件）”“结论集合⊆条件集合（必要条件）”。 3.易错点：忽略参数隐含范围 规避技巧：化简条件时先标注参数限制（如），最终解集取“不等式组解集”与“隐含范围”的交集。 4.易错点：真包含与包含混淆 规避技巧：充分不必要条件对应“真包含（）”，充分条件对应“包含（）”。 四、教材vs高考衔接 教材母题（单边界）：已知是的充分条件，求的范围。 高考真题（双边界）：已知是的必要不充分条件，求的范围。 关键差异：高考题需转化为建立模型，且需验证的隐含条件。 【题型三：充要条件的证明】 例题精选 【例题1】（22-23高三·全国·对口高考）设a，b，c为的三边，求方程与有公共根的充要条件． 【答案】答案见详解 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，先求出方程与有公共根的条件，然后证明充分性即可. 【详解】必要性： 设方程与的公共根为， 则，， 两式相加得（舍去）， 将代入， 得， 整理得. 所以. 充分性： 当时，， 于是等价于， 所以， 该方程有两根，. 同样等价于， 所以， 该方程亦有两根，. 显然，两方程有公共根. 故方程与有公共根的充要条件是. 【例题2】（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】设出方程的根，联立方程得，即可求解必要性，利用，代入方程求解根，即可求解充分性. 【详解】证明：必要性：设方程与有公共根， 则，. 两式相减，得， 由，可得， 故， 将此式代入得 可得，故. 充分性：∵，∴.① 将①代入方程， 可得，即， 方程两根为或， 将①代入方程， 可得， 即，方程两根为或， 故两方程有公共根. ∴方程与有公共根的充要条件是. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·全国·课堂例题）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【答案】证明见解析 【分析】先证明充分性，再证明必要性即可． 【详解】证明：充分性：若，则， 方程有两个实根，， 根据根与系数的关系得． 所以方程有两个异号实根． 必要性：若一元二次方程有两个异号实根，， 则，即． 所以是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【相似题2】（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，结合充分性和必要性的证明方法，结合多项式的化简、运算，即可求解. 【详解】证明：充分性： 当时，多项式可化为， 即，所以， 则，所以， 即，为等边三角形，即充分性成立； 必要性：由为等边三角形，且，所以， 则，，所以，即必要性成立． 故为等边三角形的充要条件是． 【相似题3】（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 【答案】答案见解析 【分析】先证明充分性，即由，得是方程的一个根；再证必要性，由是方程的一个根，得. 【详解】证明：①充分性：即证明关于x的方程的系数满足方程有一个根为－1； 由，得， 代入方程得，得， 所以，是方程的一个根. ②必要性：即证明若是方程的根； 将代入方程，即有. 综上由①②可知，故关于x的方程有一个根为－1的充要条件是 【解题策略】 一、核心认知：集合与充要条件的本质 充要条件即集合相等（），需证“双向包含”： 充分性：（）； 必要性：（）。 二、三步解题策略 ✅步骤1：定位集合，明确方向 转化、为集合，标注推导目标： “是的充要条件”→充分性，必要性； “的充要条件是”→充分性，必要性。 ✅步骤2：分层推导，验证包含 1.充分性（证）： 任取→满足→由定义得，故。 2.必要性（证）： 任取→满足→由定义得，故。 ✅步骤3：总结收尾，确认相等 “由且，得，故是的充要条件。” 三、易错点与规避技巧 1.方向颠倒：标注“充分性→条件集⊆结论集”“必要性→结论集⊆条件集”； 2.缺“任意性”：用“任取”开头，不用特殊元素验证； 3.缺定义衔接：推导中注明“由集合的定义可知”； 4.符号混用：元素用“”，集合包含用“”。 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·期中）已知；．则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高三上·天津·期中）对于任意实数，，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·陕西汉中·期中）已知非空集合，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·山东·期中）“一元二次方程有一个正根和一个负根”是“”的（　　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（22-23高一上·黑龙江鸡西·阶段练习）命题“”的一个充要条件是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 6．（23-24高一上·甘肃白银·期中）下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”成立的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 7．（24-25高一上·河北衡水·期中）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）下列说法正确的是（    ）． A．已知集合，则满足条件的集合N的个数为4 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．的一个必要条件是 9．（22-23高一上·福建泉州·期中）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C．“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 10．（21-22高一上·安徽·期中）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（    ） A．是的必要不充分条件 B．是的充要条件 C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件 三、解答题 11．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，． (1)若，定义集合或，求； (2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若___________，求实数的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 12．（24-25高一上·山东淄博·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 13．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，是否存在实数，使得命题是命题的必要不充分条件？