精品解析：四川省成都市金牛区成都七中八一学校2020-2021学年九年级直升考试数学试题

成都七中八一学校初2021届直升考试数学试题 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. 3 C. D. 2. 用五块大小相同的小正方体搭成如下图所示的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，交于点E，，添加以下四个条件中的一个，其中不能使的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 函数 中，自变量 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 2020年全国房地产开发投资141443亿元，此数据用科学记数法表示为（ ）亿元 A. B. C. D. 7. 如图，是半圆的直径，弦，的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，斜边，则的长度是（ ） A. B. C. D. 9. 如图：将一个矩形纸片，沿着折叠，使点分别落在点处.若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点是以为圆心，为直径的半圆上的动点，．设弦的长为，的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（20分） 11. 分解因式：=_________________. 12. 已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD＝25°，那么∠C的度数是__． 13. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是__． 14. 直线与直线如图，则下列结论： ①；②；③当时，；④方程的解是，，正确的有________． 三、解答题（本大题共6个小题，共54分） 15. 计算或解方程： （1） （2） 16. 已知是一元二次方程的实数根，求代数式的值． 17. 、如图，大楼AB的高为16米，远处有一塔CD，小李在楼底A处测得塔顶D处的仰角为60°，在楼顶B处测得塔顶D处的仰角为45°．其中A、C两点分别位于B、D两点正下方，且A、C两点在同一水平线上，求塔CD的高度． 18. 为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛．赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成图1的条形统计图和图2扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题： （1）参加比赛的学生共有______名，并补全图1的条形统计图； （2）在图2扇形统计图中，m的值为______，表示D等级的扇形的圆心角为______； （3）组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大赛．已知A等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 19. 如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数 （a≠0） 的图象交于A（-6，2）、B（4，n）两点，直线AB分别交x轴、y轴于D、C两点. （1）求上述反比例函数和一次函数的解析式； （2）若AD=tCD，求t． 20. 如图，内接于，，为直径，与相交于点E，过点E作，垂足为F，延长交的延长线于点P，连接． （1）求证：与相切； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，若的半径为8，，求的长． B卷（50分） 四、填空题（每小题4分，共20分） 21. 设是方程的两个实数根，则的值为________． 22. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把这样的数称为“三角形数”，而把这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，如．正方形数可以看作两个相邻的“三角形数”之和，则这两个相邻“三角形数”是______． 23. 将矩形ABCD折叠，使得对角线的两个端点A、C重合，折痕所在直线交射线AB于点E，如果，，那么BC的长是______． 24. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在y轴上，点C在x轴上，BC⊥x轴，tan∠ACO＝．延长AC到点D，过点D作DE⊥x轴于点G，且DG＝GE，连接CE，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B，和CE交于点F，且CF：FE＝2：1．若△ABE面积为6，则点D的坐标为_____． 25. 矩形ABCD的边AB＝4，边AD上有一点M，连接BM，将MB绕M点逆时针旋转90°得MN，N恰好落在CD上，过M、D、N作⊙O，⊙O与BC相切，Q为⊙O上的动点，连BQ，P为BQ中点，连AP，则AP的最小值为_____． 五、解答题（共3小题，共30分） 26. 某公司生产的某种时令商品每件成本为元，经过市场调研发现，这种商品在未来天内的日销售量（件）与时间（天）的关系如下表： 时间（天） 1 3 6 10 36 … 日销售量（件） 94 90 84 76 24 … 未来天内，前天每天的价格（元/件）与时间（天）的函数关系式为：（且为整数）；后天每天的价格（元/件）与时间（天）的函数关系式为：（且为整数）．下面我们来研究这种商品的有关问题． （1）认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式； （2）请预测未来天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？ （3）在实际销售的前天中该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程，公司通过销售记录发现，前天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，求的取值范围． 27. （1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，． ①求证：； ②推断：的值为　 　； （2）类比探究：如图（2），在矩形中，（为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，，求的长． 28. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线过A，C两点，与x轴交于另一点B． （1）求抛物线的解析式． （2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当时，求的值． （3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都七中八一学校初2021届直升考试数学试题 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的倒数是． 故选A． 【点睛】本题考查倒数，掌握概念正确计算是解题关键． 2. 用五块大小相同的小正方体搭成如下图所示的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：图形的左视图，即从左边看过去的图形，易知五个正方体搭钩成的图形左边有四个正方体，故选D． 考点：三视图 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项和幂的乘方等运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 利用同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项和幂的乘方等运算法则，逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，该选项错误，不符合题意； B. ，该选项错误，不符合题意； C. ，该选项错误，不符合题意； D. ，该选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，交于点E，，添加以下四个条件中的一个，其中不能使的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可． 【详解】解：A、可利用证明，故此选项不合题意； B、由可得，可利用证明，故此选项不合题意； C、可利用证明，故此选项不合题意； D、不可利用证明，故此选项符合题意； 故选：D． 5. 函数 中，自变量 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分式有意义的条件：分式的分母不为0，分式才有意义. 【详解】由题意得， ∴， 故选C. 6. 2020年全国房地产开发投资141443亿元，此数据用科学记数法表示为（ ）亿元 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 根据，即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 7. 如图，是半圆的直径，弦，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，解题的关键是掌握直径所对的圆周角等于． 先根据圆周角定理得到，再根据平行线的性质得到，再由即可求解． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，中，，斜边，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．根据求解即可得． 【详解】解：∵在中，斜边，， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图：将一个矩形纸片，沿着折叠，使点分别落在点处.若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设∠ABE=x， 根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x， 所以50°+x+x=90°， 解得x=20°． 故选B． 10. 如图，点是以为圆心，为直径的半圆上的动点，．设弦的长为，的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作于点H，如图所示，则，设，得到．求出特殊位置的的面积，进行排除即可得到答案． 【详解】解：作于点H，如图所示，则， 设， 由勾股定理可得， 此时． 即， 当时，此时是等边三角形，， 故排除B、D选项， 与的函数关系不是二次函数关系， 故排除C选项， 故选：A． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象、垂径定理，利用特殊位置的面积进行排除是解题的关键． 二、填空题（20分） 11. 分解因式：=_________________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，关键是掌握提取公因式法和公式法分解因式； 先提取公因式，再用完全平方公式分解因式即可 【详解】原式． 故答案是：． 12. 已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD＝25°，那么∠C的度数是__． 【答案】 【解析】 【分析】因为AB是⊙O的直径，所以求得∠ADB＝90°，进而求得∠B的度数，又因为∠B＝∠C，所以∠C的度数可求出． 【详解】解：如图，连接BD， ∵AB是⊙0的直径， ∴∠ADB＝90°． ∵∠BAD＝25°， ∴∠B＝65°， ∴∠C＝∠B＝65°（同弧所对的圆周角相等）． 故答案为：65°． 【点睛】本题考查圆周角定理中的两个推论：①直径所对的圆周角是直角②同弧所对的圆周角相等． 13. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是__． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上内容． 根据解一元二次方程的步骤求出方程的根，然后根据三角形的三边关系进行验证，最后求出周长即可． 【详解】解： 或 或， 当时，，不能构成三角形，舍去； 当时，，能构成三角形； ∴此三角形的周长是， 故答案为：13． 14. 直线与直线如图，则下列结论： ①；②；③当时，；④方程的解是，，正确的有________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据一次函数的图象经过的象限，可判断①； 根据一次函数的图象与轴的交点位置，可判断②； 根据一次函数与的图象交点的横坐标，及图象的位置，可判断③； 根据一次函数与的图象交点的横坐标，可判断④． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，故①正确； ∵一次函数的图象与轴交于负半轴， ∴，故②错误； 一次函数与的图象交点的横坐标为， 当时，的图象在的上方， 即，故③错误； ∵一次函数与的图象交点的横坐标为， ∴关于的方程的解是，故④正确． 三、解答题（本大题共6个小题，共54分） 15. 