第1讲：集合的概念【知识梳理+7个题型归纳】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合的概念，系统构建从元素定义、特性到表示方法的完整知识链，前后衔接紧密，由确定性、互异性、无序性三大特征为基石，自然过渡至元素与集合关系、集合分类及常用数集符号，最终落脚于集合表示法与实际应用，形成清晰的学习支架。 资料设计亮点突出，体现核心素养中的“抽象能力”“逻辑推理”和“数学表达”，如通过例题引导学生从模糊描述（如“个子高的同学”）中提炼出可量化标准，强化抽象意识，又在集合相等判断中训练严谨逻辑，还借助描述法与列举法对比提升数学语言表达力。课中教师可借题型策略精准突破难点，课后学生能通过分层练习查漏补缺，实现从理解到迁移的闭环学习。

2025-2026年高一数学上学期常考题型归纳 【第1讲：集合的概念】 【知识梳理】 一、集合的定义 一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。例如，“1，2，3”这三个数字组成的总体就是一个集合，1、2、3就是这个集合中的元素。集合通常用大写拉丁字母，，，…表示，元素用小写拉丁字母，，，…表示。 二、集合中元素的特性 1.确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。设是一个给定的集合，是某一个具体对象，则或者是的元素，或者不是的元素，两种情况有且只有一种成立。例如，“所有大于5的整数”能构成一个集合，因为对于任何一个数，都能明确判断它是否大于5，从而确定它是否属于这个集合；而“个子高的同学”不能构成集合，因为“个子高”没有明确的标准，无法确定哪些同学属于这个集合。 2.互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，同一集合中不应重复出现同一元素。例如集合不符合集合元素的互异性，应写成。 3.无序性：集合中的元素的次序无先后之分。如：由1，2，3组成的集合，写成，，，，，都表示同一个集合。 三、元素与集合的关系 1.属于：如果是集合的元素，就说属于，记作。例如，集合，那么。 2.不属于：如果不是集合的元素，就说不属于，记作。例如，集合，那么。 四、集合的分类 1.空集：不含有任何元素的集合称为空集，记为。例如方程在实数范围内的解组成的集合就是空集，因为该方程在实数范围内无解。 2.有限集：如果一个集合中有有限个元素，则称该集合为有限集。例如集合就是有限集。 3.无限集：如果一个集合中含有无限个元素，则称该集合为无限集。例如全体实数组成的集合，全体自然数组成的集合都是无限集。 五、常用数集及其表示方法 1.非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作，。 2.正整数集：非负整数集内排除0的集，记作或，。 3.整数集：全体整数的集合，记作，。 4.有理数集：全体有理数的集合，记作。有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，例如，，，等都是有理数。 5.实数集：全体实数的集合，记作。实数包括有理数和无理数，无理数是无限不循环小数，例如，等。 六、集合的表示方法 1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法。例如，由1，2，3组成的集合可表示为；方程的解组成的集合，先求解方程得或，则该集合用列举法表示为。列举法适用于元素个数较少或元素有明显规律的集合。 2.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例如，所有大于0且小于10的实数组成的集合，用描述法可表示为；不等式的解集，解不等式得，则该解集用描述法表示为，即。描述法能简洁、准确地表示元素较多或无限集的集合。 七、集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的。例如集合，集合，虽然元素顺序不同，但它们是相等的集合，即；集合，解方程得或，所以，集合，那么。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：判断元素能否构成集合】 例题精选 【例题1】【多选题】（25-26高一上·山东德州·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于的自然数组成的集合的所有元素为 D．数，，，，组成的集合中有5个元素 【答案】AD 【分析】利用集合的定义及集合中元素特征，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为联合国安理会常任理事国是确定的，所以A正确； 对于B，因为喜欢足球的同学不确定，所以我校很喜欢足球的同学不能组成一个集合，故B错误； 对于C，因为不大于的自然数有，则由不大于的自然数组成的集合的所有元素为，故C错误； 对于D，因为，，所以数，，，，组成的集合中有5个元素，则D正确. 故选：AD. 【例题2】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【分析】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）以下四组对象，能构成集合的是（    ）. A．最大的正实数 B．最小的整数 C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数 【答案】C 【分析】利用可构成集合的元素的性质依次判断选项即可得解. 【详解】对于A，无法确定最大的正实数是哪一个数，故A错误； 对于B，无法确定最小的整数是哪一个数，故B错误； 对于C，平方等于1的实数为，可以构成集合，故C正确； 对于D，无法确定最接近1的实数是哪一个数，故D错误； 故选：C. 【相似题2】（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．联合国所有常任理事国（共5个）组成一个集合 B．朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合 C．与是不同的集合 D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素 【答案】A 【分析】根据集合元素的确定性、互异性和无序性判断即可. 【详解】对于A，联合国所有常任理事国共5个，即：中国，美国，俄国，英国，法国，可以组成集合，故A正确； 对于B，“年龄较小”的标准不明确，无法确定集合的元素，故B错误； 对于C，集合的元素满足无序性，与是相同集合，故C错误； 对于D，集合的元素满足互异性，由1，0，5，1，2，5可组成的集合，且有4个元素，故D错误. 故选：A 【解题策略】 1.核心依据：紧扣集合确定性（首要关键）、互异性、无序性。 