第22章 二次函数——待定系数法求二次函数的解析式讲义2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

待定系数法求二次函数的解析式讲义 2025-2026学年人教版九年级上册 【知识梳理】 知识点一：二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)； (2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)； (3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)． 知识点二：确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或， 或，其中a≠0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点诠释： 在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为． 【典型例题与巩固练习】 类型一：一般式求二次函数解析式 【典型例题】 例1.已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式. 【巩固训练】 1.已知：抛物线经过A（0，），B（1，），C（，）三点，求它的顶点坐标及对称轴． 2．已知抛物线 的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和（5，0），试求该抛物线的表达式。 3．如图，已知二次函数的图象过点和点，对称轴为直线． （1）求该二次函数的关系式和顶点坐标； （2）结合图象，当时，直接写出x的取值范围． 类型二：顶点式求二次函数解析式 【典型例题】 例2.已知二次函数的图象以A（－1，4）为顶点，且过点B（2，－5），求该函数的关系式. 【巩固训练】 1.抛物线 y＝a(x－2)²＋3 过点 (0,7)，则 a＝__________。 2.已知抛物线的顶点为且过，求其解析式． 3．已知某二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）． （1）求该函数的解析式； （2）若该函数的图象与x轴相交于点E、F，与y轴相交于点C，求△EFC的面积． 类型三：交点式求二次函数解析式 【典型例题】 例3.已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y轴交于点C． (1)求二次函数解析式； (2)求△ABC的面积． 【巩固训练】 1.抛物线 y＝ax²+bx+c 过 (0,1)、(1,0)、(2,1)，则 a＝__________。 2.抛物线与 x 轴交于 (2,0)、(6,0)，且过 (4,－4)，则解析式为 __________。 3.抛物线与x轴交于(1,0)、(3,0)，且过(0,6)，求解析式． 【综合训练】 1.抛物线 y＝ax²+bx+c 过 (0,1)、(1,0)、(2,1)，则解析式为（ ） A. y=x²-2x+1 B. y=x²-x+1 C. y=x²-2x+1 D. y=x²-x+1 2.已知抛物线顶点为 (3,4)，且过 (0,－5)，则解析式为 __________。 3.抛物线与 x 轴交于 (－1,0)、(5,0)，且过 (0,－5)，则解析式为 __________。 4.抛物线顶点为(2,-3)，且过点(0,1)，求解析式． 5．已知抛物线经过点． （1）求a，b的值． （2）若是抛物线上不同两点，且，求m的值． 【答案】 待定系数法求二次函数的解析式讲义 2025-2026学年人教版九年级上册 【知识梳理】 知识点一：二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)； (2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)； (3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)． 知识点二：确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或， 或，其中a≠0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点诠释： 在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为． 【典型例题与巩固练习】 类型一：一般式求二次函数解析式 【典型例题】 例1.已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式. 【答案】 设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得： 解得　　 ∴所求的二次函数的解析式为y=-x2+3x-5. 【巩固训练】 1.已知：抛物线经过A（0，），B（1，），C（，）三点，求它的顶点坐标及对称轴． 【答案】设(a≠0)，据题意列，解得， 所得函数为 对称轴方程：，顶点. 2．已知抛物线 的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和（5，0），试求该抛物线的表达式。 【答案】解：根据抛物线对称轴为直线x=2，且抛物线过点（5，0），可知抛物线与x轴另一交点为（-1，0），则设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），将点（1，4）代入，得4=a×2×（-4），解得a=- ，则抛物线解析式为y=- （x+1）（x-5）=- x2+2x+ 3．如图，已知二次函数的图象过点和点，对称轴为直线． （1）求该二次函数的关系式和顶点坐标； （2）结合图象，当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）解：根据题意得： ，解得：， 所以二次函数关系式为y=-x2+2x+3， 因为y=-（x-1）2+4， 所以抛物线的顶点坐标为（1，4）； （2）解：x＜0或x＞2 类型二：顶点式求二次函数解析式 【典型例题】 例2.已知二次函数的图象以A（－1，4）为顶点，且过点B（2，－5），求该函数的关系式. 【答案】 设该函数解析式为y=a(x+1)2+4(a≠0).因为函数经过点（2，－5）， 则：a(2+1)2+4=-5，解得a=-1所以该函数的关系式为y=-(x+1)2+4，即y=-x2-2x+3. 【巩固训练】 1.抛物线 y＝a(x－2)²＋3 过点 (0,7)，则 a＝__________。 [答案]1 2.已知抛物线的顶点为且过，求其解析式． 【答案】解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+2， 把（0，-1）代入得a•（0+1）2+2=-1，解得a=-3， 所以抛物线的解析式为y=-3（x+1）2+2． 3．已知某二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）． （1）求该函数的解析式； （2）若该函数的图象与x轴相交于点E、F，与y轴相交于点C，求△EFC的面积． 【答案】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+4， 把（2，﹣5）代入得a•9+4＝﹣5， 解得a＝﹣1， 所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4或y＝﹣x2﹣2x+3； （2）∵函数的图象与x轴相交于点E、F，则令y＝0， 即﹣x2﹣2x+3＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣3． ∴EF＝4． ∵二次函数与y轴相交于C，令x＝0，则y＝3， ∴C（0，3）． ∴S△EFC＝＝＝6． 类型三：交点式求二次函数解析式 【典型例题】 例3.已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y轴交于点C． (1)求二次函数解析式； (2)求△ABC的面积． 【答案】 解：(1)设抛物线解析式为(a≠0)，将(3，5)代入得， ∴ ． ∴ ． 即． (2)由(1)知C(0，8)， ∴ ． 【巩固训练】 1.抛物线 y＝ax²+bx+c 过 (0,1)、(1,0)、(2,1)，则 a＝__________。 [答案]1 2.抛物线与 x 轴交于 (2,0)、(6,0)，且过 (4,－4)，则解析式为 __________。 [答案]y＝x²－8x＋12 3.抛物线与x轴交于(1,0)、(3,0)，且过(0,6)，求解析式． 【答案】解：设交点式y=a(x-1)(x-3)， 代入(0,6)：6=a(-1)(-3) ⇒ 3a=6 ⇒ a=2 展开得y=2x²-8x+6 【答案】y=2x²-8x+6 【综合训练】 1.抛物线 y＝ax²+bx+c 过 (0,1)、(1,0)、(2,1)，则解析式为（ ） A. y=x²-2x+1 B. y=x²-x+1 C. y=x²-2x+1 D. y=x²-x+1 [答案]B 2.已知抛物线顶点为 (3,4)，且过 (0,－5)，则解析式为 __________。 [答案]y＝－(x－3)²＋4 3.抛物线与 x 轴交于 (－1,0)、(5,0)，且过 (0,－5)，则解析式为 __________。 [答案]y＝x²－4x－5 4.抛物线顶点为(2,-3)，且过点(0,1)，求解析式． 【答案】解：设顶点式y=a(x-2)²-3， 代入(0,1)：1=a(-2)²-3 ⇒ 4a=4 ⇒ a=1 ∴y=(x-2)²-3 【答案】y=(x-2)²-3 5．已知抛物线经过点． （1）求a，b的值． （2）若是抛物线上不同两点，且，求m的值． 【答案】 解：（1）把点（-1，6），（2，3）代入y=ax2+bx+1得， ， 解得：； （2）由（1）得函数解析式为y=2x2-3x+1， 把x=1代入y=2x2-3x+1得，y1=0， ∵y2-y1=36， ∴y2=36， 则2m2-3m+1=36， 解得：m=或m=5． 学科网（北京）股份有限公司 $