上海市杨浦区复旦大学附属中学2025-2026学年高三上学期综合练习（2）（开学考试）数学试题

复旦大学附属中学2025一2026学年第一学期 高三年级（上)数学综合练习(2)参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1一6题每题4分，第7一12题每题5分）考生应在答题纸的相 应位置直接填写结果 1.已知集合P={xx=y2,y∈R},9={y=2,x∈R},则P∩2= .(0,+0) 2.函数y=1 2x 的定义域是 x-1 ·(-0,-1]U(1,+0) ,且x为第三象限的角，则tan2x= 4V2 3.己知c0Sx=- > 2 4在x左 的二项展开式中x项的系数为·560 5.若某圆锥的底面半径为2，高为2，则该圆锥的侧面积为 :(结果保留π)4V2π 6.已知非零复数：满足上-1=1，-=1，其中i为虚数单位，则=的虚部为 -1 7.已知y=f(x)是定义在(-1,1)上的函数，若f(x)=3x+sinx+1, 且f(1-a2)+f(1-a)>2,则实数a的取值范围为 .(0,1) E 8.如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为3，且 二面角A-BC-D的大小为”，则4CBD= 9 6 4 双曲线工，：弋-y=1的左、右焦点分别为R和E,若以点乃为焦点的抛物线「，y=px(P>0)与1在第 一象限交于点P,且∠PRR-子则C的离心率为 .√2+1 10.2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段.在飞船竖直升空 过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次.已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H, 且在照片上飞船船体长度为，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物，飞船上升了.假设该记者连 按拍照键间的反应时间为t,并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为 一（用含有H、h、m、t的式子表示） ht 11.已知f(x)=e-a,g(x)=ln(x+a),若f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是 (-0,1] 12.斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列{a,}满足4=凸2=1， a。=an-1+an-2(n≥3，n∈N).给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是 .①③④ ①存在正整数>1，使得am,am1,am+2成等差数列； ②存在正整数，使得am,am1,am+2成等比数列： ③存在常数t,使得对任意正整数，都有am,tam+2,am+4成等差数列； ④存在正整数，2，…，m,且1<12<…<1n,使得a+a,+…+a=2023 对于①，由题设a=42+41=2,4=3,显然4,4,4成等差数列，①正确： 对于②，由题设知an,a1,nt2依次为奇奇偶、奇偶奇、偶奇奇，所以不可能有a1=am·am+2,②错误： 对于③，a4+a,43+Q2+a2a302,取1即可，③正 对于④，可取前16项中的1+1+2+3+8+13+21+377+610+987=2023，因此④正确. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个 正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑， 13.已知ae(0,则“n(-以=；”是“cosa&-5”的（ )条件.C (A)充要 (B)充分非必要 (C)必要非充分 (D)既非充分又非必要 14.装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球 恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是()B (A)① (B)①② (c)②③ (D)①②③ 15.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的 多面体，它体现了数学的对称美.如右上图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱 的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正 方形的一种半正多面体.若AB=√2，则此半正多面体外接球的表面积为().D (A)4V3元 (B)12π (C) 8V2 3 (D)8π 16.设数列{a}的前四项分别为4，a,a,4,对于以下两个命题，下列选项中说法正确的是().A ①存在等比数列{an}以及锐角a,使{sina,cosa,tano}={a,a,a}成立 ②对任意等差数列{an}以及锐角a,均不能使{sinc,cosa,tanc,cotc}={a,a2,a,a}成立. (A)①是真命题，②是真命题 (B)①是真命题，②是假命题 (C)①是假命题，②是真命题 (D)①是假命题，②是假命题 对于锐角a,一定有sina<ta1a,并且tan a cota&=1,sina<1,cosa<1. 对于①，若sin2a=cosatan a=sina,无解：若cos2a=sinatar1a,即cos3=sin2ou=1-cos2a,计算器解 得c0s≈0.75，有解，因此①为真命题. 对于②，不坊设a≤，否则可以用几a春代a.此时cota>1为最大项，sina<cosa,sina为最小项) 因此有sina+cota=cosa+tana,即cosa-sina=cota--tan-cosa-sine sinacosa ☑-星然不是解，因图此可得snac0sa=snC+cosa,而2 sin acos三sna+c0sa 解得sina+cosa=l±V2g1,V2],②为真命题. 6 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 设f(x)=sin cox,w>0. (1)当函数y=f(x)的最小正周期为2π时，求y=f(x)-√3cosx在0，。 上的最大值； 2 2在△4BC中，角4，B、C对的边张为a、6、c,锐角4满足/4+G0,B4 求a的最小值. (1)T=2π得o=l,此时y=sinx-V3cosx=2sinx- ，在x=工时可以取到最大值1. 3 (2)A为锐角时，2A+ +63 因此满足sin2A+ 0时，2A+ 6 +6π，得A= 3 此时AB.AC=bc cosA=4,即bc=8,余弦定理得a2=b2+c2-2 bccosA≥2bc-8=8, 因此a的最小值为2√2，在b=c=2√2时取到， 18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图，己知在四棱柱ABCD-EFGH中，EA⊥平面ABCD,N、M分别是EF和HD的中点. (1)求证：HN∥平面AFM; (2)若底面ABCD为梯形，AB∥CD,AB=EA=2,AD=DC=1,异面直线AB与EH所成角为 2 求直线AN与平面AFM所成角的正弦值. )取AP中点P,到平几可得PWAB/M,且号A迟=M, E G 所以MNP为平行四边形，N∥MP,HN不在平面AFM内， MP二平面AFM,所以有HN∥平面AFM. (2)因为EH∥AB,所以AB⊥AD,即底面为直角梯形. A 以A为原点，AB、AD、AE为x、y、二轴正方向，建立空间直角坐标系， AN=(1,0,2),AF=(2,0,2),AM=(0,1,1),平面AFM的一个法向量为n=(1,1,-1), 设直钱AN与平面ARM所求角为0，则sin0-kos(瓜列5XN5 1V15 即为所求 19.（本题满分16分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分4分) 某校运会上无人机飞行表演，在水平距离x∈[10,24]（单位：米）内的飞行轨迹 如图所示，y表示飞行高度（单位：米）.其中当x∈10,20]时，轨迹为开口向上的抛 物线的一段（端点为M、2,当x∈[20,24]时，轨迹为线段QN.经测量，起点 M(10,24),终点N(24,24),最低点P(14,8) (1)求y关于x的函数表达式： > (2)在A(0,24)处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角日的最小值.（精确到0.1°） (1)当x∈[10,20]时，设y=a(x-14)+8,代入M(10,24)得a=1: 当x∈[20,24]时，由2(20,44)和N(24,24)得y=-5x+144. 综上，函数表达式为y= (x-14)2+8,x∈[10,20] 1-5x+144,x∈(20,24] (2)对于抛物线上的点(x),10≤x≤20，其到A的斜率k=y-24_-28x+128_x+180 =X+ 28, #据单通可知x+0c[25.29],片以e25-28】 对于线段上的点(K),20≤≤24，共到A的斜年k=广-24-120-5∈[0.] 综上，ke[12V5-281],6x=arctan1--arctan12W5-28）≈944°. 20.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分) 己知椭圆T:X+y2=1的左、右焦点分别为乃、E,右顶点为A,上顶点为B,设P为T上的一点 4 (1)当PE⊥耳E时，求PF的值： (2)若P点坐标为 1 则在r上是否存在点Q使AMPO的面积为5+1？若存在，求出所有满足条 2 件的点Q的坐标；若不存在，说明理由： (3)己知点D坐标为(0，m),过点P和点D的直线1与椭圆T交于另一点T,当直线1与x轴和y轴均不平 行时，有PT·(BP+BT)=0,求实数m的取值范围， 1)R=20=25,设到P=石，NP明=4-人，为股定现得12+4矿-，解得P图方 e)4020.4-.盒线4p的方E为=9(-2.年5c+2-25=0 设0(2os0.n6),8e[0,2m),则Q到4P的距离为d-2外5cos0+sm9-同 √7 42椅面灰有d号-5，入后k5cs8+0-月-51.头中500<2 2 2 因比有5co01sm0=2(9-}-1,得9友，年存在点Q坐东为-5时)oQ-少。 (3)设直线1：y=c+m,联立椭圆T:x2+4y2=4,得(4k2+1)x2+8ax+4(m2-1)=0, △=642-16(4+1)(m2-1)=1642+1-m2）>0,设P(s,y),T(2,y2),PT中点为M. 由于丽+所2，所以7上M,即克我M斜率为名-5号- 24k2+11 %=c+=1B(0,因此有1-m-1桃。