精品解析：天津市滨海新区南开中学滨海生态城学校2025-2026学年高三上学期期初适应性训练数学试题

天津市南开中学滨海生态城学校2025—2026学年（上） 高三级部期初适应性训练数学学科试卷 第Ⅰ卷（共60分） 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据常见数集，结合交集运算，可得答案. 【详解】因为集合是所有非正整数组成的集合，所以． 故选：D. 2. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合指数函数单调性判断即得. 【详解】由指数函数的单调性可得：， 由可得，而由不能推出，如，但没有意义， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性定义可排除选项C，D；结合指数函数的性质可得：当时，，即可排除选项B，进而求解. 【详解】因为，所以为奇函数，故选项C，D错误； 当时，，故选项B错误，选项A正确. 故选：A. 4. 函数（，且）恒过点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用即可求解. 【详解】令，则，解得， 则函数（，且）恒过点． 故选：C. 5. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若回归方程，则变量与正相关 B. 线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 C. 在独立性检验时，两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明“这两个变量没有关系”成立的可能性就越大 D. 一个人连续射击三次，若事件“至少击中两次”的概率为，则事件“至多击中一次”的概率为 【答案】D 【解析】 【分析】利用正负相关的意义判断A；利用相关指数的意义判断B；利用独立性检验的定义判断C；利用对立事件求出概率判断D. 【详解】对于A，回归方程，由，得变量与负相关，A错误； 对于B，值越接近于1，模型的拟合效果越好，越接近于0，模型的拟合效果越差，B错误； 对于C，在独立性检验时，两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大， 说明“这两个变量没有关系”成立的可能性就越小，C错误； 对于D，“至多击中一次”的事件是“至少击中两次”的事件的对立事件， 则事件“至多击中一次”的概率为0.3，D正确. 故选：D. 6. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出命题“，”为真命题时a的值，再结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】若命题“，”为真命题， 则，恒成立. 令， 则函数在上单调递减，在上单调递增，且， 所以在当时，取得最大值6，可得， 所以各选项中只有是是的一个充分不必要条件， 即是“，”为真命题的一个充分不必要条件. 故选:D. 7. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，代入，求出或，分两种情况，结合，求出，的值，得到答案. 【详解】显然且，且， 设，代入，可得：， 即，解得：或． 若，则，即，又因为，所以，则， 解得：，，所以； 若，则，即，又因为，所以，则， 故，解得，故，故. 故选： 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数的性质可判断，利用对数运算性质和对数函数的性质判断的范围以及大小关系即得答案. 详解】由题意可知，， 又，，而， 故，即， 因为，所以. 故选：A 9. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布性质结合数学期望及方差性质计算判断各个选项. 【详解】因为随机变量，则，A选项错误；C选项错误； ，B选项正确； ，D选项错误； 故选：B. 10. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，利用乘“1”法求解基本不等式问题即可. 【详解】因为，所以，所以， 又，，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立， 所以，即最小值是4． 故选：A． 11. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数的性质得的正负，从而得到的正负，进而得到，转化为二次函数最值问题. 【详解】函数的定义域是， 当，得，当，得， 当时，，则恒成立， 又在上单调递增，则， 当时，，则恒成立， 又在上单调递增，则， 由，可得，则， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 12. 已知函数的定义域为，，若存在实数，，，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知求得函数定义域，得到函数的解析式，然后化简， 得，最后换元后利用配方法求得函数最值求解 【详解】定义域为，由，解得， 的定义域为， ， 令，，，则, 当时为增函数 ,，， 存在实数, 使得， 即，解得 故选：D 【点睛】本题考查不等式的有解问题，化简得①，第一个难点在于通过令，把①换元为 第二个难点在于通过换元把题目的条件转化成式子来进行求解，属于难题 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题 13. 函数的单调递增区间为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，确定真数部分函数的单调性，再由复合函数的单调性可知函数的单调增区间. 【详解】因为， 所以函数的定义域为或， 令，则， 因为在单调递减， 且在单调递减，在单调递增， 由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为， 故答案为：. 14. 甲、乙两名选手进行一场羽毛球比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，比赛采取7局4胜制，则甲以获胜的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意分析甲的获胜情况，应用独立重复试验的概率求法求目标概率. 【详解】若甲以获胜，所以甲在第5局中获胜，前4局甲以领先， 故甲以获胜的概率为. 故答案为： 15. 某体育局计划从某高校的4名男志愿者和4名女志愿者中选派6人参加志愿者培训，事件A表示选派的6人中至少有3名男志愿者，事件表示选派的6人中恰好有3名女志愿者，则______. 【答案】 【解析】 【分析】方法一、根据题意求出，再利用条件概率公式求解；方法二、分别求出至少有3名男志愿者的情况及恰有3名女志愿者的情况，再利用古典概型求解. 【详解】从4名男志愿者和4名女志愿者中选派6人，至少有3名男志愿者的概率 .又， 根据条件概率的计算公式可知，. 方法二、从4名男志愿者和4名女志愿者中选派6人， 至少有3名男志愿者有（种）情况， 其中有3名女志愿者有（种）情况. 根据古典概型的概率计算公式可知，. 故答案为：. 16. 如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则______． 【答案】 【解析】 【分析】首先设该质点向右移动的次数为，则，然后根据已知找到满足条件的的取值，进而根据二项分布求解概率即可. 【详解】设该质点向右移动的次数为，则，， 若，则满足条件的的值为，对应的取值分别为. 所以 故答案为：. 17. 设实数，若对，不等式恒成立，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，构造函数，由其单调性可得，然后由单调性可得答案. 【详解】由题意当时，因为实数，所以成立， 当时，, ， 令0， 所以在上为增函数， 则. 即对，不等式恒成立， 则． 令， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，即， 综上可得，的取值范围为． 故答案为： 18. 已知幂函数是偶函数，则______，设，若对于任意，，则实数的最大值为______. 【答案】 ①. －2 ②. －1 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和偶函数的性质即可解出，令，将不等式转化为恒成立问题，即可求解. 【详解】由已知幂函数是偶函数，则有，解得或， 又，则指数须为偶数，所以. 所以，则， 不等式可化为，令， 则，时取等号，不等式变为. 当时，不等式不成立； 当时，令二次函数，其对称轴为，， 要使在时恒成立， 则且，解得，所以的最大值为. 故答案为：－2；－1. 19. 已知函数是奇函数，则___________；若，且，则的最小值是___________． 【答案】 ①. 1 ②. 4 【解析】 【分析】第一空根据函数为奇函数，则有求解；第二空利用函数奇偶性与单调性求出，再利用乘“1”法求解最值. 【详解】由是奇函数，所以， 所以，所以；则， 所以， 所以为奇函数， 因为， 所以函数在上为增函数， 而，由，可得， 即为． 因为， 所以， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：1；4. 20. 若任意的，恒成立，则的最大值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】设，从而转化为不等式恒成立问题，讨论时，转化为一次不等式恒成立问题，当时，转化为二次不等式恒成立问题，列出满足的约束条件，画出可行域即可得最优解，从而得到最终结果. 【详解】设，此时．则转化为在恒成立， 设， (1)当时，此时，则， 解得，所以当时，取最大值0； (2)当时，此时或， 化简得或， 设，即， 对于，其可行域如图1，联立，解得， 则当经过时截距最大，取最大值； 此时， 对于，其可行域如图2，当经过时截距最大， 此时直线与椭圆相切， 设，， 则．解得．从而，此时值最大为． 综上可得最大值为 故答案为：． 三、解答题 21. 某影城举办周年庆典抽奖活动，具体规则如下：在一个不透明的容器内，共有8个颜色大小相同的小球，每个小球上都标有一个字，其中标有“悟”“空”字样的小球共3个，标有“哪”“吒”字样的小球共5个．每位观众将从容器中一次性抽取2个小球，若所抽小球上的文字组合为“悟空”则获一等奖，若组合为“哪吒”则获二等奖．已知每位观众获二等奖的概率是其获一等奖概率的两倍． （1）其中标有“哪”字样的小球可能有多少个？ （2）若有三位观众参加抽奖活动，求中二等奖人数的分布列和数学期望； （3）为提高观众的参与度，影城允许观众一次性抽3个小球，获奖规则不变．若已知某位观众抽到了一个“哪”，求他获奖的概率． 【答案】（1）1个或4个 （2）分布列见解析，数学期望为 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）设标有“悟”字样的小球有个，标有“哪”字样的小球有个，由古典概率概率计算公式构造等式求解即可； （2）设三位观众中二等奖的人数为X，由题意确定，即可求解； （3）分有1个“哪”和4个“吒”，或有4个“哪”和1个“吒”，两类情况讨论求解. 【小问1详解】 设标有“悟”字样的小球有个，标有“哪”字样的小球有个， 一位观众获一等奖为事件A，获二等奖为事件B， 则由题意得，， 所以， 因为或2；解得或4．所以标有“哪”字样的小球可能有1个或4个． 【小问2详解】 由（1）知，某一位观众中二等奖的概率为，设三位观众中二等奖的人数为， 则，， ， ， ， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以． 【小问3详解】 ①若有1个“哪”和4个“吒”，在已经抽到了一个“哪”的条件下，仍能获奖，那么另外抽到的2个小球，要么是组成“悟空”，或者是至少1个“吒”， 此时获奖的概率为． ②若有4个“哪”和1个“吒”，在已经抽到了一个“哪”的条件下，仍能获奖，那么另外抽到的2个小球，要么是组成“悟空”，或者是有1个“吒”， 此时获奖的概率为． 22. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； （2）若函数有两个极值点，，且. （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意计算即可得解； （2）（ⅰ）将问题转化成函数与的图象在上有两个不同的交点，求出直线与曲线相切参数的值即可得解； （ⅱ）由、是的两根得，进而将问题转化成证，再利用导数工具研究函数单调性即可求证. 【小问1详解】 由题， 因为曲线在点处的切线垂直于直线， 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）因为， 因为函数有两个极值点、，所以在上有两个不同的根， 所以函数与的图象在上有两个不同的交点， 设直线与曲线相切于点，， 则切线斜率为，所以， 所以函数与的图象在上有两个不同的交点， 则， 所以a的取值范围为； （ⅱ）证明：由题可得、是的两根，且. 所以， ， 令，则， 所以要证明即证，即证， 即证， 因为，所以， 所以函数即在上单调递减，所以， 所以函数在上单调递增， 所以，即， 所以. 23. 设函数（）． （1）讨论的单调性； （2）若且函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）答案见解析 （2）①；②，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再按分类讨论函数的单调性. （2）①把问题转化为直线与函数图象交点问题，结合导数求解.②判断大小，作差等价转化，利用导数证明即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ①当时，， 函数有两个不同的零点， 等价于方程有两个不同的根， 等价于函数的图象与直线有两个不同的交点， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当从大于0方向趋近于0时，在，当时，， 所以的取范围为. ②，不妨令， ， 由①知，，即，而， 只需证明，即证，令， 令，求导得， 函数在上单调递减，，即， 因此，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市南开中学滨海生态城学校2025—2026学年（上） 高三级部期初适应性训练数学学科试卷 第Ⅰ卷（共60分） 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 函数（，且）恒过点（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 若回归方程，则变量与正相关 B. 线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 C. 在独立性检验时，两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明“这两个变量没有关系”成立的可能性就越大 D. 一个人连续射击三次，若事件“至少击中两次”的概率为，则事件“至多击中一次”的概率为 6. 命题“，”为真命题一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 11. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数的定义域为，，若存在实数，，，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题 13. 函数的单调递增区间为_______. 14. 甲、乙两名选手进行一场羽毛球比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，比赛采取7局4胜制，则甲以获胜的概率为______． 15. 某体育局计划从某高校的4名男志愿者和4名女志愿者中选派6人参加志愿者培训，事件A表示选派的6人中至少有3名男志愿者，事件表示选派的6人中恰好有3名女志愿者，则______. 16. 如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则______． 17. 设实数，若对，不等式恒成立，则的取值范围为______． 18. 已知幂函数是偶函数，则______，设，若对于任意，，则实数的最大值为______. 19. 已知函数是奇函数，则___________；若，且，则的最小值是___________． 20. 若任意的，恒成立，则的最大值等于______． 三、解答题 21. 某影城举办周年庆典抽奖活动，具体规则如下：在一个不透明的容器内，共有8个颜色大小相同的小球，每个小球上都标有一个字，其中标有“悟”“空”字样的小球共3个，标有“哪”“吒”字样的小球共5个．每位观众将从容器中一次性抽取2个小球，若所抽小球上的文字组合为“悟空”则获一等奖，若组合为“哪吒”则获二等奖．已知每位观众获二等奖的概率是其获一等奖概率的两倍． （1）其中标有“哪”字样的小球可能有多少个？ （2）若有三位观众参加抽奖活动，求中二等奖人数的分布列和数学期望； （3）为提高观众参与度，影城允许观众一次性抽3个小球，获奖规则不变．若已知某位观众抽到了一个“哪”，求他获奖的概率． 22. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； （2）若函数有两个极值点，，且 （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明： 23. 设函数（）． （1）讨论的单调性； （2）若且函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②试比较与的大小关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $