2.7探索勾股定理（第1课时） 课件2025-2026学年 浙教版八年级数学上册

第2章 特殊三角形 2.7探索勾股定理（第1课时） （浙教版）八年级 上 01 教学目标 02 新知导入 03 新知讲解 04 课堂练习 05 课堂小结 06 板书设计 Contents 目录 01 教学目标 01 02 经历用测量、数格子（或割、补、拼等）的方法探索、验证勾股定理的过程,了解勾股定理的各种探究方法及内在联系,发展几何直观和推理能力。 在具体情境中,能运用勾股定理解决实际问题,发展应用意识。 02 新知导入 如图是在北京召开的第 24届国际数学家大会（ICM-2002）的会标。它的设计思路可追溯到 3 世纪中国数学家赵爽使用的弦图。用弦图证明勾股定理在数学史上有着重要的地位。 03 新知讲解 合作学习 （1）剪四个全等的直角三角形纸片（图 2-34），把它们按图 2-35放入一个边长为c的正方形中。这样就拼成了一个形如图2-35的图形。 （2）设剪出的直角三角形纸片的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c。 分别计算图 2-35中的蓝色部分的面积和大、小两个正方形的面积。 （3）比较图2-35中蓝色部分和大、小两个正方形的面积，你发现了什么？ 你还有其他拼图方法得到这些结论吗？ 03 新知讲解 合作学习 S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2, ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， 03 新知探究 勾股定理： 直角三角形的三条边长的关系： 直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。 如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，那么a2+b2=c2。 a b c 03 新知探究 注意： （1）可变形为， ，故已知直角三角形中任意两边的长，即可求第三边的长。 （2）勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是在直角三角形中。 如何证明直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方？ a b b c a b c a 证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧. 03 新知探究 03 新知探究 a b c ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， 赵爽弦图 b-a ∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2, 证明： “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲. 03 新知探究 证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧. 03 新知探究 a a a a b b b b c c c c ∴a2+b2+2ab=c2+2ab， ∴a2 +b2 =c2. 证明： S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4× ab+c2 =c2+2ab， ∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab, 03 新知探究 a a b b c c ∴a2 + b2 = c2. 证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2. 03 新知探究 我国早在三千多年前就知道直角三角形的这个性质。古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦，因此这一性质也称为勾股定理。 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，是数学中最著名的定理之一，在图形研究、生活生产实践中有着广泛的应用。 03 新知讲解 已知在△ABC中，∠C＝Rt∠，BC＝a，AC＝b，AB＝c。 （1）若a＝1，b＝2，求c； （2）若a＝15，c＝17，求b。 例1 c2=a2+b2=12 +22 =5 因为c>0,所以c= 解:(1)根据勾股定理，得 (2)根据勾股定理，得 因为b>0 , 所以b=8. =172 -152 =64. =(17＋15)(17－15) b2 = c2 -a2 03 新知讲解 如图是一个长方形零件图。根据所给的尺寸（单位：mm），求两孔中心A，B之间的距离。 例2 解：过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则∠ACB＝90°， AC＝90－40＝50（mm）， BC＝160－40＝120（mm）。 在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2 =502+1202=16900（mm2）因为AB＞0，所以AB＝130（mm）。 答：两孔中心A，B之间的距离为130 mm。 分析：解决问题的关键是构造出含所求 线段的直角三角形，然后用勾股定理求解。 03 新知讲解 做一做 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c. （1）已知a=6，c=10，求b； （2）已知a=5，b=12，求c； （3）已知c=25，b=15，求a. 解：由勾股定理得52+122=c2 ,c=13; 解：由勾股定理得62+b2=102, b=8; 解：由勾股定理得a2+152=252 ,a=20. 04 课堂练习 基础题 1．若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是(　　) A．b2＝c2－a2 B．a2＝c2－b2 C．b2＝a2－c2 D．c2＝a2＋b2 C 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 C 04 课堂练习 基础题 3.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(　 　) A．48 B．60 C．76 D．80 C 04 课堂练习 基础题 4. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，CD⊥AB，且CD＝4cm，BD＝3cm.求： （1） AD的长； 解：（1） 设AD＝xcm，则AC＝AB＝（x＋3）cm. 因为CD⊥AB，所以∠CDA＝90°. 在Rt△ACD中， 由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2，即x2＋42＝（x＋3）2，解得x＝ .所以AD的长为 cm 04 课堂练习 基础题 4. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，CD⊥AB，且CD＝4cm，BD＝3cm.求： （2） △ABC的面积. 解：（2） 由（1）可知，AB＝AC＝ ＋3＝ （cm）. 因为CD⊥AB， 所以S△ABC＝ AB·CD＝ × ×4＝ （cm2） 04 课堂练习 提升题 1. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，BD＝5，CD＝4，且AC＝AD. 记AB的长为x，AC的长为y，当x，y变化时，下列代数式的值不变的是（　A　） A. x2－y2 B. x2＋y2 C. x－y D. x＋y A 04 课堂练习 提升题 2. 如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m.若梯子的顶端沿墙AO向下滑1m，这时梯子的底端也向右滑1m，求梯子AB的长. 解：设BO＝xm.由题意，得AC＝1m，BD＝1m，AO＝4m. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB2＝AO2＋BO2； 在Rt△COD中，由勾股定理，得CD2＝CO2＋DO2. 因为AB＝CD，所以42＋x2＝（4－1）2＋（x＋1）2， 解得x＝3.所以AB2＝ 42＋32＝25（m2）. 又因为AB＞0，所以AB＝5m. 所以梯子AB的长为5m 04 课堂练习 拓展题 1. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点. （1） 在图①中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； 解：（1） 如图①所示 04 课堂练习 拓展题 （2） 在图②中以格点为顶点画一个三边长分别为2， ， 的三角形； 解：（2） 如图②所示 04 课堂练习 拓展题 （3） 如图③，A，B，C，D是格点，点D在线段AB上，求∠ABC的度数. 解：（3） 如图③，连结AC，CD. 由勾股定理，得AC2＝BC2＝32＋12＝10，AD2＝BD2＝CD2＝22＋12＝5，所以AC＝BC，AD＝BD＝CD. 所以△ABC是等腰三角形，CD是AB边上的中线.所以CD⊥AB. 所以∠CDB＝90°. 又因为CD＝BD，所以∠ABC＝ ×（180°－90°）＝45° 05 课堂小结 勾股定理： 直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。 字母表示：a2+b2=c2，， 06 板书设计 2.7探索勾股定理（第1课时） 勾股定理： 直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。 字母表示：a2+b2=c2，， $