第3讲：集合间的基本运算【知识梳理+4大题型归纳】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦集合间的基本运算，系统梳理交集、并集、补集的定义、性质与运算法则，构建从概念理解到实际应用的知识链条，前后衔接自然，逻辑清晰，为后续学习不等式、函数与概率奠定坚实基础。 资料设计亮点突出，体现数学核心素养中的“抽象能力”“逻辑推理”和“模型意识”。例如通过Venn图直观呈现集合关系，帮助学生建立空间观念与数形结合思维，强化对容斥原理的理解；在含参问题中引导学生分类讨论与端点验证，培养严谨的逻辑推理能力。课中辅助教师精准施教，课后助力学生查漏补缺，提升解题规范性与应试策略，是高中数学教学的理想配套资源。

2025-2026年高一数学上学期常考题型归纳 【第3讲：集合间的基本运算】 【知识梳理】 集合间的基本运算知识梳理 一、核心运算定义与性质 1.交集 定义：由所有属于集合且属于集合的元素所组成的集合，称为集合与集合的交集，记作，读作“交”。 符号表示：且。 Venn图表示：阴影部分为（两圆重叠区域）。 基本性质： 1.交换律：； 2.结合律：； 3.自反性：； 4.与空集关系：； 5.包含关系：，；若，则。 示例：设，，则；设，，则。 2.并集 定义：由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与集合的并集，记作，读作“并”。 符号表示：或（注：“或”为逻辑“或”，包含既属于又属于的元素）。 Venn图表示：阴影部分为（两圆覆盖的全部区域）。 基本性质： 1.交换律：； 2.结合律：； 3.自反性：； 4.与空集关系：； 5.包含关系：，；若，则。 示例：设，，则；设，，则（全体实数集）。 3.补集 前提：研究集合关系时，所涉及的所有集合都必须是某个给定全集的子集，全集是包含研究对象所有元素的集合（通常根据实际问题确定，如无特殊说明，全集可为实数集）。 定义：对于一个集合，由全集中所有不属于集合的元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集，记作，读作“在中的补集”。 符号表示：且。 Venn图表示：阴影部分为（矩形内圆外的区域，矩形代表全集，圆代表集合）。 基本性质： 1.互补性：，； 2.双重补集：； 3.与全集关系：，； 4.包含关系：若，则。 示例：设，，则；设，，则。 二、常考结论与技巧 1.德·摩根定律（补集的核心运算律） 定律内容： 1.（“交的补等于补的并”）； 2.（“并的补等于补的交”）。 推广应用：对多个集合仍成立，如。 应用场景：当需要求“多个集合交集的补集”或“多个集合并集的补集”时，可转化为补集的并或交，简化运算。 2.集合运算的分配律 分配律内容： 1.（交集对并集的分配律）； 2.（并集对交集的分配律）。 示例验证：设，，，则，，二者相等。 3.集合运算与包含关系的转化（高频考点） 核心转化式： 1.； 2.； 3.。 应用价值：将抽象的运算关系转化为直观的包含关系，尤其适用于含参数的集合问题（如由直接得出，进而分情况讨论参数）。 4.容斥原理（元素个数计算） 二元容斥：对于有限集合、，元素个数满足（“并集元素个数=两集合元素个数之和-交集元素个数”）。 5.数集运算的数轴辅助技巧 适用场景：以不等式形式表示的数集（如区间型集合）的交、并、补运算。 操作步骤： 1.画数轴，标注全集（如）； 2.在数轴上分别表示出集合、等的范围（空心点表示不包含端点，实心点表示包含端点）； 3.交集：取数轴上重叠的区间；并集：取覆盖的所有区间；补集：取全集内未覆盖的区间。 易错提醒：端点值需单独验证是否满足集合条件（如与的交集为空集，并集为）。 6.空集的运算特性（易忽略点） 结论1：若，则，且。 结论2：若，则，且。 应用：已知两集合交集为空或并集为全集时，可借助补集转化为包含关系，缩小参数讨论范围。 7.交叉运算的简化结论 结论1：（“交集吸收并集”）；（“并集吸收交集”）。 结论2：，可推广至个集合。 三、易错点总结 1.“或”“且”逻辑混淆：并集中的“或”包含“既属于又属于”的情况，不可遗漏公共元素；交集中的“且”要求元素同时满足两集合条件，不可扩大范围。 2.全集定义模糊：补集运算必须依赖明确的全集，若题目未指定，默认全集为实数集，但涉及整数、正实数等特殊场景时需调整。 3.参数问题漏解：涉及、等含参数的问题时，需优先考虑集合为空集的情况（如一元二次方程判别式小于0时，对应集合为空集）。 4.端点值处理失误：数轴分析时，混淆空心点与实心点（如与的差异），导致交集、并集范围出错。 5.容斥原理误用：计算有限集元素个数时，忽略“交集元素重复计数”，直接用代替。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：交集并集补集的概念及其运算】 例题精选 【例题1】（24-25高三上·福建三明·阶段练习）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，与集合求交集即可得解. 【详解】因为，则，又， 所以. 故选：B 【例题2】（25-26高二上·山西·开学考试）已知全集，，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的并集与补集运算计算. 【详解】因为，，所以. 又因为，所以 故选：D 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知全集，集合，，则（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】解方程求得集合，利用并集的意义求得，进而求得. 【详解】由题意得，又，则， 所以或． 故选：C. 【相似题2】（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）已知集合，求： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）先求集合，根据集合的交集和并集运算即可求解； （2）根据集合的补集和交集运算即可求解. 【详解】（1）由题意有， 所以， ； （2）所以， 或， 所以， 【解题策略】 一、核心概念与符号规范（必记） 集合运算本质是元素的“筛选”与“整合”，核心定义及符号如下： 运算类型 核心定义 符号表示 本质特征 基础示例 交集 属于且属于的元素集合 取公共元素 ，，则 并集 属于或属于的元素集合 取全部元素（去重） ，，则 补集 属于全集且不属于的元素集合 取剩余元素 ，，则 关键性质： 交集：；；若，则。 并集：；；若，则。 补集：；；。 二、核心运算方法（按类型选） 1.列举法集合：直接找元素 适用场景：元素明确列出（如）。 交集：筛公共元素；并集：合并去重；补集：全集剔中元素。 2.描述法集合：转范围/条件 适用场景：含不等式、函数条件（如）。 数轴法（数集首选）： 交集取区间重叠部分，并入取覆盖部分，补集取剩余部分。 示例：，，则，。 条件推导法（非数集）： 交集用“且”逻辑，并集用“或”逻辑，补集用“属于且不属于”逻辑。 3.含参数集合：分类+验证 适用场景：集合含未知参数（如）。 步骤：①讨论特殊情况（如时是否为空集）；②化简集合；③运算；④验证互异性。 三、高考高频题型与模板 题型1：已知运算结果求参数范围 模板： 1.定类型：数集用数轴法； 2.画区间：标出已知集合，设参数区间； 3.列条件：如则区间无重叠； 4.验端点：验证边界值是否有效。 题型2：运算与方程/不等式结合 模板： 1.化简集合：解方程/不等式； 2.讨参数：判断集合是否为空集； 3.算运算：分情况求交/并/补； 4.整结果：用集合/区间表示。 四、避坑指南（5大易错点） 1.漏判空集：含参数时先看集合是否为空； 2.端点错取：分清“实心”（含端点）与“空心”（不含）； 3.忽略全集：补集运算先明确； 4.逻辑混淆：交集“且”、并集“或”别颠倒； 5.并集漏去重：合并元素需去重复值。 【题型二：由交集并集补集求参数范围】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·课后作业）设已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【答案】{或} 【分析】方法一，分类讨论化简集合A，由确定实数的取值范围；方法二，考虑的反面，利用补集思想求解. 【详解】因为， 所以当时，；当时，. 因为，所以. 方法一 ， 因为，所以当时，显然不满足； 当时，或，解得或. 即实数的取值范围为或. 方法二  ，考虑的反面， 显然时符合； 当时，需满足且，即且.综上得. 由补集思想得当时，或，即实数的取值范围为或. 故答案为：或. 【例题2】（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）已知集合．若，则的取值集合为． (1)求集合． (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合中元素与集合的关系列不等式关系即可得的取值集合； （2）根据集合运算关系列不等式关系即可得实数的取值范围. 【详解】（1）若，则，解得， 所以的取值集合为； （2）若，则，则，即， 则或， 要满足，则或，解得或， 所以实数的取值范围是. 相似练习 【相似题1】（22-23高一上·江苏无锡·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题： 已知集合，． (1)当时，求； (2)若___________，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）可得出，时，得出集合，然后进行并集的运算即可； （2）若选条件①，可得出，然后讨论是否为空集：时，得出； 时，得出，然后解出的范围．若选择条件②和③，同样的方法，可得出的取值范围． 【详解】（1）时，，， ∴； （2）若选择①，则， 时，，解得； 时，，解得：； 综上知，实数的取值范围是； 若选择②，则的子集，， 时，，解得； 时，或，解得：或 综上所述，的取值范围是：； 若选择③，则： 时，，解得； 时，或者解得：或 综上知，实数的取值范围是：． 【相似题2】（22-23高一上·重庆沙坪坝·期中）已知，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答. 问题：若 ，求实数的所有取值构成的集合. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)条件选择见解析， 【分析】（1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）选①，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合； 选②，分析可知，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合； 选③，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据，可得出关于的等式，综合可得出集合. 【详解】（1）解：当时，， 又因为，故. （2）解：若选①，当时，，则，满足， 当时，，若，则或，解得或. 综上所述，； 若选②，，则. 当时，，满足； 当时，，因为，则或，解得或. 综上所述，； 若选③，当时，，满足； 当时，则，因为，则或，解得或. 综上所述，. 【解题策略】 一、核心逻辑：从“运算结果”到“参数约束” 集合运算结果（如、）本质反映集合间的包含、无公共元素等关系，解题关键是将运算语言转化为参数的不等式（组）约束，核心路径： 运算结果→集合关系（区间无重叠/完全覆盖等）→列参数条件→验证端点 二、解题模板：四步通用法（高考适配） 步骤1：化简已知集合，明确“固定范围” 先解不等式、方程或结合定义，将不含参数的集合转化为明确的区间（数集）或元素（有限集），示例： 方程解集：； 不等式解集：（直接标数轴更直观）。 步骤2：分析参数集合，讨论“特殊情况” 含参数的集合（如）需优先讨论空集或边界特殊值（高考漏解重灾区）： 1.空集讨论：若集合可能为空（如一次不等式、二次方程），先求时的参数范围。 例：中，且时； 2.次数讨论：二次型集合（如），先分“一次”（）和“二次”（）讨论。 步骤3：转化运算条件，列“参数约束” 根据运算结果，结合集合类型选对应方法列条件： 运算结果示例 集合类型 转化方法与约束条件 数集（区间） 数轴法：与区间无重叠 例：，→ 任意集合 包含关系： 需分和列条件 数集（区间） 补集+包含：先求，再确保其被覆盖 有限集（元素） 元素匹配：且中其他元素∉ 例：→且1∉C 步骤4：验证端点与特殊值，合并结果 1.端点验证：将不等式等号值代入原集合，检查运算结果是否成立。 例：，，时成立，需保留等号； 2.特殊值验证：验证等特殊情况的参数是否满足题意； 3.合并范围：将不同情况的参数范围用“并集”连接，用区间或集合表示。 三、高考高频题型拆解（附核心思路） 题型1：数集交集为空求参数（最常考） 题目：设，，若，求的范围。 思路： ①化简：，； ②特殊情况：恒非空，无需讨论空集； ③列条件：数轴上无重叠→； ④验证：时，成立。 结论：。 题型2：并集为全集求参数 题目：设全集，，，若，求的范围。 思路： ①空集讨论：时即，此时，舍去； ②非空讨论：时，需覆盖，列； ③求解：且，无交集，故无解。 题型3：补集包含关系求参数 题目：设，，，若，求的范围。 思路： ①求补集：； ②列条件：→； ③验证：时，包含关系成立。 结论：。 四、避坑指南（高考5大易错点） 1.漏判空集：含参数集合未讨论，如时恒满足，需优先考虑； 2.端点取舍错误：交集为空时临界值可能可取（如有效），并集覆盖需包含端点； 3.补集忽略全集：计算前必明确（非默认时需特别注意）； 4.有限集漏验元素：如，需同时满足和中其他元素∉； 5.范围合并错误：不同情况的参数范围用“并集”连接（如与的结果）。 【题型三：容斥原理及其应用】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人. 【答案】2 【分析】根据容斥原理可分析出3项都参加的人数. 【详解】根据题意，设是参加100米的同学，是参加400米的同学，是参加1500米的同学， ， 则， 且， 则， 所以三项比赛都参加的有2人， 故答案为：2. 【例题2】（24-25高一上·广西·期中）现在，人们的生活水平有了很大的提高，在工作和生活之余喜欢参加体育锻炼活动.为了解居民在这方面的兴趣情况，某社区选取某一栋楼房的居民进行了对骑自行车、打羽毛球、打篮球是否有兴趣的问卷调查，要求每位居民至少选择一项，经统计有45人对骑自行车感兴趣，71人对打羽毛球感兴趣，60人对打篮球感兴趣，同时对骑自行车和打羽毛球感兴趣的有35人，同时对打羽毛球和打篮球感兴趣的有40人，同时对骑自行车和打篮球感兴趣的有18人，三种都感兴趣的有10人，则该栋楼房的居民人数为（   ） A．91 B．93 C．95 D．97 【答案】B 【分析】利用容斥原理求解即可. 【详解】因为同时对骑自行车和打羽毛球感兴趣的有35人，同时对打羽毛球和打篮球感兴趣的有40人，同时对骑自行车和打篮球感兴趣的有18人，三种都感兴趣的有10人， 所以同时对骑自行车和打羽毛球感兴趣但对打篮球不感兴趣的有人， 同时对打羽毛球和打篮球感兴趣但对骑自行车不感兴趣的有人， 同时对骑自行车和打篮球感兴趣但对打羽毛球不感兴趣的有人， 因为有45人对骑自行车感兴趣，71人对打羽毛球感兴趣，60人对打篮球感兴趣， 所以有人只对骑自行车感兴趣， 有人只对打羽毛球感兴趣， 有人只对打篮球感兴趣， 则该栋楼房的居民人数为. 故选：B. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习．已知选择物理的有36人，选择化学的有24人，选择生物的有20人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人．那么班上选择物理或化学或生物的学生最多有 人． 【答案】46 【分析】根据题意，把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，结合Venn图和容斥原理可知，当取最大值时最大，验证可得最终结果. 【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合， 选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合. 由题意知， 且， 则， 由 ， 可得， 当且仅当时，最大，此时． 验证：此时各区域人数如图所示，满足题意所有条件． 故班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有46人． 故答案为：46． 【相似题2】（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）阅读不仅可以获取知识，还可以陶冶人的情操，培养人独立思考的能力．某班在电子阅览室开展“书香学子”阅读活动，据统计知周一、周二、周三参加阅览的同学人数分别是，若这三天中只有一天参加阅览的同学共计20人，则这三天都到电子阅览室阅览的同学人数的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由已知，作出图，结合题意，根据设出的未知量，列出方程组，讨论出答案. 【详解】由已知，    作出如图所示的图，由题意得， 则有， 所以，即． 因为要让x最大，所以需要最小． 若，则，不满足题意； 若，则，不满足题意； 若，则，满足题意． 则这三天都到电子阅览室阅览的同学人数的最大值是4． 故选：B. 【解题策略】 一、核心公式（必记） 容斥原理本质：先加总数，再减重叠，补回多减。 1.两个集合（基础） 公式： 符号说明：表示集合的元素个数（又称“基数”），为与的并集基数，为与的交集基数。 2.三个集合（高考拓展） 公式： 逻辑：加三个集合基数→减两两交集基数→补回三者交集基数（前两步多减了一次共同重叠部分）。 二、高频考向与解题关键 1.直接计数（送分题） 特征：已知部分集合基数、交集基数，求未知量。 关键：直接代入公式解方程。 示例：50人班级，喜欢数学的集合（），喜欢语文的集合（），两科都喜欢的，则两科都不喜欢的人数=总人数。 2.与方程结合（中档题） 特征：集合为方程解集，通过容斥原理建立参数关系。 关键：先求各集合基数（方程实根个数），再代入公式列参数方程。 3.实际应用（压轴素材） 特征：统计、计数背景（次品检测、选科调查等）。 