精品解析：黑龙江省哈尔滨中实学校2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试卷（五四学制）

中实学校2024-2025学年度上学期 期中考试初四数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 2022的倒数是（　　） A. B. C. 2022 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，据此即可求得答案，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】2022的倒数是， 故选：D． 2. 安全无小事，学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标是中心对称图形的是（ ） A. 注意安全 B. 水深危险 C. 必须戴安全帽 D. 注意通风 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A中的图形不是中心对称图形，故本选项不合题意； 选项B中的图形不是中心对称图形，故本选项不合题意； 选项C中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 选项D中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，掌握“中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合”是解本题的关键． 3. 若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质：对于，当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限，由此可解． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 解得， 故选：A． 4. 如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用圆周角定理求出，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 5. 将二次函数的图像向上平移6个单位，向左平移2个单位后得到的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线的平移变换，解题的关键是掌握抛物线平移规律：左加右减，上加下减．根据抛物线平移规律即可得到答案． 【详解】解：将二次函数的图像向上平移6个单位，向左平移2个单位后得到的函数解析式为，即， 故选：C． 6. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解 【详解】解：由题意得： ∴千米 故选：A 7. 如图，一小孩在荡秋千，秋千的纤绳长为2米，当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面米，那么小孩从最低位置达到最高位置秋千底部所经过的路径长为（ ）． A. 2米 B. π米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求弧长，过点A作于点C，得出，求出，则，最后根据弧长公式，即可解答． 【详解】解：过点A作于点C， ∵当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴秋千底部所经过的路径长， 故选：C． 8. 如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可． 【详解】解：由题可知，， ∴, ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与应用，解决本题的关键是能读懂题意，建立相似关系，得到对应边成比例，完成求解即可，本题较基础，考查了学生对相似的理解与应用等． 9. 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即可． 【详解】连接，根据题意，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，， 得， ∴点M，N，O三点共线， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的函数值，熟练掌握相关知识是解题的关键． 10. 如图，矩形中，，点P从点B出发沿边匀速移动到点C，同时点Q从点 C 出发沿边向点 B匀速移动，且点Q移动的速度是点 P移动速度的2倍，设的长为x，的面积为y，则下列各图中能够正确反映y与x的函数图象的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论，求出点Q分别在上的函数解析式，对照解析式得到函数图像进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 当时，点Q在上， 由题意得，，， ∴， 当时，点Q在上，过点Q作于点F， ∵，即， 又∵， ∴， ∴； 当时，点在上，此时， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质得出其函数图象，注意自变量的取值范围． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 工业和信息化部最新统计显示，截至2022年4月末，中国已建成5G基站约1615000个，成为全球首个基于独立组网模式规模建设5G网络的国家，将1615000用科学记数法表示为____________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】解：1615000=1.615×106， 故答案为：1.615×106． 【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 12. 函数，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为是解题的关键．要确定自变量的取值范围，需考虑分式的分母不能为，据此求解不等式． 【详解】解：由题意可得． 故答案为：． 13. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟知分解因式的方法是解题的关键； 根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解：； 故答案为：． 14. 二次函数的最大值是____________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，即可． 【详解】解：∵中， ∴二次函数开口向下，有最大值， ∴当时，有最大值，， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的性质． 15. 坐标系中， 点在第三象限， 则m的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中象限中点的特征，以及解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得，，再解不等式组即可． 【详解】解：由题意得，， 解得，， 得，， 原不等式组的解集为：， 故答案为：． 16. 将一个底面圆的半径为，母线长为的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是________度． 【答案】144 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】∵将一个半径为4cm，母线长为10cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平， ∴圆锥侧面积公式为：S=πrl=π×4×10=40πcm2， ∴扇形面积为40π= ， 解得：n=144， ∴侧面展开图的圆心角是144°． 故答案为：144． 【点睛】此题主要考查了圆锥的侧面积公式应用以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥侧面积是解决问题的关键． 17. 如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，根据在同圆中直径所对的圆周角是可得，根据圆周角定理可得，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，，如图： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了在同圆中直径所对的圆周角是，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18. 