第22章　二次函数——二次函数求解析式-讲义　 2025-2026学年人教版（2012）九年级数学上册

专题：二次函数求解析式 求二次函数解析式的2种方法知识梳理 1.利用平移确定函数解析式 （1）平移前后的函数的开口方向与开口大小不改变，即不变。 （2）利用平移求二次函数解析式的2种思路 思路1：先化为顶点式的形式，再根据顶点的平移情况确定函数的平移情况． 思路2：根据平移规律“左加右减、上加下减”直接进行平移 左、右→ x上进行+ / － 上、下→ 整个解析式后进行+ /－ 2.待定系数法 二次函数的三种解析式 顶点式 交点式 一般式 一、由平移确定解析式 1．抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，平移后的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数平移的规律：左加右减上加下减，即可得到答案．本题考查二次函数的平移，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度， ∴， 故选：C． 【变式】将抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．根据平移的规律：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位， 得到：，即， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 2．将抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图象上加下减，左加右减的平移规律进行求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的函数表达式为，即， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【变式】把二次函数的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象顶点是(    ) A．(－5，1) B．(1，－5) C．(－1，1) D．(－1，3) 【答案】C 【分析】先将二次函数一般式化为顶点式，再根据平移的规则移动即可. 【详解】解：， 向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，， 故平移后抛物线顶点坐标为（-1,1）. 故选择C. 【点睛】本题考查了抛物线的平移，平移前要先将一般式化为顶点式. 3．将二次函数为常数，且的图象向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的二次函数图象经过点，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数平移的性质是解决此题的关键． 先求出平移后的解析式，再把代入解析式求值即可， 【详解】解：二次函数，化成顶点式为 ． ∵图象向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度， ∴平移后的二次函数解析式为． ∵平移后的二次函数图象经过点， 将，代入平移后的函数解析式中，得 ． ． ． 解得或． ∵， ∴的值为． 故选：D 4．函数的图象，如何平移变换，可以得到函数的图象（   ） A．向右平移个单位，再向下平移个单位 B．向左平移个单位，再向上平移个单位 C．向左平移个单位，再向下平移个单位 D．向右平移个单位，再向上平移个单位 【答案】D 【分析】主要考查了函数图象的平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键； 根据掌握平移的规律：左加右减，上加下减．即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是， 所以将顶点向右平移个单位，再向上平移个单位得到顶点， 即将函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图象． 故选：D 【变式】如果将二次函数的图象平移，使得平移后图象的解析式为，那么它平移的过程可以是（   ） A．向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B．向右平移3个单位，再向上平移2个单位 C．向左平移3个单位，再向上平移5个单位 D．向右平移3个单位，再向下平移5个单位 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；因此此题可根据“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：=，将二次函数向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到即 ∴平移方式正确的是向左平移3个单位，再向下平移2个单位； 故选：A． 二、待定系数法 （一）顶点式 5．如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知抛物线的顶点坐标为点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； 【答案】(1) 【分析】（1）先求出点坐标为，再将、、代入解析式计算即可得出答案； 【详解】（1）已知抛物线与轴交于点，且顶点坐标为 抛物线对称轴为直线 ∴点坐标为． 则，解得 抛物线的解析式为： 【练习】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； 【答案】(1) 【分析】（1）设抛物线顶点式，代入点的坐标； 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把，代入，得： ， ， ； 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式 【答案】(1)抛物线的表达式为； 【分析】（）利用待定系数法解答即可； 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得： ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， ∴或， ∴，， 令，则， ∴， 【练习】如图，已知抛物线经过点，与轴交于点，其对称轴为直线，为轴上一点，直线与抛物线交于另一点． (1)求抛物线的函数表达式； 【答案】(1) 【分析】（1）根据对称轴可知，再将点代入中，求出的值即可确定函数的解析式； 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 将点代入中， ， 解得， ； （二）交点式 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，． (1)求抛物线的表达式； 【答案】(1) 【分析】（1）抛物线经过，，利用交点式得出，再代入即可； 【详解】（1）解：∵抛物线经过，， ∴抛物线的解析式为， 将代入， 得：， ∴抛物线的解析式为； 【练习】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接，直线与抛物线交于C，两点． (1)求抛物线的解析式； 【答案】(1) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； 【详解】（1）解：由题意可得， ，解得：， ∴抛物线的解析式为； 8．