关键：将实际类别对应为集合，转化为“并集/交集基数”问题。 三、解题模板（三步法） 1.定集合：将“类别/事件”对应具体集合，明确计数目标（并集/交集/补集基数）； 2.代公式：梳理已知基数、交集基数，按集合个数选择对应公式列方程； 3.验结果：验证结果为非负整数，“都不满足”类问题用“总个数”计算。 四、避坑指南（3大易错点） 1.混淆“基数与元素”：公式计算的是元素个数（），而非元素本身，需先求基数再代入； 2.漏补三者交集：三个集合运算时，必加，牢记“减两两重叠，补三者重叠”； 3.忽略补集逻辑：求“都不满足”的个数，需先算并集基数，再用总个数减去，不可直接套用基础公式。 【题型四：利用Venn图求集合】 例题精选 【例题1】【多选题】（2025高二·全国·专题练习）（多选）设、、是全集的三个非空子集，且，则下面结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】作出韦恩图，结合德摩根公式逐项判断即可. 【详解】因为，画出韦恩图如图． 对于选项A，结合韦恩图可知，当时A错误； 对于选项B，由德摩根公式可知，， 结合韦恩图可知，，即，故B正确； 对于选项C，由德摩根公式可知，故C正确； 对于选项D，由德摩根公式可知，， 结合韦恩图可知，当时，D错误． 故选：BC． 【例题2】【多选题】（2022·湖南长沙·模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论. 【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项BC不正确. 故选：AD. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·福建福州·期中） 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由Venn图阴影部分可用集合表示，再由集合的交集与补集运算可得； （2）先将条件转化为，再按集合是否为空集分类讨论，结合包含关系求解参数的范围. 【详解】（1）图中阴影部分可用集合表示. 因为，或， 所以， 则图中阴影部分表示． （2）因为，或， 由，得， 所以当时，，解得，符合题意； 当时，或， 此时不等式组无解， 不等式组的解集为， 综上，的取值范围为． 【相似题2】（24-25高三上·辽宁·期中）已知集合为全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取，可得出，可判断A选项；取，可判断B选项；根据，可判断C选项；根据，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，则、均不为空集， 因为，所以，当时，则，    又因为为的真子集，A错； 对于B选项，若，则，B错；    对于C选项，因为， 所以，，C错； 对于D选项，因为，所以，，D对. 故选：D. 【解题策略】 一、核心逻辑：Venn图的“可视化”价值 Venn图以封闭曲线（圆）的重叠、包含、分离关系，将集合的元素归属与数量关联直观呈现，核心作用： 1.转化“集合语言”为“图形语言”，简化抽象关系； 2.清晰展示交集（重叠区）、并集（合并区）、补集（剩余区）； 3.快速拆解容斥原理中的重叠计数问题。 二、解题模板：Venn图“四步应用法” 步骤1：定“圈”——画基础图形 用矩形表示全集，明确研究范围； 用圆表示子集合（2个集合画2个圆，3个集合画3个圆）； 按已知关系画圆的位置：则小圆在大圆内，则两圆分离。 步骤2：填“数”——标注区域基数 按“从内到外、不重不漏”顺序填元素个数（基数）： 2个集合（3个区域）： ①重叠区：； ②仅区：； ③仅区：。 3个集合（7个区域）： ①中心重叠区：； ②仅两两重叠区：等； ③仅单个集合区：等。 步骤3：列“式”——建方程求解 结合区域组合找关系列等式： 并集个数：所有圆覆盖区域的和（或）； 补集个数：矩形内圆外区域（或“都不满足”的个数）； 未知基数：根据区域和=全集个数或并集个数列方程。 步骤4：验“果”——验证一致性 所有区域和需等于（涉及全集时）； 单个集合的区域和需等于其基数（如仅区+重叠区=）。 三、避坑指南：3大易错点 1.填数顺序错：3个集合需先填中心区，再填两两重叠区，最后填单区域，避免重复； 2.区域含义混：勿将“仅属于的区域”当作，需包含重叠部分； 3.漏全集边界：求“都不满足”的个数时，需用减去圆内区域和。 四、Venn图与公式适配原则 简单关系优先画图：2个集合、已知部分基数的问题，图形比公式直观； 复杂参数结合公式：3个集合求未知量时，画图标注后联用容斥公式； 补集问题必画图：涉及或“都不满足”时，图形可快速定位区域。 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·二模）已知集合，集合，那么（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·陕西·阶段练习）有人参加篮球､乒乓球､羽毛球训练，参加篮球训练的有人，参加乒乓球训练的有人，参加羽毛球训练的有人，其中只参加种球类训练的有人，则种球类训练都参加的人数为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记 是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（   ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 二、多选题 8．（23-24高一上·山东烟台·阶段练习）设集合，，则下列命题中真命题为（    ） A．， B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）集合U，M，N的关系如图所示，则下列关系中能表示阴影区域的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（21-22高一上·福建泉州·阶段练习）某班有46名学生，有围棋爱好者22人，足球爱好者27人，同时爱好这两项的最多人数为，最少人数为，则 . 四、解答题 11．（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 已知集合，，，若___________，求的值及． 12．（25-26高三上·陕西·阶段练习）已知集合． (1)求的子集； (2)若，求的取值范围． 13．（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）已知集合，若，求实数的值. 14．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若时，存在集合，使，求出所有的集合； (3)集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由． 15．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知，，全集． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 16．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C C D D A B D ACD ACD 1．C 【分析】先分别求出集合，再应用交集定义求解. 【详解】，， 则. 故选：C. 2．C 【分析】利用集合的补集和并集的运算法则进行求解即可. 【详解】，，， ，. 故选：C. 3．D 【分析】由集合交集、补集运算，包含关系逐个判断即可. 【详解】， 错误，错误，错误， ， 所以，D正确， 故选：D 4．D 【分析】根据交并补集的运算结果，结合选项依次验证即可判断. 【详解】A：若，则，所以， 与矛盾，故A错误； B：若，则，所以， 与矛盾，故B错误； C：若，则， 由，得，所以， 与矛盾，故C错误； D：若，则， 由，得， 所以，故D正确. 故选：D 5．A 【分析】根据总人数、各项训练人数、只参加种训练的人数，利用集合计数关系建立方程求解. 【详解】设参加种、种、种球类训练的人数分别为、、. 由题意得总人数，且， 则. 参加各项目的人数总和为， 该总和中，参加种、种、种训练的人数分别被计算了次、次、次， 故， 将代入可得，即， 联立方程组， 解得，即种球类训练都参加的人数为人， 故选：A. 6．B 【分析】将已知条件用Venn图表示出来，然后逐项求解即可判断. 【详解】将已知条件用Venn图表示出来如下图， 对A：，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D错误； 故选：B.    7．D 【分析】根据集合之间的关系作出图，逐项判断即可. 【详解】， 由，，，，， 作出图，如图所示，    由图可知，，，故A，正确； 集合的子集个数为个，故B正确； 因为，所以，错误. 故选：D 8．ACD 【分析】利用一元二次不等式求解集合A，根据交集为空集求解a的范围判断A，根据并集运算判断B，根据补集运算及元素和集合的关系判断C，根据集合关系判断D. 【详解】集合， 对于A，当时，，即，，正确； 对于B，当时，， 所以，错误； 对于C，当时，，所以，此时，正确； 对于D，当时，在数轴上把集合、表示出来，如图：    由图知，正确. 故选：ACD. 9．ACD 【分析】对于A、B、C，由韦恩图直接判断即可，对于D，适当进行分析再结合韦恩图判断即可. 【详解】对于A，由韦恩图可知：阴影区域的元素都在集合中但不在中，故选项A正确； 对于B， 表示集合与公共元素以外的全集中的所有元素组成的集合， 阴影区域表示的集合是它的真子集，故选项B错误； 对于C，表示集合中元素除去集合与集合的公共元素剩余的元素 构成的集合，就表示为阴影区域，故选项C正确； 对于D，由于，所以 ， 与选项A相同，故选项D正确. 故选：ACD. 10．19 【分析】设出集合，根据集合之间的关系，得到，求出答案. 【详解】设集合分别表示围棋爱好者，足球爱好者，全班学生组成全集， 就是两者都爱好的，要使中人数最多，则， 要使中人数最少，则，即，解得， . 故答案为：19 11．选①：，； 选②：，或，. 【分析】由条件可解得集合和，再由条件得集合的一个元素，从而即可求解. 【详解】由，. 若选①：因，所以，又因，所以. 所以，解得或. 当时，，，满足，故舍去； 当时，，满足，. 故，此时. 若选②：因，且，，所以，得，解得或. 当时，，，满足. 当时，，，满足. 故，或，. 12．(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据交集的定义即可求出答案. （2）根据题干分两种情况分类讨论并列式计算. 【详解】（1）由题意得，则，的子集为． （2）当时，，得； 当时，，得或． 故的取值范围为． 13．或 【分析】先求集合，分类求出集合，再利用给定交集运算的结果求解.. 【详解】由，解得或，所以， 又方程，即，解得或， 又因为，所以， 当时，即时，，满足题意， 当时，由得， 综上所述，或. 14．(1)， (2)，，，，， (3)能， 【分析】（1）先求出集合，再根据并集，补集的定义求解即可； （2）由题设可得是非空集合，且是的真子集，进而求解即可； （3）由题设可得，进而分和讨论求解即可. 【详解】（1）当时，， ， 所以，． （2）当时，， 又因为，所以， 因为（是非空集合，且是的真子集），， 所以这样的集合共有6个：，，，，，． （3）能，由，可得， 若，此时由，可得； 若，由（1）知， ① 当时，，即， 此时，不是的一个子集，舍去； ② 当时，，即， 此时，此时是的一个子集； ③ 当时，，即， 此时，此时是的一个子集． 综上可得，当或时，满足， 此时实数的取值范围为． 15．(1)，=； (2) 【分析】（1）将代入集合中，然后利用集合的基本运算法则运算即可； （2）由可得，对集合是否为空集进行讨论即可. 【详解】（1）当时，， 由， 所以， 又因为或， 所以=. （2）由可得， 所以当时，有，解得， 当时，有，解得． 综上，所以的取值范围为． 16．(1) (2)或. 【分析】（1）根据交集的概念计算即可； （2）根据集合的关系及补集运算，分类讨论计算即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以； （2）由题意，，所以， 集合，所以或， 所以或， 所以或. 故实数m的取值范围为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高一数学上学期常考题型归纳 【第3讲：集合间的基本运算】 【知识梳理】 集合间的基本运算知识梳理 一、核心运算定义与性质 1.交集 定义：由所有属于集合且属于集合的元素所组成的集合，称为集合与集合的交集，记作，读作“交”。 符号表示：且。 Venn图表示：阴影部分为（两圆重叠区域）。 基本性质： 1.交换律：； 2.结合律：； 3.自反性：； 4.与空集关系：； 5.包含关系：，；若，则。 示例：设，，则；设，，则。 2.并集 定义：由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与集合的并集，记作，读作“并”。 符号表示：或（注：“或”为逻辑“或”，包含既属于又属于的元素）。 Venn图表示：阴影部分为（两圆覆盖的全部区域）。 基本性质： 1.交换律：； 2.结合律：； 3.自反性：； 4.与空集关系：； 5.包含关系：，；若，则。 示例：设，，则；设，，则（全体实数集）。 3.补集 前提：研究集合关系时，所涉及的所有集合都必须是某个给定全集的子集，全集是包含研究对象所有元素的集合（通常根据实际问题确定，如无特殊说明，全集可为实数集）。 定义：对于一个集合，由全集中所有不属于集合的元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集，记作，读作“在中的补集”。 符号表示：且。 Venn图表示：阴影部分为（矩形内圆外的区域，矩形代表全集，圆代表集合）。 基本性质： 1.互补性：，； 2.双重补集：； 3.与全集关系：，； 4.包含关系：若，则。 示例：设，，则；设，，则。 二、常考结论与技巧 1.德·摩根定律（补集的核心运算律） 定律内容： 1.（“交的补等于补的并”）； 2.（“并的补等于补的交”）。 推广应用：对多个集合仍成立，如。 应用场景：当需要求“多个集合交集的补集”或“多个集合并集的补集”时，可转化为补集的并或交，简化运算。 2.集合运算的分配律 分配律内容： 1.（交集对并集的分配律）； 2.（并集对交集的分配律）。 示例验证：设，，，则，，二者相等。 3.集合运算与包含关系的转化（高频考点） 核心转化式： 1.； 2.； 3.。 应用价值：将抽象的运算关系转化为直观的包含关系，尤其适用于含参数的集合问题（如由直接得出，进而分情况讨论参数）。 4.容斥原理（元素个数计算） 二元容斥：对于有限集合、，元素个数满足（“并集元素个数=两集合元素个数之和-交集元素个数”）。 5.数集运算的数轴辅助技巧 适用场景：以不等式形式表示的数集（如区间型集合）的交、并、补运算。 操作步骤： 1.画数轴，标注全集（如）； 2.在数轴上分别表示出集合、等的范围（空心点表示不包含端点，实心点表示包含端点）； 3.交集：取数轴上重叠的区间；并集：取覆盖的所有区间；补集：取全集内未覆盖的区间。 易错提醒：端点值需单独验证是否满足集合条件（如与的交集为空集，并集为）。 6.空集的运算特性（易忽略点） 结论1：若，则，且。 结论2：若，则，且。 应用：已知两集合交集为空或并集为全集时，可借助补集转化为包含关系，缩小参数讨论范围。 7.交叉运算的简化结论 结论1：（“交集吸收并集”）；（“并集吸收交集”）。 结论2：，可推广至个集合。 三、易错点总结 1.“或”“且”逻辑混淆：并集中的“或”包含“既属于又属于”的情况，不可遗漏公共元素；交集中的“且”要求元素同时满足两集合条件，不可扩大范围。 2.全集定义模糊：补集运算必须依赖明确的全集，若题目未指定，默认全集为实数集，但涉及整数、正实数等特殊场景时需调整。 3.参数问题漏解：涉及、等含参数的问题时，需优先考虑集合为空集的情况（如一元二次方程判别式小于0时，对应集合为空集）。 4.端点值处理失误：数轴分析时，混淆空心点与实心点（如与的差异），导致交集、并集范围出错。 5.容斥原理误用：计算有限集元素个数时，忽略“交集元素重复计数”，直接用代替。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：交集并集补集的概念及其运算】 例题精选 【例题1】（24-25高三上·福建三明·阶段练习）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高二上·山西·开学考试）已知全集，，，则集合（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知全集，集合，，则（   ） A．或 B． C．或 D． 【相似题2】（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）已知集合，求： (1)； (2)． 【解题策略】 一、核心概念与符号规范（必记） 集合运算本质是元素的“筛选”与“整合”，核心定义及符号如下： 运算类型 核心定义 符号表示 本质特征 基础示例 交集 属于且属于的元素集合 取公共元素 ，，则 并集 属于或属于的元素集合 取全部元素（去重） ，，则 补集 属于全集且不属于的元素集合 取剩余元素 ，，则 关键性质： 交集：；；若，则。 并集：；；若，则。 补集：；；。 二、核心运算方法（按类型选） 1.列举法集合：直接找元素 适用场景：元素明确列出（如）。 交集：筛公共元素；并集：合并去重；补集：全集剔中元素。 2.描述法集合：转范围/条件 适用场景：含不等式、函数条件（如）。 数轴法（数集首选）： 交集取区间重叠部分，并入取覆盖部分，补集取剩余部分。 示例：，，则，。 条件推导法（非数集）： 交集用“且”逻辑，并集用“或”逻辑，补集用“属于且不属于”逻辑。 3.含参数集合：分类+验证 适用场景：集合含未知参数（如）。 步骤：①讨论特殊情况（如时是否为空集）；②化简集合；③运算；④验证互异性。 三、高考高频题型与模板 题型1：已知运算结果求参数范围 模板： 1.定类型：数集用数轴法； 2.画区间：标出已知集合，设参数区间； 3.列条件：如则区间无重叠； 4.验端点：验证边界值是否有效。 题型2：运算与方程/不等式结合 模板： 1.化简集合：解方程/不等式； 2.讨参数：判断集合是否为空集； 3.算运算：分情况求交/并/补； 4.