计算或解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查实数的运算和解一元二次方程，熟练掌握实数的运算法则和一元二次方程的解法是解题的关键， （1）根据开平方，特殊三角函数值，零指数幂，负指数幂的运算法则计算即可得到答案； （2）先整理方程再利用配方法解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ∴或， ∴或． 16. 已知是一元二次方程的实数根，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根的意义得出，再将分式化简，然后不断地将代入，最终得出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了已知式子的值求代数式的值，一元二次方程根的意义，分式的混合运算，分式的化简求值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 17. 、如图，大楼AB的高为16米，远处有一塔CD，小李在楼底A处测得塔顶D处的仰角为60°，在楼顶B处测得塔顶D处的仰角为45°．其中A、C两点分别位于B、D两点正下方，且A、C两点在同一水平线上，求塔CD的高度． 【答案】． 【解析】 【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及两个直角三角形，即Rt△BED和Rt△DAC，利用已知角的正切分别计算，可得到一个关于AC的方程，从而求出DC． 【详解】解：作BE⊥CD于E． 可得Rt△BED和矩形ACEB． 则有CE=AB=16，AC=BE． 在Rt△BED中，∠DBE=45°，DE=BE=AC． 在Rt△DAC中，∠DAC=60°，DC=ACtan60°=AC． ∵16+DE=DC，∴16+AC=AC，解得：AC==DE． 所以塔CD的高度为（）米， 答：塔CD的高度为()米． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 18. 为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛．赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成图1的条形统计图和图2扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题： （1）参加比赛的学生共有______名，并补全图1的条形统计图； （2）在图2扇形统计图中，m的值为______，表示D等级的扇形的圆心角为______； （3）组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大赛．已知A等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）20；补全条形统计图如下： （2）40，72° （3） 【解析】 【分析】（1）用A等级的人数除以其所占比例即可得到总参赛人数，用总人数减去A、C、D等级人数和即可得到B等级人数，按要求补全条形图； （2）用C等级人数除以总人数即可求出m的值，用D等级人数除以总人数再乘以360°即可求解； （3）采用列表法列举即可求解． 【小问1详解】 根据题意得：3÷15%＝20（人）， 即参赛学生共20人， 则B等级人数（人）． 【小问2详解】 C等级的百分比为，即m＝40， 表示D等级的扇形的圆心角为， 故答案为：40，72°． 【小问3详解】 列表如下： 男 女 女 男 （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，女） 所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种， 则P（恰好是一名男生和一名女生）． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的知识以及采用列举法求解概率的知识，注重数形结合是解答本题的关键． 19. 如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数 （a≠0） 的图象交于A（-6，2）、B（4，n）两点，直线AB分别交x轴、y轴于D、C两点. （1）求上述反比例函数和一次函数的解析式； （2）若AD=tCD，求t． 【答案】（1）；；（2） ． 【解析】 【分析】（1）利用把，代入，得出的值，进而求出的值，由待定系数法求出一次函数的解析式； （2）首先证明，由，两点坐标得出，的长，进而得出的值． 【详解】解（1）把，代入， 得：， 反比例函数的解析式为， 把，代入， 得， 把，，，，分别代入， 得， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）过作轴，点为垂足， 点的纵坐标为2， ， 由一次函数的解析式为得点的坐标为， ， 在和中，， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练利用待定系数得出一次函数的解析式进而利用相似得出是解题关键． 20. 如图，内接于，，为直径，与相交于点E，过点E作，垂足为F，延长交的延长线于点P，连接． （1）求证：与相切； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，若的半径为8，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接，则，     ∴， ∵、， ∴， ∵是⊙O的直径， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由同弧所对圆周角且可得，结合即可得证； （2）作、连接，证得，由，，知，结合即可得； （3）中求得、，设，则、，继而在中利用勾股定理求出x的值，从而得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点O作于点M，连接， 则 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵，， ∴ 又∵ ∴； 【小问3详解】 ∵，， ∴ 在中， 又∵ ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴设，则、 ∴ ∵，且， ∴， 在中， ∴ 解得： ∵，舍去， ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查圆的综合问题，涉及圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握和运用相关的性质与定理进行解题是关键． B卷（50分） 四、填空题（每小题4分，共20分） 21. 