22.2二次函数与一元二次方程 教学设计2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.2二次函数与一元二次方程 课题： 二次函数与一元二次方程 课型：新授课 学科：初中数学 年级：九年级 学段：初中 版本章节：人教版《22.2二次函数与一元二次方程》 教学目标 1．总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数根和没有实根． 2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 3.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系． 4.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想． 教学重点:方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 教学难点:二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 教学方法：启发引导 合作交流 教学准备：PPT课件 导学案 ( O -1 x y )学情分析：学生已经能比较熟练地解答一元二次方程，能比较熟练的求二次函数解析式、画一次和二次函数图像 ，但利用数形结合思想来分析解决有关二次函数的能力和意识还不够主动。 教学过程 活动一：温故知新 播放课件：出示复习题. 1.当x为何值时,y=3x－2的值为0. 2.已知，一次函数y=3x+3的图象，如图所示，你能说出方程3x+3=0的解吗？ 师生行为：指名回答，师生共同回顾旧知，教师做出适当总结和评价. 教师重点关注：学生回答问题结论准确性，能否把前后知识联系起来 师：前面我们学习了一次函数与一元一次方程的关系，在学了二次函数之后，我们是否可以用二次函数的观点看一元二次方程呢？那么这堂课我们就一起来探讨这个问题。展示课题：22.2 二次函数与一元二次方程 设计意图：这两道题目是对旧知识的回顾，为本课的教学起到铺垫的作用。让学生从数和形的两个角度回顾一次函数与一次方程的关系，从中感悟方法，不仅对学生学习这一节内容有很大帮助，而且还有利于学生学习方法进一步掌握和学习能力的提高. 活动二： 探究新知 （1） 问题的提出与解决 播放课件：小球飞行问题. 问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h＝20t—5t2. 考虑以下问题 （1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？ （2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？ （3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间？ 从数的角度分析数量关系，完成答题，初步感知二次函数与一元二次方程的关系 教师引导学生分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数：h=20t－5t2.所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值. 播放课件：问题的完整解答过程 解：（1）解方程 15＝20t—5t2. t2—4t＋3=0. t1＝1,t2＝3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m. （2）解方程 20＝20t－5t2. t2－4t＋4＝0. t1＝t2＝2. 当球飞行2s时，它的高度为20m. （3）解方程 20.5＝20t－5t2. t2－4t＋4.1＝0.[ 因为（－4）2－4×4.1<0.所以方程无解.球的飞行高度达不到20.5m. （4）解方程 0＝20t－5t2. t2－4t＝0. t1＝0,t2＝4. 当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出.4s时球落回地面.[ 从形的角度理解问题答案，再次体会二次函数与一元二次方程的关系 播放课件：画出二次函数h=20t－5t2的图象. 学生活动：观察图象，分组讨论下列问题： 1 为什么有两个时间球的高度是15m?直线y=15与抛物线的交点有几个？交点的横坐标分别是多少？ 2 为什么只有一个时间球的高度是20m?直线y=20与抛物线的交点有几个？交点的横坐标分别是多少？ 3 直线y=20.5m与抛物线的有没有交点？ 4 为什么有两个时间球的高度是0m?直线x轴与抛物线的交点有几个？交点的横坐标分别是多少？ 教师指名学生汇报讨论结果. 师：从上面可以看出.二次函数与一元二次方程关系密切.二次函数与一元二次方程的解到底有什么具体关系呢？请大家利用解决上述问题获得的经验思考并解答下列两个问题： ①已知二次函数y＝x2-3x+5的值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程 （即 ） .反过来，解方程x2－3x＋2＝0又可以看作已知二次函数y＝x2-3x+2的值为0，求自变量x的值. ②已知二次函数y＝x2+6x+12的值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程 （即 ） .反过来，解方程 又可以看作已知二次函数 的值为0，求自变量x的值. 学生活动：在导学案上独立解答.教师指名学生回答. 师：上面我们已经知道了有限个二次函数与一元二次方程的关系，大家想不想知道所有的二次函数与一元二次方程的关系呢？ 师：一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0. （2） 问题的深入讨论 播放课件：三个二次函数的图象，三个思考题. 1 二次函数y＝x2-3x+2的图像与x轴有交点吗？如果有，交点的横坐标是多少？当x取交点的横坐标时，函数值是多少？由此你能得到对应的一元二次方程的根是多少？ 2 二次函数y＝x2+6x+9的图像与x轴有交点吗？如果有，交点的横坐标是多少？当x取交点的横坐标时，函数值是多少？由此你能得到对应的一元二次方程的根是多少？ 3 二次函数y＝x2+x+2的图像与x轴有交点吗？如果有，交点的横坐标是多少？当x取交点的横坐标时，函数值是多少？由此你能得到对应的一元二次方程的根是多少？ 学生活动：观察图象，思考并回答问题.教师指名学生回答. 播放课件：上述问题的答案： 解：（1）抛物线y＝x2-3x+2与x轴有两个交点，它们的横坐标是1,2.当x取交点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2-3x+2=0的根是x1=1，x2=2. （2）抛物线y＝x2+6x+9与x轴有一个交点，这点的横坐标是-3.当x＝-3时，函数的值是0.由此得出方程x2+6x+9=0有两个相等的实数根x1= x2=-3. （3）抛物线y＝x2+x＋2与x轴没有交点， 由此可知，方程x2+x＋2=0没有实数根. 师总结：一般地，如果二次函数y=的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程=0的根. 师问：二次函数与x轴的交点有几种情况？一元二次方程的根有几种情况？它们有怎样的对应关系呢？ （三）归纳 播放课件：上述三个二次函数的图象与x轴的交点坐标与三个一元二次方程根的对应关系，所有的二次函数的图象与x轴的交点坐标与三个一元二次方程根的对应关系. ( 与x轴的交点坐标 ) （1）y＝x2-3x+2 (1，0) （2，0） x2-3x+2=0 x1=1，x2=2 （2）y=x2+6x+9 (3，0) x2+6x+9 =0 x1= x2=-3 (3) y= x2+x+2 没有交点 x2+x+2=0 方程没有根 （4）让学生观察归纳并填写下表 二次函数 与一元二次方程 有下面的关系： 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式ΔΔ=b2－4ac 两个不同的交点： （x1，0）,（x2，0） 两个不相等的实根:x1 ,x2  b2－4ac > 0  一个交点: (x,0)  两个相等的实数根: x  b2－4ac = 0  没有交点  没有实数根   b2－4ac < 0 学生活动：观察对应关系，在导学案上填写对应关系归纳表，小组交流.教师指名学生汇报交流结果. （四）结论的应用 师：由上面的结论，我们可以做到：①判断二次函数与x轴的交点情况；②利用二次函数的图象求一元二次方程的根. 播放课件：二次函数与一元二次方程的交点的对应关系和图象，例1，例2. 例1：(1)函数y=-3x2+12x-3与x轴的交点有（ ）个. A.1 B.2 C.O D.3. (2)若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴交点情况是( ) A 无交点 B 只有一个交点 C 有两个交点 D不能确定 例2：利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实数根（精确到0.1）. 方法: (1)先作出函数y= x2-x-3图象; (2)写出交点的坐标: 它与x轴的公共点的横坐标大约是: -1.3,2.3,所以交点的坐标分别是：（-1.3、0）、（2.3、0）. (3)得出方程的解：x1≈-1.3，x2≈2.3 师：由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似根. 用你学过的一元二次方程的解法来解，准确答案是什么？ 教师引导学生分析得到方法：例1先计算对应方程的Δ值，再判断；例2的一般步骤（1）、（2）、（3）.学生在导学案上完成解题.教师指名学生回答. 播放课件：例1、例2的答案. 学生活动：计算.教师指名学生回答. 播放课件：答案. 师：二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0关系和应用大家已经知道了，下面我们来通过练习进一步巩固. 设计意图：经历获取新知识的全过程，完成新知识的三次建构，形成正确的结论；及时评价学生在自学活动中的表现；培养学生语言表达能力；尽可能多的让多名学生展示自己，让学生体会到数学活动的快乐. 活动三：课堂练习 播放课件：基本练习，拓展练习. (一)基本练习：1.二次函数y＝x2－3x＋2与x轴有 个交点，交点坐标分别是 . 2.二次函数y＝x2－4x＋6，当x＝________时，y＝3． 3.如图，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为________________ 4.如图一元二次方程ax2＋bx＋c＝3解为_________________ 5.如图填空：（1）a 0 (2) b 0 (3) c 0 (4) b2－4ac 0 （二）拓展练习 利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式 （1）方程ax2＋bx＋c＝0的根为___________； （2）方程ax2＋bx＋c＝－3的根为__________； （3）方程ax2＋bx＋c＝－4的根为__________； （4）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________； （5）不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为________； 设计意图：巩固提高，提高学生的数学应用能力；及时评价学生的课堂学习效果. 活动四：课堂小结 师：本节课你有什么收获？ 设计意图：总结、归纳学习内容，帮助学生加深二次函数与一元二次方程的联系；教师和学生一起分享成功的喜悦. 活动五：作业布置 教科书上对应练习 板书设计[来源:21 22.2二次函数与一元二次方程 抛物线y＝ax2＋bx＋c与方程ax2＋bx＋c=0的解之间的关系 例题 教后反思 收获：1.教学思路清晰，环节相扣，流程更加合理，今后可以长期使用。这些环节和流程包括：学生课前预习---课堂上完成导学案的学习任务---组内交流、学生展示师生交流，形成正确的结论----解疑释惑----当堂检测. 2.加强了一个观点：教师要在课前做好充分准备，课堂上要充分相信学生，真正做到还课堂于学生. 不足：课堂上没有预设具有挑战性的学习内容. 困惑：新授课既要花大量时间教学新知识的形成过程，又要尽可能多的设置练习（包括课堂上没有预设具有挑战性的学习内容，如何处理二者之间的关系？. 学科网（北京）股份有限公司 $