整结果：用集合/区间表示。 四、避坑指南（5大易错点） 1.漏判空集：含参数时先看集合是否为空； 2.端点错取：分清“实心”（含端点）与“空心”（不含）； 3.忽略全集：补集运算先明确； 4.逻辑混淆：交集“且”、并集“或”别颠倒； 5.并集漏去重：合并元素需去重复值。 【题型二：由交集并集补集求参数范围】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·课后作业）设已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【例题2】（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）已知集合．若，则的取值集合为． (1)求集合． (2)若，求实数的取值范围． 相似练习 【相似题1】（22-23高一上·江苏无锡·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题： 已知集合，． (1)当时，求； (2)若___________，求实数的取值范围． 【相似题2】（22-23高一上·重庆沙坪坝·期中）已知，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答. 问题：若 ，求实数的所有取值构成的集合. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解题策略】 一、核心逻辑：从“运算结果”到“参数约束” 集合运算结果（如、）本质反映集合间的包含、无公共元素等关系，解题关键是将运算语言转化为参数的不等式（组）约束，核心路径： 运算结果→集合关系（区间无重叠/完全覆盖等）→列参数条件→验证端点 二、解题模板：四步通用法（高考适配） 步骤1：化简已知集合，明确“固定范围” 先解不等式、方程或结合定义，将不含参数的集合转化为明确的区间（数集）或元素（有限集），示例： 方程解集：； 不等式解集：（直接标数轴更直观）。 步骤2：分析参数集合，讨论“特殊情况” 含参数的集合（如）需优先讨论空集或边界特殊值（高考漏解重灾区）： 1.空集讨论：若集合可能为空（如一次不等式、二次方程），先求时的参数范围。 例：中，且时； 2.次数讨论：二次型集合（如），先分“一次”（）和“二次”（）讨论。 步骤3：转化运算条件，列“参数约束” 根据运算结果，结合集合类型选对应方法列条件： 运算结果示例 集合类型 转化方法与约束条件 数集（区间） 数轴法：与区间无重叠 例：，→ 任意集合 包含关系： 需分和列条件 数集（区间） 补集+包含：先求，再确保其被覆盖 有限集（元素） 元素匹配：且中其他元素∉ 例：→且1∉C 步骤4：验证端点与特殊值，合并结果 1.端点验证：将不等式等号值代入原集合，检查运算结果是否成立。 例：，，时成立，需保留等号； 2.特殊值验证：验证等特殊情况的参数是否满足题意； 3.合并范围：将不同情况的参数范围用“并集”连接，用区间或集合表示。 三、高考高频题型拆解（附核心思路） 题型1：数集交集为空求参数（最常考） 题目：设，，若，求的范围。 思路： ①化简：，； ②特殊情况：恒非空，无需讨论空集； ③列条件：数轴上无重叠→； ④验证：时，成立。 结论：。 题型2：并集为全集求参数 题目：设全集，，，若，求的范围。 思路： ①空集讨论：时即，此时，舍去； ②非空讨论：时，需覆盖，列； ③求解：且，无交集，故无解。 题型3：补集包含关系求参数 题目：设，，，若，求的范围。 思路： ①求补集：； ②列条件：→； ③验证：时，包含关系成立。 结论：。 四、避坑指南（高考5大易错点） 1.漏判空集：含参数集合未讨论，如时恒满足，需优先考虑； 2.端点取舍错误：交集为空时临界值可能可取（如有效），并集覆盖需包含端点； 3.补集忽略全集：计算前必明确（非默认时需特别注意）； 4.有限集漏验元素：如，需同时满足和中其他元素∉； 5.范围合并错误：不同情况的参数范围用“并集”连接（如与的结果）。 【题型三：容斥原理及其应用】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人. 【例题2】（24-25高一上·广西·期中）现在，人们的生活水平有了很大的提高，在工作和生活之余喜欢参加体育锻炼活动.为了解居民在这方面的兴趣情况，某社区选取某一栋楼房的居民进行了对骑自行车、打羽毛球、打篮球是否有兴趣的问卷调查，要求每位居民至少选择一项，经统计有45人对骑自行车感兴趣，71人对打羽毛球感兴趣，60人对打篮球感兴趣，同时对骑自行车和打羽毛球感兴趣的有35人，同时对打羽毛球和打篮球感兴趣的有40人，同时对骑自行车和打篮球感兴趣的有18人，三种都感兴趣的有10人，则该栋楼房的居民人数为（   ） A．91 B．93 C．95 D．97 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习．已知选择物理的有36人，选择化学的有24人，选择生物的有20人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人．那么班上选择物理或化学或生物的学生最多有 人． 【相似题2】（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）阅读不仅可以获取知识，还可以陶冶人的情操，培养人独立思考的能力．某班在电子阅览室开展“书香学子”阅读活动，据统计知周一、周二、周三参加阅览的同学人数分别是，若这三天中只有一天参加阅览的同学共计20人，则这三天都到电子阅览室阅览的同学人数的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解题策略】 一、核心公式（必记） 容斥原理本质：先加总数，再减重叠，补回多减。 1.两个集合（基础） 公式： 符号说明：表示集合的元素个数（又称“基数”），为与的并集基数，为与的交集基数。 2.三个集合（高考拓展） 公式： 逻辑：加三个集合基数→减两两交集基数→补回三者交集基数（前两步多减了一次共同重叠部分）。 二、高频考向与解题关键 1.直接计数（送分题） 特征：已知部分集合基数、交集基数，求未知量。 关键：直接代入公式解方程。 示例：50人班级，喜欢数学的集合（），喜欢语文的集合（），两科都喜欢的，则两科都不喜欢的人数=总人数。 2.与方程结合（中档题） 特征：集合为方程解集，通过容斥原理建立参数关系。 关键：先求各集合基数（方程实根个数），再代入公式列参数方程。 3.实际应用（压轴素材） 特征：统计、计数背景（次品检测、选科调查等）。 关键：将实际类别对应为集合，转化为“并集/交集基数”问题。 三、解题模板（三步法） 1.定集合：将“类别/事件”对应具体集合，明确计数目标（并集/交集/补集基数）； 2.代公式：梳理已知基数、交集基数，按集合个数选择对应公式列方程； 3.验结果：验证结果为非负整数，“都不满足”类问题用“总个数”计算。 四、避坑指南（3大易错点） 1.混淆“基数与元素”：公式计算的是元素个数（），而非元素本身，需先求基数再代入； 2.漏补三者交集：三个集合运算时，必加，牢记“减两两重叠，补三者重叠”； 3.忽略补集逻辑：求“都不满足”的个数，需先算并集基数，再用总个数减去，不可直接套用基础公式。 【题型四：利用Venn图求集合】 例题精选 【例题1】【多选题】（2025高二·全国·专题练习）（多选）设、、是全集的三个非空子集，且，则下面结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题2】【多选题】（2022·湖南长沙·模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·福建福州·期中） 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 【相似题2】（24-25高三上·辽宁·期中）已知集合为全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、核心逻辑：Venn图的“可视化”价值 Venn图以封闭曲线（圆）的重叠、包含、分离关系，将集合的元素归属与数量关联直观呈现，核心作用： 1.转化“集合语言”为“图形语言”，简化抽象关系； 2.清晰展示交集（重叠区）、并集（合并区）、补集（剩余区）； 3.快速拆解容斥原理中的重叠计数问题。 二、解题模板：Venn图“四步应用法” 步骤1：定“圈”——画基础图形 用矩形表示全集，明确研究范围； 用圆表示子集合（2个集合画2个圆，3个集合画3个圆）； 按已知关系画圆的位置：则小圆在大圆内，则两圆分离。 步骤2：填“数”——标注区域基数 按“从内到外、不重不漏”顺序填元素个数（基数）： 2个集合（3个区域）： ①重叠区：； ②仅区：； ③仅区：。 3个集合（7个区域）： ①中心重叠区：； ②仅两两重叠区：等； ③仅单个集合区：等。 步骤3：列“式”——建方程求解 结合区域组合找关系列等式： 并集个数：所有圆覆盖区域的和（或）； 补集个数：矩形内圆外区域（或“都不满足”的个数）； 未知基数：根据区域和=全集个数或并集个数列方程。 步骤4：验“果”——验证一致性 所有区域和需等于（涉及全集时）； 单个集合的区域和需等于其基数（如仅区+重叠区=）。 三、避坑指南：3大易错点 1.填数顺序错：3个集合需先填中心区，再填两两重叠区，最后填单区域，避免重复； 2.区域含义混：勿将“仅属于的区域”当作，需包含重叠部分； 3.漏全集边界：求“都不满足”的个数时，需用减去圆内区域和。 四、Venn图与公式适配原则 简单关系优先画图：2个集合、已知部分基数的问题，图形比公式直观； 复杂参数结合公式：3个集合求未知量时，画图标注后联用容斥公式； 补集问题必画图：涉及或“都不满足”时，图形可快速定位区域。 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·二模）已知集合，集合，那么（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·陕西·阶段练习）有人参加篮球､乒乓球､羽毛球训练，参加篮球训练的有人，参加乒乓球训练的有人，参加羽毛球训练的有人，其中只参加种球类训练的有人，则种球类训练都参加的人数为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记 是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（   ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 二、多选题 8．（23-24高一上·山东烟台·阶段练习）设集合，，则下列命题中真命题为（    ） A．， B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）集合U，M，N的关系如图所示，则下列关系中能表示阴影区域的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（21-22高一上·福建泉州·阶段练习）某班有46名学生，有围棋爱好者22人，足球爱好者27人，同时爱好这两项的最多人数为，最少人数为，则 . 四、解答题 11．（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 已知集合，，，若___________，求的值及． 12．（25-26高三上·陕西·阶段练习）已知集合． (1)求的子集； (2)若，求的取值范围． 13．（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）已知集合，若，求实数的值. 14．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若时，存在集合，使，求出所有的集合； (3)集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由． 15．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知，，全集． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 16．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $