专题2.1正数与负数 同步系列 讲义2025-2026学年 苏科版(2024)七年级数学上册

本讲义围绕有理数的概念体系展开，系统构建从正负数识别到相反意义量的表示，再到有理数分类与实际应用的完整学习路径，前后知识环环相扣，层层递进，形成清晰的认知支架。 资料设计亮点突出，体现数学眼光、思维与语言三大核心素养。例如通过“水位变化”“盈亏记录”等真实情境引导学生抽象出正负数概念，培养数感与符号意识；在例题中设置“0的特殊性”辨析题，强化逻辑推理能力；练习题如“将无限循环小数化为分数”则融合运算能力与模型观念，帮助学生建立数与形之间的联系。课中便于教师开展探究式教学，课后可作为学生查漏补缺的优质资源，提升自主学习效率。

正数与负数 【知识点一】 正数、负数 再数学发展历史上，从发现自然数开始，随着人类文明进步，我们又逐渐定义了分数和小数等。在生活和学习中，我们会需要记录一些具有相反意义的量，比如：零下和零上，收入20元和支出30元，向东30米和向西100米等等．这些数据不仅意义相反，而且表示一定的量，为了表示它们，我们定义了正负数： 一、认识正数、负数 1．小学的数：自然数（0、1、2、3、…）；分数（真/假/带分数、百分数、有限小数）； 2．正数（如：13，345，+14，+3.5，15%，这样的数，“+”可以省略）； 负数（，，）； 【注意】正负数的区分只有符号区分. 大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数 一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号 0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点 正数是大于0的数，负数是小于0的数 3．“0”的特殊性 （1）0既不是正数，也不是负数，但是0可以有正负号：. （2）0是正负数的分界点； （3）0是自然数，也是整数；但既不是正整数，也不是负整数； （4）0具有实际意义，从盈亏角度来分析，0表示不赚不亏；从海拔高度来说，0可以作为基准，0m表示海平面的高度；从物品个数来说，0支铅笔，表示没有. 4. 小学和初中分数的区别 小学（小学分数包含了整数） 初中（整数和分数进行了分开） 形如：的形式，如：，，， 分了真、假、带分数 例1、在数0.25，，6，0，，100中，正数的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 练习： 1、在，1.2，，0，中，负数的个数有（ ） A．2个 B．4个 C．3个 D．5个 2、把下列各数分别填在相应的括号内： ，，，，，，，，． (1)正数：{             …}； (2)负数：{              …}； (3)整数：{              …}． 3、下列各数中，负数是（　　） A． B． C．2 D． 4、在﹣4、﹣2、0、1、3、4这六个数中，正数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5、把下列各数填入相应的括号内．，1，5.2，﹣2.3，0.5% 正数：{ }；    整数：{ }； 分数：{ }；    负数：{ }． 例2、关于0有以下说法，正确的个数有　　个 （1）既不是正数，也不是负数； （2）是整数； （3）不是最小的整数，是最小的有理数； （4）不是自然数，是有理数． A．4 B．3 C．2 D．1 练习： 1、下列语句正确的有　　 ①表示没有温度；②如果是负数，那么一定是正数； ③带“”号的数都是负数； ④不存在既不是正数也不是负数的数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、相反含义的量 1．含义：用正数和负数表示具有相反意义的量. 如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然.比如：用正数表示向南，那么向北3km可以用负数表示为-3km . 2. “相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义，如果定义一个为正的，那么另一个就为负的.可人为定义；二是要有量，要有具体的数值，且数值可以不一样. 【注意】①男生、女生；楼上、楼下不可规定正负，不是相反的含义；②相反含义的量数值可以不一样，如：盈利3元，亏损4元. 例3、如果收入100元记作元．那么元表示　　 A．支出20元 B．支出80元 C．收入20元 D．收入80元 练习： 1、如果水库的水位高于正常水位时，记作，那么低于正常水位时，应记作　　 A． B． C． D． 2、下列各组数中，不是互为相反意义的量的是（　　） A．收入200元与支出20元 B．超过与不足 C．增大与减少 D．上升和下降 3、下列是具有相反意义的量是（　　） A．身高增加1cm和体重减少1kg B．顺时针旋转90°和逆时针旋转45° C．向右走2米和向西走5米 D．购买5本图书和借出4本图书 4、下列各组叙述中，互为相反意义的量是（    ） A．篮球比赛胜场与负场 B．上升的反义词是下降 C．增产吨粮食与减产吨粮食 D．向东走千米，再向南走千米 5、下列意义叙述不正确的是（    ） A．若上升记作，则指不升不降 B．