的直径，弦，且于E，则的面积__________. 【答案】8或32##32或8 【解析】 【分析】根据描述画出图形，连接OC，根据勾股定理求得OE的长，从而求得AE的长，再利用三角形面积公式即可求得． 【详解】①如图所示，连接OC， 由题知，， ，， ， ， ； ②如图所示，连接OC， 同①可得， ， ； 故答案为：8或32． 【点睛】本题考查圆的垂径定理和勾股定理，解题的关键是构造直角三角形运用勾股定理，注意分类讨论． 19. 如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度（）与水平距离（）之间的关系如图2所示，点为该水流的最高点，点为该水流的落地点，且，垂足为点，．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 根据题意可得点，设抛物线的解析式为，把点代入，可求出抛物线的解析式，然后令，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴点， 设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴点C的坐标为， ∴， 即的长为． 故答案为： 20. 如图，，，，点，分别在，上，，，、交于点，若，则的长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 取的中点M，连接，则，根据三角形中位线定理可得，从而得到，再由直角三角形的性质可得，设，则，再结合勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点M，连接，则， ∵，，， ∴为的中位线，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴． 故答案为：8 三．解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先对分式进行化简到位，再把特殊角的三角函数值代入求出x，将x代入化简后的分式中求得分式的值． 【详解】解：原式＝ ， 当x＝2×－1＝时， 原式＝＝． 【点睛】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，除了要准确对分式进行化简到位外，还需熟练记忆特殊角的函数值． 22. 如图，在正方形网格中有一条线段（网格中每个小正方形的边长均为1个单位），其端点A、B均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出面积为16的等腰，且点C在小正方形的顶点上； （2）在图中画出菱形（非正方形），且点D和点B均在小正方形的顶点上，连接，请直接写出处线段的长（画出一种即可）． 【答案】（1） 根据题意，如图所示： （2） 如图所示： 【解析】 【分析】（1）因为AB为腰、面积为16的等腰△ABC，所以点C在点B的右边第8个格点上，由此即可画出图形； （2）作AB的垂直平分线，取格点B、D，然后得到菱形，再求出CE的长度即可． 【小问1详解】 由图可知，，点A到直线BC的距离为4， ∴△ABC的面积为：； 由勾股定理，则 ，， ∴； ∴△ABC为所求的三角形； 【小问2详解】 ∵，，，， ∴， ∴四边形是菱形， ； 【点睛】本题考查——与作图设计、勾股定理、等腰三角形的性质和判定、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型． 23. 如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向，距离小岛80海里的点A处，它沿着点A的南偏东方向航行．（结果保留根号） （1）渔船航行多远与小岛B的距离最近？ （2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？ 【答案】（1）渔船航行海里与小岛的距离最近． （2）救援队从处出发沿着点的南偏东方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题： （1）过点作于点，根据题意可得，解直角三角形求出的长即可； （2）解直角三角形得到的度数，进而求出的度数和的长，据此可得答案． 【小问1详解】 解：过点作于点，如图所示． 由题意，知． 在中，，海里， ∴海里． 答：渔船航行海里与小岛的距离最近． 【小问2详解】 解：由（1）得海里， ∵海里， ∴． ∴． ∵， ∴． 在中，，海里， ∴海里． 答：救援队从处出发沿着点的南偏东方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里． 24. 如图矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于N，连接、； （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：由矩形的性质可得，，， ∴，， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分， ∴， ∴是菱形． （2）50 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，，，证明，则，四边形是平行四边形，由垂直平分线的性质可知，进而结论得证； （2）由，设，，在中，勾股定理求得，则，，在中，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，计算求出满足要求的值，进而可得，的值，根据计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，设，， 在中，由勾股定理得， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得，即， 解得，（不合题意，舍去）, ∴，， ∴， ∴的面积为50． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、菱形的判定、正切、勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 25. 南京市某花卉种植基地欲购进甲、乙两种兰花进行培育，每株甲种兰花的成本比每株乙种兰花的成本多100元，且用1200元购进的甲种兰花与用900元购进的乙种兰花数量相同． （1）求甲、乙两种兰花每株成本分别为多少元？ （2）该种植基地决定在成本不超过30000元的前提下培育甲、乙两种兰花，若培育乙种兰花的株数比甲种兰花的3倍还多10株，求最多购进甲种兰花多少株？ 【答案】（1）每株甲种兰花的成本为400元，每株乙种兰花的成本为300元；（2）最多购进甲种兰花20株． 【解析】 【分析】（1）如果设每株乙种兰花的成本为x元，由“每株甲种兰花的成本比每株乙种兰花的成本多100元”，可知每株甲种兰花的成本为（x+100）元．题中有等量关系：用1200元购进的甲种兰花数量=用900元购进的乙种兰花数量，据此列出方程； （2）设购进甲种兰花a株，根据乙种兰花的株数比甲种兰花的3倍还多10株，成本不超过30000元，列出不等式即可 【详解】（1）设每株乙种兰花的成本为x元，则每株甲种兰花的成本为（x+100）元 由题意得， 解得，x＝300， 经检验x＝300是分式方程的解， ∴x+100＝300+100＝400， 答：每株甲种兰花的成本为400元，每株乙种兰花的成本为300元； （2）设购进甲种兰花a株 由题意得400a+300（3a+10）≤30000， 解得，a≤， ∵a是整数， ∴a的最大值为20， 答：最多购进甲种兰花20株． 【点睛】此题考查一元一次不等式应用，分式方程的应用，解题关键在于列出方程 26. 内接于，弦垂足为，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接并延长交于点，连接并延长交于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作交的延长线于点，连接，若，，求的直径． 【答案】（1） 连接， ， ， ， ， ， ； （2） 证明：，的外接圆圆心为， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，利用同弧所对的圆周角相等，可得结论； （2）根据等腰三角形的性质知为的中点，再利用直角三角形斜边上的中线可知，从而说明，即可证明结论； （3）作于，于，首先利用证明，得，再根据，得，从而得出，，设，则，在中，由勾股定理得，，解方程求出的值，设半径为，则，在中，再利用勾股定理列出方程，从而解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 作于，于， 则四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得，，， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得或0（舍去）， ， 设半径为，则， 连接，在中，由勾股定理得， ， 解得， 直径为． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造是（3）解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒． （1）求、的值； （2）在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ （3）在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值为4；（3）（，） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作PE⊥x轴，垂足为E，利用S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可； （3）画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明△PFM≌△QEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0）， 则， 解得：； （2）由（1）得：抛物线表达式为y=-x2+2x+3，C（0，3），A（3，0）， ∴△OAC是等腰直角三角形，由点P的运动可知： AP=，过点P作PE⊥x轴，垂足为E， ∴AE=PE==t，即E（3-t，0）， 又Q（-1+t，0）， ∴S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ = = ∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， AC=，AB=4， ∴0≤t≤3， ∴当t==2时，四边形BCPQ的面积最小，即为=4； （3）∵点M是线段AC上方的抛物线上的点， 如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F， ∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°， ∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°， ∴∠PMF=∠QPE， 在△PFM和△QEP中， ， ∴△PFM≌△QEP（AAS）， ∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t， ∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t， ∴点M的坐标为（3-2t，4-t）， ∵点M在抛物线y=-x2+2x+3上， ∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3， 解得：t=或（舍）， ∴M点的坐标为（，）． 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中实学校2024-2025学年度上学期 期中考试初四数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 2022的倒数是（　　） A. B. C. 2022 D. 2. 安全无小事，学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标是中心对称图形的是（ ） A. 注意安全 B. 水深危险 C. 必须戴安全帽 D. 注意通风 3. 若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 将二次函数的图像向上平移6个单位，向左平移2个单位后得到的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 7. 如图，一小孩在荡秋千，秋千的纤绳长为2米，当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面米，那么小孩从最低位置达到最高位置秋千底部所经过的路径长为（ ）． A. 2米 B. π米 C. 米 D. 米 8. 如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是（ ） A. B. C. D. 9. 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，，点P从点B出发沿边匀速移动到点C，同时点Q从点 C 出发沿边向点 B匀速移动，且点Q移动的速度是点 P移动速度的2倍，设的长为x，的面积为y，则下列各图中能够正确反映y与x的函数图象的是（ ）. A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 工业和信息化部最新统计显示，截至2022年4月末，中国已建成5G基站约1615000个，成为全球首个基于独立组网模式规模建设5G网络的国家，将1615000用科学记数法表示为____________． 12. 函数，自变量的取值范围是______． 13. 因式分解：_______． 14. 二次函数的最大值是____________． 15. 坐标系中， 点在第三象限， 则m的取值范围是_______________. 16. 将一个底面圆的半径为，母线长为的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是________度． 17. 如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径______． 18. 的直径，弦，且于E，则的面积__________. 19. 如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度（）与水平距离（）之间的关系如图2所示，点为该水流的最高点，点为该水流的落地点，且，垂足为点，．若，，则的长为______． 20. 如图，，，，点，分别在，上，，，、交于点，若，则的长为______． 三．解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，在正方形网格中有一条线段（网格中每个小正方形的边长均为1个单位），其端点A、B均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出面积为16的等腰，且点C在小正方形的顶点上； （2）在图中画出菱形（非正方形），且点D和点B均在小正方形的顶点上，连接，请直接写出处线段的长（画出一种即可）． 23. 如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向，距离小岛80海里的点A处，它沿着点A的南偏东方向航行．（结果保留根号） （1）渔船航行多远与小岛B的距离最近？ （2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？ 24. 如图矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于N，连接、； （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的面积． 25. 南京市某花卉种植基地欲购进甲、乙两种兰花进行培育，每株甲种兰花的成本比每株乙种兰花的成本多100元，且用1200元购进的甲种兰花与用900元购进的乙种兰花数量相同． （1）求甲、乙两种兰花每株成本分别为多少元？ （2）该种植基地决定在成本不超过30000元的前提下培育甲、乙两种兰花，若培育乙种兰花的株数比甲种兰花的3倍还多10株，求最多购进甲种兰花多少株？ 26. 内接于，弦垂足为，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接并延长交于点，连接并延长交于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作交的延长线于点，连接，若，，求的直径． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒． （1）求、的值； （2）在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ （3）在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $