第23章 旋转 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材九年级全一册数学（人教版2024 贵州专版）

种植后苗木成轴对称分布，.一8.1<x<8.1:(3)为了保证生长空间，相邻两棵苗木 种植点之间间隔1，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布，苗木数量为 偶数，.在距离y轴0.5m的两侧开始种植，最前排可种植8×2=16（棵），∴.最左边一 颗苗木种植点的横坐标为一0.5一7=一7.5，故最前排符合所有种植条件的苗木数量 的最大值为16棵，此时最左边一棵苗木种植点的横坐标为一7.5. 第二十三章综合评价 1.D2.A3.A4.C5.C6.B7.C8.C9.D10.C11.B12.B13.(1)△EDB (2)814.-615.46°16.4-√217.解：(1)△ABC如图所示； (2)号18.解：(1)A90°(2)：△ADF旋转-定角度后得到△ABE,AF=2,AB= 5,∴.AE=AF=2,AB=AD=5,∴.DE=AD-AE=5-2=3.19.解：根据题意，得y =-3,(x2十2x)十(x十2)=0.解得x1=-1,x2=-2.点P在第二象限，.x2十2x <0.x=-1,x十2y=-1十2×(-3)=-7.20.解：(1)令y=0,则x=-2;令x =0,则y=4,.A(一2,0)，B(0,4).点C,D分别是点A,B关于原点的对称点， 2k十b=0, k=2, .C(2,0),D(0,-4).设直线CD的解析式为y=kx十b,则 6=一4，解得 b=-4. :直线CD的解折式为y=2x一4：(2Sm=S十Saxm=合X4X4十号X4 ×4=16.21.解：(1)(5,4)(-5，-4)(2)(-x,-y)(3)根据题意，得 a十3+2b-3=0 解得/a4, a十b=4-2=2.22.解：(1)∠ECA=∠DCB, 1-b+6-2a=0, ”b=-2. ∴·∠ECA十∠ACD=∠DCB十∠ACD,即∠ECD=∠BCA.由旋转的性质可得CA= CB=CD, CE.在△BCA和△DCE中，∠BCA=∠DCE,∴.△BCA≌△DCE(SAS),∴.AB= AC=EC, ED;(2)由(1)中的结论可得∠CDE=∠B=70°，又CB=CD,∴.∠CDB=∠B=70°， ∴.∠EDA=180°-∠CDB-∠CDE=180°-70°-70°=40°，∴.∠AFE=∠EDA+∠A =40°+10°=50°.23.解：(1)，△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，∴.△ABM ≌△ACM,.AB=AC.又△ABE与△DCE关于点E成中心对称，∴.△ABE≌ △DCE,.AB=CD,∴.AC=CD;(2)∠F=∠MCD.理由如下：由(1)可得∠BAE= ∠CAE=∠CDE,∠CMA=∠BMA.,∠BAC=2∠MPC,.设∠MPC=a,则∠BAC =2a,∴.∠BAE=∠CAE=∠CDE=a.设∠BMA=B,则∠PMF=∠CMA=B,∴∠F= ∠MPC-∠PMF=a-B,∠MCD=∠CDE-∠DMC=a-B,∴.∠F=∠MCD. 24.解：(1)由旋转的性质知∠BAM=∠FAN.又：AB=AF,∠B=∠F=60°， ∴△ABM≌△AFV(ASA),∴.AM=AN;(2)当旋转角a=30°时，四边形ABPF是菱 形.理由如下：a=30°，∴.∠BAF=∠FAE+∠BAM=90°+30°=120°.又∠B= ∠F=60°，.∠B十∠BAF=180°，∠F+∠BAF=180°，.AF∥BP,AB∥FP,.四边 形ABPF是平行四边形.又AB=AF,.四边形ABPF是菱形.25.解：(1)画图如 图②：135°(2)PA=PE.理由如下：：CA=CB,∠C=90°，∴∠ABC=-∠BAC=45°. 如图②，过点P作PM∥AB交AC于点M,∴.∠MPC=∠ABC=∠BAC=∠PMC= 45°，∴.CP=CM,∠AMP=135°=∠PBE,∴.CA-CM=CB-CP,即AM=PB.:将射 线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E,.∠APE=90°，∴·∠EPB=90° ∠APC=∠PAM,.△APM≌△PEB(ASA),∴.PA=PE;(3)当点P在线段BC上 时，如图②，由(2)可知，BE=PM,BP=AM.易知BA=√2(AM+CM),,BA=√2BP 十√2CM.易知PM=√/2CM,,.BA=√2BP十BE.当点P在线段CB的延长线上时，过 第55页（共78页） 点P作PN⊥BC交BE于点N,如图③.易知∠ABD=90°，∠ABC=45°，∴∠PBN= 180°-∠ABC-∠ABD=45°，∴△BPN是等腰直角三角形，∠ABP=135°，.BP NP,∠PNB=45°，.∠ENP=135°=∠ABP,BN=W2BP.易知∠APE=90°， ∴∠EPN=90°-∠APN=∠APB,△EPN≌△APB(ASA),.EN=BA.BE= EN十BN,BE=BA十√2BP.综上所述，当点P在线段BC上时，BA=√2BP+BE:当 点P在线段CB的延长线上时，BE=BA十√2BP 图② 图③ 阶段综合评价（一）[九上期中] 1.A2.B3.A4.D5.C6.C7.C8.D9.C10.C11.D12.A13.-4 14.20°15.y<y216.417.解：(1)移项，得x2-6x=11.配方，得x2-6x十9=9十 11,(x-3)2=20.由此可得x-3=±25，x1=3十2√5，x2=3-25;(2)方程可变形 为2(2x-1)2-3(2x-1)=0.因式分解，得(2x-1)[2(2x-1)-3]=0,(2x-1)(4x 5)=0.于是得2x-1=0,或4红-5=0，=之，=号.18.解：二正确的解答过程 为：移项，得(x十6)2=9.两边开平方，得x十6=士3.∴.x1=一3，x2=-9.19.解：设 这个两位数的个位数字为x,则十位数字为(x一3).根据题意，得x=10(x一3)十x,解 得x=6,x2=5.当x=6时，x-3=3;当x=5时，x-3=2.答：这个两位数是36或 25.20.解：(1)x2-2kx十k2=9.整理，得x2-2kx十k2-9=0.△=(-2k)2-4(2 一9)=36>0，.此方程有两个不相等的实数根：(2)把x=2代入方程，得4一4k十2= 9..k-4k=5,.3k2-12k十2025=3(k2-4k)+2025=2040.21.解：(1)如图， △A1BC即为所求； ty (2)如图，△A2B,C2即为所求；由图可知 B2(0,-2),C2(-2,-1);(3)△ABC(1,-1)22.解：(1)y=-(x2+2x+1)+1 +3=-(x+1)2+4..顶点坐标为(-1,4)；(2)①6②b<423.解：(1)500-10x (2)由题意，得销售该文具的日利润为=(x一20)(500一10x)=一10x2十700x 10000=-10(x-35)2十2250.-10<0，.此抛物线开口向下.：对称轴为直线x 35,∴.当x=35时，m取最大值，最大值为2250.答：销售单价为35元时，当日的利润最 大，最大利润是2250元.(3)由题意，得≥0， ∴.30≤x≤34.此时日销售利 500-10x≥160， 润=(x-20-m)(500-10x)=-10x2+(10m+700)x-10000-500m..-10<0, “此抛物线开口向下.又对称轴为直线=m十35>35，∴当30<x<34时，0随 x的增大而增大，∴.当x=34时，有最大值，.(500-10×34)(34-20-m)=2112, 解得m=0.8.24.解：【问题解决】思路一：如图①.将△BP℃绕点B逆时针旋转90°， 得到△BP'A,连接PP',∴∠PBP'=90°，BP'=BP=2,AP=CP=3.在Rt△PBP'中， :BP=BP'=2,∴.∠BPP'=45°.由勾股定理，得PP'=√BP+BPT=√/2+2= 2W2.AP=1,.AP2+PP2=1+8=9.AP2=32=9,AP2+PP2=AP2, ∴.△APP是直角三角形，且∠APP=90°，∴∠APB=∠APP+∠BPP=90°+45°= 135°；思路二：求解过程略；【类比探究】如图②，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到 第56页（共78页） △BPA,连接PP'.∠PBP=90°，BP'=BP=1,AP'=CP=√I,∠BPP'=45. 在Rt△BPP中，由勾股定理，得PP=√BP十BPT=√+1下=√2.：AP=3, .AP+Pp2=9+2=11.Ap2=(T)2=11,.AP2+PP'2=Ap2,.△APP是 直角三角形，且∠APP=90°，∠APB=∠APP'-∠BPP'=90°-45°=45. 图① 图② 25.解：(1)A(-1,0),B(3,0),C(0,3);(2)设直线BC的解析式为y=kx+b.把B(3, 3k十b=0, k=-1, 0),C(0,3)代入y=kx+b,得 解得 b=3. y=一x十3.设点P的坐标为 1b=3, (t,-t+3),则M(t,-+2t十3)，.PM=-t+2t+3-(-t+3)=-t+3t,∴.S△w =Saw+Sanw=B0.PM=号×3X(-+30)=-2+号1=-2(-号)】 十受(0<1<3).”-号<0，六地物线的开口向下.“当=多时，Sw有最大值，此时 点P的坐标为（号，号）：3)由(2)知N(受0），抛物线的对称轴为直线x=1,C(0, 3).设Q1a).①当∠QCN=90时，NQ=CQ+CN,(1-2)+d=1+(a 3+3+(受)，解得a=子Q(1,)@当∠NQC=90时，CN=C0+QN心， 3+()=1+a-3y+(1-)+,解得a=3生yT.Q(1,计)或 （1-)+a,解得a=-子Q(1,一)小综上所述，点Q的坐标为(1,2)或 （1,+)该(1,3政(1-） 第二十四章综合评价 1.A2.D3.C4.B5.C6.C7.B8.B9.D10.A11.C12.C13.10 14,罗15,3016,1817.解：如答图，设0的圆心为点0.由题 意，得AD=号AB=号×24=12(m),0C=0A=0B=13m在 Rt△AOD中，由勾股定理，得OD=√OA-AD=√132-12= 答图 5(m),∴.CD=OC-OD=13-5=8(m).答：拱高CD为8m.18.解：连接BC.PA, PB分别与⊙O相切，∴∠PAC=90°，PA=PB.:∠P=60°，.△PAB是等边三角形， ∴.∠PAB=60°，∴.∠BAC=∠PAC-∠PAB=90°-60°=30°.：AC为⊙O的直径， ÷∠ABC=90,BC=AC=×12=6(cm).在R△ABC中，由勾股定理，得AB =√/AC-BC=√I22-6=6√3(cm).19.解：连接OC,OA,则OC⊥BC.过点A作 AD⊥OC于点D,则可得矩形ABCD,且有AD=BC=30cm,DC=AB=10cm.设⊙O 半径为xcm.在Rt△OAD中，由勾股定理，得(x-10)2+302=x2,解得x=50,.2x= 100,答：车轱辘的直径为100cm.20.解：(1)：∠D=2∠A,∠COD=2∠A, .∠COD=∠D.:PD与⊙O相切于点C,.OC⊥PD,即∠OCD=90°，∠D=45°； (2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，.OC=CD=2.在Rt△OCD中，由勾股定 理，得OD=√OC+CD=√2+2=2√2，∴.BD=OD-OB=2√2-2.21.解： 第57页（共78页）第二十三章综合评价 言 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D 四个选项，其中只有一个选项正确) 1.观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( A B 2.正方形ABCD绕着它的中心旋转一定角度后与它本身重合，则这个 旋转角度至少为 ( A.90 B.180° C.120 D.60° 弥 3.如图，△ABC与△A'B'C'关于O成中心对称，下列结论不一定成立 螂 的是 ( A.∠ABC=∠A'C'B' B.OA=OA' C.BC=B'C' D.OC=OC' (第3题图) (第4题图) (第5题图) (第6题图) 4.如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转115°后能与△AB1C1重 合.若∠C=90°，且点C,A,B,在同一条直线上，则∠BAC的度数 为 A.30° B.40° C.50 D.60 5.如图可以看成是由一个等腰直角三角形旋转若干次形成的，则每次 旋转的度数是 ) A.72 B.60° C.45 D.30° 6.如图，在方格纸中，由△ABC经过变换得到△DEF,正确的变换 是 批 A.把△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移2格 B.把△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移5格 C.把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针旋转180 D.把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针旋转180 7.若点P(一m,m一3)关于原点对称的点是第二象限内的点，则m满 足 ( A.m>3 B.0<m≤3 C.m<0 D.m<0或m>3 第1页（共6页） 8.如图，在△ABC中，AB=AC.若M是BC边上任意一点，将 △ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN,点M的对应点为 点N,连接MN,则下列结论一定正确的是 ( A.AB-AN B.AB∥NC C.∠AMN=∠ACN D.MN⊥AC 9.在平面直角坐标系中，将点P(a,b)关于原点对称得到点P1,再将点 P,向左平移2个单位长度得到点P2,则点P2的坐标是 A.(b-2,-a) B.(b+2,-a) C.(-a+2,-b) D.(-a-2,-b) 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2.将△ABC 绕点C按顺时针方向旋转n°后，得到△EDC,此时，点D在AB边 上，斜边DE交AC边于点F,则n的值和图中阴影部分的面积分 别为 A.30,2 B.60,2 C.60,3 D.60,√3 G (第10题图) (第11题图)（第12题图） 11.如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，点B的坐标是(-2√5,2).将 △OAB绕点O顺时针旋转60°，得到△OA1B1,则点A的对应点A1 的坐标是 ( A.(2√3,2) B.(-√3,3) C.(3,3) D.(2W3,-2) 12.如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋 转90°到△ABF的位置，连接EF,过点A作EF的垂线，垂足为点 H,与BC交于点G.若BG=3,CG=2,则CE的长为 () A号 B.IS C.4 D.2 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13.如图，D是△ABC的边BC的中点，连接AD并延长 到点E,使DE=AD,连接BE, (1)△ADC和 成中心对称： (2)已知△ADC的面积为4，则△ABE的面积是 14.已知点A(a,一3)和点B(2,b)关于原点对称，则ab= 15.如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A'B'C,使点A'落在 BC的延长线上，已知∠A=27°，∠B=40°，则∠ACB'的度数 为 D (第15题图) (第16题图) 第2页（共6页） 16.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A(一2,4)在抛物线 y=ax上，直角顶点B在x轴上.将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90 得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则CP的长为 三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤) 17.(10分)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度， △ABC的顶点A,B,C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）.请 仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写 画法) (1)将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B1,点 C的对应点为C1,画出△ABC1; (2)连接CC,△ACC的面积为 18.(10分)如图，四边形ABCD是正方形，△ADF绕旋转中心顺时针 旋转一定角度后得到△ABE,点E落在AD上，AF=2,AB=5. (1)旋转中心是点 ,旋转角度是 (2)求DE的长度. D 19.(10分)平面直角坐标系第二象限内的点P(x2十2x,3)与另一点 Q(x十2，y)关于原点对称，试求x十2y的值. 第3页（共6页） 20.(10分)已知直线y=2x十4交x轴于点A,交y轴于点B,点C,D 分别是点A,B关于原点的对称点 (1)求直线CD的解析式： (2)求四边形ABCD的面积. 21.(10分)如图，△ABC经过某种变换后得到△DEF,点A,B,C的对 应点分别是点D,E,F,请观察它们之间的关系，完成以下问题， (1)请分别写出点A,D的坐标：A ,D (2)若△ABC内任意一点M的坐标是(x,y),点M经过这种变换后 得到点N,则点N的坐标是； (3)在上述变换情况下，点P(a+3,-b+6)与点Q(2b-3,-2a)为 对应点，求a十b的值. y 52山p九2B45x 22.(10分)如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB=CD,将边CA绕 点C旋转到CE的位置，使得∠ECA=∠DCB,连接DE与AC交于 点F,且∠B=70°，∠A=10°. (1)求证：AB=ED; (2)求∠AFE的度数. 第4页（共6页） 23.(12分)如图，△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，△ABE与 △DCE关于点E成中心对称，点E,D,M都在线段AF上，BM的 延长线交CF于点P, (1)求证：AC=CD: (2)若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说 明理由 24.(12分)某校九年级数学兴趣小组在学习探究过程中，将两块完全相 同的且含60°角的直角三角尺ABC与AFE按如图①所示位置放 置.现将Rt△AEF绕点A按逆时针方向旋转角a(0°<a<90°)，如 图②，AE与BC相交于点M,AC与EF相交于点N,BC与EF相 交于点P 图① 图② (1)求证：AM=AN; (2)当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么特殊四边形？请说明 理由 第5页（共6页） 25.(14分)如图①，小红在学习了三角形的相关知识后，对等腰直角三 角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB,∠C=90°， 过点B作射线BD⊥AB,垂足为B. 【动手操作】 (1)如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA,并将射线PA绕点 P逆时针旋转90°与BD交于点E,根据题意在图中画出图形，图 中∠PBE的度数为 【问题探究】 (2)根据(1)所画图形，探究线段PA与PE的数量关系； 【拓展延伸】 (3)如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋 转90°与BD交于点E,探究线段BA,BP,BE之间的数量关系. D B P( 图① 图② 图③ 第6页（共6页）