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 14．（22-23高一上·云南昆明·期中）已知集合， ，请在①充分条件，②必要条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的________条件，判断实数是否存在？ 15．（23-24高一上·广西南宁·期中）求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A C A ABD ABD AC ABD BD 1．A 【分析】由不等式的性质可判断充分性，用特殊值验证可说明必要性不成立. 【详解】若，由不等式的基本性质得，则成立，即． 若，不妨取，则不成立，即． 所以是的充分不必要条件． 故选：A 2．B 【分析】赋值法可知“”是“”的不充分条件，由，所以，从而可得，可得结论. 【详解】当时，满足成立，但不满足成立， 所以“”是“”的不充分条件， 因为，所以，又，所以， 所以“”是“”的必要条件, 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．A 【分析】由题意得，据此列出不等式求解即可. 【详解】由题意,且, 所以,则,可得; 故选：A. 4．C 【分析】根据题意，由韦达定理代入计算，结合充分条件以及必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】若“一元二次方程有一个正根和一个负根”成立， 由韦达定理可得，所以成立， 反之，若“”成立， 此时一元二次方程的，此时方程有两个不等的根， 由韦达定理可得此时， 即方程两个根的符号相反， 即一元二次方程有一个正根和一个负根， 所以“一元二次方程有一个正根和一个负根”是“”的充要条件. 故选：C 5．A 【分析】解出的范围，再根据充要条件的定义即可得出答案. 【详解】， ， 解得：， 则为的充要条件， 故选：A. 6．ABD 【分析】A选项利用充分不必要条件的定义进行判断；B选项利用必要不充分条件的定义进行判断；C选项利用充要条件的定义进行判断；D选项利用必要不充分条件的定义进行判断. 【详解】对于A选项，当时，成立；反之，当时，若，则不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B选项，当时，若，则不能推出；反之，当时，成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C选项，当时，，所以由不能推出； 反之当时，若，，则不能推出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D选项，当，时，，所以由不能推出； 反之，当时，且，所以由能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 7．ABD 【分析】根据必要不充分条件的定义可得推出关系，由此可构造不等式求得结果. 【详解】由必要不充分条件定义可知：或，或， 或，或， 实数的值可以是，和. 故选：ABD. 8．AC 【分析】根据并集的结果可得，即可知A正确；易知方程只有一根，可得或，B错误；根据一元二次方程根与系数之间的关系可判断C正确，易知可得的一个充分条件是，即D错误. 【详解】对于A，根据可知，即集合为集合的子集， 由中有2个元素，因此集合N的个数为个，即A正确； 对于B，若集合中只有一个元素，则方程只有一根， 若，方程为，满足题意； 若，则可得，解得，满足题意； 因此或，所以B错误； 对于C，由可得，即一元二次方程有两根，且两根之积为，所以两根为一正一负，即充分性成立； 若一元二次方程有一正一负根则须满足，且两根积为，即，可得必要性成立，即C正确； 对于D，由可得，易知可推出，所以可得的一个充分条件是，即D错误. 故选：AC 9．ABD 【分析】根据不等式的性质判断ACD的真假；根据一元二次方程根的分布判断B的真假. 【详解】对A：由可得，所以成立，所以“”是“”的充分条件； 由可得或，所以“”是“”的不必要条件. 综上可得：“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对B：“二次方程有一正根一负根”等价于“”，故B正确； 对C：由“且”可得“”，但“”时，如，，此时“且”不成立，故C错误； 对D：因为：推不出，但，所以“”是“”的必要不充分条件，所以D正确. 故选：ABD 10．BD 【分析】根据充分条件、必要条件的定义逐项判断可得出结论. 【详解】由题意得，，，，，，所以，，， 所以是的充要条件，是的充要条件，是的充要条件， 故选：BD. 11．(1) (2)． 【分析】（1）根据集合间运算的新定义直接得解； （2）根据集合间的关系及命题的充分必要性列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）由已知当时，， 又， 则； （2）若选①，则由，得， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，，解得， 且，解得； 综上所述，实数的取值范围为； 若选②，由“”是“”的充分不必要条件， 则， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，，解得， 且且不同时取等号，解得； 综上所述，实数的取值范围为. 12．(1)或 (2) 【分析】(1)根据题意，由集合的运算代入计算，即可得到结果； (2)根据题意，将问题转化为是的真子集，然后分与讨论，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）当时，，则或， 且，则或； （2）由题可知“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 13．(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解； （2）命题是命题的必要不充分条件可得集合是集合的真子集，再列出相应不等式组，即可求解. 【详解】（1）由题意可得，由， 当时，则，解得； 当时，则或，解得； 综上所述：实数的取值范围为 （2）不存在，理由如下： 假设存在使得命题是命题的必要不充分条件， 则命题是命题的必要不充分条件，可得集合是集合的真子集， 则，此不等式组无解， 所以假设不成立，即不存在. 故不存在使得命题是命题的必要不充分条件. 14．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由集合运算得出集合关系，通过包含得出结果； （2）分别将题目中给出的三个不同条件转化为集合之间的包含（或相等）关系，根据集合之间的包含（或相等）关系，得出结果. 【详解】（1）若，则， 则，解得， 所以实数的取值范围是． （2）若选择条件，即是的充分条件，则， 所以，解得， 所以实数的取值范围是； 若选择条件，即是的必要条件，则， 所以，解得． 又，所以， 所以实数的取值范围是； 若选择条件，即是的充要条件，则， 所以，方程组无解， 所以不存在满足条件的实数． 15．证明见解析 【分析】根据充分性与必要性定义证明即可. 【详解】先证明充分性： 由， 得， 整理得，， 所以，即是等边三角形. 然后证明必要性： 由是等边三角形，则， 所以. 综上所述，是是等边三角形的充要条件. 1 学科网（北京）股份有限公司 $