第23章 旋转 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第二十三章综合评价 (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的 母 是 剂 数 A B D 2.正方形ABCD绕着它的中心旋转一定角度后与它本身重合， 则这个旋转角度至少为 ( ) (弥 A.90 B.180° C.1209 D.60 3.如图，△ABC与△A'B'C'关于O成中心对称，下列结论不一定 成立的是 ) A.∠ABC=∠A'C'B B.OA=OA C.BC=B'C' D.OC-OC B (第3题图) (第4题图) (第6题图) 4.如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转115°后能与 △ABC重合.若∠C=90°，且点C,A,B1在同一条直线上，则 ∠BAC的度数为 A.30 B.40 C.50° D.60° 5.若点P(一m,m一3)关于原点对称的点是第二象限内的点，则 m满足 ( A.m>3 B.0<m≤3 线 C.m<0 D.m<0或m>3 6.如图，在△ABC中，AB=AC.若M是BC边上任意一点，将 站 △ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN,点M的对应点为点 N,连接MN,则下列结论一定正确的是 A.AB=AN B.AB∥NC C.∠AMN=∠ACN D.MN⊥AC 细 7.在平面直角坐标系中，将点P(a,b)关于原点对称得到点P, 再将点P向左平移2个单位长度得到点P2,则点P2的坐标 是 A.(b-2,-a) B.(b+2,-a) C.(-a十2，-b) D.(-a-2,-b) 第1页（共6页） 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2.将 △ABC绕点C按顺时针方向旋转n°后，得到△EDC,此时，点 D在AB边上，斜边DE交AC边于点F,则n的值和图中阴影 部分的面积分别为 A.30,2 B.60,2 C.60, D.60,√3 (第8题图) (第9题图) (第10题图) 9.如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，点B的坐标是（一2√3， 2).将△OAB绕点O顺时针旋转60°，得到△OA1B1,则点A的 对应点A,的坐标是 A.(2√3,2) B.(-√3,3)C.(W3,3) D.(2√3，-2) 10.如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺 时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF,过点A作EF的垂 线，垂足为点H,与BC交于点G.若BG=3,CG=2,则CE的 长为 ( A B.15 n号 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.如图，D是△ABC的边BC的中点，连接AD并延长到点E, 使DE=AD,连接BE. (1)△ADC和 成中心对称； (2)已知△ADC的面积为4，则△ABE的面积是 (第11题图) (第12题图) (第14题图) 12.如图，点A,B,C,D,O都在方格纸的格点上，若△COD是由 △AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为 13.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(a,3),点B的坐标为 (4,b).若点A与点B关于原点O对称，则ab的值为 14.如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在 平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到 了点E位置，则四边形ACEE的形状是 第2页（共6页） 15.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A的 坐标为(6,0)，顶点C的坐标为(2,2).若直线y=mx+2平分 平行四边形OABC的面积，则m的值为 C(2,2) A(6,0)x (第15题图) (第16题图) (第17题图) 16.如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A'B'C,使点 A'落在BC的延长线上，已知∠A=27°，∠B=40°，则∠ACB 的度数为 17.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6,将△ABC绕 点A逆时针方向旋转15°得到△ABC',BC交AB于点E, 则BE的长为 18.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点 A(一2,4)在抛物线y=a.x2上，直角顶点B在 x轴上.将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90 得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则 B CP的长为 三、解答题（共66分） 19.(8分)如图，四边形ABCD是正方形，△ADF绕旋转中心顺 时针旋转一定角度后得到△ABE,点E落在AD上，AF=2, AB=5. (1)旋转中心是点 ,旋转角度是 (2)求DE的长度. D 20.(8分)平面直角坐标系第二象限内的点P(x十2x,3)与另一 点Q(x+2,y)关于原点对称，试求x+2y的值 第3页（共6页） 21.(9分)已知直线y=2x十4交x轴于点A,交y轴于点B,点 C,D分别是点A,B关于原点的对称点. (1)求直线CD的解析式； (2)求四边形ABCD的面积. 22.(9分)如图，△ABC经过某种变换后得到△DEF,点A,B,C 的对应点分别是点D,E,F,请观察它们之间的关系，完成以 下问题： (1)请分别写出点A,D的坐标：A ,D (2)若△ABC内任意一点M的坐标是(x,y),点M经过这种 变换后得到点N,则点N的坐标是 (3)在上述变换情况下，点P(a十3，一b十6)与点Q(2b一3， 一2a)为对应点，求a+b的值. 第4页（共6页） 23.(10分)如图，△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称， △ABE与△DCE关于点E成中心对称，点E,D,M都在线 段AF上，BM的延长线交CF于点P (1)求证：AC=CD; (2)若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关 系，并说明理由. 24.(10分)某校九年级数学兴趣小组在学习探究过程中，将两块 完全相同的且含60°角的直角三角尺ABC与AFE按如图① 所示位置放置.现将Rt△AEF绕点A按逆时针方向旋转角a (0°<a<90),如图②，AE与BC相交于点M,AC与EF相交 于点N,BC与EF相交于点P. 图① 图② (1)求证：AM=AN; (2)当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么特殊四边形？ 请说明理由， 第5页（共6页） 25.(12分)如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直 角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB, ∠C=90°，过点B作射线BD⊥AB,垂足为B. 【动手操作】 (1)如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA,并将射线 PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E,根据题意在 图中画出图形，图中∠PBE的度数为 【问题探究】 (2)根据(1)所画图形，探究线段PA与PE的数量关系： 【拓展延伸】 (3)如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆 时针旋转90°与BD交于点E,探究线段BA,BP,BE之间 的数量关系， D B P 图① 图② 图③ 第6页（共6页）第二十三章综合评价 1.D2.A3.A4.C5.C6.C7.D8.C9.B10.B11.(1)△EDB(2)8 12.90°13.1214平行四边形15.-子16.46°17.33-318.4-E19.解： (1)A90°(2)，△ADF旋转一定角度后得到△ABE,AF=2,AB=5,.∴.AE=AF= 2,AB=AD=5,∴.DE=AD-AE=5-2=3.20.解：根据题意，得y=-3,(x2+2x) 十(x十2)=0.解得=-1,2=一2.点P在第二象限，.x2+2x<0.∴x=-1, ∴.x十2y=-1+2×(-3)=-7.21.解：(1)令y=0,则x=-2:令x=0,则y=4, .A(-2,0),B(0,4).点C,D分别是点A,B关于原点的对称点，∴.C(2,0),D(0, -0没直线CD的每标式为y=红+6则经.解得合一直线D的解 b=-4. 析式为y=2x-4:(2)Sa影w=Sm+Sam=号X4X4+号X4X4=16. 2.解：(16,4)(-5，-)(2(-，-》（3)根据题意，得0+3+263=0·解 -b+6-2a=0, 得=4，a十b=4-2=2.23.解：1)：△ABM与△ACM关于直线AF成轴对 b=-2. 称，'.△ABM≌△ACM,,.AB=AC.又·△ABE与△DCE关于点E成中心对称， ∴.△ABE≌△DCE,∴.AB=CD,∴.AC=CD:(2)∠F=∠MCD.理由如下：由(1)可得 ∠BAE=∠CAE=∠CDE,∠CMA=∠BMA.:'∠BAC=2∠MPC,.设∠MPC=a, 则∠BAC=2a,∴.∠BAE=∠CAE=∠CDE=a.设∠BMA=B,则∠PMF=∠CMA= B,∴.∠F=∠MPC-∠PMF=a-B,∠MCD=∠CDE-∠DMC=a-B,∴.∠F= ∠MCD.24.解：(1)由旋转的性质知∠BAM=∠FAN.又，AB=AF,∠B=∠F= 60°，..△ABM≌△AFN(ASA),,.AM=AN:(2)当旋转角a=30时，四边形ABPF是 菱形.理由如下：a=30°，∴.∠BAF=∠FAE+∠BAM=90°+30°=120.又，∠B= ∠F=60°，∠B+∠BAF=180°，∠F+∠BAF=180°，∴.AF∥BP,AB∥FP,∴.四边 形ABPF是平行四边形.又AB=AF,.四边形ABPF是菱形.25.解：(1)画图如 图②；135°(2)PA=PE.理由如下：：CA=CB,∠C=90°，∴.∠ABC=∠BAC=45°. 如图②，过点P作PM∥AB交AC于点M,∴.∠MPC=∠ABC=∠BAC=∠PMC= 45°，∴.CP=CM,∠AMP=135=∠PBE,∴.CA-CM=CB-CP,即AM=PB..将射 线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E,.∠APE=90°，∴.∠EPB=90° ∠APC=∠PAM,.△APM≌△PEB(ASA),.PA=PE:(3)当点P在线段BC上 时，如图②，由(2)可知，BE=PM,BP=AM.易知BA=√2(AM十CM),∴.BA=√2BP +√2CM,易知PM=√2CM,.BA=2BP十BE.当点P在线段CB的延长线上时，过 点P作PN⊥BC交BE于点N,如图③.易知∠ABD=90°，∠ABC=45,∴.∠PBN= 180°-∠ABC-∠ABD=45°，∴.△BPN是等腰直角三角形，∠ABP=135°，∴.BP= NP,∠PNB=45°，∴.∠ENP=135°=∠ABP,BN=√2BP.易知∠APE=90, ,∴.∠EPN=90°-∠APN=∠APB,,∴.△EPN≌△APB(ASA),.EN=BA.BE= EN+BN,∴.BE=BA十√2BP.综上所述，当点P在线段BC上时，BA=√2BP+BE;当 点P在线段CB的延长线上时，BE=BA十√2BP. 图② 图③ 期中综合评价 1.A2.A3.D4.C5.C6.C7.B8.C9.D10.B11.m=0,w=4 12.-413m>0且m≠11420°15.n<为16.417.180-号。18.9 19.解：(1)移项，得x2-6x=11.配方，得x2-6x十9=9+11，(x-3)2=20.由此可得x -3=±25，x1=3+25,2=3-25;(2)方程可变形为2(2x-1)2-3(2x-1)=0. 因式分解，得(2x-1)[2(2x-1)-3]=0,(2x-1)(4x-5)=0.于是得2x-1=0,或4x 第34页（共54页） -5=0=7=是.20.解：1)x2-2x十=9整理，得2-2kr十6-9=0， ∴.△=（一2k)2一4(k2-9)=36>0,∴.此方程有两个不相等的实数根；(2）把x=2代入 方程，得4-4k+k2=9..2-4k=5,∴.3k2-12k+2025=3(k2-4k)+2025=2040. 21.解：(1)如图，△ABC即为所求： (2)如图，△A2B2C2即 为所求；由图可知B2(0,-2),C2(-2,-1):(3)△AB1C(1,-1)22.解：(1)y与 x之间的函数解析式为y=一2x十60(10≤x≤19)；(2)根据题意，得(x一10)（一2x十 60)=192.整理，得x2一40x十396=0.解得x1=18,x2=22.又.10x19,.∴.x=18. 答：销售单价为18元；(3)根据题意，得=(x一10)(-2x十60)=一2x2+80x一600= 一2(x一20)2+200.：a=一2<0，抛物线的对称轴为直线x=20,∴.当10≤x≤19时， w随x的增大而增大，.当x=19时，心有最大值，最大=198.答：当销售单价为19元 时，每天获利最大，最大利润是198元.23.解：(1)由题意，得点A在y轴上.令x=0, 则y=一名×(0-5)2+6=吕，0A=号m答：康塑高OA为号m:(2②)由题意，得点 D在x轴上，0D=0C.令y=0,则-合(x一5)2+6=0，解得a=11,x=-1(不合题 意，舍去..OD=11m,∴.CD=2OD=22m.答：落水点C,D之间的距离为22m (3)当x=10时y=一吉×10-5)P+6=吕>1.8，雕塑EF顶部F不会碰到水柱。 24.解：【问题解决】思路一：如图①.将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BPA,连 接PP,∴∠PBP=90°，BP=BP=2,AP=CP=3.在Rt△PBP中，BP=BP= 2,∴∠BPP=45°.由勾股定理，得PP=√BP+BP7=√22+2=22.AP=1, .AP+PP2=1+8=9.AP=32=9,AP2+PP=AP2,.△APP是直角三 角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP+∠BPP=90°+45°=135°；思路二：求解 过程略； 图① 图② 【类比探究】如图②，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BPA,连接PP', ∴∠PBP'=90°，BP'=BP=1,AP'=CP=√T,∴∠BPP=45.在Rt△BPP中，由 勾股定理，得PP=√BP+BP=+1平=√2.AP=3,∴.AP+PP2=9+2 11.AP2=(/I)2=11,.AP+PP2=AP2,.△APP是直角三角形，且∠APP =90°，.∠APB=∠APP-∠BPP=90°-45°=45°.25.解：(1)A(-1,0),B(3, 0),C(0,3);(2)设直线BC的解析式为y=kx十b.把B(3,0),C(0,3)代入y=kx十b,得 牛二0解得二。，=一士3.设点P的坐标为，-1什3，则M, b=3, +3,PM=-f+2+3-(-4+3)=-+3,Sam=Sa0u+Saw=合B0: PM=×3(-+30=-号f+号=(-)+g0<K3).-<0. 开口向下，∴当1=号时，S有最大值，此时点P的坐标为（号，号）：(3)由(2)知 N(受，0）抛物线的对称轴为直线x=1,C(0,3).设Q(1,a).①当∠QCV=90时， NQ=CQ+CN(1-是)+d2=1r+(a-3)+3+(是).解得a=名， 第35页（共54页） .Q(1,2):@当∠NQC=90时，CN=CQ+QN,3”+(）=1+(a-3)2+ (1-)+d,解得a-3注y五.Q(1.3计)攻(1,2)：®当∠CQ 0时，CQ=CN+QN,1+(a-3)2=+(号)）+(1-号)+a,解得a -子Q(1,-子)综上所述，点Q的坐标为(1，子)或(1,3计)或 （严）1) 第二十四章综合评价 1.A2.D3.C4.C5.C6.B7.B8.D9.C10.B11.1012.40°13.65 14 15.30°16.4或817.1818.2√219.解：如答图，设AB的圆心为点0.由 题意，得AD=号AB=令×24=12(m,0C=0A=0B=13m在 Rt△AOD中，由勾股定理，得OD=√OA2-AD=√13-12= 5(m),∴.CD=OC-OD=13-5=8(m).答：拱高CD为8m. 答图 20.解：(1)AB=CD,∴.AB=D,即AC+BC=C+D,AC= BD,∴∠D=∠A,∴.AM=DM;(2)∠E与∠DFE相等.理由如下：连接AC.:C= BE,∴.∠CAB=∠EAB.:'AB⊥CD,∴.∠AMC=∠AMF.易得△ACM≌△AFM, ∴AC=AF,∴∠C=∠AFC.:∠C=∠E,∠AFC=∠DFE,∠DFE=∠E.21.解： (1)∠D=2∠A,∠COD=2∠A,∴.∠COD=∠D.,PD与⊙O相切于点C,∴.OC⊥ PD,即∠OCD=90°，∴.∠D=45°：(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，∴.OC=CD =2.在Rt△OCD中，由勾股定理，得OD=√OC+CD=√22+2严=2√2，∴.BD=OD -OB=2√2-2.22.解：(1)直线BC与⊙O相切.理由如下：连接OD.OA=OD, ∴.∠OAD=∠ODA.:AD平分∠CAB,∴.∠OAD=∠CAD,.∠CAD=∠ODA, ∴.AC∥OD..∠ODB=∠C=90°，即BC⊥OD.又：OD为⊙O的半径，.直线BC是 ⊙O的切线：(2)设OA=OD=OF=r,则OB=AB-OA=6-r.在Rt△ODB中，由勾 股定理，得OD+BD=OB,即2+(23)2=(6-r)2,解得r=2,∴.OB=4..OD= 0A=AB-0B=2∴0D=20B.∠B=30,.∠D0B=180°-∠B-∠0DB=60. S=Sams-Se=7×2万X2-602=2厅-答.23.解：(1)连接OE 360 AB是⊙O的直径，且AB=4,∴.⊙O的半径为2.，∠ADE=40°，∴.∠AOE= 2∠ADE=80∠B0E=180°-∠A0E=10,的长=10X2=号x:(2)连 180 接BD..∠EAD=76,∠ADE=40°，.∠AED=180°-∠EAD-∠ADE=64, ∠ABD=∠AED=64°.AB是⊙O的直径，∴.∠ADB=90,∴.∠BAC=90° ∠ABD=26°.：∠C=64°，∴.∠ABC=∠180°-∠C-∠BAC=90°，即AB⊥BC.,OB 是⊙O的半径，∴.BC是⊙O的切线.24.解：(1)：OA=OB,∴∠A=∠ABO.:∠A +∠ABO+∠AOB=180°，∠ABO=30°，.∠AOB=180°-2∠ABO=120°.'直线 MN与⊙O相切于点C,CE为⊙O的直径，∴.∠ECM=90°.：AB∥MN,.∠CDB= ∠BCM=90,∴∠B0E=90°-∠AB0-=60..∠BCE=号∠B0E=30;(2)连接0C ,OB∥MN,.∠MCO=∠COB=90°.CG⊥AB,∴∠FGB=90°.∠ABO=30°， ∴.∠BFG=90°-∠ABO=60°，.∠CFO=∠BFG=60,∠OCF=30°.∴.在Rt△FOC 中，CF=2OF.由勾股定理，得OF十OC=CF,即OF+32=4OF,.OF=√5.即线 段OF的长为5.25.解：(1)在PA上取PM=PC,连接MC.,△ABC为等腰三角 形，∠BAC=60°，∴.△ABC为等边三角形，∴.∠ABC=∠APC=∠ACB=60°，∴. △PMC是等边三角形，∴.MC=PC=MP,∠MCP=60°，∴.∠MCP=∠ACB=60°. ∠ACB-∠MCB=∠MCP-∠MCB,即∠ACM=∠BCP,∴.△ACM≌△BCP(SAS), ∴AM=PB.PM+AM=AP,.PA=PB+PC;(2)过点A作AM⊥AP交直线PB 于点M,∴.∠MAP=∠BAC=90°，∴.∠MAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP,即∠MAB =∠PAC.:四边形ABPC是⊙O的圆内接四边形，∴·∠ABP+∠ACP=180°.又 第36页（共54页）