-， m 七-4m左，即4k=-3m-1>0,得<-5. 北时△=16(0+1-)=16(-3m-m0,得m(←30).日说m的取债范国类-3引 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分) 设aeR,对于函数y-f,定义E(s)-f田)f@,xe(a-I.q)U(q.a+).若函数y-f四清足 x-a F(x)>0恒成立，则称函数y=f(x)具有性质P(a). (1)判断y=sinx是否具有性质P(O),并说明理由： (2)设f(x)=e-x,若函数y=f(x)具有性质P(a),求实数a的取值范围： (3)设函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a∈R以及t∈(0,1)，都有F(a-t)<F(a+t),并且当x<0 时恒有f(x)<0,求证：函数y=f(x)对任意实数a均具有性质P(a). ）当a=0时，R9=当xE-L,0)和(0时为有乃(9>0，因此y=inx具有性质卫 (2)为使te(a,a+1）时R(似=f四-fa0,离要fx)>fa:同理，t∈(a-l,a)时需要fs<fa: x-a f(x)=e-x时，解f'(x)=e-1≥0得x≥0，即y=f(x)在(-0,0]上严格减，[0，+o）上严格增. 当a≥1时，则y=f(x)在(a-l,a)和(a,a+1)上均严格增，满足上述要求； 当a≤0时，则y=f(x)在(a-1,a)上严格减，此时f(x)>f(a)不成立： 当0<a<1时，y=f(x)在(a,a+1)上严格增，符合条件，而在(a-1,a）上先减后增，即(a-1,0]上严格减，在 [0,a)上严格增，为满足f(x)<f(a)恒成立，即需要有f(a-1)≤f(a),代入后即为e-1-(a-1)≤e-a, 化为e-e1≥1，即e≥e,即 e-1 e,≤a<1 e- 茶上，a的位克国[。 (3)不等xBa-<卫.a+)为fa)-f@fa+)-/@,即ja+)-a>j@-fa-). a-t-a a+t-a 而所需证明的结论即为对任意aeR,任意t∈(0,1)，均有f(a+t)>f(a)且f(a)>f(a-t) 假设存在a与t∈(0，l),使得f(a+t)≤f(a),（若是f(a)>f(a-t)不成立，取a-t代入a即可得到前式.) 则根据条件，有f(a)-f(a-t)<f(a+t)-f(a)≤0，连续使用该结论，可得对于正整数k, f(a-t)-f(a-(k+l)t)<f(a)-f(a-t)<0, 记m=f(a)-f(a-t),则常数<0，此时对任意正整数k≥2，均有f(a-t)-f(a-(k-l)r)>-m, f(a-a)=「f(a-a)-f(a-(k-1)t)]++[f(a-t)-f(a]+f(a)≥(-m(k-1)+f(a, 取足够大的k,使得a-t<0且(-m)(k-1)+f(a)>0,此时可得f(a-t)>0,与x<0时f(x)<0矛盾. 因此假设不成立，即所需证明的结论成立，得证复旦大学附属中学2025一2026学年第一学期 高三年级（上)数学综合练习（2) 班级 学号 姓名 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1一6题每题4分，第7一12题每题5分）考生应在答题纸的相 应位置直接填写结果。 1.已知集合P={xlx=y2,yeR},2={y=2,xeR},则P∩2= 2x 2.函数y= /In x-1 的定义域是 3.已知C0Sx= 3,且x为第三象限的角，则tam2x= Λ7 的二项展开式中x项的系数为 5.若某圆锥的底面半径为2，高为2，则该圆锥的侧面积为 ·(结果保留π) 6.已知非零复数：满足-1=1，E-=1,其中1为虚数单位，则=的虚部为 7.已知y=f(x)是定义在(-1,1)上的函数，若f(x)=3x+sinx+1, 且f(1-a2)+f(1-a)>2,则实数a的取值范围为 8.如图，己知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为3，且 D 面角A-BC-D的大小为2，则ACBD=一 9双曲线上。术1的左、右焦点分别为R和R,若以点R为焦点的抛物线工，少=2P(P>0)与工在第一 一象限交于点P,且∠PRR=开则C的离心率为 10.2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段.在飞船竖直升空 过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次.已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H, 且在照片上飞船船体长度为h,比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物，飞船上升了.假设该记者连 按拍照键间的反应时间为t,并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为 .(用含有H、h、m、t的式子表示) 11.己知f(x)=e-a,g(x)=ln(x+a),若f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是 12.斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列{a}满足4=4=1， a。=an-1+a-2(n≥3，n∈N).给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是 ①存在正整数m>1,使得a,an+1,an+2成等差数列： ②存在正整数m,使得am,am+1,am+2成等比数列； ③存在常数t,使得对任意正整数，都有am,tam+2,am+4成等差数列； ④存在正整数1，l2,,1n,且1<☑2<<m,使得a+4,+…+an=2023 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13一14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个 正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑， &已知ae0,则“an(k-a)=}”是“cosa9”的( )条件。 2 (A)充要 (B)充分非必要 (C)必要非充分 (D)既非充分又非必要 14.装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球 恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( ) (A)① (B)①② (C)②③ (D)①②③ 15.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的 多面体，它体现了数学的对称美.如右上图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱 的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正 方形的一种半正多面体.若AB=√2，则此半正多面体外接球的表面积为() (A)43π (B)12π (c)82 (D)8元 3 16.设数列{a}的前四项分别为4,42,4，a4,对于以下两个命题，下列选项中说法正确的是() ①存在等比数列{an}以及锐角a,使{sina,cosc,tan}={a,,a}成立 ②对任意等差数列{an}以及锐角a,均不能使{sic,cosa,tanc,coto}={a,a2,a,a}成立. (A)①是真命题，②是真命题 (B)①是真命题，②是假命题 (C)①是假命题，②是真命题 (D)①是假命题，②是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 设f(x)=sin ox,o>0. (1)当函数y=f(x)的最小正周期为2π时，求y=f(e)-V3c0sx在0， 上的最大值： (2)若0=2，在A4BC中，角A、B、C所对的边长为a、b、c,锐角A满足f八A+6) =0,4B.AC=4, 求a的最小值. 18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图，己知在四棱柱ABCD-EFGH中，EA⊥平面ABCD,N、M分别是EF和HD的中点 (1)求证：N∥平面AFM: (2)若底面ABCD为梯形，AB∥CD,AB=EA=2,AD=DC=1,异面直线AB与EH所成角为 2 求直线AN与平面AFM所成角的正弦值. E H C B 19.（本题满分16分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分4分) 某校运会上无人机飞行表演，在水平距离x∈[10,24]（单位：米）内的飞行轨迹如图所示，y表示飞行高度 (单位：米).其中当x∈[10,20]时，轨迹为开口向上的抛物线的一段（端点为M、Q,当x∈[20,24]时，轨 迹为线段QN.经测量，起点M(10,24),终点N(24,24),最低点P(14,8). (1)求y关于x的函数表达式： (2)在A(0,24)处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角日的最小值.（精确到0.1°） 0 20.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分) 已知椭圆T:二+y=1的左、右焦点分别为R、R,右顶点为A,上顶点为B,设P为T上的一点 4 (1)当P⊥耳F时，求PF的值； (2)若P点坐标为1， 3 2 则在T上是否存在点Q使AAP吧的面积为5+1？若存在，求出所有满足条 2 件的点Q的坐标；若不存在，说明理由： (3)己知点D坐标为(0，m),过点P和点D的直线1与椭圆T交于另一点T,当直线1与x轴和y轴均不平 行时，有PT·(BP+BT=0,求实数m的取值范围. 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分) 设aeR,对于丽数y=fy),定义R(x)=f）-f@,xe(a-1.a)U(a.a+-1)）.若函数y=f田满足 x-a F(x)>0恒成立，则称函数y=f(x)具有性质P(a). (1)判断y=snx是否具有性质P(O),并说明理由； (2)设f(x)=e-x,若函数y=f(x)具有性质P(a),求实数a的取值范围； (3)设函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a∈R以及t∈(0,1)，都有F,(a-t)<F,(a+t),并且当x<0 时恒有f(x)<0,求证：函数y=f(x)对任意实数a均具有性质P(a). 4