确定性：任一元素能明确判断“属于”或“不属于”，无模糊歧义。 互异性：元素不重复（仅辅助验证，重复可去重，不影响“能否构成”判断）。 无序性：元素顺序不影响集合本身（与判断无关）。 2.解题步骤： 1.明确待构成集合的“元素对象”； 2.验证确定性：判断元素是否有客观统一标准，能明确界定则满足，反之不满足； 3.辅助验证互异性（仅处理重复，不影响核心判断）； 4.得出结论：满足确定性则可构成集合，反之不能。 3.关键区分： 可构成：元素标准客观、可量化（如“小于10的正整数”）； 不可构成：元素标准主观、模糊（如“成绩好的学生”）。 4.特殊情况： 含参数：先明确参数范围保证元素有意义，再看是否满足确定性（空集也属集合）； 重复元素：不影响“能否构成”，去重即可。 【题型二：判断元素是否构成同一集合】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·上海·随堂练习）有两组集合（1），；（2），其中集合相等的是第 组． 【答案】（1） 【分析】根据集合相等的概念判断即可. 【详解】两个集合的元素完全相同就是相等集合. 对于（1），集合与集合中均为数集，且它们的元素完全相同，是相等的集合，体现了集合的无序性； 对于（2），集合与集合中均为点集，点和点是不同的点， 所以集合与集合的元素不同，不是相等的集合. 故答案为：（1）. 【例题2】【多选题】（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案. 【详解】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故； 选项B中，与表示不同的点，故； 选项C中，，，故； 选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故. 故选：ABD. 相似练习 【相似题1】（23-24高一上·河北·阶段练习）已知集合，则下列与相等的集合个数为（    ） ① ② ③ ④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究n为奇数、n为偶数可计算③，由定义可得④，依次判断即可求得结果. 【详解】对于①，； 对于②，中解得，故； 对于③，当n为奇数时，；当n为偶数时，， 所以； 对于④，. 所以与M相等的集合个数有2个. 故选：C. 【相似题2】（22-23高一·全国·课后作业）判断下列命题是否正确． （1）集合与集合表示同一集合；( ) （2）集合与集合表示同一集合；( ) （3）集合与集合不表示同一集合；( ) （4）集合与集合表示同一集合．( ) 【答案】 正确 错误 错误 错误 【分析】（1）根据集合元素的无序性可知两个集合为同一集合；（2）集合为点集，元素不同，不是同一集合；（3）两集合均表示大于3的所有实数的集合，为同一集合；（4）两集合分别为数集和点集，不是同一集合. 【详解】（1）集合元素具有无序性，集合与集合元素相同，故表示同一集合，正确； （2）两集合为点集，和表示的点不同，所以集合与集合表示两个不同的集合，错误； （3）集合与集合均表示大于3的所有实数的集合，所以集合与集合表示同一集合，错误； （4）集合为数集，集合为点集，不是同一集合，错误； 故答案为：（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）错误. 【解题策略】 1.核心依据：集合的无序性与互异性（元素的顺序、重复不影响集合本质）。 2.解题步骤： 1.去重：剔除两个集合中所有重复的元素，保留唯一元素。 2.排序（辅助）：将去重后的两组元素按同一规则（如从小到大、字母顺序）排序，简化对比。 3.逐一比对：检查排序后的两组元素是否完全一致（元素种类、数量均相同）。 3.结论判定：若比对后元素完全一致，则构成同一集合；反之则不是。 4.关键提醒：无需关注元素的书写顺序和是否重复出现，仅需核心元素完全重合。 【题型三：元素与集合的关系】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·随堂练习）用符号“”或“”填空： （1）0 ， ，3.14 ， ， ， ； （2）0 ，1 ． 【答案】 【分析】利用特殊数集的定义以及元素与集合的关系即可求解. 【详解】（1）是正整数集，0不是正整数，； 是整数集，是整数，； 是有理数集，3.14是有理数，； 是有理数集，是无理数，； 是整数集，不是整数，； 是实数集，是实数，； （2）集合中含有元素，； 解方程得，，则， . 故答案为：（1）；；；；；；（2）；. 【例题2】（24-25高一上·全国·周测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合B中的定义对各个数逐一验证即可. 【详解】因为，，所以． 故选：B． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合为非零常数，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分，；，或，异号，进行求值，即可得解. 【详解】若，时，； 若，时，； 若，异号时，． 故选：A 【相似题2】（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求出集合，利用元素与集合的关系判断. 【详解】依题意可得，所以. 故选：A. 【解题策略】 元素与集合的关系仅有两种：属于（∈）和不属于（∉）。解题核心是通过明确集合的“元素特征”，判断给定元素是否符合该特征。 一、核心依据：集合的元素特征 集合的本质是“具有共同特征的元素的总体”，该特征通常通过以下两种方式体现，也是判断关系的直接依据： 1.描述法定义的特征：集合用“{x|P(x)}”表示时，“P(x)”即为元素需满足的条件（如方程的解、不等式的解集、函数的定义域等）。 2.列举法明确的元素：集合直接列出所有元素时，元素特征就是“是否为列表中的成员”。 二、解题步骤：三步判定法 第一步：解析集合，明确元素特征 1.若为描述法集合（如A={x|x²-4=0}、B={x|x>3}）： 拆解“P(x)”，明确元素x需满足的具体条件（方程、不等式、属性等）。 2.若为列举法集合（如C={1,2,3}、D={a,b,c}）： 直接罗列集合中的所有元素，明确元素的具体构成。 第二步：代入验证，判断元素是否符合特征 将给定元素代入集合的特征条件中，进行逻辑验证： 若满足描述法的“P(x)”，或属于列举法的元素列表→元素属于集合（用“∈”表示）； 若不满足描述法的“P(x)”，或不属于列举法的元素列表→元素不属于集合（用“∉”表示）。 第三步：规范表示，得出结论 根据验证结果，用“∈”或“∉”准确表示元素与集合的关系。 三、关键提醒与易错点 1.注意元素的“属性一致性”：集合的元素具有明确属性（如数、点、图形等），需先确认元素属性与集合元素类型是否匹配。 例：集合E={(x,y)|x+y=2}的元素是“点”，则数1与E的关系是1∉E，而点(1,1)与E的关系是(1,1)∈E。 2.空集的特殊性：空集（∅）不含任何元素，因此任意元素都不属于空集（如5∉∅，∅∉∅）。 3.符号规范：“∈”“∉”仅用于“元素与集合”的关系，不可用于“集合与集合”（集合间用“⊆”“⊇”等）。 四、特殊场景处理 1.含参数的元素判断 先根据集合特征确定参数的取值范围，再判断含参数的元素是否符合条件。 例：若集合F={x|x=2k+1,k∈Z}（奇数集），判断元素m=2t+1（t∈R）是否属于F？ 解：F的特征是“整数且为奇数”，m=2t+1仅当t∈Z时为奇数，若t∉Z（如t=0.5），则m=2∉F，故需明确t的范围再判定。 2.抽象集合的元素判断 若集合未直接给出特征（如“所有等腰直角三角形组成的集合”），需先提炼隐含特征（“有一个直角且两腰相等的三角形”），再进行判断。 【题型四：集合的表示方法】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·课前预习）用列举法表示集合 ． 【答案】 【分析】找到6的正因数，结合列举法即可得出结果. 【详解】因为，且，所以，则，故或7，所以． 故答案为：. 【例题2】（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （写成集合形式） 【答案】或. 【分析】由判别式大于0结合集合的表示方法即可得解. 【详解】关于x的方程有两个不相等的实数根，则，解得或， 故所求为或. 故答案为：或. 相似练习 【相似题1】【多选题】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 【答案】ACD 【分析】根据描述法的特点逐项分析即可. 【详解】对A，奇数集可以表示为，故A正确； 对B，“小于10的整数”构成的集合可以表示为，故B错误； 对C，表示大于2的全体实数，故C正确； 对D，不等式的解集表示为，故D正确. 故选：ACD. 【相似题2】（2024高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解集； (2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合； (3)二次函数图象上的点组成的集合． (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (5)集合. (6)所有被3整除的整数组成的集合； (7)方程的所有实数解组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】用描述法表示各集合. 【详解】（1）不等式的解集用描述法表示为. （2）根据点坐标的符号，集合用描述法表示为. （3）集合用描述法表示为. （4）根据点坐标的符号，集合用描述法表示为. （5）集合用描述法表示为. （6）集合用描述法表示为. （7）方程的解集用描述法表示为. 【解题策略】 一、核心表示方法及选择策略 1.列举法：逐个罗列元素 形式：{元素1,元素2,元素3,...} 适用场景： 元素为有限个且数量较少（如“小于5的正整数”“方程x²-1=0的解”）； 元素为无限个但有明确规律，可通过省略号表示（如正整数集{1,2,3,...}，偶数集{...,-2,0,2,...}）。 解题关键： 元素不重复（体现互异性，重复元素仅写一次）； 顺序可任意（体现无序性）； 元素类型统一（如数、点等，避免混合）。 2.描述法：概括元素特征 形式：{元素符号|元素满足的条件}（竖线前表元素类型，后表核心特征） 适用场景： 元素为无限个（如“所有实数”“大于3的有理数”）； 元素为有限个但数量较多，且特征明确（如“100以内的质数”）。 解题关键： 明确元素符号（如x表数、(x,y)表点、{三角形|...}直接表图形）； 特征描述准确无歧义（用方程、不等式、属性等表示）； 可省略“元素符号”的特殊情况：当元素特征已明确类型时（如{直角三角形}，默认元素为“直角三角形”）。 3.图示法（Venn图）：直观辅助 形式：用封闭曲线（圆、椭圆等）表示集合，曲线内为元素。 适用场景： 直观展示集合间关系（如交集、并集）； 解决含“抽象集合”或“多个集合”的问题（如“已知A、B集合，求A∩B”）。 解题关键：仅为辅助工具，需结合列举法或描述法明确集合本质，不可单独作为严格表示。 二、解题步骤：三步选对表示方法 1.分析集合元素：明确元素的类型（数、点、图形等）、数量（有限/无限）、核心特征（满足的条件、规律等）。 2.匹配表示方法：根据元素特点选择对应方法（有限少元素→列举法；无限/多元素且特征明确→描述法；需直观展示关系→图示法辅助）。 3.规范书写验证：按所选方法的规则书写，检查是否满足互异性、准确性，避免符号错误（如描述法的竖线、列举法的逗号与省略号）。 三、关键提醒与易错点 1.元素类型混淆：描述法中需明确元素符号，避免“数”与“点”混淆。 例：{x|x+1=0}（元素为实数-1）≠{(x,y)|x+1=0}（元素为直线x=-1上的所有点）。 2.特征描述冗余或遗漏：描述法需精准，既不多余也不缺失条件。 例：“大于2且小于5的整数”应表示为{x|2<x<5,x∈Z}，不可遗漏“x∈Z”（否则含小数，扩大范围）。 3.列举法的省略号滥用：无限元素需有明确规律才可加省略号，无规律的无限集合不可用列举法（如“所有无理数”，需用描述法{x|x是无理数}）。 4.特殊集合的固定表示：常用集合有专用符号，无需额外表示（如自然数集N、整数集Z、实数集R等）。 【题型五：集合元素的互异性运用】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·四川成都·期中）已知集合，，则 ． 【答案】1 【分析】根据给定的元素与集合关系列式，结合集合元素的互异性求解. 【详解】由集合，，得或， 当时，，此时，不符合题意，； 当时，显然，解得，集合，符合题意， 所以. 故答案为：1 【例题2】（24-25高一上·四川达州·阶段练习）若为集合的四个元素，则以为边长的四边形可能为（    ） A．等腰梯形 B．菱形 C．直角梯形 D．矩形 【答案】C 【分析】利用集合的互异性结合排除法求解即可. 【详解】因为为集合的四个元素，所以这四个元素均不相等， 而等腰梯形的两腰相等，菱形的四条边都相等，矩形的两组对边分别相等， 故该四边形不可能是等腰梯形，菱形，矩形，即A，B，D错误，C正确. 故选：C 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知集合，，且，则集合 ． 【答案】 【分析】根据条件，求出，再利用集合的性质，即可求解. 【详解】因为，所以或， 由，得到或， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去， 当时，，满足题意，此时， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去， 故答案为：. 【相似题2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，且，求集合． 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系，列方程，解方程求出，再根据元素互异性，即可确定集合B. 【详解】由题意，，即，解得或． 当时，集合中元素7和相等，不满足元素互异性，舍去； 当时，，，故． 【题型六：常见的数集】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段练习）下列关系：①，②，③，④中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据数的分类及常见的数集即可逐个判断． 【详解】对于①：为有理数，则成立，①正确； 对于②：为实数，则不成立，②错误； 对于③：不是正整数，则不成立，③错误； 对于④：是无理数，不是整数，则不成立，④错误； 故选：A． 【例题2】（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案. 【详解】，，，，①②③正确，④错误. 故选：C 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·广东广州·期中）给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用常用数集的定义逐一判断各选项即可得解. 【详解】对于①，为实数，而表示实数集，所以，故①正确； 对于②，2为整数，而表示整数集合，所以，故②正确； 对于③，为自然数，而表示自然数集，所以，故③错误； 对于④，因为为无理数，表示有理数集，所以，故④错误. 故选：B. 【相似题2】（22-23高一上·福建福州·阶段练习）给出下列关系：（1）;（2）;（3）;（4）;（5），其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，结合常用数集的表示方法，以及元素与集合的关系，逐个判定，即可求解. 【详解】（1）因为是有理数，所以； （2）因为是无理数，所以； （3）因为是整数，所以； （4）因为是自然数，所以， （5）因为是有理数，所以， 所以正确的个数有2个. 故选：B. 【解题策略】 一、核心常见数集 数集名称 符号表示 定义与包含元素 自然数集 表示非负整数的集合，通常包含0（部分教材仅含正整数，需结合语境，现代标准多含0）。 元素： 正整数集 或 表示正整数的集合，即自然数集中排除0的部分。 元素： 整数集 表示全体整数的集合，包括正整数、负整数和0。 元素： 有理数集 表示可表示为两个整数之比（分母不为0）的数的集合，即整数和分数的统称。 元素：（与互质），如（即）等 实数集 表示有理数和无理数的统称，对应数轴上所有点所代表的数。 元素：有理数（如）、无理数（如等无限不循环小数） 复数集 表示形如（其中，为虚数单位，且）的数的集合。 元素：实数（时，如）、虚数（时，如） 【题型七：根据元素个数求参数】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意是方程的根，代入解方程即可. （2）当时，方程为有一个解符合题意，当时，利用判别式法列不等式求解范围，最后两种结果求并集即可得解. 【详解】（1）因为，所以，解得． （2）①当时，原方程为，解得，此时集合中只有一个元素6，符合题意； ②当时，若集合中至少有一个元素，则一元二次方程有解， 即，解得且． 综上所述，实数的取值范围为． 【例题2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）分和进行求解； （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素，进行求解； （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，进行求解. 【详解】（1）当时，原方程变为， 此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， ，即， 原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素． （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素． 当，即时，原方程无实数解． 结合（1）知，当或时中至多有一个元素． （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素， 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由得． 综上可知当时，中至少有一个元素． 相似练习 【相似题1】（2025高一·全国·专题练习）若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】． 【分析】分当时与当时讨论，当时相当于二次函数有解. 【详解】当时，,符合题意； 当时，要使集合中至少有一个元素， 则关于的方程有实数根，则，得,且. 综上所述，若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围为． 【相似题2】（24-25高一上·云南红河·期中）记关于的方程的解集为，且恰有3个元素． (1)证明：； (2)若以中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形，求a,b的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为的值为62． 【分析】（1）先对原方程进行等价变形；再根据题意、求根公式和两个方程判别式之间的关系可得出，进而可证得. （2）先根据求出方程的三个实数根；再根据题意，利用勾股定理列出关于方程求解即可. 【详解】（1）证明：原方程等价于或， 即或. 因为关于的方程的解集为，且恰有3个元素， 所以方程或均有实数根， 由求根公式可得：，， ，. 由于， 所以当时，恰有3个元素，即． （2）由（1）知，，原方程等价于或， 则两个方程的三个根分别为. 若它们是直角三角形的三边， 则且 解得：． 故的值为，的值为62． 课后针对训练 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 2．（25-26高一上·广西柳州·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于3的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3 D．数1，0，5，，，，组成的集合中有6个元素 3．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 4．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知关于x的不等式的解集为A，若且，则（ ） A． B． C． D． 5．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法正确的有（ ） A．方程的解集是 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．9以内的素数组成的集合是 D．若集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形 7．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．同时满足的整数解的集合为 C．由实数所组成的集合最多含2个元素 D．中含有3个元素 8．（2025高一上·全国·专题练习）下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是； B．由2，3组成的集合可表示为或； C．方程的所有解组成的集合是； D．与不是同一个集合． 三、填空题 9．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为 10．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设集合，，，则中元素的个数为 ． （2）设，集合，则 ． （3）若集合中只有一个元素，则 ． 四、解答题 11．（25-26高一上·全国·课后作业）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)被5除余3的正整数组成的集合； (4)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 12．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 13．（24-25高一·上海·课堂例题）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值． 14．（2025高三·全国·专题练习）设，，若，求集合B． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D C C BD BC ABD 1．B 【分析】根据或，结合集合中元素满足互异性即可求解. 【详解】因为 所以或， 当时，，此时，，故舍去： 当时，解得或（舍去）， 综上． 故选：B 2．A 【分析】根据集合中元素的特性判断. 【详解】对于A：联合国安理会常任理事国包括中国、俄罗斯、英国、法国和美国，能组成一个集合，A正确； 对于B：“很喜欢”不是一个明确的标准，具有不确定性，B错误； 对于C：不大于3的自然数包括,C错误； 对于D：，不同的数有共5个，D错误； 故选：A. 3．D 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 4．C 【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果. 【详解】由题可知且 解得. 故选：C. 5．C 【分析】解方程，结合，化简集合即可求解. 【详解】因为，所以或. 又，所以，，故. 故选：C. 6．BD 【分析】由集合元素的互异性可得A错误，D正确；无序性可得B正确，由0不是素数可得C错误； 【详解】对于A，方程的解集是，故A错误； 对于B，由集合中元素的无序性可得B正确，故B正确； 对于C，9以内的素数组成的集合是，故C错误； 对于D，由集合中元素的互异性可得均不相等，故D正确； 故选：BD. 7．BC 【分析】对于A，解方程求解集即可；对于B，解不等式组并结合整数解的概念即可；对于C，化简，得在，中，当时，，当时，，当时，，三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性判断元素个数即可；对于D，结合6的因数并对讨论即可. 【详解】对于A，由二次根式和绝对值的非负性可得方程的解为解集为，故A错误； 对于B，由得，所以整数解组成的集合为，故B正确； 对于C，由于，且在，，中， 当时，，当时，，当时，， 三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，故C正确； 对于D，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以集合含有4个元素，故D错误， 故选：BC． 8．ABD 【分析】对于选项A，质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数，需找出10以内所有符合质数定义的数组成集合；对于选项B，集合中的元素具有无序性，即集合中的元素顺序不影响集合本身，结合集合元素的无序性判断即可；对于选项C，集合中的元素具有互异性，即集合中的元素不能重复，先求解方程，再根据元素的互异性判断即可；对于选项D，：不含有任何元素的集合，：仅含有一个元素的集合，由此即可判断正误. 【详解】10以内的质数组成的集合是，故A正确； 由集合元素的无序性可知，2，3组成的集合可表示为或，故B正确； 由集合元素的互异性可知，的所有解组成的集合是，故C错误； ：不含有任何元素的集合，：仅含有一个元素的集合，故D正确． 故选：ABD． 9．2 【分析】根据给定条件，结合常用数集的意义判断元素与集合的关系即可. 【详解】依题意，，，，，，， 因此①④正确，②③⑤⑥错误， 所以正确命题的个数是2. 故答案为：2 10． 5 0或 【分析】（1）根据给定条件计算出所有的值，再借助集合中元素的性质即可作答. （2）由已知可得，所以，则，进而求得，可求结论. （3）分析当与两种情况进行讨论即可求解. 【详解】（1）因集合，， 当时，的值有：6，7，8，9， 当时，的值有：7，8，9，10， 于是得，所以中元素的个数为5. （2）由题意，可得，所以，则， 所以，所以. （3）当时，有，解得，满足条件； 当时，仅有一根，故，解得， 综上，或. 故答案为：①；②；③或 11．(1) (2) (3)， (4) 【分析】（1）求得方程的解，然后用列举法书写； （2）根据第一、三象限点的特点，用描述法书写； （3）写出满足条件的正整数用描述法书写； （4）直接用描述法书写. 【详解】（1）方程的解集为 （2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为. （3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，. （4）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为． 12．(1)，且 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）由一元二次方程根的情况令，且判别式大于零求解即可； （2）由一元二次方程根的情况令，且判别式小于零求解即可； （3）分与不等于零的情况，当时，令判别式大于零. 【详解】（1）当A中有两个元素时，关于x的方程有两个不相等的实数根，所以，且，解得，且. （2）当A中没有元素时，关于x的方程没有实数根，所以，且，解得. （3）当A中有且仅有一个元素时，关于x的方程有一个实数根或有两个相等的实数根. 当时，方程的根为；当时，令，解得，此时. 综上所述，当时，集合A中有且仅有一个元素；当时，集合A中有且仅有一个元素. 13． 【分析】本题根据集合相等以及集合元素的互异性列出等式得出的值，再计算 即可. 【详解】由可得0且（否则不满足集合中元素的互异性）． 所以，或 解得，或． 经检验，满足题意． 所以． 14． 【分析】由题可得3是二次方程的两个等根，据此可得，，据此可得集合B. 【详解】，所以3是二次方程的两个等根， 所以，解得，， 所以， 因或. 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高一数学上学期常考题型归纳 【第1讲：集合的概念】 【知识梳理】 一、集合的定义 一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。例如，“1，2，3”这三个数字组成的总体就是一个集合，1、2、3就是这个集合中的元素。集合通常用大写拉丁字母，，，…表示，元素用小写拉丁字母，，，…表示。 二、集合中元素的特性 1.确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。设是一个给定的集合，是某一个具体对象，则或者是的元素，或者不是的元素，两种情况有且只有一种成立。例如，“所有大于5的整数”能构成一个集合，因为对于任何一个数，都能明确判断它是否大于5，从而确定它是否属于这个集合；而“个子高的同学”不能构成集合，因为“个子高”没有明确的标准，无法确定哪些同学属于这个集合。 2.互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，同一集合中不应重复出现同一元素。例如集合不符合集合元素的互异性，应写成。 3.无序性：集合中的元素的次序无先后之分。如：由1，2，3组成的集合，写成，，，，，都表示同一个集合。 三、元素与集合的关系 1.属于：如果是集合的元素，就说属于，记作。例如，集合，那么。 2.不属于：如果不是集合的元素，就说不属于，记作。例如，集合，那么。 四、集合的分类 1.空集：不含有任何元素的集合称为空集，记为。例如方程在实数范围内的解组成的集合就是空集，因为该方程在实数范围内无解。 2.有限集：如果一个集合中有有限个元素，则称该集合为有限集。例如集合就是有限集。 3.无限集：如果一个集合中含有无限个元素，则称该集合为无限集。例如全体实数组成的集合，全体自然数组成的集合都是无限集。 五、常用数集及其表示方法 1.非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作，。 2.正整数集：非负整数集内排除0的集，记作或，。 3.整数集：全体整数的集合，记作，。 4.有理数集：全体有理数的集合，记作。有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，例如，，，等都是有理数。 5.实数集：全体实数的集合，记作。实数包括有理数和无理数，无理数是无限不循环小数，例如，等。 六、集合的表示方法 1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法。例如，由1，2，3组成的集合可表示为；方程的解组成的集合，先求解方程得或，则该集合用列举法表示为。列举法适用于元素个数较少或元素有明显规律的集合。 2.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例如，所有大于0且小于10的实数组成的集合，用描述法可表示为；不等式的解集，解不等式得，则该解集用描述法表示为，即。描述法能简洁、准确地表示元素较多或无限集的集合。 七、集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的。例如集合，集合，虽然元素顺序不同，但它们是相等的集合，即；集合，解方程得或，所以，集合，那么。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：判断元素能否构成集合】 例题精选 【例题1】【多选题】（25-26高一上·山东德州·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于的自然数组成的集合的所有元素为 D．数，，，，组成的集合中有5个元素 【例题2】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）以下四组对象，能构成集合的是（    ）. A．最大的正实数 B．最小的整数 C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数 【相似题2】（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．联合国所有常任理事国（共5个）组成一个集合 B．朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合 C．与是不同的集合 D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素 【解题策略】 1.核心依据：紧扣集合确定性（首要关键）、互异性、无序性。 确定性：任一元素能明确判断“属于”或“不属于”，无模糊歧义。 互异性：元素不重复（仅辅助验证，重复可去重，不影响“能否构成”判断）。 无序性：元素顺序不影响集合本身（与判断无关）。 2.解题步骤： 1.明确待构成集合的“元素对象”； 2.验证确定性：判断元素是否有客观统一标准，能明确界定则满足，反之不满足； 3.辅助验证互异性（仅处理重复，不影响核心判断）； 4.得出结论：满足确定性则可构成集合，反之不能。 3.关键区分： 可构成：元素标准客观、可量化（如“小于10的正整数”）； 不可构成：元素标准主观、模糊（如“成绩好的学生”）。 4.特殊情况： 含参数：先明确参数范围保证元素有意义，再看是否满足确定性（空集也属集合）； 重复元素：不影响“能否构成”，去重即可。 【题型二：判断元素是否构成同一集合】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·上海·随堂练习）有两组集合（1），；（2），其中集合相等的是第 组． 【例题2】【多选题】（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 相似练习 【相似题1】（23-24高一上·河北·阶段练习）已知集合，则下列与相等的集合个数为（    ） ① ② ③ ④ A．0 B．1 C．2 D．3 【相似题2】（22-23高一·全国·课后作业）判断下列命题是否正确． （1）集合与集合表示同一集合；( ) （2）集合与集合表示同一集合；( ) （3）集合与集合不表示同一集合；( ) （4）集合与集合表示同一集合．( ) 【解题策略】 1.核心依据：集合的无序性与互异性（元素的顺序、重复不影响集合本质）。 2.解题步骤： 1.去重：剔除两个集合中所有重复的元素，保留唯一元素。 2.排序（辅助）：将去重后的两组元素按同一规则（如从小到大、字母顺序）排序，简化对比。 3.逐一比对：检查排序后的两组元素是否完全一致（元素种类、数量均相同）。 3.结论判定：若比对后元素完全一致，则构成同一集合；反之则不是。 4.关键提醒：无需关注元素的书写顺序和是否重复出现，仅需核心元素完全重合。 【题型三：元素与集合的关系】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·随堂练习）用符号“”或“”填空： （1）0 ， ，3.14 ， ， ， ； （2）0 ，1 ． 【例题2】（24-25高一上·全国·周测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合为非零常数，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【解题策略】 元素与集合的关系仅有两种：属于（∈）和不属于（∉）。解题核心是通过明确集合的“元素特征”，判断给定元素是否符合该特征。 一、核心依据：集合的元素特征 集合的本质是“具有共同特征的元素的总体”，该特征通常通过以下两种方式体现，也是判断关系的直接依据： 1.描述法定义的特征：集合用“{x|P(x)}”表示时，“P(x)”即为元素需满足的条件（如方程的解、不等式的解集、函数的定义域等）。 2.列举法明确的元素：集合直接列出所有元素时，元素特征就是“是否为列表中的成员”。 二、解题步骤：三步判定法 第一步：解析集合，明确元素特征 1.若为描述法集合（如A={x|x²-4=0}、B={x|x>3}）： 拆解“P(x)”，明确元素x需满足的具体条件（方程、不等式、属性等）。 2.若为列举法集合（如C={1,2,3}、D={a,b,c}）： 直接罗列集合中的所有元素，明确元素的具体构成。 第二步：代入验证，判断元素是否符合特征 将给定元素代入集合的特征条件中，进行逻辑验证： 若满足描述法的“P(x)”，或属于列举法的元素列表→元素属于集合（用“∈”表示）； 若不满足描述法的“P(x)”，或不属于列举法的元素列表→元素不属于集合（用“∉”表示）。 第三步：规范表示，得出结论 根据验证结果，用“∈”或“∉”准确表示元素与集合的关系。 三、关键提醒与易错点 1.注意元素的“属性一致性”：集合的元素具有明确属性（如数、点、图形等），需先确认元素属性与集合元素类型是否匹配。 例：集合E={(x,y)|x+y=2}的元素是“点”，则数1与E的关系是1∉E，而点(1,1)与E的关系是(1,1)∈E。 2.空集的特殊性：空集（∅）不含任何元素，因此任意元素都不属于空集（如5∉∅，∅∉∅）。 3.符号规范：“∈”“∉”仅用于“元素与集合”的关系，不可用于“集合与集合”（集合间用“⊆”“⊇”等）。 四、特殊场景处理 1.含参数的元素判断 先根据集合特征确定参数的取值范围，再判断含参数的元素是否符合条件。 例：若集合F={x|x=2k+1,k∈Z}（奇数集），判断元素m=2t+1（t∈R）是否属于F？ 解：F的特征是“整数且为奇数”，m=2t+1仅当t∈Z时为奇数，若t∉Z（如t=0.5），则m=2∉F，故需明确t的范围再判定。 2.抽象集合的元素判断 若集合未直接给出特征（如“所有等腰直角三角形组成的集合”），需先提炼隐含特征（“有一个直角且两腰相等的三角形”），再进行判断。 【题型四：集合的表示方法】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·课前预习）用列举法表示集合 ． 【例题2】（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （写成集合形式） 相似练习 【相似题1】【多选题】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 【相似题2】（2024高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解集； (2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合； (3)二次函数图象上的点组成的集合． (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (5)集合. (6)所有被3整除的整数组成的集合； (7)方程的所有实数解组成的集合. 【解题策略】 一、核心表示方法及选择策略 1.列举法：逐个罗列元素 形式：{元素1,元素2,元素3,...} 适用场景： 元素为有限个且数量较少（如“小于5的正整数”“方程x²-1=0的解”）； 元素为无限个但有明确规律，可通过省略号表示（如正整数集{1,2,3,...}，偶数集{...,-2,0,2,...}）。 解题关键： 元素不重复（体现互异性，重复元素仅写一次）； 顺序可任意（体现无序性）； 元素类型统一（如数、点等，避免混合）。 2.描述法：概括元素特征 形式：{元素符号|元素满足的条件}（竖线前表元素类型，后表核心特征） 适用场景： 元素为无限个（如“所有实数”“大于3的有理数”）； 元素为有限个但数量较多，且特征明确（如“100以内的质数”）。 解题关键： 明确元素符号（如x表数、(x,y)表点、{三角形|...}直接表图形）； 特征描述准确无歧义（用方程、不等式、属性等表示）； 可省略“元素符号”的特殊情况：当元素特征已明确类型时（如{直角三角形}，默认元素为“直角三角形”）。 3.图示法（Venn图）：直观辅助 形式：用封闭曲线（圆、椭圆等）表示集合，曲线内为元素。 适用场景： 直观展示集合间关系（如交集、并集）； 解决含“抽象集合”或“多个集合”的问题（如“已知A、B集合，求A∩B”）。 解题关键：仅为辅助工具，需结合列举法或描述法明确集合本质，不可单独作为严格表示。 二、解题步骤：三步选对表示方法 1.分析集合元素：明确元素的类型（数、点、图形等）、数量（有限/无限）、核心特征（满足的条件、规律等）。 2.匹配表示方法：根据元素特点选择对应方法（有限少元素→列举法；无限/多元素且特征明确→描述法；需直观展示关系→图示法辅助）。 3.规范书写验证：按所选方法的规则书写，检查是否满足互异性、准确性，避免符号错误（如描述法的竖线、列举法的逗号与省略号）。 三、关键提醒与易错点 1.元素类型混淆：描述法中需明确元素符号，避免“数”与“点”混淆。 例：{x|x+1=0}（元素为实数-1）≠{(x,y)|x+1=0}（元素为直线x=-1上的所有点）。 2.特征描述冗余或遗漏：描述法需精准，既不多余也不缺失条件。 例：“大于2且小于5的整数”应表示为{x|2<x<5,x∈Z}，不可遗漏“x∈Z”（否则含小数，扩大范围）。 3.列举法的省略号滥用：无限元素需有明确规律才可加省略号，无规律的无限集合不可用列举法（如“所有无理数”，需用描述法{x|x是无理数}）。 4.特殊集合的固定表示：常用集合有专用符号，无需额外表示（如自然数集N、整数集Z、实数集R等）。 【题型五：集合元素的互异性运用】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·四川成都·期中）已知集合，，则 ． 【例题2】（24-25高一上·四川达州·阶段练习）若为集合的四个元素，则以为边长的四边形可能为（    ） A．等腰梯形 B．菱形 C．直角梯形 D．矩形 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知集合，，且，则集合 ． 【相似题2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，且，求集合． 【题型六：常见的数集】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段练习）下列关系：①，②，③，④中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题2】（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·广东广州·期中）给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【相似题2】（22-23高一上·福建福州·阶段练习）给出下列关系：（1）;（2）;（3）;（4）;（5），其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题策略】 一、核心常见数集 数集名称 符号表示 定义与包含元素 自然数集 表示非负整数的集合，通常包含0（部分教材仅含正整数，需结合语境，现代标准多含0）。 元素： 正整数集 或 表示正整数的集合，即自然数集中排除0的部分。 元素： 整数集 表示全体整数的集合，包括正整数、负整数和0。 元素： 有理数集 表示可表示为两个整数之比（分母不为0）的数的集合，即整数和分数的统称。 元素：（与互质），如（即）等 实数集 表示有理数和无理数的统称，对应数轴上所有点所代表的数。 元素：有理数（如）、无理数（如等无限不循环小数） 复数集 表示形如（其中，为虚数单位，且）的数的集合。 元素：实数（时，如）、虚数（时，如） 【题型七：根据元素个数求参数】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 【例题2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 相似练习 【相似题1】（2025高一·全国·专题练习）若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围. 【相似题2】（24-25高一上·云南红河·期中）记关于的方程的解集为，且恰有3个元素． (1)证明：； (2)若以中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形，求a,b的值． 课后针对训练 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 2．（25-26高一上·广西柳州·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于3的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3 D．数1，0，5，，，，组成的集合中有6个元素 3．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 4．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知关于x的不等式的解集为A，若且，则（ ） A． B． C． D． 5．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法正确的有（ ） A．方程的解集是 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．9以内的素数组成的集合是 D．若集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形 7．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．同时满足的整数解的集合为 C．由实数所组成的集合最多含2个元素 D．中含有3个元素 8．（2025高一上·全国·专题练习）下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是； B．由2，3组成的集合可表示为或； C．方程的所有解组成的集合是； D．与不是同一个集合． 三、填空题 9．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为 10．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设集合，，，则中元素的个数为 ． （2）设，集合，则 ． （3）若集合中只有一个元素，则 ． 四、解答题 11．（25-26高一上·全国·课后作业）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)被5除余3的正整数组成的集合； (4)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 12．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 13．（24-25高一·上海·课堂例题）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值． 14．（2025高三·全国·专题练习）设，，若，求集合B． 1 学科网（北京）股份有限公司 $