江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学 2025-2026学年上学期九年级 数学第三周周测

西安交通大学苏州附属中学初三数学第三周周测 一、选择题(每小题3分) 1.若关于的一元二次方程x2 - 2x + m=0有一个解为x = -1，则另一个解为( ) A. 1 B. -3 C. 3 D. 4 2.下列各式中，y是关于x的二次函数的是( ) A. y =2 x +3 B. C. y =3x2 -1 D. y =( x -1)²- x2 3.关于二次函数y = x2 - x，下列说法正确的是( ) A.图象的对称轴在y轴左侧 B.图象的顶点x轴上方 C.当x >1时，y随的增大而增大 D. y有最小值是1 4.已知二次函数y =a x2 +b x +c的变量x，y的部分对应值如表: x … -3 -2 -1 0 1 … y … -11 -5 -1 1 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程a x2 +b x +c=0的一个近似解的范围是( ) A. - 3<<-2 B. -2<<-1 C. -1<<0 D. 0<<1 5.若抛物线y = x2 -2m x+m 2 +2m+1(m是常数)的顶点到x轴的距离为2，则m的值为( ) A. B. C. 或 D. 或 6.已知函数y = (k-3) x2 +2 x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( ) A. k<4 B. k≤4 C. k<4且k≠3 D. k≤4且k≠3 7.在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数y=a x2 - a的图象可能是( ) 8.已知二次函数y = ax2 - 4ax +4，当x分别取 x1、x2两个不同的值时，函数值相等，则当x取x1+x2时，y的值为( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 二、填空题(每小题3分) 9.抛物线y = -( x +1) 2 - 4顶点坐标为 。 10.若点A(1，y1)，B(4，y,2)， C(0，y3) 都在抛物线y = -2(x -3)²+2上,则，y1，y2，y3的大小关系是 。(用“<”连接) 11.已知二次函数y= ax2 - 4ax +c的图象与x轴交于A(-1，0)，B两点，则点B的坐标为 。 12.如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状。按照图中建立的直角坐标系，右面的一条抛物线的解析式为y = x2 - 4x +5表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，则左面钢缆的表达式为_______. 13.已知a是方程x2 +3x - 4 =0的一个根，则a3+2a2 -7a+2的值为 。 14.把二次函数y = x2 + bx +c 的图象沿y轴向下平移1个单位长度，再沿x轴向左平移5个单位长度后，所得的抛物线的顶点坐标为(-2，0)，原抛物线相应的函数表达式是 。 15.二次函数y = ax2 + bx +c (a≠0)的图象如图，给出下列四个结论:①4ac - b²<0；②4a+c<2b；③3b+2c<0；④m(am+b)+b<a ( m≠-1)，其中正确的结论是 。 16.如图，已知二次函数的图象交x轴于A(-1，0)，B(4，0)，交y轴于点C，点P是直线BC上方抛物线上一动点(不与B，C重合)，过点P作PE⊥BC，PF // y轴交BC与F，则△PEF面积的最大值是 。 三、解答题(本大题共8小题，共82分) 17.解下列方程: (1)； (2)； (3); (4). 18.已知关于的一元二次方程. (1)求证：该方程总有两个实数根; (2)若抛物线与轴交于点A，B，且AB=2，求a的值。 19.已知二次函数. (1)画出它的图象: (2)该二次函数图象的对称轴为 ，顶点坐标为 ； (3)当 时，y的值随值的增大而减小； (4)当y >0时, 的取值范围是 ； (5)当时，y的取值范围是 。 20.已知抛物线(m≠0)。 (1)求这条抛物线的对称轴； (2)若该抛物线的顶点在轴上，求其解析式。 21.随着科技的不断进步，人工智能(AI)正逐渐渗透到我们的生活和工作。从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，AI的应用前景广阔且充满无限可能，某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元。 (1)若有14人参加旅游，人均费用是___元。 (2)某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数。 22.如图，已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C(0，4)。 (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上B，C两点之间的一个动点(不与点B，C重合)，是否存在点P，使得四边形COBP的面积最大?若存在，求点P的坐标及四边形COBP面积的最大值；若不存在，请说明理由。 23.在平面直角坐标系中，抛物线(a≠0)顶点为P。 (1)求抛物线顶点P的坐标(用含a的代数式表示)； (2)该抛物线是否过定点?若过定点，请求出定点坐标； (3)若抛物线经过(1，3)。 ①求a的值； ②点Q(m，n)在该二次函数的图象上，若点Q到y轴的距离小于2，请直接写出n的取值范围； (4)已知A(-1，-2)，B(5，-2)，抛物线与线段AB有唯一公共点，直接写出a的取值范围。 4 学科网（北京）股份有限公司 $西安交通大学苏州附属中学初三数学第三周周测 参考答案与解析 一、选择题（每小题3分》 1.若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有一个解为c=一1，则另一个解为 A.1 B.-3 C.3 D.4 【解析】解：设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得-1十=2，解得t=3, 即方程的另一个根为3. 故选：C 2.下列各式中，y是关于x的二次函数的是 A.y=2c+3 B.v- C.y=3x2-1 D.y=(x-1)2-x2 【解析】解：A、是一次函数，故A错误： B、二次函数都是整式，故B错误； C是二次函数，故C正确： D、是一次函数，故D错误： 故选：C 3.关于二次函数y=x2-2c,下列说法正确的是 A.图象的对称轴在y轴左侧 B.图象的顶点在x轴上方 C.当x>1时，y随c的增大而增大 D.y有最小值是1 【解析】解：A、:图象的对称轴是直线=一子=1， ∴图象的对称轴在y轴右侧， A错误； a、:图象的顶点纵坐标：=（-2》=-1<0， 4 图象的顶点在四轴下方， ,。B错误； C、,图象的对称轴是直线⑧=1， .当@>1时，y随匹的增大而增大， 。C正确： D、a>0, 然=1时，y有最小值=-1， D错误； 故选：C 4.己知二次函数y=ax2+bx十c的变量x,y的部分对应值如表： -3 -2 -1 0 1 ) -11 -5 -1 1 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程ax2十bx+c=0的一个近似解c1的范围是 A.-3<m1<-2 B.-2<c1<-1 C.-1<D1<0 D.0<x1<1 【解析】解：当⑧=-1时，=1：当⑧=0时，y=1, ,.方程的一个近似根位的范围是-1<：<0， 故选C 初三周测 第1页 共8页 5.若抛物线y=x2-2mc+m2+2m+1(m是常数)的顶点到x轴的距离为2，则m的值为 A-分 B号 c.-或号 D.-号或2 【解析】解：=o2-2mc十m2+2m+1=(m-m)2+2m+1, 。,抛物线y=g2-2m+m2+2m+1(m是常数)的顶点坐标为(m,2m+1), 顶点到心轴的距离为2， 2m+1到=2，即2m+1=2或2m+1=-2,解得m=号或-号 故选D 6.己知函数y=(k-3)x2+2c+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 A.k<4 B.k≤4 C.k<4且k≠3 D.k≤4且k≠3 【解析】解：①当k-3≠0时，(k-3)2+2+1=0, △=b2-4ac=22-4(k-3)×1=-4k+16≥0，k≤4： ②当k-3=0时，y=2c十1，与匹轴有交点. 故选：B。 7.在同一平面直角坐标系中，一次函数g=分w十分a与二次函数y=a2-a的图象可能是 .. 【解析】解：A、由抛物线可知，a>0,由直线可知，a>0,故本选项符合题意： B、由抛物线可知，@>0，由直线可知，@<0，故本选项不符合题意： C、由抛物线可知，a<0,由直线可知，a>0,故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，@<0，由直线可知，a<0,但图象过(1,0)点，求得a=0,矛盾，故本选项不符合 题意. 故选：A 8.己知二次函数y=ac2-4ax十4，当x分别取x1、x2两个不同的值时，函数值相等，则当x取c1十x2时，y的值 为 （） A.6 B.5 C.4 D.3 【解析】解：“y=ac2-4a十4=a(@-2)-4a十4，当⑧分别取、两个不同的值时，函数值相等， ,的1十2=4， ∴，当取@1十2时，=(4一2)2-4如+4=4， 故选：C 二、填空题（每小题3分） 9.抛物线y=-(x十1)2-4顶点坐标为-1，一4) 【解析】解：抛物线y=一（@+1)2-4顶点坐标为(-1，-4)： 故答案为8(-1，-4)， 10.若点A(1,1),B(4,2),C0,3)都在抛物线y=-2(x-3)2+2上，则1,2,3的大小关系是 ·(用“<” 连接) 【解析】解：y=-2(-3)2+2, 。°.抛物线开口向下，对称轴为直线匹=3， 4-3<3-1<3-0, ”,的<h<29 初三周测 第2页 共8页 故答案为：的<<2： 11.己知二次函数y=ax2-4ax+c的图象与x轴交于A(-1,0),B两点，则点B的坐标为(5,0). 【解析】解：函数的对称轴为云=一2岩-2， 由点A、B关于m=2对称得，点B(5,0), 故答案为：(5,0). 12.如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中建立的直角坐标系，右面的一条抛物线的解 析式为y=x2-4x+5表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，则左面钢缆的表达式为一y=x2+4如+ >x 【解析】解：把=匹2-4+5中的一次项系数-4变成相反数得到：y=心2+4+5. 故答案为y=2+4m+5。 13.已知a是方程x2+3ax-4=0的一个根，则a3+2a2-7a+2的值为-2 【解析】解：④是方程2+3一4=0的一个根， ∴.82+30-4=0， 。,a2+3a=4, .a3+2a2-7a+2=a(4-3a)+2a2-7a+2=4a-(4-3a)-7a+2=-2. 故答案为：-2。 14.把二次函数y=x2+bx+c的图象沿y轴向下平移1个单位长度，再沿x轴向左平移5个单位长度后，所得 的抛物线的顶点坐标为(-2,0)，原抛物线相应的函数表达式是y=x2-6c十10· 【解析】解；把点（一2,0）向上平移1个单位长度，再沿轴向右平移5个单位长度后所得对应点的坐标为 (3,1), 即二次函数y=2+b+c图象的顶点坐标为(3,1)， 所以原抛物线相应的函数表达式为=（匹一3）2+1，即=2一6@+10. 故答案为y=m2-6g十10. 15.二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的图象如图，给出下列四个结论：①4ac-b2<0:②4a+c<2b:③3b+2c< 0:④mam+b)+b<a,⑤点(-4，（一号小，(1，都在抛物线上，则有<<g其中正确的结论是 ①③ x=-1 【解析】解：。二次函数图象与@轴有两个交点， .,b2-48c>0, 。°.4ac-b2<0,故结论①正确； ·二次函数图象对称轴为⑧=一1，且当⑧=0时，有y>0, 初三周测 第3页 共8页 ∴.当m=-2时，可有y=4a-2b+c>0, 。.4a+c>2b,故结论②不正确： b=-1, :二次函数图象的对称轴为如=一 ∴.b=2a, 又当0=1时，可有=8+b+c<0, 。.2a+2b+2c<0, ∴.3b+2c<0,故结论③正确： 二次函数图象的对称轴为⑧=一1，且开口向下， ∴，当⑧=-1时，取最大值，此时y=a-b+c, '.y=am2+bm十c≤a-b+cg 。”,amn2+b%≤a-b, ,∴，m(am+b)十b≤a,故结论④不正确： 综上所述，结论正确的有①③ 故答案为：①③。 16.如图，已知二次函数y=-分2+号x+2的图象交轴于A(-1,0),B4,0),交y轴于点C,点P是直线BC上 方抛物线上一动点（不与B,C重合），过点P作PE⊥BC,PF∥y轴交BC与F,则△PEF面积的最大值是 0 B 【解析】解：由抛物线的表达式知，点C(0,2),延长PF交轴于点H, 则∠EPF=∠PEF-∠PFE=90°-∠PF8=90°-∠BFH=∠CBO, m020=8器=导号设m∠0BC= 1=tand, 则ma=店=m∠PR,08a=2 5 =00g∠PF, 设直线BC的表达式为y=@十i,则0二+b,解得 16=2 b=2 放直线BC的表达式为y=一号知+2， 设点P的坐标为（色，号2+号+2），则点@，-+2)】 则△P面积=号×P酒·丽=是·PRn∠PFXP8c0∠BPF ×清×着×(-号+是2+号-2列=（-号+2如， ”是<0，故0+2如有最大值，当8=2时，-号十2z为2， 故△P面积为最大值为号×2=号， 59 故谷案为号， 初三周测 第4页 共8页 三、解答题（本大题共8小题，共82分） 17.解下列方程： 1(3-1-4=0: (2)x2-6x+2=0: (3)(x-1)(x+3)=12. （4)x2-2W5+3=0 【解析】解：(（号-1-4=0， (号-1=4 1 小立0-1=+2， 。@1=6,2=-2。 (2)2-6+2=0, 02-6=-2, 2-6+9=-2+9,即（⊙-3）2=7， ⑧-3=土√7， .1=3+√7,2=3-√7。 (3)(-1)(c+3)=12, 2+2w-15=0, (@+5)(-3)=0, .1=-5,2=3. (4)2-2W3+3=0 (w-V3)2=0 01=2=√5 18.已知关于x的一元二次方程x2-（a-1)x+a-2=0. (1)求证：该方程总有两个实数根： (2)若抛物线y=x2-（a-1)x+a-2与c轴交于点A,B,且AB=2,求a的值. 【解析】(1)证明：一元二次方程2-（@-1)十@-2=0， △=(@-1)2-4(a-2)=a2-6a+9=(a-3)2≥0， 。方程总有两个实数根： (2)解：令y=0,得；2-(a-1)m+a-2=0, .的1十2=8一1,2=8-2， .(-2)2=时+吃-2m1m2=(1+2)2-412=(a-1)2-4(a-2）, 抛物线g=2-(@-1)四十a-2与匹轴交于点A,B,且AB=2, ∴.网-2=2， ∴(m-2)》2=(a-1)2-4(a-2)=4,化简为：2-6a+5=0,解得：a=1或5. 19.己知二次函数y=x2-2x-3. (1)画出它的图象； (2)该二次函数图象的对称轴为x=1,顶点坐标为一： (3)当x时，y的值随x值的增大而减小： (4)当y>0时，x的取值范围是： (5)当0≤x≤4时，y的取值范围是 初三周测 第5页 共8页 6 13 -+2 41 6543210123456 1-1-15 【解析】解：(1)y=2-2c-3=(-1)2-4, ,对称轴为=1，顶点坐标为(1，一4)： 令y=2-2-3=0,解得：w=-1或3， 。,抛物线与c轴的交点坐标为(-1,0)和(3,0)：令=0，则y=-3, ∴.抛物线与y轴的交点坐标为(0，一3)，图象如图所示： (2)二次函数图象的对称轴为=1，顶点坐标为(1，一4)， 故答案为：=1，(1，-4)； (3)由图象得，当⑧<1时，y的值随⑧值的增大而减小， 故答案为：<1： 1112 (4)当y>0时，如的取值范围是>3或m<-1, 故答案为：他>3或⑧<-1： 43-210 (5)当0=0时，g=-3:当0=4时，y=5, ,当0≤≤4时，y的取值范围是-4≤y≤5， 故答案为：一4≤y≤5， 20.己知抛物线y=mx2-2mx-3+2m2(m≠0). (1)求这条抛物线的对称轴： (2)若该抛物线的顶点在心轴上，求其解析式」 【解析】解：(1)y=mc2-2mc-3+2m2=m(位-1)2+2m2-m-3, .抛物线的对称轴为直线匹=1： (2)抛物线的顶点坐标(1,2m2一m一3)，而该抛物线的顶点在匹轴上， 心2m2-m-3=0,解得m=-1,m2=号， 六抛物线解折式为y=-+2如-1或y=号2-3知+》 .3 21.随着科技的不断进步，人工智能(AI)正逐渐渗透到我们的生活和工作，从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智 能医疗，A1的应用前景广阔且充满无限可能.某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩 的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元：如果人数超过10人，每增加1人， 人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元. (1)若有14人参加旅游，人均费用是220元. (2)某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数. 【解析】解：(1)由题意得：240-(14-10)×5=240-20=220，即若有14人参加旅游，人均费用是22元， 故答案为：220： (2)设参加活动的学生人数为⑧人，由题意得：[240一5（⑧一10）]=3600， 整理得：2-58w+720=0,解得：m1=18,2=40, 当m=18时，240-5×(18-10)=200>170，符合题意： 当2=40时，240-5×(40-10)=90<170，不符合题意，舍去： 答：参加活动的学生人数为18人。 初三周测 第6页 共8页 22.如图，已知抛物线的顶点坐标为(1，号)，与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C0,4. (1)求抛物线的解析式： (2)若点P是抛物线上B,C两点之间的一个动点（不与点B,C重合），是否存在点P,使得四边形COBP的面积 最大？若存在，求点P的坐标及四边形COBP面积的最大值：若不存在，请说明理由. 0 B 【解析】解：()“抛物线的顶点坐标为(1，号)》， 可设抛物线为y=(e-1P+号.又抛物线过点(0山， a+号=4 a是 5抛物线的解折式为y=一(@-1+号 (2)存在理由如下：连接OP。 令y=-@-2+是=0， ⑧=-2或⑧=4。 .B(4,0) 由题意，设r(m,-号(m-1P+号)0<m<④， B ,.S四边形PBO0=S△OBP十S△00P =3×0B×[-号m-P+号]+号×00xm =-(m-1)2+9+2m =-(m-2)2+12。 又-1<0,0<m<4 当m=2时，S四边形Poc取最大值为12，此时P(2,4). 23.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ac2-2ac-3a(a≠0)顶点为P. (1)求抛物线y=ax2-2ax-3a顶点P的坐标（用含a的代数式表示）： (2)该抛物线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标； (3)若抛物线y=ax2-2ax-3a经过(1,3). ①求a的值； ②点Q(m,n)在该二次函数的图象上，若点Q到y轴的距离小于2，请直接写出n的取值范围： (4)已知A(-1,-2),B(5,-2),抛物线y=ax2-2ac-3a与线段AB有唯一公共点，直接写出a的取值范围. 【解折】解：()当8=-会=1时，y=一4a .顶点P为(1，-4a): (2)是，理由如下 y=aa2-2aw-3a=a(2-2m-3),令w2-2c-3=0,解得m1=-1,2=3, .该抛物线过定点(-1,0)，(3,0)： (3)①抛物线y=ar2-2am-3a经过(1,3) 初三周测 第7页 共8页 -4a=3,解得：a=- ④日 ②点Q到y轴的距离小于2， ..ml<2, 。-2<m<2, m=-2时，y=aa2-2ae-3a=-是(e2-2a-3)=-5 4 要<n≤8， (4)y=ax2-2a-3a, ①当抛物线开口向上时， 抛物线与线段AB只有一个公共点， ∴，抛物线顶点在直线y=一2上， 一a=-2,解得a=号 ②当抛物线开口向下时， 把（低，-2习代入得-2=250-10a-3a,解得a=言 综上，抛物线与线段AB只有一个公共点时，4的取值范围a=号或a<-言 初三周测 第8页 共8页