设是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出是解题的关键．根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 22. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把这样的数称为“三角形数”，而把这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，如．正方形数可以看作两个相邻的“三角形数”之和，则这两个相邻“三角形数”是______． 【答案】和 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化规律，理解“三角形数”和“正方形数”的定义是解题的关键；先找出“三角形数”和“正方形数”的规律，再找出它们的关系，即可得解． 【详解】解：三角形数的规律： ， ， ， ， ， 所以第个三角形数为：； 正方形数的规律： ， ， ， ， ， ∴第个正方形数为， ∵， ∴第个正方形数为第个与第个三角形数之和， 当正方形数为时，即， 解得， 所以第个正方形数为第个与第个三角形数之和， 第个三角形数为：， 第个三角形数为：， 所以这两个相邻“三角形数”是和． 故答案为：和． 23. 将矩形ABCD折叠，使得对角线的两个端点A、C重合，折痕所在直线交射线AB于点E，如果，，那么BC的长是______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】分类讨论：当点E在AB上时，连接CE，根据折叠性质得EC=EA=3，再由勾股定理求出BC；当点E在BC上时，连接CE，由折叠得EC=EA=5，再由勾股定理求BC； 【详解】当点E在线段AB上，如图1，连接CE， ∵，，∴， ∵将矩形ABCD折叠，使得对角线的两个端点A，C重合， ∴，在中，； 当点E在线段AB的延长线上，如图2，连接CE， ∵，，∴， ∵将矩形ABCD折叠，使得对角线的两个端点A，C重合， ∴，在中，， 故：BC的长为或． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称；勾股定理，分类讨论的思想，找出折叠后哪两条边重合是做题的关键． 24. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在y轴上，点C在x轴上，BC⊥x轴，tan∠ACO＝．延长AC到点D，过点D作DE⊥x轴于点G，且DG＝GE，连接CE，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B，和CE交于点F，且CF：FE＝2：1．若△ABE面积为6，则点D的坐标为_____． 【答案】（，﹣3）． 【解析】 【分析】根据AB=AC，tan∠ACO=，设未知数表示点A、B、C的坐标，根据线段中垂线的性质得CE=CD，进而得到∠ECG=∠DCG=∠ACO，再根据tan∠ECG=tan∠ACO=，再设未知数表示出点E的坐标，进而求出CE的中点F的坐标，把点B、F的坐标代入反比例函数的关系式，进而得出两个未知数之间的关系，再根据=6，列方程求出未知数，进而确定点的坐标． 【详解】解：过点A作AM⊥BC，垂足为M， ∵AB=AC， ∴BM=CM， ∵tan∠ACO==． ∴设OA=2m，OC=3m，则BC=4m，因此点C(3m，0)、B(3m，4m)， ∵DE⊥x轴于点G，且DG=GE， ∴CE=CD， ∴∠ECG=∠DCG=∠ACO， ∴tan∠ECG==tan∠ACO=， 设EG=2n，则CG=3n，因此点E(3m+3n，2n)， 又∵CF：FE=2：1．即点F是CE的三等分点， ∴点F(3m+2n，n)， 把B(3m，4m)和F(3m+2n，n)代入反比例函数y=得， k=3m•4m=(3m+2n)•n，即(3m﹣2n)(3m+n)=0， ∵m＞0，n＞0， ∴n=m， ∴点E的坐标为(m，3m)， ∵S△ABE=6=S梯形ABCO+S梯形BCGE﹣S梯形AOGE， ∴(2m+4m)×3m+(4m+3m)×m﹣(2m+3m)×m=6， 解得：m=1， ∴E(，3)， ∴D(，﹣3) 故答案为：(，﹣3)． 【点睛】本题是反比例函数与几何综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质、线段中垂线的性质等知识，设未知数表示点的坐标，转化为线段的长是解决问题的关键． 25. 矩形ABCD的边AB＝4，边AD上有一点M，连接BM，将MB绕M点逆时针旋转90°得MN，N恰好落在CD上，过M、D、N作⊙O，⊙O与BC相切，Q为⊙O上的动点，连BQ，P为BQ中点，连AP，则AP的最小值为_____． 【答案】． 【解析】 【分析】设⊙O与BC的交点为F，连接OB、OF，如图1所示．根据旋转的性质得到MN⊥BM，推出△BMN为等腰直角三角形，由全等三角形的性质得到DM=AB=4，DN=AM，设DN=2a，则AM=2a，OF=4-a，根据勾股定理即可求得⊙O半径，延长BA，使AH=AB=4，连接HQ，OH，过O作OG⊥AB于G，根据三角形中位线的定理得到AP=HQ，HQ∥AP，当HQ取最小值时，AP有最小值，当点Q在HO时，HQ的值最小，根据勾股定理可求得OH，于是可得到结论． 【详解】设⊙O与BC的交点为F，连接OB、OF，作OR⊥DC于R，如图所示． ∵△MDN为直角三角形， ∴MN为⊙O的直径， ∵将MB绕M点逆时针旋转90°得MN， ∴MN⊥BM，MB=MN， ∴△BMN为等腰直角三角形， ∵∠AMB+∠NMD=180°﹣∠BMN=90°，∠MBA+∠AMB=90°， ∴∠NMD=∠MBA，且BM=NP，∠A=∠NMD=90°， ∴△ABM≌△DMN(AAS)， ∴DM=AB=4，DN=AM， 设DN=2a，则AM=2a，OF=4﹣a， ∵OR⊥DC于R， ∴DR=RN=， ∵OR⊥DC，OF⊥BC，∠C=90°， ∴四边形ORCF为矩形， ∴， BM=， ∵BM=MN=2OF， ∴=， 解得：， ∴，=， ∴⊙O半径为， 如图2，延长BA，使AH=AB=4，连接HQ，OH，过O作OG⊥AB于G， ∵AB=AH，BP=PQ， ∴AP=HQ，HQ∥AP， ∴当HQ取最小值时，AP有最小值， ∴当点Q在HO时，HQ的值最小， ∵，， ∴， ∴HQ的最小值=， ∴AP的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的有关知识，矩形的性质，切线的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是证明△ABM≌△DMN． 五、解答题（共3小题，共30分） 26. 某公司生产的某种时令商品每件成本为元，经过市场调研发现，这种商品在未来天内的日销售量（件）与时间（天）的关系如下表： 时间（天） 1 3 6 10 36 … 日销售量（件） 94 90 84 76 24 … 未来天内，前天每天的价格（元/件）与时间（天）的函数关系式为：（且为整数）；后天每天的价格（元/件）与时间（天）的函数关系式为：（且为整数）．下面我们来研究这种商品的有关问题． （1）认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式； （2）请预测未来天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？ （3）在实际销售的前天中该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程，公司通过销售记录发现，前天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，利润最大，最大利润是元 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数应用销售问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设时间为，日销售量为，待定系数法求解析式即可． （2）设销售利润为，根据题意可得或，化为顶点式即可求解． （3）由题意列出利润的式子，并化成顶点式再根据前天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大即可列，求解即可． 【小问1详解】 解：设时间为，日销售量为， 经分析和成一次函数关系，设， 将，代入上式， 可得， 解得：， ∴． 【小问2详解】 解：设销售利润为， 根据题意可得：或， 整理得或， 综上知，当时，利润最大，最大利润是元； 【小问3详解】 解：由题意得， 整理得， ∵前天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大， ∴， 解得：， 综上可得：． 27. （1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，． ①求证：； ②推断：的值为　 　； （2）类比探究：如图（2），在矩形中，（为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，，求的长． 【答案】（1）①证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴≌， ∴． ②1 （2）解：结论：． 理由：如图2中，作于． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴∽， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． （3）． 【解析】 【分析】（1）①由正方形的性质得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE=DQ．②证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题． （2）结论：如图2中，作GM⊥AB于M．证明：△ABE∽△GMF即可解决问题． （3）如图2-1中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．利用相似三角形的性质求出PM，CM即可解决问题． 【详解】（1）①略 ②解：结论：． 理由：∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为1． （2）略 （3）解：如图2﹣1中，作交的延长线于． ∵，， ∴， ∴， ∴可以假设，，， ∵，， ∴， ∴， ∴或﹣1（舍弃）， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴∽， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 28. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线过A，C两点，与x轴交于另一点B． （1）求抛物线的解析式． （2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当时，求的值． （3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的值为或；（3）存在，M的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）先求出A、C两点坐标，再用待定系数法求解； （2）如图，过点E作轴于点H，过点F作轴于点G，则易得△BFG∽△BEH，设点E的横坐标为t，则，利用相似三角形的性质可求出点F的坐标，再根据EH与FG的关系列出关于t的方程，解方程即可求出t的值，然后在Rt△EBH中即可求出的值； （3）①当EB为平行四边形的边时，分两种情况：点M在对称轴右侧时，BN为对角线与点M在对称轴左侧时，BM为对角线，利用平移的性质即可求出结果；②当EB为平行四边形的对角线时，利用平行四边形对角线的性质和中点坐标公式求解即可. 【详解】解：（1）在中，当时，当时， ∴、， ∵抛物线的图象经过A、C两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）令，解得，，∴， 设点E的横坐标为t，则， 如图，过点E作轴于点H，过点F作轴于点G，则，∴△BFG∽△BEH， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点F的横坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得，， 当时，， 当时，， ∴，， 当点E的坐标为时，在中，，， ∴， ∴； 同理，当点E的坐标为时，， ∴的值为或； （3）∵点N在对称轴上，∴， ∵点E位于对称轴左侧，∴. ①当EB为平行四边形的边时，分两种情况： （Ⅰ）点M在对称轴右侧时，BN为对角线， ∵，，，， ∴，当时，， ∴； （Ⅱ）点M在对称轴左侧时，BM为对角线， ∵，，，， ∴， 当时，， ∴； ②当EB为平行四边形的对角线时， ∵，，， ∴， ∴， 当时，， ∴； 综上所述，M的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的求解、锐角三角函数的知识、平行四边形的性质及其第四个顶点的确定问题，考查的知识点多、综合性强、难度较大，属于中考压轴题，熟练掌握待定系数法是解（1）题的关键；熟知函数图象上点的坐标特征、灵活应用相似三角形的性质和方程思想是解（2）题的关键；正确分类、不重不漏，灵活运用平行四边形的性质和平移的数学思想方法是解（3）题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $