湖北省荆州市2025-2026学年高三上学期9月起点考试数学试题

荆州市2026届高三(9月)起点考试 数学学科参考答案及评分细则 1-8.DCAB AADB 9.AD 10.ACD 11.BCD 12.3 13.2 14 8.解析：圆的半径为3，过点P最长的弦为直径(6)，且只有一条，由弦长变化的连续性 及圆的对称性知，长度为5,4的各两条，则最短的弦长1∈(3,4)，最短的弦与过点P的直 径垂直，由勾股定理知，1=29-PC平，解不等式得1PC∈(W5,),所以点P所对 应的区域为圆环，其面积为（受-5）n=知 14.解析：在14个点中任取4个点的方法总数为C(14,4)=1001 计算4点共面的情形： 1.6个面：5点共面任取4点均共面，共6×C30种 2.6个对角面：6点共面任取4点均共面，共6×C90种 3.8个6点斜切面：6点共面任取4点均共面，共8×C=120种 4.3个中截面（仅面中心）：4点共面有3×1=3种 因为14个点中没有4点共线的情况，故以上四类4点共面的种数不可能被重复计算。 共面总数243种，所求概率758/1001。 15.(1)证明：由an+1=2an+2m+1变形得：2+=费+1，费=1 所以数列（费}是以1为首项，1为公差的等差数列。…6分 (2)由(1)知，碧=n,an=n·2 Sm=1·21+2.22+…+n·2n,两边同乘以2得 2Sm=1.22+2.23++(n-1).2n+n.2n+1 两式相减： Sn=-21-22--2n+n·2n+1=n·2m+1-(2n+1-2)=(m-1)·2n+1+2 所以数列{an}的前n项和Sn=(n-1)·2n+1+2…13分 16.(1)证明：连接RQ,因为BR=CQ=2,根据长方体的性质， BB//CC,故BR与CQ平行且相等，故四边形BRQC为平行四边形 从而RQ与BC平行且相等…2分 又因为AD与BC平行且相等，所以AD与RQ平行且相等， 故四边形ADQR为平行四边形，…4分 所以AR平行于DQ…5分 又AR不在平面BDQ内，且DQ在平面BDQ内…6分 所以直线AR平行于平面B,DQ…7分 (2)以A为原点，AB,AD,AA所在直线为坐标轴建立直角坐标系，则 P(0,0,1),B1(40,5),D(0,30),Q(4,3,2),B(4,0,5)…8分 所以AB1=(4,0,5),D0=(4,0,2),DB1=(4,-3,5)…10分 D2-y 设平面BDQ的一个法向量为i=(x,y,z),由此得方程组： 4x+2z=0 4x-3y+5z=0不失一般性，可以取五=(1，-2，-2)…12分 设直线AB1与平面BDQ所成角的为6，则 sin8=恶温==3票故所米角的正弦值为 41o …15分 17.解：(1)f(x)=e×-X+sin2x,则f(x)≥ex-X-1。…2分 设g(x)=ex-X-1,则gy'(☒)=ex-1≥0在[0，+∞)上恒成立，…4分 所以g(x)在[0，+∞)上单调递增，g(☒)≥g(0)=0 所以f(x)≥g(x)≥0，从而函数f(x)在[0，+∞)上单调递增。…6分 (2)方法一：当x≥1时 f≥a(x-3x2)台ex+sin2x≥ax=as+s2…7分 设h(x=+sin2,h'☒）=-1)e+xsin2x-sin2x8分 x2 令p(x)=(x-1)e×+xsin2x-sin2x, 则p'(x)=Xex+2xC0S2x≥x(ex-2),…10分 因为x≥1，所以ex-2≥e-2>0,p'(x)>0, 从而p(x)在[1，+∞)上单调递增 则p(x)≥p(1)=sin2-sin21=sin1(2cos1-sin1), 而c0s1>2,2c0s1>1>sin1>0,故p(x)>0,…12分 则h'(x)>0,h(x)在[1，+o)上单调递增。 所以h(x)≥h(1)=e+sin21, 又9<sin1<号<sin21<e+sin21∈3,4， 所以自然数a的最大值为3。…15分 方法二：f(x)≥fx)≥a(x-2x2)台ex-ax+sin2x≥0， 设h(x)=ex-ax+sin2x,h'(x)=ex-a+sin2x。 由h()=e-a+sim21≥0有a≤e+sin21,m醛<1<号号sinl号 所以自然数a≤3…10分 下证h(x)=ex-3x+sin2x≥0恒成立。 h'(x)=ex-3+sin2x,h"(x)=ex +2 cos 2x, 当x≥1时h"(x)≥e-2>0,h'(x)在[1，+∞)上单调递增， 所以h'(x)≥h'(1)=e-3+sin2>e-3+sin号>0， 故h()在[1，+o)上单调递增，h()≥h(1)=e-3+sin21>e-号>0。 所以自然数a的最大值为3。…15分 18.(1)A全胜夺冠的条件是：A赢得第一轮比赛，赢得第二轮胜者组比赛，赢得决赛。由于A 是实力最强的战队，对任何对手的单场获胜概率均为子，且比赛结果相互独立。A全胜夺 冠需要赢得三场比赛（第一轮、第二轮胜者组、决赛），因此概率为()3=号， 8…5 分 (2)随机变量X表示A参加的场次数。根据双败淘汰制规则，A可能参加的场次数为2、 3、4或5。以下是X的取值及对应概率： X=2:“负负”被淘汰。P0X=2)=×=行 …7分 X=3:有三种情况：“胜胜胜”（夺冠）；“胜负负”（淘汰）；“负胜负”（淘汰）。 所以PX=3)=()3+2·子()2=音9分 X=4:有三种情况：“胜胜负”，然后参加加赛：“胜负胜负”；“负胜胜负”。 所以PX=山=号子+232)2=品 2_20 …12分 X=5:注意到A若前两场均胜，则其不可能参加第五场比赛，故其前4场比赛的胜负情况仅 有两种：“胜负胜胜”“负胜胜胜”，第五场为加赛。PX=5)=2·官（号）3=号…15分 故所求分布列为 X 2 4 5 1 P 20 16 g 49 81 81 所以E0)= 2…17分 19.解：(1)由题可知，点Q(0,b),T1,0),所以△Q○T的面积为： 6c2=4-3=1.c=1.e=3分 2)设P6,），40,)B2,0)L4y=占-bx 2x+b令y=0, bxo 则x-方dM0)lgy=”2x-2)M02 b-yo x0-2 2-X0 ∴8-S:=Saw-Saa4=BMHN=2…5分 (一202%)=2+2%-20=4…7分 2b-y0 2-X0 ·(b-y2-x) b2x2+4y2+462+4hr。-4bx。-83%=4 xyo-bx-2y。+2b .b2x2+4y,2=4b2 46xh-462x。-80+80=4…9分 xoYo-bxo-2yo+2b .b=1C号+y=1…10分 4 (3)假设存在实数t,使得△TPQ是以T为直角项点的等腰直角三角形 方法1：由题知，直线P的斜率存在，设直线P2:y=x+m,P(化，)，Q(x2,y2),y1,y2>0 y=kx+m 联立 ,可得1+4k2)x2+8amx+4m2-4=0,…10分 +y2=1 4 .△=64k2m2-16(m2-1)1+4k)=64k2-16m2+16>0,即4k2>m2-1, x+2三t4?=1刃 8km 1+4k2 ,⅓+为=h5+5)+2m=,20>0, 1+4k2 。热o 1+4k21+4k2 .m2>4k2且m>0,故√4k2+1>m>2k≥0，…11分 当k=0时，则1=2=m且13H3,上m,则m=25∈0，D,此时T0,0,满足：12分 5 图长0，万9的中点为，又r化0么刀 1 4km -t k, 1+42 即t=3且PI=G-0,-0+出=，1G+x)++y=0 0+,糖00 1+4k21+4k21+4K2 .52-4k2-4+8at+1+4k2)t2=0, 5m0+)-44+52+0m-4k+0.…14分 则(4+小>4s0<<1,2=9 36 1+4k2)2-5 +20 …16分 所r9则：(-号) 综上所，1…7分 方法2：不妨设点P在点Q的右侧，设TP=(,n),TQ=(-n,m)(1>0,n>0) Op=O7+T亚=，0)+，)=t+m,m）'.P(t+m,m 00=O7+T=t,0)+(-n,m)=t-n,m).Q(t-n,m） +m+切二手m-n-子m- 2 t+n.n2+ 2+5-4=0 。tn+ (t-m2+4m2=4 3 95 9 设方程的两根为么，么，则%十%=号=”m,故方程的两根为”，一，所以 2 -<00≤r<36,E到 5 -mn三 91 5 25 5'5 方法3：不妨设点P在点O的右侧，设TP=TO=r,∠POT=a,a∈0，引，则 点Pu+7sna）,点Q+rco3(a+2.rin(a+7》,即Ou-sin) (t+rcos a)2+4r2sin2a=4 .'.3(cos a-sin a)r=2t (t-rsina)2+4r2 cos2a=4 2t 当a-时，1=0：当a≠号/-0san网 :22+2r(cosa-sina)+5r2=8…3 10t2 9(cosa-sina)2 =4 .t= 36 15+ 10 0<2<36 (cos a-sin a)2 5 36 综上所述：0≤t< 66 25 (其他解法参考方法1相应给分)荆州市2026届高三(9月)起点考试 数学试卷 命题人：陈子俊何绪兆徐勤丰 审题人：朱中文朱代文张永波黄蓉2025.9 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 4.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.复数z满足z(2+i)=i,则1z引= A.3 B.5 D肾 2.已知集合A={1,m},B={0,1,2,3},则“A二B”是“m=2”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知正方形ABCD的边长为1，E是CD的中点，则AE·BD= A号 a分 4.已知等比数列{an}中，a1=2,a3=8,则a4= A.16 B.16或-16 C.32 D.32或-32 5.已知ana=2,则in(2a+好 A将 B.、2 G.73 10 10 D.、73 10 6.已知a=ln5,b--3 2c=-,则 A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.a>c>b 高三数学试卷第1页（共4页） 扫描全能王创建 7.一个锐角三角形的三边长成等差数列，则该三角形的最小内角余弦值的取值范围是 A(0,7] B c分 哈 8.若过圆C:x2+y2-6x=0内不同于圆心的点P恰好可以作5条长度为正整数的弦，则所 有符合条件的点P构成的区域的面积为 A牙 C.9m 27π 4 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.某班10名同学的某次测验成绩为：55,62,65,68,69,70,70,75,80,100.则下列说法正 确的有 A.这组数据的众数是70 B.这组数据的中位数是70 C.这组数据的平均数小于70 D.这组数据的平均数大于70 10.已知连续型随机变量专~N(1,),设函数f(x)=P(5≤x),则下列说法正确的有 A.f(x)是在定义域R上的增函数 B.f(x)的图象关于直线x=1对称 C.f(x)的图象关于点(1,2)对称 D.f代x)的图象位于两条直线y=0,y=1之间 11.圆柱的底面在水平面上，底面半径为1，高为4.与圆柱底面成45°角的平面截圆柱所得 的截面为椭圆，截面上的最低点到下底面的距离为1，则下列说法正确的有 A.圆柱体的表面积为8m B.圆柱体夹在截面与下底面之间部分的体积为2π C.圆柱侧面夹在截面与下底面之间部分的面积为4π D,截面椭圆的离心率为上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数f(x)= √x+1,x>0 则f4)=一 x,x≤0 13.双曲线x2_Y=1的两条渐近线与抛物线y2=4x的准线围成三角形的面积为 4 14.在正方体的8个顶点和6个面的中心（共14个点）中任取4个点，以这4个点为顶点 可构成四面体的概率为 高三数学试卷第2页（共4页） 扫描全能王创建 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知数列{an}满足a1=2an+21,且a1=2. (1)求证：数列 是等差数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn 16.(本小题满分15分) 在长方体ABCD-A1B,C,D,中，已知AB=4,AD=3,AA1=5,点Q,R分别在棱CC1,BB, 上，且C0=BR=2 (1)证明：AR/∥平面B,DQ; (2)求直线AB,与平面B,DQ所成角的正弦值. D C O R 17.（本小题满分15分) 已知函数)=d-ar+in2,aeR (1)若a=1,讨论函数(x)在[0，+oo)上的单调性； (2)若aeN,当x≥1时)≥a-2)恒成立，求a的最大值， 高三数学试卷第3页（共4页） 扫描全能王创建 18.(本小题满分17分) 在电竞比赛中一般采用“双败淘汰制”，这是一种兼顾效率与公平的比赛赛制，基本 原则是“失败2次才被淘汰”“越先淘汰所获名次越低”，且每场比赛只有胜负之分.现组 织A,BC,D共4个电竞队参加比赛，采用“双败淘汰制”，其流程如下： 第一轮：抽签随机分成2组比赛，每组比赛的胜者进入胜者组，败者进入败者组.第二 轮：胜者组、败者组分别比赛，胜者组的胜者（记为）进入决赛，败者组的败者因失败2次 被淘汰并获得第4名.第三轮：第二轮胜者组的败者与败者组的胜者比赛，胜者（记为L) 进入决赛，败者被淘汰并获得第3名.第四轮：决赛，若W获胜则比赛结束，W获得冠军，L 获得第2名：若L获胜，则需加赛一场，加赛胜者获得冠军，败者获得第2名 已知AB队战胜其他3支队伍的概率均为子 (1)求A队全胜夺冠的概率； (2)设A队在整个赛事中参赛场次为随机变量X,求X的分布列及数学期望E(X). 19.(本小题满分17分)》 已知焦点在x轴上的椭圆C:无+名 ,=1(b>0),点P,Q是椭圆C上的两点，且位于x 轴上方，T(t,0)为x轴上一点，0为坐标原点 (①)当点Q在y轴上，=1，且4007的面积为汽时，求椭圆C的离心率 (2)若点P在第一象限，A,B分别为椭圆的上顶点和右顶点，直线PA,PB分别与x轴 和y轴交于点M,N.记△PMN,△PAB的面积分别为S,、S2,若S,-S,为定值2，求椭圆C的 标准方程； (3)对于(2)所求的椭圆C,是否存在实数t,使得△TPQ是以T为直角顶点的等腰直 角三角形？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由. 高三数学试卷第4页（共4页） 器 扫描全能王创建