鱼在水中的高度为表示鱼在水下 C．温度上升，指温度下降 D．盈利元表示赚了1000元 6、《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若盈余2万元记作+2万元，则万元表示（    ） A．亏损万元 B．盈余2万元 C．亏损2万元 D．不盈余不亏损 7、如果＋3圈 表示 顺时针转3圈，那么 －6圈  表示  （　　） A．增加6圈 B．增加－6圈 C．减少6圈 D．逆时针转6圈 8、如图所示的是某用户微信支付情况，表示的意思是（　　） A．发出100元红包 B．收入100元 C．余额100元 D．抢到100元红包 9、先向南走5m，再向南走-4m的意义是（    ） A．先向南走5m，再向南走4m B．先向南走5m，再向北走-4m C．先向北走-5m，再向南走4m D．先向南走5m，再向北走4m 10、中国是最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算的国家. 若气温上升，记作：，那么气温下降可记作（    ） 11、中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前500年记作年，那么公元2023年应记作（    ） A．年． B．年． C．年． D．年． 12、如果节约4吨水记为+4吨，那么浪费3吨水记为（    ） A．+3吨 B．-3吨 C．+7吨 D．-7吨 13、随着季节的变化，某种蔬菜的价格也在发生变化．每千克涨1元记作元/千克，那么每千克降0.6元记作（  ） A．元/千克 B．元/千克 C．元/千克 D．元/千克 例4、如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是　　 A． B． C． D． 练习： 1、如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：，其中不合格的是　　 A． B． C． D． 2、下表列出了国外几个城市与首都北京的时差：（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数） 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差时 如果现在是北京时间9月11日15时，那么现在的纽约时间是　　 3、大米包装袋上有的标识，则下面几袋大米重量合格的是（    ） A． B． C． D． 4、某工厂生产一批零件，要求对零件的标准是30±0.05mm为合格，该工厂生产出了一个29.9mm的零件，则该零件___________（填“合格”或“不合格”）. 5、某零件的直径尺寸在图纸上标注是10±0.05（mm），则这种零件的标准尺寸是_____（mm），合格产品的零件尺寸范围是_____～_____（mm）． 6、如图，加工一根轴，图纸上注明它的直径是Φ．其中，Φ45表示直径是45mm，+0.03表示合格品的直径最大只能比规定的直径大0.03mm，–0.04表示合格品的直径最小只能比规定的直径小0.04mm，现有四根轴的直径尺寸（单位：mm），其中不合格的是（   ） A．45.02 B．45.01 C．44.98 D．44.93 三、正负数的实际应用 例5、中秋节到了，小明陪妈妈挑选了8个月饼，以每个60克为准，超过的克数记作正数，不足的克 数记作负数，称后的记录如下：，，，，，，0，． （1）最重的月饼比最轻的多多少克？ （2）这8个月饼一共多少克？ 例6、某射击运动员进行射击训练，射击成绩以10环为基准，记录相对环数，超过10环记为正，不足10环记为负．他的前9次射击成绩（单位：环）的相对环数记录如表，第10次射击成绩为9.6环． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 相对环数 0.3 0.1 0.1 0 0.2 0.1 0.2 （1）第10次射击成绩的相对环数应记为 　　环； （2）这10次射击中，与10环偏差最大的是第 　　次射击；（填序号） （3）计算这10次射击的平均成绩． 练习： 1、某公司7天内货品进出仓库的吨数如下：（“+”表示进库，“”表示出库） ，，，，，， （1）经过这7天，仓库里的货品是______；（填“增多了”或“减少了”） （2）经过这7天，仓库管理员结算发现仓库还有货品400吨，那么7天前仓库里有货品多少吨？ （3）如果进出的装卸费都是每吨8元，那么这7天要付多少元装卸费？ 2、有5筐苹果，以每筐25千克为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称后的记录如下表： 第一筐 第二筐 第三筐 第四筐 第五筐 2.5 2 0.5 （1）若调整标准，以每筐27千克准，则第五筐应记为______． （2）五筐苹果一共多少千克？ 3、有30箱苹果，以每箱20千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质质量的差 （单位：千克） 1 2 箱数 2 6 10 8 4 （1）这30箱苹果中，最重一箱比最轻的一箱重多少千克？ （2）与标准质量比较，这30箱苹果总计超过或不足多少千克？ （3）若苹果每千克售价6元，则出售这30箱苹果可卖多少元？ 