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线及直线的解析式； 【答案】(1)； 【分析】（1）利用待定系数法运算求解即可； 【详解】（1）解：把，分别代入可得： 解得： ∴抛物线的解析式为：； 把代入，可得： ∴ 设直线的解析式为：，把，分别代入得： ， 解得： ∴直线的解析式为：； 9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； 【答案】(1) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； 【练习】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线解析式； 【答案】(1) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，解三角形，勾股定理的应用是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； 【详解】（1）解：将点，两代入抛物线， ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为； （三）一般式 10．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的表达式； 【答案】(1)； 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； 【详解】（1）解：把点，代入函数解析式，得： ，解得：， ∴； 【练习】如图，抛物线与直线交于B、C两点，其中，抛物线与轴另一交点坐标为． (1)求抛物线的解析式；    【答案】(1) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，直角三角形的存在性问题，最值问题等知识点． （1）由待定系数法即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线经过， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式：； 3、 综合应用 （一）先找点坐标，再用解析式 （由直线解析式确定点坐标） 11．如图，平面直角坐标系中，直线 与抛物线 交于，两点，且点在轴上． (1)求抛物线的表达式； 【答案】(1)； 【分析】（1）先利用点在轴上且在直线上，求出点坐标，再代入求解即可； 【详解】（1）解：∵点为直线与抛物线的交点，且点在轴上， ∴令， 解得：， ∴， 将代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【变式】直线：与抛物线分别交于轴上的点和轴上的点． (1)求抛物线的表达式； 【答案】(1) 【分析】（1）先利用直线的表达式求得点、的坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的表达式 【详解】（1）解：对于直线：，当时，；当时，， ，， 直线：与抛物线分别交于轴上的点和轴上的点， ， 解得，， 抛物线的表达式为． 12．如图，已知抛物线和直线相交于点和． (1)求抛物线的解析式； 【答案】(1) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象交点，求抛物线的对称轴，图象解不等式等； （1）将点和代入一次函数解析式，即可求解；再将点、的坐标代入二次函数的解析式； 掌握抛物线的对称轴公式，能根据图形解不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线和直线相交于点和， ∴， 解得：， ∴，； ∵点和在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， （由几何关系得点坐标） 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、两点，与y轴交于点C，连接，若． (1)求抛物线的解析式； 【答案】(1) 【分析】（1）首先求出，再由可得，然后利用待定系数法求解即可； 【详解】（1）∵抛物线 ∴当时， ∴，即 ∵ ∴ ∴ ∴将，代入得 解得 ∴； 【练习】如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于A，B两点（A在B左侧）．与y轴交于点C．且，，连接，． (1)求抛物线的解析式； 【答案】(1) 【分析】（1）先求出，，结合已知求出，，则得出，，然后根据待定系数法求解即可； 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 代入，得， 解得， ∴； 14．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式； 【答案】(1) 【分析】（1）由函数解析式求得点C的坐标，由求得点B的坐标，再利用待定系数法即可求解； 【详解】（1）解：对于，令，得， 即，且； ∵， ∴， ∴； 把点及点代入中， 得：，解得， ∴抛物线的解析式为； 【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与轴，轴分别交于，两点，点为中点． (1)求抛物线表达式； 【答案】(1) 【分析】（1）先求出，，再代入，列方程计算即可； 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 直线与轴，轴分别交于，两点， ，， ， 点为中点， ， ， 把和代入， 得， 解得， 抛物线表达式为； 15．如图1，已知抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，连接、，若，． (1)求抛物线的解析式； 【答案】(1) 【分析】（1）由面积求出，根据得到，，再代入列方程计算即可； 【详解】（1）解：令，则，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵抛物线与轴交于，两点（在左侧）， ∴，， 把，代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线的表达式与x轴交于点和点B（A在B的右侧）与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式； 【答案】(1) 【分析】（1）先求得点B坐标，再待定系数法求解抛物线表达式即可； 【详解】（1）解：由得， ∵， ∴，则， 将，代入中， 得，解得， ∴该抛物线的表达式为； （二）由条件灵活选择解析式 16．如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； 【答案】(1)； 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； 【详解】（1）解：由题意知，解得， ∴解析式为； 【练习】如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与轴交于点，与轴交于两点(在的左侧)，，连接，抛物线的对称轴为． (1)求抛物线的表达式； 【答案】(1) 【分析】（1）根据题意得出抛物线对称轴是直线进而求得点的坐标为，，设，把代入即可求解； 【详解】（1）解：当时，， ， ， ， 点的坐标为， 对称轴是直线 设， 把代入得：， 17．如图，在直角坐标系中，的顶点为，，，边交轴于点，抛物线过点． (1)求抛物线的表达式； 【答案】(1) 【分析】（1）先待定系数法求得直线的解析式为，进而求得点的坐标，将三点坐标代入解析式，待定系数法求二次函数解析式即可求解； 【详解】（1）解：设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得： ∴ 将，，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的表达式为； 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $专题：二次函数求解析式 班 知识梳理 求二次函数解析式的2种方法 1.利用平移确定函数解析式 (1)平移前后的函数的开口方向与开口大小不改变，即a不变。 (2)利用平移求二次函数解析式的2种思路 思路1：先化为顶点式y=a(x-h)+k的形式，再根据顶点的平移情况确定函数的平移情况. 思路2：根据平移规律“左加右减、上加下减”直接进行平移 左、右→x上进行+/一 上、下→整个解析式后进行+/一 2待定系数法 二次函数的三种解析式 顶点式y=a(x-h+k(a≠0) 交点式y=a(x-x)(x-x2)(a≠0 一般式y=ax2+bx+c(a≠0 一、由平移确定解析式 1.抛物线y=2x2+3先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，平移后的抛物线的解析 第1页 式为() A.y=(2x-3)2-2 B.y=(2x+3)2-2 C.y=2(x-3)2-2 D.y=2(x+3)2-2 【变式】将抛物线y=(x+2)2-2向右平移3个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线的 顶点坐标是一， 2.将抛物线y=x2一4x一4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为() A.y=(x+1)2-13 B.y=(x-5)2-5 C.y=(x-5)2-13 D.y=(x+1)2-5 【变式】把二次函数y=x2+3x+号的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函 数图象项点是() A.(-5,1) B.(1,-5) C.(-1,1) D.(-1,3) 第2页 3.将二次函数y=3x2-6ax+3a2+a(a为常数，且a>0)的图象向左平移3个单位长度，再向下 平移3个单位长度，得到的二次函数图象经过点（一2,2），则a的值为() A.-号 B.1 c.2 D.2 4.函数y=一x2的图象，如何平移变换，可以得到函数y=-x一2)+1的图象() A.向右平移2个单位，再向下平移1个单位 B.向左平移2个单位，再向上平移1个单位 C.向左平移2个单位，再向下平移1个单位 D.向右平移2个单位，再向上平移1个单位 【变式】如果将二次函数y=x2-3的图象平移，使得平移后图象的解析式为y=x2+6x十4，那 么它平移的过程可以是() A.向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B.向右平移3个单位，再向上平移2个单位 C.向左平移3个单位，再向上平移5个单位 D.向右平移3个单位，再向下平移5个单位 第3页 二、待定系数法 (一)顶点式 5.如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx十c与x轴交于点AB,与y轴交于点C,己知抛物 线的顶点坐标为(-2，-号)，A点的坐标为(-5,0). (1)求抛物线的解析式： 【练习】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A(2,0)、B两点，与y轴交于点C,顶点 D的坐标为(4，-2) (1)求抛物线的解析式： 个y 6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)经过点(3，吾)，与x轴交于AB两 点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=1. (1)求抛物线的表达式 第4页 A B 【练习】如图，已知抛物线y=ax2+bx-2(a≠0)经过点A(-3,2),与y轴交于点B,其对称 轴为直线x=号，C(0,专)为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D: (1)求抛物线的函数表达式； (二)交点式 7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0),B(1,0),C(0,3) (1)求抛物线的表达式： 【练习】在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-1,0),B(6,0)两 点，与y轴交于点C,连接BC,直线y=x+c与抛物线交于C,D(7,)两点. (1)求抛物线的解析式 第5页 8.如图，抛物线y=ax2+bx十6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,己知A(-1,0), B(3,0)· (1)求抛物线及直线BC的解析式； B 9.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx十c交x轴于A(6,0),B(-2,0),交y 轴于点C (1)求抛物线的表达式： y C BO 【练习】在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-4,0),B(1,0)两点， 与y轴交于点C,连接AC,BC. (1)求抛物线解析式； 第6页 A (三)一般式 10.在平面直角坐标系中，已知抛物线L:y=ax2+bx-1经过点A(2,7),B(-1,-2). (1)求抛物线L的表达式： 【练习】如图，抛物线y=-寻x2+bx+c与直线BC交于B、C两点，其中C(0,3),抛物线与x轴 另一交点坐标为A(-1,0). (1)求抛物线的解析式： B 第7页 三、综合应用 (一)先找点坐标，再用解析式 （由直线解析式确定点坐标) 11.如图，平面直角坐标系中，直线y=一x+1与抛物线y=ax2一x+3(a≠0)交于A,B两 点，且点A在x轴上. (1)求抛物线的表达式 VA 、B 【变式】直线l1:y=+3与抛物线y=-x2+bx十c分别交于x轴上的A点和y轴上的B点. (1)求抛物线的表达式： 第8页 12.如图，已知抛物线y1=-2+bx+c和直线y2=一3x+号相交于点A(m,要)和B(1,n) (1)求抛物线的解析式； (由几何关系得点坐标) 13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)交x轴于A、B(4,0)两点，与 y轴交于点C,连接AC,若0C=20A. (1)求抛物线的解析式： 第9页 【练习】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx一2（a≠0)与x轴交于A,B两点(A 在B左侧).与y轴交于点C.且A0=30B,OC=20B,连接AC,BC. (1)求抛物线的解析式： 14.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx一号与x轴交于AB两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C,C0=号0B,点(-2，-3)在抛物线上. 第10页