4、2有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（千克） 0 1 2.5 筐数 1 8 2 3 2 4 （1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ （2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？ （3）若白菜每千克售价3元，则出售这20筐白菜可卖多少元 【知识点二】有理数无理数 一、有理数的定义判断 1. 有理数和无理数： （1）无理数：无限不循环小数； （2）有理数：除了无理数都是有理数. 常见无理数： ①和π有关的式子 ②看似有规律实际上是无限不循环的小数，如：（相邻的1之间一次增加一个0），； 2．分数的分类：（1）真/假/带分数；（2）百分数；（3）有限小数；（4）无限循环小数（均可化为分数） 3．小数分类： 4．有理数分类：整数和分数统称有理数. （1）定义分类 （2）性质分类 【补充】定义分类：先从整数、分数先分类，再与0比较二级分类；从性质分类，先从与0比较分类，再从整数、分数二级分类. 【注意】 （1）正整数：既是正数，又是整数； （2）正分数：既是正数，又是分数； （3）正有理数：既是正数，又是有理数； （4）负整数：既是负数，又是整数； （5）负分数：既是负数，又是分数； （6）负有理数：既是负数，又是有理数； （7）有理数：不是无理数，其余的都是有理数； （8）①（无理数）和（有理数）；②（有理数）（无理数）. 例1、下列说法正确的是　　 A．整数、分数和负数统称为有理数 B．有理数包括正数和负数 C．正整数都是整数，整数都是正整数 D．0是整数，也是自然数 练习: 1、下列说法中： （1）一个整数不是正数就是负数； （2）最小的整数是零； （3）负数中没有最大的数； （4）自然数一定是正整数； （5）有理数包括正有理数、零和负有理数； （6）整数就是正整数和负整数； （7）零是整数但不是正数； （8）正数、负数统称为有理数； 正确的有（ ）句。 A．1 B．2 C．3 D．4 二、有理数的分类 例2、把下列各数填入相应的大括号内（将各数用逗号分开） ，，2.4，，，0，，，，，，． 正有理数：　 　 ； 整数：　 　 ； 负分数：　 　． 练习: 1、把下列各数分别填入相应集合内： ，6，，0，，，0.3，67，，，， 正整数：　 　 负整数：　 　 正分数：　 　 负分数：　 　 整数：　 　 正数：　 　 2、下列说法：①整数包括正整数和负整数；②分数包括正分数和负分数；③既是负数也是整数，但不是自然数；④0既是正整数也是负整数；⑤非负分数就是正分数．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3、在 这几个数中，是非负数的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 4、把下列各数分别填入相应的集合：，0，，，，，，． 正有理数集{ ……}            负有理数集{ ……}； 非负数集{ ……}；                整数集{ ……}；                 分数集{ ……}． 例3、在下表中适当的空格里画“”． 有理数 无理数 整数 分数 正数 负数 1000 0 例4、把下列各数填入相应的集合的圆圈内． ，1，，，0，，，，0.38，， 练习: 1、如图，两个圈分别表示负数集合和分数集合，请将，0，，，，3.01，，，，，中符合条件的数填入相应的圈中． 三、“六非”问题 （1）非正数：不是正数=0+负数； （2）非负数：不是负数=0+正数； （3）非0：不是0=正数+负数； （4）非正整数：0+负整数； （5）非负整数：0+正整数； （6）非0整数：正整数+负整数； 【注意】自然数=非负整数=0+正整数. 例5、下列关于零的说法，正确的有（ ） ①自然数；②正数； ③非正数；④有理数．⑤最小的非负数 ⑥最小的整数　⑦倒数等于它本身 ⑧绝对值最小的数． A．4 B．5 C．6 D．7 例6、下列各数中0、21、、、、、（循环）、、整数的个数为，非负数的个数是，分数的个数是，则的值为（ ） A．10 B．11 C．12 D．以上都不对 练习： 1、　　　既不是正数，也不是负数．非负数包括　　　和　　　；非正数包括　　　和　　　． 2、在有理数，0，，，3.7，中，非负数的个数为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 有理数简单的找规律 1、有一组数为：-1， ，- ， ， ， ，...找规律得到的第7个数是（ ） A.- B. C.-7 D.7 2、观察下列数的规律,填上合适的数:1,-4,9,-16,25,-36,49,（ ） 四、有限小数、循环小数与分数的互化 例7、阅读下列材料、并完成任务． 无限循环小数化分数 我们知道分数写出小数形式即，反过来，无限循环小数写成分数形式即， 一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式． 先以无限循环小数为例进行讨论． 设，由可知，10x＝7.777…，所以10x﹣x＝7，解方程，得， 于是，得． 再以无限循环小数为例，做进一步的讨论． 无限循环小数，它的循环节有两位，类比上面的讨论可以想到如下做法． 设，由可知，100x＝73.737373…． 所以100x﹣x＝73．解方程，得，于是，． 【类比应用】（直接写出答案，不写过程）①＝　　．②＝　　．③＝　　． 【能力提升】将化为分数形式，写出过程． 拓展探究 ①＝　　 ； ②比较大小　　 1（填“＞”或“＝”或“＜”）； 若． 则＝　　 ． 总结： 1．有限小数化为分数：原来有几位小数，就在1后面添几个零作为分母，原来的小数去掉小数点作分子，若有整数部分作为带分数的整数部分． 注意：结果一定要化为最简分数． 2．纯循环小数化为分数：纯循环小数化分数：这个分数的分子等于一个循环节所组成的数，分母全部由9构成，9的个数等于一个循环节中的位数，最后再化为最简分数． 例如：． 3、混循环小数化为分数：混循环小数化分数：这个分数的分子是第二个循环节之前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差，分母的前几位数是9，末几位数是0，9的个数等于一个循环节中的位数，0的个数等于小数点后不循环部分的位数． 例如：． 练习: 1、我们知道 写成小数形式，反过来，无限循环小数写成分数形式即 ．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．以无限循环小数0.为例：设0.＝x，由0.＝0.777…可知，10x＝7.777…，所以10x﹣x＝7，解方程，得x＝，于是0.＝． 运用以上方法，可求得0.写成分数形式为　　． 2、小明课后利用方程的知识探索发现，所有纯循环小数都可以化为分数，例如，化为分数，解决方法是：设x＝，即x＝0.333…，将方程两边都×10，得10x＝3.333…，即10x＝3+0.333…，又因为x＝0.333…，所以10x＝3+x，所以9x＝3，即x＝，所以＝． 尝试解决下列各题： （1）把化成分数为 　　． （2）请利用小明的方法，把纯循环小数化成分数． 3、阅读下面“将无限循环小数化为分数”材料，并解决相应问题：我们知道分数写成小数形式即0.，反过来，无限循环小数0.写成分数形式即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式吗？如果可以，应怎样写呢？ 先以无限循环小数0.为例进行讨论． 设0.＝x，由0.＝0.777…可知，10x＝7.777…，所以10x﹣x＝7，解方程，得x＝． 于是，得0.＝． 再以无限循环小数0.为例，做进一步的讨论． 无限循环小数0.＝0.737373…，它的循环节有两位，类比上面的讨论可以想到如下的做法． 设0.＝x，由0.＝0.737373…可知，100x＝73.7373…，所以100x﹣x＝73． 解方程，得x＝，于是，得0.＝． 请仿照材料中的做法，将无限循环小数0.化为分数，并写出转化过程． 4、仔细阅读下列材料． “分数均可化为有限小数或无限循环小数”，反之，“有限小数或无限循环小数均可化为分数” 例如：，或，，反之，或，那么怎么化为 解： 不妨设，则上式变为，解得即 根据以上材料，回答下列问题 （1）将“分数化为小数”： 　 　；　　； （2）将“小数和小数化为分数”，需要写出推理过程． 课堂练习： 一、单选题 1.某仓库有粮500吨,某天上午运出30吨,下年又运进20吨,则仓库现有粮（ ） A.490吨 B.510吨 C.450吨 D.550吨 2. 下列说法正确的有（ ） A.正整数、正分数、和0统称为有理数 B.正整数、负整数统称为有理数 C.正有理数、负有理数和0统称有理数 D.0不是有理数 3. 如果+10%表示增加10%,那么-3%表示 （ ） A.减少3% B.增加3% C.增加10% D.减少6% 4. 下列各对量中, 不具有相反意义的是 （ ） A.胜3局与负3局 B.盈利3万元与亏损3万元 C.气温升高4°C与气温为-10°C D.转盘逆时针转5圈与顺时针转5圈 5. 在数,5,0,-4,-0.3中,负数有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6. 若向北走8m记作+8m,则向南走5m,记作 （ ） A.+5m B.-5m C.+3m D.-3m 二、填空题 1.如果水位升高3m时,水位变化记作+3m,那么水位下降5m时,水位变化记作 m. 2.中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家. 某仓库运进面粉7吨,记为+7吨,那么运出面粉8吨应记为 吨. 3、把下列各数填入相应集合的括号内. +6.5,-2,0.5,0,-3.2,13,-9,5,-1,-3.6 (1)正数集合：{ }； (2)整数集合：{ }； (3)非负数集合：{ }； 4. 在有理数-3,,0,-,-1.2,5中,整数有 ,负分数有 . 三、解答题 1、下列各数填入相应的大括号里: 5,-1,0,-6,π,0.3,-3,+5,-0.72,⋯ ①正数集合:{ ⋯}; ②整数集合:{ ⋯}; ③负数集合:{ ⋯}; ④分数集合:{ ⋯}. 2、把下列各数填入相应的大括号内(将各数用逗号分开) 6,-3,2.4,,0,-3.14, 正数:{ ⋯}; 非负整数:{ ⋯}; 整数:{ ⋯}; 负分数:{ ⋯}; 学科网（北京）股份有限公司 $